2012版数学一轮精品复习学案：选修系列
第一部分：坐标系与参数方程
【高考目标定位】
一、坐标系
1．考纲点击
（1）理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。能进行极坐标和直角坐标的互化；
（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。
2．热点提示
（1）根据具体问题选择适当坐标系，简捷解决问题；
（2）极坐标系的应用；
（3）直角坐标与极坐标的互化。
二、参数方程
1．考纲点击
（1）了解参数方程，了解参数的意义；
（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
2．热点提示
（1）参数方程和普通方程互化；
（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问题；
（3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题。
【考纲知识梳理】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
(0)
:
(0)
x x
y y
λλ
?
μμ
'=>
?
?
'=>
?
的作用下,点
P(x,y)对应到点
(,)
P x y
'''
,称
?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
ρ;以极轴Ox为始边,
射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.
一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.
特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示
:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标(,)x y
极坐标(,)ρθ
互化公式
cos sin x y ρθρθ=??
=?
222
tan (0)x y y
x x ρθ=+=
≠
在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为
r 的圆
(02)r ρθπ=≤<
圆心为(,0)r ,半径为r 的圆
2cos ()2
2r π
π
ρθθ=-
≤<
圆心为
(,)
2r π
,半径为r 的圆
2sin (0)r ρθθπ≤<
过极点,倾斜角为α
的直线
(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和
过点(,0)a ,与极轴垂直的直线
cos ()2
2a π
π
ρθθ=-
<<
过点
(,)
2a π
,与极轴平行的直线
sin (0)a ρθθπ=<<
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯
一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐
标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点
(,)
44M ππ
可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ
的极坐标满足方程ρθ=.
二、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数
()()x f t y g t =??
=?①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,
那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一
个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =??
=?就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程
的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键
在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数
如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置
M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速
圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θ
θθ=??
=?为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是
OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ=+??
=+?为参数。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
2
21(0),x y a b a b +=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ?
??=??
=?为参数，其中参数?称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22
221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ???=??=?为参数其中参数?仍为离心角，通
常规定参数?的范围为?∈[0，2π）。
注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋
转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围
内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02π
α≤≤
时，相应地也有
02π
?≤≤
，
在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22
2
21(0,0),x y a b a b -=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ???=??=?为参数，其中3[0,2),.22ππ?π??∈≠≠且
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
221(0,0),y x a b a b -=>>其参数方程为cot ((0,2).csc x b e y a ?
??π?π?=?∈≠?
=?为参数，其中且
以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线
2
2(0)y px p =>的参数方程为2
2().2x pt t y pt ?=?
=?为参数
7．直线的参数方程
经过点
000(,)
M x y ，倾斜角为
()
2π
αα≠的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过
000(,)
M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?()t 为参数。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点
000(,)
M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程
为00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为
终点的有向线段0M M 的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M
下方时，t ＜
0；当点M 与
M 重合时，t =0。我们也可以把参数t 理解为以
M 为原点，直线l 向上的
方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
【热点难点精析】 一、坐标系
（一）平面直角坐标系中的伸缩变换
〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换
''3:.2x x y y ??=??=?? （1）求点1
(,2)
3A -经过?变换所得的点A '的坐标； （2）点B 经过?变换得到点
1
(3,)
2B '=-，求点B 的坐标； （3）求直线:6l y x =经过?变换后所得到直线的l '方程；
（4）求双曲线2
2
:1
64y C x -=经过?变换后所得到曲线C '的焦点坐标。
思路解析：解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来
的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解。 解答：
331(1)(,),,(,)(,2),1
232
11
31,(2)1,(1,1).
32x x
x x A x y A x y y y y y x y A ?'=?'=??
'''-??''==???'''=?==?-=-∴-设由伸缩变换：得到由于为于是为所求 13(2)(,),322111
(,)(3)1,21,
232
(1,1).x x x x B x y y y y y B x y x y B ??
''
==???
?'=??'
=?'''=?-=-=?=∴-设由伸缩变换：得到，由于为(-3,),于是为所求
22
2222
22
'1(3)(,),6321
2=6(),,.
3
1(4)(,)1364241,-=1964916-=1916x x l P x y y x y y y x y x y x x x y P x y x y y x y x y x y C ?
'
=?''''=??'
=?''''?==?
'=?''''-
=??'=?''''-=设直线上任意一点由上述可知，将代入得
所以即为所求设曲线C 任意一点，由上述可知，将代入得化简得，即为曲线的方程，可见仍是双曲线，且焦点12(5,0),(5,0).-F F 为所求
（二）极坐标与直角坐标的互化
〖例2〗在极坐标系中，如果
5(2,),(2,)
44A B ππ
为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<。
思路解析：解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组
求解。
解答：利用坐标转化。
2222(2,)2,,cos 2cos sin 2sin 4444
5555(2,
)2,,cos 2cos 2sin 4444
((,),||||||.((((A x y A B x y B C x y ABC BC AC AB x y x y ππππ
ρθρθρθππππρθρθ==∴======∴==∴=====∴==∴++=+ 对于点有对于有设点的直角坐标为由于
为等边三角形，故有2222
22
222
2
2.
((16,
((16120120=16=tan 1,x y x y x y x y y x x x x x y y C ρθθ=+?+++=??-+=???+---=??+++-=??-=-∴??==????==???
?∴∴===
=-∴=即①②
②①得③
代入①化简得，解得点的直角坐标为或(
73.
447344C ππ
θππ
=∴或点的极坐标为()或().
（三）求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P ，Q 分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上，∠AOB=3π
，⊿POQ 的面积为8，求
PQ 中点M 的极坐标方程。 思路解析：（1）建立以O 为极点，OP 所在直线为极轴的极坐标系；（2）设点M 的极坐标，依⊿POQ 的面积建立关系式。
解答：建立如图所示极坐标系，设动点M 坐标为
(,)(0)
3π
ρθθ<<
，P ，Q 两点坐标分别为
12(,0),(,).
3π
ρρ
则有：
1212212122
1sin 8231
sin 421sin()423
1sin sin()=16
43(0),.
3
sin sin()
3
πρρρρθπ
ρρθπ
ρρρθθρρπ
ρθπ
θθ==-=?-<<
-①②③②③得④
即为所求极坐标方程
（四）极坐标的应用
〖例〗如图，点A 在直线x=4上移动，⊿OPA 为等腰直角三角形，⊿OPA 的顶角为∠OPA （O ，P ，A 依次按顺时针方向排列），求点P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。
思路解析：建立极坐标系设出点的坐标，根据题意用代入法求解。
解答：取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=4的极坐标方程为
00cos 4,,ρθρθρθ=设A(,),P(),∵点A 在直线cos 4ρθ=上，
∴
00cos 4ρθ= ①
∵⊿OPA 为等腰直角三角形，且∠OPA=2π
，而|OP|=ρ，|OA|=0ρ，以及4POA π∠=， ∴
0ρ
ρ，且
04π
θθ=-
②
把②代入①得点P的轨迹的极坐标方程为
ρcos()4
π
θ-
=4得
(cos sin)4
ρθθ
+=
∴点P的轨迹的普通方程为x+y=4,是过点（4，0）且倾斜角为
3
4
π
的直线。
二、参数方程
（一）把参数方程化为普通方程
〖例〗已知曲线C ：（t为参数），C ：（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P 对应的参数为，Q为C 上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。
解答：（Ⅰ）
为圆心是，半径是1的圆。
为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
（Ⅱ）当时，，故
为直线，
M 到的距离
从而当时，取得最小值
（二）椭圆参数方程的应用
在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值
解答：因椭圆的参数方程为
故可设动点的坐标为，其中.
因此
所以，当时，取最大值2
（三）直线参数方程的应用
〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，
求的值及相应的的值。
解析：设直线为，代入曲线并整理得
则
所以当时，即，的最小值为，此时。
（四）圆的参数方程的应用
〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数)，且曲线C与直线=0相交于两点A、B
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长
解答：（1）由
所以，曲线C的普通方程为(x－2)2+y2=2 (4)
(2）因为，所以AB的垂直平分线斜率为………………5分
又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y=…………………8分
（3）圆心到直线AB 的距离，圆的半径为
所以
……………………………………12分
【感悟高考真题】
1．（2010湖南文数）4. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ?=--?
=+?
（t 为参数）所表示的图形分别是（D ）
A. 直线、直线
B. 直线、圆
C. 圆、圆
D. 圆、直线
D
2．（2010北京理数）（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是
（A ）两个圆 （B ）两条直线
（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 答案：C 3．（2010广东理数）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______．
解析：
3)
4π
．由极坐标方程与普通方程的互化式cos ,sin x y ρθρθ=??=?知，这两条曲线的普通方程分别为22
2,1x y y x +==-．解得1,1.x y =-??=?由cos ,
sin x y ρθρθ=??=?得点（-1，1
）的极坐标为
3)4π
．
4．（2010辽宁理数）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ：
O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧
的长度均为3π
。
（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。 解：
（Ⅰ）由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3π
， 故点M 的极坐标为（3π，3π
）. ……5分
（Ⅱ）M
点的直角坐标为（6
π
），A （0,1），故直线AM 的参数方程为
1(1)66x t y t π?
=+-???
?=??（t 为参数） ……10分
【考点精题精练】 选择题
1．在极坐标中，由三条曲线围成的图形的面积是（A ）
A 、
B 、
C 、
D 、
2．设是曲线C ：为参数，）上任意一点，则的取
值范围是 （ C ） A.
B.
C. D.
3．参数方程（为参数）化为普通方程是（B ） A 、 B 、 C 、
D 、
4．在极坐标系中与圆
相切的一条直线的方程为（ A ）
A．B．C．D．
解析：的普通方程为，的普通方程为圆与直线显然相切
5．直线被圆截得的弦长为（ B ）A．B．C．D．
解析：，把直线代入
得
，弦长为
6．曲线与坐标轴的交点是（ B ）
A．B．C．D．
解析：当时，，而，即，得与轴的交点为；
当时，，而，即，得与轴的交点为
7．把方程化为以参数的参数方程是（ D ）
A．B．C．D．
解析：，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制
8．与参数方程为等价的普通方程为（ D ）
A．B．
C．D．
解析：
9．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ C ）
A．B．C．D．
解析：距离为
10．下列在曲线上的点是（ B ）
A．B．C．D．
解析：转化为普通方程：，当时，
11．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ D ）
A．B．C．D．
解析：
12．曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ D ）。
A、B、C、1 D、
解析：D 。
由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即
则
∴
二、填空题
13．（2010届·广东高三六校联考（文））15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的极坐标方程分别为，，则曲线与交点
的极坐标为 ．
14．（广东汕头金平区·2010届高三上联考（文））(14)极坐标系中，圆
)
6sin(2π
θρ+=的
圆心坐标是 (1，3π)；
15．若直线，与直线垂直，则常数= -3 ．
解析：
，
，，与直线
垂直，
16．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数
方程为
（参数），则圆的圆心坐标为 （0，2） ，圆心到直线
的距离为 三、解答题
17．（福建莆田九中·2010届高三月考（理））选修4－4：【坐标系与参数方程】
已知直线L 经过点()P 1,1,倾斜角6πα=， （1）写出直线L 的参数方程
（2）设L 与圆22
x y 4+=相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积。
解：（1）直线的参数方程为x 1t cos 6y 1t sin 6π?=+???π?=+??
，即x 11y 1t 2?=???
?=+?? （2
）把直线x 11y 1t 2?=???
?=+?
?代入22x y 4+=，
得)
2
2
2111t 4,t 1t 20
2????+++=+-= ? ? ????
?。
∵12t t 2=-，则点P 到A,B 两点的距离之积为2。
18．已知直线和参数方程为
,是椭圆上任意一点，求
点
到直线的距离的最大值。
解答：直线的参数方程为
为参数）故直线的普通方程为
因为为椭圆上任意点，故可设其中。
因此点到直线的距离是
所以当，时，取得最大值。
2012年新课标1卷数学(文科) 第I 卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2 {|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B φ= 2．复数32i z i -+= +的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等） 的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1 12 y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0 C ． 12 D ．1 4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ?是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ A ．12 B ．2 3 C ．34 D ．45 5．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶 点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ） A ．（12） B ．（0，2） C ．1，2） D ．（0，1+ 6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．2 A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a
2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1}
2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.
2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α， l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2 的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3! 11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥?? +≤??≥(-)? 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则 a ＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．1 D ．2
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴
y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
2012高考理科数学全国卷1试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题 （1）复数131i i -+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2 ）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m = （A ）0 （B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ， 2AB = ，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 （B （C （D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{ }n n a a +的前100项和为 （A ） 100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100 （6）ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ?= ，||1a = ，||2b = ， 则AD = （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455 a b - （7）已知α 为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=
（A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3 （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 （9）已知ln x π=，5log 2y =，1 2z e -=，则 （A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c = （A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 （11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37 AE BF ==。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10
2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》 【题型归纳】 题型一 曲线的极坐标方程 例1 、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 【答案】（1）C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0； （2）面积为12 . 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4 代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12 . 【易错点】互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2 ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧. ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. 题型二 参数方程及其应用 例2、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值. 【答案】（1）2x ＋y －6＝0；（2）最大值为2255，最小值为255. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ．
2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
2012年全国高考理科数学试题-全国卷2(含解析) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。．．．．．．．．． 第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1、复数-1+3i= 1+i A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3
3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 x2y2x2y2A +=1 B +=1 1612128x2y2x2y2C +=1 D +=1 84124 4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列(A)的前100 项和为1009999101 (B) (C) (D) 101101100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B）(C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α= 3 (A) -5555 （B）- (C) (D) 3993 （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上， |PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1334 （B）(C) (D) 4545 （9）已知x=lnπ，y=log52，z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x 12 (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题 1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为? ?? ?? x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．
3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2 =|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?? ? x ＝3cos α， y ＝3sin α (α为参数)，以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ? ????θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．
绝密*启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10 【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：12 2412C C =种 （3）下面是关于复数2 1z i = -+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34 【解析】选C 22(1) 11(1)(1) i z i i i i --= ==---+-+-- 1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-
高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．
2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 注意事项： 全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 。 3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 （1）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则 （A ）A B ? （B ）C B ? （C ）D C ? （D ）A D ? （2）函数1)y x = ≥-的反函数为 （A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12 ≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y （3）若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=? （A ）2 π （B ）32π （C ）23π （D ）35π （4）已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25 24 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）22 1128 x y +=
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
2015-2019高考数学全国卷真题（不等式选讲） 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ．证明： （1）22211 1 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像； (2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f ． （1）求不等式1)(≥x f 的解集； （2）若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围．
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）
绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 数学（理科） 适用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、山西、河南、新疆、云南、河北、内蒙古 注息事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 （ ） A . 3 B . 6 C . 8 D . 10 2. 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A . 12种 B . 10种 C . 9种 D . 8种 3. 下面是关于复数2 1i z =-+的四个命题： 1:||2p z =； 22:2i p z =； 3:p z 的共轭复数为1i +； 4:p z 的虚部为1-. 其中的真命题为 （ ） A . 23,p p B . 12,p p C . 24,p p D . 34,p p 4. 设1F ,2F 是椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32 a x =上一点, 21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ） A . 12 B . 23 C . 34 D . 45 5. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += （ ） A . 7 B . 5 C . 5- D . 7- 6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数1a , 2a ,,N a ,输出A ,B ,则 （ ） A . A B +为1a ,2a ,,N a 的和 B . 2 A B +为1a ,2a ,,N a 的算术平均数 C . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最大的数和最小的数 D . A 和B 分别是1a ,2a , ,N a 中最小的数和最大的数 7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 （ ） A . 6 B . 9 C . 12 D . 18 8. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线2 16y x =的准线交于A ,B 两点 , ||AB =则C 的实轴长为 （ ） A . B . C . 4 D . 8 9. 已知0ω>,函数π ()sin()4f x x ω=+在π(,π)2 上单调递减,则ω的取值范围是 （ ） A . 15 [,]24 B . 13[,]24 C . 1(0,]2 D . (0,2] 10. 已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-,则()y f x =的图象大致为 （ ） A B C D 11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为 （ ） A . B . C . 3 D . 2 12. 设点P 在曲线1 e 2 x y =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则||PQ 的最小值为 （ ） A . 1ln2- B . ln 2) - C . 1ln2+ D . ln 2)+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分 . 13. 已知向量a ,b 夹角为45,且||1=a ,2|-=|a b ,则|=|b _________. 14. 设x ,y 满足约束条件1300x y x y x y --??+? ????≥， ≤，≥，≥， 则2 z x y =-的取值范围为_________. 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正 姓名________________ 准考证号_____________ --------在 --------------------此 --------------------卷 -------------------- 上 --------------------答 --------------------题 --------------------无 -------------------- 效--------
第二讲 参数方程 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.判断以下各点,哪一个在曲线2 3 14 32 x t t y t t ?=++??=-+?? (t 为参数)上( ) A.(0,2) B.(-1,6) C.(1,3) D.(3,4) 解析:∵x=1+t 2 +t 4 =2 213124t ? ?++ ?? ?≥∴点(0,2),(-1,6)不在曲线上 对于点(1,3),当x=1时,t=0,y=2. ∴点(1,3)不在曲线上, 验证知(3,4)在曲线上,选D. 答案:D 2.能化为普通方程x 2+y-1=0的参数方程为 ( ) 2 .12.A .2 x sint x tan B y tan y cos t x cos x C D y sin y t θθφ φ==???? =-=???=?=?? ?==??? 。 解析:由x 2+y-1=0,知x∈R,y≤1. 排除A ?C ?D,只有B 符合. 答案:B 3.若直线的参数方程为1223x t y t =+?? =-? (t 为参数),则直线的斜率为( ) 2233 (3) 3 2 2 A B C D -- 解析:由参数方程,消去t,得3x+2y-7=0.
∴直线的斜率k=- . 答案:D 4.过点M(2,1)作曲线C: 4 4 x cos y sin θ θ = ? ? = ? (θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为 ( ) A.y-1=- (x-2) B.y-1=-2(x-2) C.y-2=- (x-1) D.y-2=-2(x-1) 解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直, ∵k OM = , ∴弦所在直线的斜率是-2, 故所求直线方程为y-1=-2(x-2). 答案:B 5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为 23 13 x cos y sin θ θ=+ ? ? =-+ ? (θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为 10 的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:曲线C表示以(2,-1)为圆心,以3为半径的圆,则圆心C(2,-1)到直线l的距离d=3 10 =<, 所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意,又 10 ,故满足题意的点有2个. 答案:B 6.(2010·上海)直线l的参数方程是 12 2 x t y t =+ ? ? =- ? (t∈R),则l的方向向量d可以是( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(1,-2)