高中数学：空间点、直线、平面之间的位置关系练习

高中数学：空间点、直线、平面之间的位置关系练习

(时间:30分钟)

1.(遂宁模拟)直线l不平行于平面α，且l?α，则( B )

(A)α内的所有直线与l异面

(B)α内不存在与l平行的直线

(C)α内存在唯一的直线与l平行

(D)α内的直线与l都相交

解析:如图，设l∩α=A，α内的直线若经过A点，则与直线l相交;若不经过点A，则与直线l异面.

2.设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( D )

(A)若AC与BD共面，则AD与BC共面

(B)若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

(C)若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC

(D)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC

解析:ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，故D不成立.

3.(周口月考)如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是( D )

解析:A中PS∥QR，故共面;B中PS与QR相交，故共面;C中四边形PQRS是平行四边形，故共

面.

4.(咸阳模拟)已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题:

①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交.

②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面.

③α⊥β，α∩β=l，m?α，n?β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直.

④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交.

则四个结论中正确的个数为( B )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论;②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论;③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得 a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l;④正确.

5.(潮州模拟)如图，在正方体ABCD A

1B

1

C

1

D

1

中，过顶点A

1

与正方体其他顶点的连线与直线BC

1

成60°角的条数为( B )

(A)1 (B)2

(C)3 (D)4

解析:有2条:A

1B和A

1

C

1

.

6.(全国Ⅱ卷)在正方体ABCD A

1B

1

C

1

D

1

中，E为棱CC

1

的中点，则异面直线AE与CD所成角的正

切值为( C )

(A)(B)(C)(D)

解析:如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.

在Rt△ABE中，设AB=2，

则BE=，则tan∠EAB==，

所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.

7.设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题:

①若a∥b，b∥c，则a∥c;

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c;

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交;

④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线.

上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).

解析:由公理4知①正确;当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错;当a与b 相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错;a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错.

答案:①

8.(宁德模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行;

②BD与MN为异面直线;

③GH与MN成60°角;

④DE与MN垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

解析:还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE ⊥MN.

答案:②③④

能力提升(时间:15分钟)

9.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD A

1B

1

C

1

D

1

的顶点A，α∥平面CB

1

D

1

，α∩平面ABCD=m，

α∩平面ABB

1A

1

=n，则m，n所成角的正弦值为( A )

(A)(B)(C)(D)

解析:在正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

中，由题意，直线m∥BD，直线n∥A

1

B，

又△A

1DB为等边三角形，∠DBA

1

=60°，sin 60°=，

所以m，n所成角的正弦值为，故选A.

10.(茂名一模)如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题:

①AF⊥GC;

②BD与GC为异面直线且夹角为60°;

③BD∥MN;

④BG与平面ABCD所成的角为45°.

其中正确的个数是( B )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:将正方体展开图还原成正方体，①如图知AF与GC异面垂直，故①正确;

②显然BD与GC为异面直线，连接MB，MD.则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确;③显然BD与MN异面垂直，故③错误;④显然GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形.所以BG与平面ABCD所成的角不是45°，故④错误.故选B.

11.(长春模拟)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是( A )

(A)(0，) (B)(0，)

(C)(1，) (D)(1，)

解析:如图所示，令AB=，CD=a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED==，同理EC=.由构成三角形的条件知0

12.(百色月考)不在同一条直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A?α，给出以下三个结论:

①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交，其中正确的结论是.

解析:如图所示，三点A，B，C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.

答案:①

13.(鹤岗模拟)已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则= .

解析:过A作圆柱的母线AD，连接OD，则AD=l，OD=r，且△ODA为直角三角形，且∠OAD为异面直线BC与OA所成的角.

所以∠OAD=，

因为tan==，

所以=.

答案:

14.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA= AB=AC=2，E是PC的中点.

(1)求证:AE与PB是异面直线;

(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;

(3)求三棱锥A EBC的体积.

(1)证明:假设AE与PB共面，设平面为α，

因为A∈α，B∈α，E∈α，

所以平面α即为平面ABE，

所以P∈平面ABE，这与P?平面ABE矛盾，

所以AE与PB是异面直线.

(2)解:取BC的中点F，

连接EF，AF，则EF∥PB，

所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角. 因为∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

所以AF=，AE=，PB=2，EF=，

cos∠AEF==，

所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.

(3)解:因为E是PC的中点，

所以E到平面ABC的距离为PA=1，

==×(×2×)×1=.