因式分解 练习课
2009-11-8 张衍楠
精读定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。理解因式分解的要点：1是对多项式进行因式分解；2每个因式必须是整式；3结果是积的形式；4各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。
例1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（5个式子均不是） （1）()()112
2
+-+=+-y x y x y x ；
（2）()()2122
--=+-x x x x ；
（3）2
32236xy xy y x ?=；
（4）()()()(
)2
2
1a
y x a x y y x --=-+-；
（5） .96962
??
? ??+
+=++x x xy y xy y x 1. 提公因式法——形如ma mb mc m a b c ++=++() 2. 运用公式法——平方差公式：a b a b a b 2
2
-=+-()()，
完全平方公式：a ab b a b 2
2
2
2±+=±()
()
2
222222a b c ab bc ca a b c +++++=++
3. 十字相乘法 x p q x pq x p x q 2
+++=++()()()
()()()22a p q ab p qb a pb a qb +++?=++
4. 分组分解法 （适用于四次或四项以上，①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。 例2、因式分解（本题只给出最后答案）
(1) ;823
x x -
2(2)(2)x x x =+-
(2) .962
2224y y x y x +-
222(3)y x =-
(3) ;63632
2
3
abc c a b a a --+
3()(2)a a c a b =-+
(4) ()
.42
22222a c b c b -+-
()()()()b c a b c a b c a b c a =-+++--+--
(5) 12
1164+--n n a b a
=1
4(2)(2)n a
b a b a -+-
(6) ;36122
2
4
2
2
y xy y y x +--
2(6)(6)y x y x y =-+--
(7) .293962
2
++-+-y x y xy x
(31)(32)x y x y =----
例3、因式分解（本题只给出答案） 1、()();742--+x x =(3)(5)x x +-
2、(
)(
)
;56341242
2
++---x x x x
22(44)(45)x x x x =---- 3、()()()()566321+--+-x x x x
22(44)(45)x x x x =----
4、(
)
.566)67(2
2
+--+-x x x x
22(44)(45)x x x x =----
小结：
1、 因式分解的意义 左边 = 右边 ↓ ↓ 多项式 整式×整式（单项式或多项式）
3、多项式有因式乘积项 → 展开 → 重新整理 → 分解因式 因式分解练习： 1、;2594
2
n m -
22(35)(35)m n m n =+-
2、;4482
--a a
24(21)a a =-- 24(21)a a =--+ 24(1)a =--
3、()();4
4
y x y x --+
2222[()()][()()]x y x y x y x y =++-+-- 22(22)4x y xy =+? 228()xy x y =+
4、;122
2
2c b a ab +--
222(2)a ab b c =--++ 22()a b c =--+
()()c a b c a b =+--+
5、(
)()
;22
2
2b a
cd d
c ab +++
2222abc abd cda cdb =+++ 2222()()abc cda abd cdb =+++
()()ac bc ad bd ad bc =+++ ()()bc ad ac bd =++
6、;421532
2
2
2
2
y a xy a x a --
2223(514)a x xy y =-- 23(2)(7)a x y x y =+-
7、;18632
3
b ab b a b a -+-
32(6)(318)a b ab a b b =+-+ 22(6)3(6)ab a b a =+-+
2(6)(3)b a a =+-
8、.4142
2a b a -+-
22(414)a a b =--+++ 22(21)a b =-++
(21)(21)b a b a =++--
9、(
)(
)
.2015812
2
-++-a a a
(1)(1)(3)(5)20a a a a =+-++-
[(1)(3)][(1)(5)]20a a a a =++-+- 22(43)(45)20a a a a =+++-- 222(4)2(4)1520a a a a =+-+-- 222(4)2(4)35a a a a =+-+- 22(45)(47)a a a a =+++-
因式分解 强化练习 答案
1. 填写下列各式的空缺项，使它能用完全平方公式分解因式。
(1) 2
21()36136x x x --
+= (2) 2229(4)63293
14x y x x y y =+++
(3) 22
4914(7)a a a +--= (4) 2
2
36369(3)6b b b -+=-
(5) ()2
2
()18)66(4x y x y x y -+-+-+=????
2. 选择
(1) 用分组分解法把42
21a a a ---分解因式，正确的分组方法是：（ D ）
A. 4
2
()(21)a a a --+ B. 4
2
(2)(1)a a a --+ C. 4
2
(1)(2)a a a --+ D. 4
2
(21)a a a -++ (2) 多项式2
x ax bx ab --+可分解因式为（ C ）
A. ()()x a x b ++
B. ()()x a x b -+
C. ()()x a x b --
D. ()()x a x b +- (3) 计算)10
1
1)(911()311)(211(2232----
Λ的值是（ D ） A.
12 B. 120 C. 110 D. 11
20
(4) 将2
2
2
33x xy x y -+-分解因式，结果是（ B ）
A. (1)(3)x x y +-
B. 2(1)(3)x x y +-
C. 2
(1)(3)x x y -- D. 2
2
(1)(3)x x y -+
3. 填空
(1) 若多项式2
43()()x x x m x n -+=++，则m= -1，n= -3。 (2) 2
10(12)(24)2x x x x +-=+- (3) 2
2
95)(32(14)x xy y x x --=-+
(4) 2_21x x ++，给x 添加系数，使该式可以十字相乘。答案：10，-10，22，-22 (5) 2
2
2
44x xy y a ++-分组后，先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解。
(6) ()()x a x b k ---中有因式x+b ，则k=2b(a+b)。 4. 应用因式分解计算
(1) 2
998998016++
29981099816=+?+ (9982)(9988)=++
1006000=
(2) 987987987987
1232644565251368136813681368
?
+?+?+?
987
(123264456525)1368
=+++?
987
136********
=?=
5. 因式分解 (1) 42
109x x -+ =2
2
(1)(9)x x --
=(1)(1)(3)(3)x x x x +-+-
(2) 32
7()5()2()x y x y x y +-+-+
=2
()7()5()2x y x y x y ??++-+-??
=[][]()()17()2x y x y x y ++-++ =()(1)(772)x y x y x y ++-++ (3) 2
2
2
(8)22(8)120a a a a ++++ =2
2
(810)(822)a a a a ++++ (4) 2
2
2
2
41x y x y xy +---
=2
2
2
2
(2)(21)x y xy x y xy +--++ =2
2
()(1)x y xy --+
=(1)(1)x y xy x y xy -++--- (5) (1)(2)(3)(4)48x x x x ----- =[][](1)(4)(2)(3)48x x x x ----- =2
2
(54)(56)48x x x x -+-+- =2
2
2
(5)10(5)2448x x x x -+-+-
=2
2
2
(5)10(5)24x x x x -+-- =2
2
(512)(52)x x x x -+-- (6) 222
2a b bc c -+- =2
2
2
(2)a b bc c --+ =2
2
()a b c -- =()()a b c a b c +--+ (7) 32
2288a a b b a -+- 22[()4()]a a b a b =--- 2
2()(4)a b a =-- 2()(2)(2)a b a a =-+- (8) 3
2
2
3636x x y x z xyz +-- 23(22)x x xy xz yz =+-- []3(2)(2)x x x y z x y =+-+ 3(2)()x x y x z =+- (9) 222
432a ab b bc c -++-
2
2
2
2
(44)(2)a ab b b bc c =-++-+- 2
2
(2)()a b b c =---
(2)(2)a b b c a b b c =-+---+
(10) 2
2
2
212x y z yz x ---+-
222
(21)(2)x x y z yz =-+-++
2
2
(1)()x y z =--+
(1)(1)x y z x y z =-++---
(11) 2
2
69103025x xy y x y -+-++
2
2
(69)(1030)25x xy y x y =-+--+
2
(3)10(3)25x y x y =---+
2
[(3)5]x y =--
2
(35)x y =--
(12) 2222
a a
b ab a b b -+-+-
2
2
2
2
()()()a a b ab a b b =-+-+-
2
(1)(1)(1)(1)a b a b b b b =-++-+-
2
(1)[(1)]b a a b b =--++
(1)(1)()b a a b =--- (13) 4
3
364x x x ++- 4322
(32)(264)x x x x x =+-++- 2
2
2
(32)2(32)x x x x x =+-++- 2
2
(2)(32)x x x =++-
(14) 2
2
22
22
()4a b c b c ---
2
2
2
2
2
2
(2)(2)a b c bc a b c bc =--+---
2
2
2
2
2
2
[(2)][(2)]a b c bc a b c bc =-+--++
2
2
2
2
[()][()]a b c a b c =---+
()()()()a b c a b c a b c a b c =+--+++--
(15) 2
()4(1)x y x y ----
2
()4()4x y x y =---+
2
2
[()2](2)x y x y =--=--
(16) 4
4
4x y +
4
2
2
4
2
2
444x x y y x y =++-
2
22
2
2
(2)4x y x y =+-
2
2
2
2
(22)(22)x y xy x y xy =+++-
6. 已知2
(1)()1a a a b ---=-，求
22
2
a b ab +-的值。 解： 222
(1)()1a a a b a a a b a b ---=--+=-+=- 所以1a b -=
22
2
a b ab +-2222()1222a b ab a b +--===
7. 设n 为整数，用因式分解说明2
(21)25n +-能被4整除。
解：2
(21)25n +- (215)(215)(26)(24)n n n n =+++-=+- 4(3)(2)n n =+- 4是2
(21)25n +-的一个因式，所以能被4整除。
8. 在六位数abcdef 中，a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、13整除。
解：abcdef=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f 因为a=d, b=e, c=f,
所以abcdef=100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c =100100a + 10010b + 1001c = 1001(100a+10b+c) = 7×11×13(100a+10b+c) 所以这个六位数能被7、11、13整除。
9. 已知a, b, c 为三角形的三边，且满足222
0a b c ab bc ac ++---=，试说明该三角形是等边三角形。
解：2
2
2
2()0a b c ab bc ac ++---=
222222(2)(2)(2)0a b ab a c ac b c bc +-++-++-= 222()()()0a b a c b c -+-+-=
0a b -= 0a c -= 0b c -=
所以a=b, a=c, b=c 即a=b=c
所以该三角形是等边三角形。
10. 小明曾作出判断，当k 为正整数时，53
54k k k -+一定能被120整除，你认为小明的判断正确吗？
说说你的理由。
解：5
3
4
2
2
2
54(54)(1)(4)k k k k k k k k k -+=-+=--(1)(1)(2)(2)k k k k k =+-+-
因式分解的结果说明5
3
54k k k -+是5个连续正整数的乘积，5个连续的正整数中必然包括5，也必然包括3或3的倍数（6、9），必然包括4或4的倍数（8），还必然有至少2个偶数，所以5、3、4、2是5
3
54k k k -+的因子，5×3×4×2=120，所以5
3
54k k k -+一定能被120整除。
补充题：
计算(22 + 42 + 62 +……+20002)﹣(12 + 32 + 52 +……+19992). 解：平方差公式
原式=(22﹣12)+( 42﹣32)+( 62﹣52)+…..+( 20002﹣19992)
= 3 + 7 + 11 +……+ 3999（首尾相加，共有500个4002） = 4002×500 = 2001000