《锐角三角函数》章末重难点题型
【考点1 锐角三角函数定义】
【方法点拨】锐角角A 的正弦（sin ）,余弦（cos ）和正切（tan ）,都叫做角A 的锐角三角函数。 正弦（sin ）等于对边比斜边， 余弦（cos ）等于邻边比斜边 正切（tan ）等于对边比邻边； 【例1】在Rt ABC ?中，90C ∠=?，3AB BC =，则sin B 的值为( ) A ．
12
B ．
2 C ．
3 D ．
22
【分析】设BC 为x ，根据题意用x 表示出AB ，根据勾股定理求出BC ，运用正弦的定义解答即可． 【答案】解：设BC 为x ，则AB ＝3x ， 由勾股定理得，AC ＝＝
＝2
x ，
∴sin B ＝＝
＝
，
故选：D ．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【变式1-1】在Rt ABC ?中，90C ∠=?，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( ) A ．22
B ．3
C ．
24
D ．
13
【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正切的概念计算即可． 【答案】解：设BC ＝x ，则AB ＝3x ， 由勾股定理得，AC ＝＝2
x ，
则tan B ＝＝2
，
故选：A ．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【变式1-2】如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于点D ，下列各组线段的比不能表示
sin BCD ∠的( )
A ．
BD
BC
B ．
BC
AC
C ．
CD
BC
D ．
CD
AC
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD ＝∠A ，再解直角三角形得出即可． 【答案】解：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，
∴∠BCD +∠ACD ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A ， ∴sin ∠BCD ＝sin A ＝
＝
＝
，
即只有选项C 错误，选项A 、B 、D 都正确， 故选：C ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，则sin A ＝
，cos A ＝
，tan A ＝
，cot A ＝
．
【变式1-3】如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值等于cos A
的值的有()个
（1）AD
AC （2）AC
AB
（3）BD
BC
（4）CD
BC
．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴cos A＝＝＝，
故（1），（2），（4）正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
【考点2 网格中的锐角三角函数值】
【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.
【例2】如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB
的值为()
A 5
B
25
C．1
2
D
3
【分析】由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值．【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，
∵S△ABC＝2×7﹣＝5
由勾股定理可知：AC＝＝5，
∵AC?BD＝5，
∴BD＝，
由勾股定理可知：BC＝＝，
∴sin∠ACB＝＝＝
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键．
【变式2-1】由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则ABC
的正切值为()
A．5
B．
25
C．1
2
D．
5
【分析】作CD⊥AB于点D，利用勾股定理计算出CD和BD，然后再求CD：BD可得答案．【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝，
BD＝＝2，
故tan∠ABC＝＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．
【变式2-2】如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则BAC ∠ 的正切值是( )
A ．
12
B ．
52
C ．
25
5
D ．2
【分析】如图，根据勾股定理可求BD ，AD ，再根据正切的定义可求∠BAC 的正切值． 【答案】解：如图，在Rt △ADB 中，
AD ＝＝，BD ＝＝2，
则∠BAC 的正切值是＝2．
故选：D ．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是根据勾股定理求得BD ，AD ． 【变式2-3】如图，在22?正方形网格中，以格点为顶点的ABC ?的面积等于
32
，则sin (CAB ∠=
)
A．3
3
2
B．
3
5
C．
10
5
D．
3
10
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
【答案】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，
由勾股定理，得
AB＝AC＝，BC＝．
由等腰三角形的性质，得
BE＝BC＝．
由勾股定理，得
AE＝＝，
由三角形的面积，得
AB?CD＝BC?AE．
即CD＝＝．
sin∠CAB＝＝＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，利用三角形的面积公式得出CD的长是解题关键．
【考点3 锐角三角函数的增减性】
【方法点拨】当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
【例3】已知045α<
的三角函数的命题有：①20sin α<<
，②cos sin αα<，
③sin 22sin α
α=，④0tan 1α<<，其中是真命题的个数是(
)
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案． 【答案】解：由0＜α＜45°，得 0＜sin α＜
，故①正确；
cos α＞sin α，故②错误；
sin2α＝2sin αcos α＜2sin α，故③错误； 0＜tan α＜1，故④正确； 故选：B ．
【点睛】本题考查了锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．
【变式3-1】下列不等式不成立的是( ) A ．sin20sin40sin70?
D ．sin30cos45tan60?
【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．
【答案】解：A 、随角的增大而增大，故A 不符合题意；
B 、余弦随角的增大而减小，故B 符合题意；
C 、正切随角的增大而增大，故
D 不符合题意； D 、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D 不符合题意；
故选：B ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大．
【变式3-2】比较tan46?，cos29?，sin59?的大小关系是( ) A ．tan46cos29sin59?
D ．sin59cos29tan46?
【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【答案】解：∵cos29°＝sin61°＞sin59° ∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1 ∴sin59°＜cos29°＜tan46° 故选：D ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【变式3-3】如图，ABC ?是锐角三角形，4
sin 5
C =
，则sin A 的取值范围是( )
A ．30sin 5
A <<
B ．
4
sin 15
A << C ．
34sin 55
A << D ．
3
sin 15
A << 【分析】作AH ⊥BC 于H ，如图，根据正弦定义得到sin C ＝＝
，则可设AH ＝4x ，AC ＝5x ，利
用勾股定理得到CH ＝3x ，所以sin ∠HAC ＝＝
，由于∠HAC ＜∠BAC ＜90°，然后根据正弦函数
为增函数即可得到sin ∠BAC 的范围． 【答案】解：作AH ⊥BC 于H ，如图， 在Rt △ACH 中，sin C ＝＝
，
设AH ＝4x ，AC ＝5x ， 所以CH ＝＝3x ， 所以sin ∠HAC ＝
＝
，
∵∠HAC ＜∠BAC ＜90°， ∴
＜sin ∠BAC ＜1．
故选：D ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：锐角三角函数值都是正值；当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；当角度在0°≤∠A ≤90°间变化时，0≤sin A ≤1，1≥cos A ≥0． 【考点4 互余两角三角函数的关系】
【方法点拨】互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sin α,
【例4】如图，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ．给出下列四个结论：①sin sin B α=；②sin sin C β=；③sin cos B C =；④sin cos αβ=．其中正确的结论有 ．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A ＝90°，AD ⊥BC ，可得∠α＝∠B ，∠β＝∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【答案】解：∵∠A ＝90°，AD ⊥BC ，
∴∠α+∠β＝90°，∠B +∠β＝90°，∠B +∠C ＝90°， ∴∠α＝∠B ，∠β＝∠C ， ∴sin α＝sin B ，故①正确； sin β＝sin C ，故②正确； ∵在Rt △ABC 中sin B ＝
，cos C ＝
，
∴sin B ＝cos C ，故③正确； ∵sin α＝sin B ，cos ∠β＝cos C ， ∴sin α＝cos ∠β，故④正确； 故答案为①②③④．
【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 【变式4-1】在Rt ABC ?中，90C ∠=?，1
cos 3
A =
，则sin B = ． 【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【答案】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°， ∴∠A +∠B ＝90°， ∴sin B ＝cos A ＝
．
故答案为：．
【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦． 【变式4-2】已知锐角α，且sin cos35α=?，则α= 度．
【分析】对于任意锐角A ，有sin A ＝cos （90°﹣A ），可得结论． 【答案】解：∵sin α＝cos35°， ∴α＝90°﹣35°＝55°， 故答案为：55．
【点睛】此题考查互余两角的三角函数，关键是根据互余两角的三角函数的关系解答．
【变式4-3】在Rt ABC ?中，90C ∠=?，a ，b 分别是A ∠、B ∠的对边，如果sin :sin 2:3A B =，那么:a b 等于 ．
【分析】根据正弦的定义得到sin A ＝，sin B ＝
，再由sin A ：sin B ＝2：3得到
：
＝2：3，然
后利用比例性质化简即可．
【答案】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A 、∠B 的对边，c 为∠C 对的边， ∴sin A ＝
，sin B ＝
，
∵sin A ：sin B ＝2：3， ∴
：
＝2：3，
∴a ：b ＝2：3． 故答案为2：3．
【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系：在直角三角形中，∠A +∠B ＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A ＝（90°﹣∠A ）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cos A ＝sin （90°﹣∠A ）．也考查了锐角三角函数的定义． 【考点5 特殊角三角函数值的计算】
【方法点拨】解决此类问题关键在于熟记特殊角三角函数值.
【例5】计算：2
sin60cos 45sin30tan60?+?-??．
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可． 【答案】解：原式＝+
﹣
×
，
＝+﹣
，
＝
．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 【变式5-1】计算：
（1）2
2
2
sin 30sin60sin 45cos 30?+?-?+?； （2）
tan30tan 45tan 60tan 45?+?
??
．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【答案】解：（1）原式＝（）2+
﹣（
）2+（
）2
＝+﹣+
＝
+
；
（2）原式＝＝．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【变式5-2】22cos30tan30cos60(1tan60)?+?
?--?
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减运算法则计算． 【答案】解：原式＝2×+
×
﹣
+1
＝
+1．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式5-3】计算：
sin 45cos30sin30(cos45sin 60)32cos60?+?
-??-?-?
【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．
【答案】解：原式＝﹣（﹣）
＝﹣
＝
＝
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 【考点6 解直角三角形】
【方法点拨】解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°） （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2． （2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． （3）边角之间的关系
（4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边． 【例6】如图，在ABD ?中，AC BD ⊥于点C ，3
2
BC CD =，点E 是AB 的中点，tan 2D =，1CE =，求sin ECB ∠的值和AD 的长．
【分析】利用已知表示出BC ，CD 的长，再利用勾股定理表示出AB 的长，进而求出sin ∠ECB 的值和
AD 的长．
【答案】解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°． ∵点E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2， ∴∠B ＝∠ECB ． ∵
＝
，
∴设BC ＝3x ，CD ＝2x ． 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴
＝2，
∴AC ＝4x ．在Rt △ACB 中， 由勾股定理得AB ＝＝5x ，
∴sin ∠ECB ＝sin B ＝＝
．
由AB ＝2，得x ＝， ∴AD ＝
＝
＝2
x ＝2×＝．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确表示出AB 的长以及锐角三角三角函数关系是解题关键． 【变式6-1】如图，在ABC ?中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，45C ∠=?，1
sin 3
B =
，1AD =．
（1）求BC 的长； （2）求tan DAE ∠的值．
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再解Rt △ADC ，得出DC ＝1；解Rt △
ADB ，得出AB ＝3，根据勾股定理求出BD ＝2，然后根据BC ＝BD +DC 即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE ＝CE ﹣CD ，然后在Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．
【答案】解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．
在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1， ∴DC ＝AD ＝1．
在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝，AD ＝1，
∴AB ＝
＝3，
∴BD ＝
＝2，
∴BC ＝BD +DC ＝2
+1；
（2）∵AE 是BC 边上的中线， ∴CE ＝
BC ＝+， ∴DE ＝CE ﹣CD ＝
+
﹣1＝
﹣
，
∴tan ∠DAE ＝＝＝﹣．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt △ADC 与Rt △ADB ，得出DC ＝1，AB ＝3是解题的关键．
【变式6-2】如图，在等腰Rt ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5
DBA ∠=． （1）求AD 的长； （2）求sin DBC ∠的值．
【分析】（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．
（2）由（1）可求出CD ＝4，根据勾股定理可求出BD 的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【答案】解：（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ， ∵等腰三角形ABC ，∠C ＝90° ∴∠A ＝45°， ∴AH ＝DH ， 设AH ＝x ， ∴DH ＝x ， ∵tan ∠DBA ＝
，
∴BH ＝5x ， ∴AB ＝6x ， ∵AC ＝6，
∴由勾股定理可知：AB ＝6，
∴x ＝
，
∴AH ＝DH ＝
，
∴由勾股定理可知：AD ＝2； （2）由于AD ＝2 ∴DC ＝4，
∴由勾股定理可知：DB ＝2， ∴
，
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及解直角三角形，本题属于中等题型．
【变式6-3】如图，已知Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE CD ⊥，
AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，2AH CH =．
（1）求sin CAH ∠的值；
（2）如果5CD =，求BE 的值．
【分析】（1）由勾股定理得出AC ＝
＝
CH ，由锐角三角函数定义即可得出答案；
（2）根据sin B 的值，可得出AC ：AB ＝1：
，由AB ＝2
，得AC ＝2，设CE ＝x （x ＞0），则
AE ＝x ，由勾股定理得出方程，求出CE ＝1，从而得出BE ．
【答案】解：（1）∵AE ⊥CD ， ∴∠AHC ＝90°， ∵AH ＝2CH ， ∴由勾股定理得：AC ＝＝
CH ，
∴sin ∠CAH ＝
＝
＝
；
（2）∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AB ＝2CD ＝2，
∴∠B ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，
∴∠CAH +∠ACH ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠BCD +∠ACH ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH ， ∵sin B ＝
＝sin ∠CAH ＝
＝
，
∴AC ：AB ＝1：，
∴AC ＝2．
设CE ＝x （x ＞0），则AE ＝x ，
在Rt △ACE 中，由勾股定理得：x 2+22＝（x ）2，
解得：x ＝1， ∴CE ＝1，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：BC ＝＝＝4，
∴BE ＝BC ﹣CE ＝3．
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【考点7 作垂线解斜三角形】
【方法点拨】解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.
【例7】如图，在ABC ?中，30A ∠=?，3
tan 4
B =
，63AC =AB 的长．
【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据∠A ＝30°，tan B ＝，AC ＝6
可求出AD 与BD 的长度．
【答案】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ． ∵在Rt △CDA 中，∠A ＝30°， ∴CD ＝AC ?sin30°＝3，AD ＝AC ×cos30°＝9，
在Rt △CDB 中， ∵tan B ＝
∴
＝
∴BD ＝4
，
∴AB ＝AD +DB ＝9+4
．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 【变式7-1】如图，在ABC ?中，2AB =，4AC =，120A ∠=?，求BC 的长．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用勾股定理即可求得BC 的长，本题得以解决． 【答案】解：作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ， 则∠CDA ＝90°， ∵∠CAB ＝120°， ∴∠CAD ＝60°， ∴∠ACD ＝30°，
∵AC ＝4， ∴AD ＝2，CD ＝2
，
∵∠CDB ＝90°，AB ＝2， ∴DB ＝DA +AB ＝4， ∴BC ＝
＝2
．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式7-2】已知．在ABC ?中，2BC AC =
，135BCA ∠=?，求tan A 的值．
【分析】过B 点作BD ⊥AC 交AC 的延长线于D 点，根据等腰直角三角形的性质得到BD ＝CD ＝BC ，
根据正切的定义计算即可．
【答案】解：过B 点作BD ⊥AC 交AC 的延长线于D 点， 则∠BCD ＝45， ∴BD ＝CD ＝
BC ，
设AC ＝k ，则BD ＝CD ＝k ，AD ＝2k ， tan A ＝
＝
．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键． 【变式7-3】如图，在ABC ?中，45B ∠=?，132AC =10BC =，求sin A 和AB ．
【分析】作CD ⊥AB 于D ，如图，利用等腰直角三角形的性质得BD ＝CD ＝BC ＝5，再利用勾
股定理计算出AD ，然后利用正弦定义求sin A ，利用AD +BD 计算AB 的长． 【答案】解：作CD ⊥AB 于D ，如图， ∵∠B ＝45°， ∴BD ＝CD ＝
BC ＝5，
在Rt △ACD 中，AD ＝＝
＝12
，
∴sin A ＝
＝
＝， AB ＝BD +AD ＝5+12
＝17
．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活利用运用勾股定理和锐角三角函数．根据Rt △BCD 是解决此题的关键． 【考点8 解直角三角形的应用之坡度坡角问题】
【方法点拨】坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，用字母i 表示，则αtan i ==
l
h
，如图，坡度通常写成i=h ：l 的形式.
【例8】如图，扶梯AB 坡比为1:2，滑梯CD 坡比为3．若40AE m =，30BC m =，某人从扶梯
上去，经过顶部BC ，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到0.1)(2 1.41m ≈，3 1.73≈，
5 2.24)≈
【分析】首先在直角△ABE 中根据AE ＝40m 和坡比求得AB 和BE ，然后得出CF 的长，最后在直角△
CFD 中求得CD 的长即可，继而求出经过的路径＝AB +BC +CD 的长度即可．
【答案】解：∵扶梯AB 的坡比为1：2， 即BE ：AE ＝1：2，AE ＝40m ， ∴BE ＝20m ， ∴AB ＝
＝
＝20（m ），
∵CF ＝BE ＝20米，CF ：DF ＝1：，
∴FD ＝CF ＝20（m ）， ∴CD ＝
＝
＝40（m ），
∴经过的路径＝AB +BC +CD ＝20+30+40＝70+20
≈114.8（m ）．
答：共经过路径长114.8m ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡度的定义，利用坡度的知识求出三角形的边长．
【变式8-1】今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点，再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示，斜坡
AB 的长为20013米，斜坡BC 的
长为2002米，坡度是1:1，已知A 点海拔121米，C 点海拔721米 （1）求B 点的海拔； （2）求斜坡AB 的坡度； （3）为了方便上下山，若在
A 到C 之间架设一条钢缆，求钢缆AC 的长度．
初一数学必考的个知识 点重难点 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
一、数轴 (1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。 (2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数。） (3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。 二、相反数 (1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． (2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。 (3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。 (4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。 三、绝对值 1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。 ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． 2.如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）
八年级数学下册重难点、考点 9.3平行四边形 重点：平行四边形的概念；平行四边形的性质和判定 考点：综合运用平行四边形的性质和判定来解决有关线段、角、面积、周长等问题以及图形的全等、直线的位置关系等问题是中考必考的内容。题型以基础题和中档题为主，在综合题中经常涉及。 9.4矩形、菱形、正方形 重点：矩形、菱形、正方形的定义和性质，矩形、菱形、正方形的判定，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 难点：平行线间的距离 考点：以考查各种平行四边形的性质和判定及其应用为主。单独命题时，主要以选择、填空、解答的形式出现；综合考查时，主要以探究、开放、阅读理解的形式出现。 9.5三角形的中位线 重点：三角形的中位线；三角形中位线的性质 难点：中点四边形 考点：三角形的中位线和性质是中考命题的重点，多与其他平面图形结合在一起综合考查。 单独命题时以填空或选择的形式出现。 第十章分式 重点：理解分式的意义；会利用分式的基本性质进行约分和通分；会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程，能够用它解决实际问题。 难点：分式的约分和通分；分式的运算；解分式方程，增根的来源及运用；如何用分式方程解决具体问题。 10.1分式 重点：分式的概念；分式有意义、无意义或等于0的条件。 考点：分式有意义、无意义或等于0的条件为中考热点，题型以选择、填空为主，或以综合性的题目为载体综合考查。 10.2分式的基本性质 重点：分式的基本性质。 难点：分式的约分和通分；分式恒等变形。 考点：分式的基本性质是中考中重要的考点之一，它是以后运算的基础，题型多以选择、填空形式出现。 10.3分式的加减 重点：同分母分式的加减；异分母分式的加减。 考点：常与分式的化简、求值相结合，题型以选择、填空或分值不高的解答题为主。 10.4分式的乘除 重点：分式的乘除；分式的混合运算。 考点：分式的运算是中考的重要考点之一，重点考查分式的混合运算、分式的求值，有时和其他知识结合起来考查。题目有选择、填空和解答。 10.5分式方程 重点：分式方程的定义；分式方程的解法及增根 难点：分式方程的应用。 考点：解分式方程和列分式方程解应用题都是中考命题的重要考点，大部分以解答题的形式出现，也有一些以选择、填空的形式出现。 第十一章反比例函数
新初一数学的知识点及重点难点(上册) 第一章有理数： 1.正数和负数2.有理数3.有理数的加减4.有理数的乘除5.有理数的乘方 重点：数轴、相反数、绝对值、有理数计算、科学计数法、有效数字 难点：绝对值. 易错点：绝对值、有理数计算. 中考必考：科学计数法、相反数(选择题) 第二章整式的加减：1.整式 2.整式的加减 重点：单项式与多项式的概念及系数和次数的确定、同类项、整式加减 难点：单项式与多项式的系数和次数的确定、合并同类项 易错点：合并同类项、计算失误、整数次数的确定 中考必考：同类项、整数系数次数的确定、整式加减 第三章一元一次方程： 1.从算式到方程 2.解一元一次方程——合并同类项与移项 3.解一元一次方程——去括号去分母 4.实际问题与一元一次方程
重点：一元一次方程(定义、解法、应用) 难点：一元一次方程的解法(步骤) 易错点：去分母时，不含有分母项易漏乘、解应用题时，不知道如何找等量关系 第四章图形认识实步 1.多姿多彩的图形 2.直线、射线、线段 3.角 4.课题实习——设计制作长方形形状的包装纸盒 重点：直线、射线、线段、角的认识、中点和角平分线的相关计算、余角和补角，方位角等 难点：中点和角平分线的相关计算、余角和补角的应用 易错点：等量关系不会转化、审题不清 新初一生如何做好数学衔接做好小升初衔接对之后初中学习大有帮助，那么在没有进入初中之前，我们要对其有一个大概的把握，首先从数学学习入手。 初中数学是一个整体。初二的难点最多，初三的考点最多。相对而言，初一数学知识点虽然很多，但都比较简单。很多同学在学校里的学习中感受不到压力，慢慢积累了很多小问题，这些问题在进入初二，遇到困难(如学科的增加、难度的加深)后，就凸现出来。 —2—
初中数学重难点 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________
1. 函数（一次函数、反比例函数、二次函数）[点击可查看]中考占总分的15%左右。 函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。 特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。 而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2.整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。 中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。 3.应用题，中考中占总分的30%左右 包括方程（组）应用，一元一次不等式（组）应用，函数应用，解三角形应用，概率与统计应用几种题型。 一般会出现二至三道解答题（30分左右）及2—3道选择、填空题（10分—15分），占中考总分的30%左右。 现在中考对数学实际应用的考察会越来越多，数学与生活联系越来越紧密，因为
这样更能让学生感受学习数学在自己生活中的运用，以激发其学习兴趣。 应用题要求学生的理解辨别能力很强，能从问题中读出必要的数学信息，并从数学的角度寻求解决问题的策略和方法。方程思想、函数思想、数形结合思想也是中学阶段一种很重要的数学思想、是解决很多问题的工具。 4.三角形（全等、相似、角平分线、中垂线、高线、解直角三角形）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形），中考中占总分25%左右。 三角形是初中几何图形中内容最多的一块知识，也是学好平面几何的必要基础，贯穿初二到到初三的几何知识，其中的几何证明题及线段长度和角度的计算对很多学生是难点。 因为几何思维更灵活，定理、定义及辅助线的添加往往都是解决问题的关键，这就要求学生的思维更灵活，能多维度的思考问题，形成自己的解题思路和方法。也只有学好了三角形，后面的四边形乃至圆的证明就容易理解掌握了，反之，后面的一切几何证明更将无从下手，没有清晰的思路。其中解三角形在初三下册学习，是以直角三角形为基础的，在中考中会以船的触礁、楼高、影子问题出现一道大题。因此在初中数学学习中也是一个重点，而且在以后的高中数学学习中会将此知识点挖深，拓宽。成为高考的一个重点，因此，初中的同学们应将此知识点熟练掌握。 四边形在初二进行学习的，其中特殊四边形的性质及判定定理很多，容易混淆，深刻理解这些性质和判定、理清它们之间的联系是解决证明和计算的基础，四边形中题型多变，计算、证明都有一定难度。经常在中考选择题、填空题及解答题的压轴题（最后一题）中出现，对学生综合运用知识的能力要求较高。 5.圆，中考中占总分的10%左右
小学数学五年级下册主要教学内容和重难点。 主要教学内容：图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。五年级下册的重点难点： 1.图形的变换。重点掌握一般几何图形的对称轴，认识图形的旋转,探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90°。 2.因数与倍数。使学生掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。掌握2、5、3的倍数的特征。概念较多，需要理清概念之间的关系，不能死记硬背，在理解的基础上掌握概念，并学会灵活运用。数论本身就是研究整数性质的一门学科，有时不太容易与具体情境结合起来，如质数、合数等概念，很难从生活实际中引入。而学生到了五年级，抽象能力已经有了进一步发展，有意识地培养他们的抽象概括能力也是很有必要的， 3.长方体和正方体。掌握体会长方体和正方体的特征、掌握长方体、正方体的体积及表面积公式，探索某些实物体积的测量方法，促进学生空间观念的进一步发展。这一部分难度最大，因为是刚刚开始形成理性的空间观念。建议：（1）所学知识与现实生活的密切联系。结合平时生活的实体观念物体。如长方体的顶点，棱，面，表面积，体积，容积。如火柴盒。（2）加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程。如做纸盒。 4.分数的意义和性质。这是学生从直观数学到抽象数学的转变，感性认识上升到理性认识。概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生，从分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分以及分数与小数互化的技能。为了培养学生的数感，我会要求熟记常用的分数与小数互化。如24X0.875。这些知识在后面系统学习分数四则运算及其应用时都要用到。因此，学好本单元的内容是顺利掌握分数四则运算并学会应用分数知识解决一系列实际问题的必要基础。 5.分数的加法和减法。相对简单一些。本单元是数学运算的重要基础知识之一，能否熟练掌握分数加减法的计算方法是评价学生是否拥有良好的计算能力，拥有良好的数感的一项重要尺度。 6.统计。理解众数的含义，学会求一组数据的众数，理解众数在统计学上的意义。根据数据的具体情况，选择适当的统计量表示数据的不同特征。 7.数学广角。引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动向学生渗透优化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。 五年级下学期这一册教材包括有7个单元的内容：图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。 因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计等是本册教材的重点教学内容。 在数与代数方面，这一册教材安排了因数与倍数、分数的意义和性质，分数的加法和减法。因数与倍数，在前面学习整数及其四则运算的基础上教学初等数论的一些基础知识，包括因数和倍数的意义，2、5、3的倍数的特征，质数和合数。教材在三年级上册分数的初步认识的基础上教学分数的意义和性质以及分数的加法、减法，结合约分教学最大公因数，结合通分教学最小公倍数。 在空间与图形方面，这一册教材安排了图形的变换、长方体和正方体两个单元。在已有知识和经验的基础上，通过丰富的现实的数学活动，让学生获得探究学习的经历，认识图形的轴对称和旋转变换；探索并体会长方体和正方体的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握长方体、正方体的体积及表面积公式，探索某些实物体积的测量方法，促进学生空间观念的进一步发展。 在统计方面，本册教材让学生学习有关众数和复式折线统计图的知识。在学习平均数和
初一数学重点难点总结初一重点题型全在这里 初一数学基础知识整理 有理数加减法 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 2.互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 4.减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘方 乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 底数是a，指数是n，幂是乘方的结果;读作：的n次方或的n次幂。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 2初一数学重点知识点 方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式就叫做方程。 2.一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。例如：1700+50x=1800，2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程。 3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。 去括号法则 1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同. 2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变. 3初一数学学习技巧 ①着重预习，学会自学 预习是自学的开始，进入初中以后，你会逐步尝到自觉寻求知识来解决问题的甜头，自觉预习初一数学，为学习新知识打下基础。 ②专心听讲，乐于思考
初一下册数学难题 1、下列五个命题中，结论正确的有（ ） ①连接任意三点组成的图形是三角形. ②外角和大于内角和的多边形只有三角形. ③多边形的边数增加一条时，内角和增加180°. ④三角形的三个内角中最多有一个钝角，三个外角中最少有一个钝角. ⑤三角形三条高所在直线交于三角形内一点或外一点. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、已知点P （0, a ）在y 轴的负半轴上，则点Q （)1a a 2 +-， 在（ ） A .第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 3、不等式 m x m +< -2的解集为2x >，则m 的值为（ ） A ．4 B ．2 C.0 D. 2 3 4、用一批完全相同的多边形地砖铺地面，不能进行镶嵌的是( ) A ．正三角形 B ．正方形 C ．正八边形 D ．正六边形 5、若等腰三角形的周长为15，则腰长x 的取值范围是（ ） 6、解方程：( ) οο ο 1803 1 902180?= ---αα，则α= 7、已知523x k +=的解为正数，则k 的取值范围是 8、（1）若21 2(1)11x a x x -??? +?-?的解为x ＞3，则a 的取值范围 （2）若21 23x a x b -??? -?? 的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）= （3）若20 4160 x m x -≤?? +??有解，则m 的取值范围 （4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a= 9、已知2 4(3)0x y x y +-+-=，则x= ，y= ； 10、已知3530 3580 x y z x y z ++=??--=?（0z ≠），则:x z = ，:y z = ； 11、当m= 时，方程26 2310 x y x y m +=?? -=-?中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。 12、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。 13、若方程x x m x m 5)3(1)1(3--=++的解是负数，则m 的取值范围是 。
代数 方程（组） ★重难点★一元二次方程及其解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）—、基本概念 1 ?方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 二、一元二次方程 1 ?定义及一般形式： 2 ?解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤一推倒求根公式） ⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0) 3.根的判别式：厶=b2 -4ac 4.根与系数的关系（韦达定理）：X-i + b x2= ，X-i c a a 逆定理：若，则以人，X2为根的一元 — -次方程是：a(X- X- ) ( X- X2 ) =0 5 ?常用等式： 三、可化为一元二次方程的方程 1 .分式方程 ⑴定义 ⑵基本思想：去分母 ⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，） ⑷验根及方法 2. 无理方程 ⑴定义 ⑵基本思想：分母有理化 ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）购换元法（例，） ⑷验根及方法 3. 简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。四、列方程解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设兀（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答案。 综上所述，列方程解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在
小学数学课如何突破重难点 xxxxxx中心校xx 我们在教学中经常有这样一种感受：课堂上总想让学生把所教的知识学得完全，于是教师在上课时可谓面面俱到。但是效果往往是差强人意，尤其在教学效果反馈时，发现学生对重点部分掌握得不够牢固，在难点之处错误率很多。结果教师教得吃力，学生学得吃力。如何在数学教学中突破重点和难点呢？这就需要我们每一位数学教师在教学实践中不断地学习、总结、摸索。 一、作为一个数学教师，要把我们的主要精力，放在发展学生智力上，着眼于培养和调动学生的积极性和主动性，培养学生肯于提出问题，善于思考问题。唯一的办法就是深钻教材，抓住各章节的重点和难点，备课时既能根据知识的特点，又能根据学生认识事物的规律，精心设计，精心安排，取得事半功倍的效果。因此，有课前的充实准备，就为教学时突破重点和难点提供了有利条件。 二、以旧知识为生长点，突破重点和难点。小学数学是系统性很强的学科，知识的链条节节相连、环环相扣、旧中温新，又不断化新为旧，形成知识网络，学生只有认识知识之间的联系，才能深刻理解，融会贯通。数学教学就是要借助于数学知识的逻辑结构，引导学生由旧入新，组织积极的迁移，促成由已知到未知的推理，认识简单与复杂问题的连结，用数学学科本身的逻辑关系，训练学生的思维。 三、强化感知，突破重点、难点。数学中有些知识比较抽象，学生难以理解、难以接受，要突破这些难点，教学中必须遵循学生的认知规律，用形象、鲜明的直观教学手段，强化感知，突破难点。可以让学生自己动手，直观教学，对所学内容，记忆深刻，并通过教具、学具的应用，实际事例引导学生观察思考，使学生能够正确理解所学知识的含义，在理解的基础上从感知经表象到认识，从而突破教学难点。 四、以形式多样的课堂练习突出重点，突破难点。精心设计课堂练习是提高教学质量的重要保证，因为学生是通过练习来进一步理解和巩固知识的，也必须通过练习，才能把知识转化成技能技巧，从而提高综合运用知识的能力。
如何在初中数学教学中突破重点和难点 初中的数学知识虽然不会太过深奥，但是知识点琐碎，能够将琐碎的知识点灵活地应用到题目的解答中是初中数学教师们共同努力的目标。下面结合自己的教学经验以及数学的中考试题简要谈一下初中数学教学中知识点的把握技巧。 一、把握细节，细化知识要点知识，本是琐碎之点，对于各类问题知识点的细致深化有利于培养学生敏锐、严谨的思维，无论是生活上，还是考试中都能应对较为细微的问题，老师在教学过程中要有意地将知识点细致的讲解与练习，仔细剖析其中容易忽略的问题，提醒学生们平常不仔细的做题习惯，以便于应对考试中的题目“陷阱”。数学知识中的细节要点主要表现为图形的特点，比如三角形的性质，角平分线定理的应用条件，中心对称，轴对称知识；公式的应用条件，比如二元一次方程两个根的判断；切线定理的具体应用，都是学生需要把握的细节，也是知识的要点。例如在中心对称的知识点中，学生们知道中心对称的定义是：将图形绕着某一点旋转180度，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称。但是在做题之中更应重视旋转180度是什么概念，许多学生在做题中没有将这一知识点细化，造成答题时概念混淆，下面我们结合一道中考题进行讲解：例：下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）。本题中，出题者有意选取富有新意的图形来考察学生日常学习到的知识点，尤其是比较容易混淆的图形来考察学生们对旋转180度的认识，通过细节的变换来提醒学生们真正地掌握知识的每一个方面，这样才能应对每一个细节方面的问题。根据题目，B、C两个选项都是轴对称图形，所以排除两个选项。根据中心对称的定义A和D中，只有A绕180度后才能够与
人教版数学七年级下册 重难点 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
七年级下册重难点 相交线与平行线（共6课时） 课题：相交线垂线 1 [教学目标] 1.通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力 2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 [教学重点与难点] 重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用、垂线的定义及性质 难点:理解对顶角相等的性质的探索、垂线的画法。 课题： 5．2平行线直线平行的条件 2 [教学目标] 1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；会用直线平行的条件来判定直线平行 4．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角； [教学重点与难点] 重点：平行线的概念与平行公理；判定两条直线平行方法的应用； 难点：对平行公理的理解．简单的逻辑推理过程. 课题：平行线的性质 2 [教学目标] 1．使学生理解平行线的性质和判定的区别． 2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． [重点难点] 重点：平行线的三个性质；平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念 难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定．平行线性质和判定灵活运用 课题：平移 1 [教学目标] 1.了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题 2.培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题. [教学重点与难点] 重点:平移的概念和作图方法. 难点:平移的作图
初中数学目录七年级上册 第一章有理数 1．1正数和负数 阅读与思考用正负数表示加工允许误差 1．3有理数的加减法 实验与探究填幻方 阅读与思考中国人最先使用负数 1．4有理数的乘除法 观察与思考翻牌游戏中的数学道理 1．5有理数的乘方 第二章整式的加减 2．1整式 阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话 2．2整式的加减 信息技术应用电子表格与数据计算 第三章一元一次方程 3．1从算式到方程 阅读与思考“方程”史话 3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数 3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母 3．4实际问题与一元一次方程 第四章图形认识初步 4．1多姿多彩的图形 阅读与思考几何学的起源 4．2直线、射线、线段 阅读与思考长度的测量 4．3角 4．4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒 七年级下册 第五章相交线与平行线 5.1相交线 观察与猜想看图时的错觉
5.2平行线及其判定 5.3平行线的性质 信息应用技术探索两条直线的位置关系5.4平移 第六章平面直角坐标系 6.1平面直角坐标系 6.2坐标方法的简单应用 阅读与思考用经纬度比表示地理位置 6.2坐标方法的简单应用 第七章三角形 7.1与三角形有关的线段 信息技术应用画图找规律 7.2与三角形有关的角 阅读与思考为什么要证明 7.3多变形及其内角和 阅读与思考多边形的三角剖分 7.4课题学习镶嵌 第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 8.2消元——二元一次方程组的解法 8.3实际问题与二元一次方程组 阅读与思考一次方程组的古今表示及解法*8.4三元一次方程组解法举例 第九章不等式与不等式组 9.1不等式 阅读与思考用求差法比较大小 9.2实际问题与一元一次不等式 实验与探究水位升高还是降低 9.3一元一次不等式组 阅读与思考利用不等关系分析比赛 第十章数据的收集、整理与描述 10.1统计调查 实验与探究瓶子中有多少粒豆子 10.2直方图 信息技术应用利用计算机画统计图 10.3课题学习从数据谈节水 八年级上册 第十一章一次函数 11．1变量与函数 信息技术应用用计算机画函数图象11．2一次函数 阅读与思考科学家如何测算地球的年龄11．3用函数观点看方程（组）与不等式第十二章数据的描述 12．1几种常见的统计图表
如何把握小学数学教学中重难点一堂课上的好不好，关键看教师是否正确地讲解了教材的基本内容，是否突破了教材的重点及解决了教材的难点，使学生真正地理解和掌握了教材的基本知识。教师在教学中能否抓住重点、突破难点，是做好教学工作的基本条件，也是教师能力的表现。 一、什么是教学重点和教学难点 所谓教学重点，“在教材内容的逻辑结构的特定层次中占相对重要的前提判断”，也就是“在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容”。如果某知识点是某单元内容的核心、是后继学习的基础或有广泛应用等，即可确定它是教学重点。也就是学生必须掌握的基本知识和基本技能，如意义、法则、性质、计算方法还包括数量关系、解决问题的策略等。例如，一年级100以内数的大小比较这节课的教学重点是比较两个数大小的方法；二年级平移和旋转的教学重点是初步感知平移和旋转现象；三年级中的平均数教学重点是理解平均数的含义；24时计时法的教学重点是知道24时计时法的含义，会用24时计时法表示时刻；四年级连减的简便计算教学重点是掌握连减的简便算法；五年级长方体的体积教学重点是运用长方体的体积公式解决实际问题；六年级用比例知识解决问题教学重点是会用比例知识解决问题。 教学难点，一般指对于大多数学生来说是理解和掌握起来感觉比较困难的关键性的知识点或容易出现混淆、错误的问题。例如，一年级实践活动的摆一摆，想一想的难点是通过观察找出用圆片摆出不同数的规律；二年级平移和旋转的教学难点是会在方格纸上画一个简单图形沿水平和竖直方向平移后的图形；三年级中的年月日的教学难点是记住每个月及平年闰年的天数，初步学会判断某一年是平年还是闰年。四年级李志兰和刘永霞老师讲的两节课的难点是灵活选择计算方法解决实际问题；五年级长方体的体积教学难点是理解长方体的体积公式推导过程；六年级图形的放大与缩小教学难点是按一定的比例将图形放大和缩小。难点有时和重点是一致的。六年级上册的一个数乘以分数的意义的理解，既是教学中的一个难点，同时也是教学中的一个重点。 教学重点和教学难点也具有各自的特点。
初一数学重难点梳理与学习套路 初一数学重难点梳理 一、代数初步知识 1.代数式:用运算符号“+-×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式 2.列代数式的几个注意事项: 1数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“.”乘，或省略不写; 2数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“.”乘，也不能省略乘号; 3数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a; 4带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a; 5在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式; 6a与b的差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a. 3.几个重要的代数式:m、n表示整数 1a与b的平方差是:a2-b2;a与b差的平方是:a-b2; 2若a、b、c是正整数，则两位整数是:10a+b,则三位整数是:100a+10b+c; 3若m、n是整数，则被5除商m余n的数是:5m+n;偶数是:2n，奇数是:2n+1;三个连续整数是:n-1、n、n+1; 4若b>0，则正数是:a2+b，负数是:-a2-b，非负数是:a2，非正数是:-a2. 二、有理数 1.有理数: 1凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;不是有理数; 2有理数的分类:①②
3注意:有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性; 4自然数,0和正整数;a>0,a是正数;a<0,a是负数; a≥0,a是正数或0,a是非负数;a≤0,a是负数或0?a是非正数. 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: 1只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; 2注意:a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b; 3相反数的和为0,a+b=0,a、b互为相反数. 4.绝对值: 1正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; 2绝对值可表示为:或;绝对值的问题经常分类讨论; 3|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意:|a|x|b|=|axb|,. 5.有理数比大小:1正数的绝对值越大，这个数越大;2正数永远比0大，负数永远比0小;3正数大于一切负数;4两个负数比大小，绝对值大的反而小;5数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;6大数-小数>0，小数-大数<0. 6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若a≠0，那么的倒数是;倒数是本身的数是±1;若ab=1,a、b互为倒数;若ab=-1,a、b互为负倒数. 7.有理数加法法则: 1同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加; 2异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 3一个数与0相加，仍得这个数. 8.有理数加法的运算律: 1加法的交换律:a+b=b+a;2加法的结合律:a+b+c=a+b+c. 9.有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+-b.
七年级下册重难点 相交线与平行线（共6课时） 课题：5.1相交线垂线1 [教学目标] 1.通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力 2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 [教学重点与难点] 重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用、垂线的定义及性质 难点:理解对顶角相等的性质的探索、垂线的画法。 课题：5．2平行线直线平行的条件2 [教学目标] 1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；会用直线平行的条件来判定直线平行 4．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角； [教学重点与难点] 重点：平行线的概念与平行公理；判定两条直线平行方法的应用； 难点：对平行公理的理解．简单的逻辑推理过程. 课题：5.3平行线的性质 2 [教学目标] 1．使学生理解平行线的性质和判定的区别． 2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． [重点难点] 重点：平行线的三个性质；平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念 难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定．平行线性质和判定灵活运用 课题：5.4平移 1 [教学目标] 1.了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题 2.培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题. [教学重点与难点] 重点:平移的概念和作图方法. 难点:平移的作图
平面直角坐标系（共4课时） 课题：6.1有序数对平面直角坐标系2 [教学目标] 1.理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法 2.认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位 [教学重点与难点] 重点:有序数对及平面内确定点的方法；平面直角坐标系和点的坐标. 难点:利用有序数对表示平面内的点. 正确画坐标和找对应点 课题：6．2用坐标表示地理位置用坐标表示平移2 [教学目标] 1．了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实际问题的能力． 2．通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念、象思维能力，和数形结合的意识 3．通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置． 4．通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度． [教学重点与难点] 重点：利用坐标表示地理位置． 难点：建立适当的直角坐标系，利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题 三角形（共6课时） 课题：7.1 与三角形的关的线段、外角 2 【教学目标】 1、通过观察、操作、想像、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和表达能力； 3、学会三角形的表示及掌握对边与对角的关系； 【重点难点】 重点：了解三角形定义、三边关系。理解三角形内角和定理的推导; 难点：理解“首尾相连”等关键语句。 课题：7.2多边形的内角和 2 教学目标 1.了解多边形的内角和与外角和公式,进一步了解转化的数学思想 2.过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3.索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。[教学重点与难点] 重点：了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念；索多边形的内角和及外角和公式 难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和。 课题：7.3镶嵌 2 教学目标： 1.多边形的内角和公式说明注意三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面. 2.察常见的地板砖密铺，综合运用所学的知识技能解决平面镶嵌的条件. [教学重点与难点] 重点：是经历平面镶嵌条件的探究过程。 难点：是用两种正多边形进行的平面镶嵌.
九年级下册重难点梳理 学习重点： 1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系。理解正切、倾斜程度、坡度、锐角三角函数正弦、余弦的数学意义，密切数学与生活的联系。能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。 2．能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算。能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算，会比较锐角三角函数值的大小。 3．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用。发展学生数学应用意识和解决问题的能力。 学习难点： 1．理解正切的意义，并用它来表示两边的比。 2．用函数的观点理解正弦、余弦和正切。 3．根据相关术语，常用的方向角度准确的画出图像。 学习重点： 1．能够表示简单变量之间的二次函数。利用描点法作出y=x2的图像过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质。 2．二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图像和性质，推导和研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图像和性质。学习时结合图像分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题。 4．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值。 5．把握二次函数图像与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系。理解二次函数y=ax2＋bx＋c图像与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可。
人教版小学数学全册教学内容、重点及教学目标 人教版小学一册教学内容、重点及教学目标 内容：数一数，比一比，10以内数的认识和加减法，认识图形，分类，11-20各数的认识，认识钟表，20以内的进位加，用数学，数学实践活动。 重点：10以内的加减法和20以内的进位加法。 教学目标：1、熟练地数出数量在20以内的物体个数，会区分几个和第几个，掌握数的顺序和大小，掌握10以内各数的组成，会读、写0-20各数。 2、初步知道加减法的含义和加减法算式中各部分名称，初步知道加法和减法的关系，比较熟练的计算一位数的加法和10以内的减法。 3、初步学会根据加减法的含义和算法解决一些简单的实际问题。 4、认识符号“=”“＜”“＞”，会使用这些符号表示数的大小。 5、直观认识长方体、正方体、圆柱，长方形、正方形、三角形和圆。 6、初步了解分类的方法院，会进行简单的分类。 7、初步认识钟表，会认识整时和半时。 8、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 9、认真作业、书写整洁的良好习惯。 人教版小学二册教学内容、重点及教学目标 教学内容：位置，250以内的退位减法，图形的拼组，100以内各数的认识，认识人民币，100以内的加法和减法（一），认识时间，找规律，统计，数学实践活动。 教学重点：100以内数的认识，20以内的退位加减法中算。 教学目标：1、认识计数单位“一”和“十”，初步理解个位、十位上的数表示的意义，能够熟练地数100以内的数，会读写100以内的数，掌握100以内的数是由几个十和几个一的组成的，掌握100以内的数的顺序，会比较100以内数的大小，会用100以内的数表示日常生活中的事物，并会进行简单的估计和交流。
文/吴石金 【摘要】数学在学习中是一门很重要的学科，在教学过程中数学最重要的是练习设计，它可以起到监控、巩固、反馈的作用。同时探究数学，可以有效的培养学生的探究能力、创新思维以及解决问题的能力。随着新教育的改革最重要的目标就是让学生可以积极探索并且实施有效的练习创新思维。本文结合自身对数学的学习与探究，谈谈初中数学教学重难点的突破。【关键词】初中数学；探究数学；教学过程；创新思维 随着新课程的改革，所谓的数学教学主要侧重于教师把教学的内容作为载体，用最恰当最易理解的方法，让学生对数学产出兴趣，呈现出学生在学习数学上的发现以及探究过程。让学生亲自体验发现问题、产生问题、解决问题的过程，从而让学生对数学知识产生更深的印象，培养学生主动学习探究的一种教学方法。但是在数学探究的学习中也呈现出很多问题，诸如，教师对教学的理解不够透彻，把握不到位，不能把最佳的教学内容传授给同学。因此，我结合自己在初中的探究学生经验，谈谈初中数学中应该突破教学重难点。 一、教师要有正确的教学观念 1.教师不断挖掘学生的探究潜力 正像伯乐发现千里马那样，学生的潜力需要教师去挖掘和引导，每个人都隐藏着自身的创造力，只是缺少培养，缺乏挖掘。在课堂上发现每个学生都会迸发出一种创造力，这就可以说明科学的教学方法可以改变并且发掘学生的能力。因此，我们一定要相信每个学生都有自身的主动性，并且会不断地去探究问题，一定要在课堂教学中挖掘学生的探究潜力。 2.为学生创造良好的探究环境 在探究教学中学生是主体，教师则是学生学习的组织者和引导者。因此需要师生之间有更深的交流、沟通、互动。教师也以学习者的身份参与到探究问题的活动中，要善于尊重每一位学生，与学生之间相互讨论、自由交流。学生能够拥有积极探究问题的态度与热情，才是预期的教学目标。教师在课堂教学中应该多使用积极鼓励学生的语言。比如：老师让学生回答问题时，学生答不上来。这个时候老师不应该说：“连这么简单的问题都答不上来，你还能学习”。而应该用激励的语言说：“不要着急，坐下来慢慢想想。”这样可以使学生的自尊心不受伤害，而且还可以鼓励学生去积极主动的参与探究。 二、落实学生的有效练习 1.有效练习的基本策略 1）自主性策略 在学习中必须要培养学生的自主性学习，练习的根本就是促进学生的发展。使学生对学习数学的能力能够得到真正的培养和发展，树立学生独立自主的学习意识，让学生拥有自由的思考空间、不断培养自我监控能力。 2）趣味性策略 在教学中增强练习的趣味性，使教学内容变得新颖、有乐趣，通过一个人或某一活动使学生对学习的内容产生浓厚的兴趣，进而使学生在练习中能够集中精力，热情饱满的去探究问题。这样可以提高学生的学习质量。 3）差异性策略 每一个学生的学习要求都会有所差异，因此教室要考虑不同层次学生的学习要求去设计练习。尽可能的设计不同层次、不同功能的练习，让学生可以自主选择并且可以去延伸题目。这样可以使每个学生都能够体会到获得成功的喜悦，进而增强学生的学习性。 4）应用性策略 要把教学与生活联系起来，在练习设计时选择实际的，与生活接近的，具有挑战性的生活素材。这样可以使一些枯燥的数学题变得具有生活的气息，充满生命力；同时还可以激发学生自主运用数学知识去探究实际问题，让学生在实际问题中巩固理论知识，体会数学的应用价
代数 方程（组） ★重难点★一元二次方程及其解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） —、 基本概念 1 ?方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 二、 一元二次方程 1 ?定义及一般形式： 2 ?解法：⑴直接开平方法（注意特征） ⑵配方法（注意步骤一推倒求根公式） ⑶公式法： ⑷因式分解法（特征：左边=0） 3.根的判别式：=b 2 - 4ac 逆定理：若，则以x 1 , X 2为根的一兀二次方程是：a （X- x 1 ） （X- x 2 ） =0 5. 常用等式： 三、 可化为一元二次方程的方程 1 .分式方程 ⑴定义 ⑵基本思想：去分母 ⑶基本解法：①去分母法②换元法（如， ） ⑷验根及方法 2. 无理方程 ⑴定义 ⑵基本思想：分母有理化 ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例， ） ⑷验根及方法 3. 简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法 解。 四、 列方程解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及 的相等关系是什么。 ⑵设兀（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说， 未知数越多，方程越易列，但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列 方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答案。 综上所述，列方程解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程）， 4 ?根与系数的关系（韦达定理）： b C X 1 + X 2 '一 ? X 1 X 2 = - a a