经典例题透析
类型一：求函数的平均变化率
例 1、求 y = 2x 2 +1 在 x 到 x + ?x 之间的平均变化率，并求 x = 1， ?x = 1
时平均变化率的值.
2
?y 思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式 ?x
=
f (x 0 + ?x ) - f (x 0
) 进行操作. ?x 解析：当变量从 x 0 变到 x 0 + ?x 时，函数的平均变化率为
f (x + ?x ) - f (x ) [2(x + ?x )2 +1] -[2x 2 +1]
0 0 = 0 0
= 4x + 2?x
?x ?x 0
1 1
当 x 0 = 1， ?x = 2 时，平均变化率的值为： 4 ?1+ 2 ? 2
= 5 .
总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃
而解.
举一反三：
【变式 1】求函数 y=5x 2+6 在区间[2，2+ ?x ]内的平均变化率。 【答案】 ?y = 5(2 + ?x )2 + 6 - (5? 22 + 6) = 20?x + 5?x 2 ，
?y
所以平均变化率为
?x
= 20 + 5?x 。
【变式 2】已知函数 f (x ) = x 2 ，分别计算 f (x ) 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001].
【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.
【变式 3】自由落体运动的运动方程为 s = 1
gt 2 ，计算 t 从 3s 到 3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位
2
移 s 的单位为 m ）。
?s 【答案】要求平均速度，就是求
?t
的值，为此需求出?s 、 ?t 。
设在[3，3.1]内的平均速度为 v 1，则
?t 1 = 3.1- 3 = 0.1(s) ，
?s 1
= s (3.1) - s (3) = 1 g ? 3.12
- 1 g ? 32 = 0.305g (m) 。 2 2
所以v = ?s 1 = 0.305g
= 3.05g (m / s) 。
?t 1
0.1
同理v =
?s 2 = 0.03005g = 3.005g (m / s) 。 2
?t 0.01 1
2
1- 1+ ?x 1+ ?x (1+ 1+ ?x ) 1+ ?x (1+ 1+ ?x ) 1+ ?x
1
v = ?s 3 = 0.0030005g = 3.0005g (m / s) 。 3
?t 0.001
【变式 4】过曲线 y = f (x ) = x 3 上两点 P (1,1) 和Q (1+ ?x ,1+ ?y ) 作曲线的割线，求出当?x = 0.1 时割
线的斜率.
【答案】3.31 当?x = 0.1 时
(1+ ?y ) -1
?y f (1+ ?x ) - f (1) (1+ ?x )3 -1 1.13 -1 k PQ = (1+ ?x ) -1 = ?x = ?x = ?x = 0.1
= 3.31
类型二：利用定义求导数
例 2、用导数的定义，求函数 y =
f (x ) =
1 在 x=1 处的导数。
解析：∵ ?y = f (1+ ?x ) - f (1) = 1
-1 1+ ?x
= =
1-1- ?x
=
-?x
?y
∴
?x = -
(1+
1 1+ ?x ) 1+ ?x
∴ f '(1) = lim ?y = - 1
。
?x →0 ?x 2
总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：
?y 第一步求函数的增量?y ；第二步求平均变化率 ?x
；第三步取极限得导数。
举一反三：
【变式 1】已知函数 y = - x
（1） 求函数在 x=4 处的导数.
1
7
（2） 求曲线 y = - x
x 上一点 P (4, - ) 处的切线方程。
4 【答案】
（1） f '(4) = lim
1 f (4 + ?x ) - f (4) = lim 4 + ?x
- ( 1
- 2) 4 ?x →0 ?x ?x →0 ?x
x
x
4 + ?x 3
7 5 ? 1 - 1 ? - (
2) -?x - ?x 4 + ?x 4 ? 4(4 + ?x ) + 2
= lim ?
? =?x →0
= lim ? ?x -1 1
?x →0 ?x
? = - 5
， ?x →0 4(4 + ?x ) 16 ? 7
（2）由导数的几何意义知，曲线在点 P (4, - 5
) 处的切线斜率为 f '(4) ，
4
∴所求切线的斜率为- 。
16
∴所求切线方程为 y + = - 4 16
(x - 4) ，整理得 5x+16y+8=0。
【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数： （1） f (x ) = c ；
（2） f (x ) = x ；
（3） f (x ) = x 2 ； 1 （4） f (x ) = 。
x
【答案】
（1） ?y = f (x + ?x ) - f (x ) = c - c = 0 ， ?y f (x + ?x ) - f (x ) ∴
?x
=
?x
?y
= 0 ，
∴ y ' = lim
?x →0
?x
= lim 0 = 0 。
?x →0
（2） ?y = f (x + ?x ) - f (x ) = x + ?x - x = ?x ，
?y ?x
∴ ?x = ?x
= 1，
?y
∴ y ' = lim ?x →0 ?x
= lim 1 = 1。
?x →0 （3） ?y = f (x + ?x ) - f (x ) = (x + ?x )2 - x 2 = 2x ? ?x + (?x )2 ，
?y ∴ ?x
=
2x ? ?x + (?x )2
?x ?y
= 2x + ?x ， ∴ y ' = lim ?x →0 ?x
= lim (2x + ?x ) = 2x 。
?x →0
（4） ?y =
f (x + ?x ) - f (x ) = 1 - 1 x + ?x x = x - x - ?x = (x + ?x ) ? x -?x
， (x + ?x ) ? x
?y
1
∴
?x = - (x + ?x ) ? x ，
∴ y ' = lim ?y
= lim -1 = - 1 。
?x →0 ?x
?x →0 (x + ?x ) ? x x 2
例 3、求曲线 y=x 3
+2x 在 x=1 处的切线方程.
思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x 3
+2x 在 x=1 处的导数值，再由导数的几何意义， 得所求切线的斜率，将 x=1 代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.
解析：设 f (x ) = x 3 + 2x .
f '(1) = lim ?x →0 f (1+ ?x ) - f (1) ?x = lim
?x →0 (1+ ?x )3 + 2(1+ ?x ) - (13 + 2 ?1)
?x
= lim ?x →0 ?x [(?x )2 + 3?x + 5] ?x
= lim[(?x )2 ?x →0 + 3?x + 5] = 5 由 f(1)=3，故切点为（1，3），
切线方程为 y―3=5(x―1)，即 y=5x―2.
总结升华: 求函数 y = f (x ) 图像上点 P (x 0 , y 0 ) 处的切线方程的求解步骤：
① 求出导函数在 x = x 0 处的导数 f '(x 0 ) （即过点 P 的切线的斜率），
② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。 举一反三：
【变式】在曲线 y=x 2 上过哪一点的切线： （1）平行于直线 y=4x ―5； （2）垂直于直线 2x ―6y+5=0； （3）与 x 轴成 135°的倾斜角。 f (x + ?x ) - f (x )
(x + ?x )2 - x 2
【答案】 f '(x ) = lim
?x →0
?x
= lim
?x →0
?x
= 2x ，
设所求切点坐标为 P （x 0，y 0），则切线斜率为 k=2x 0
（1）因为切线与直线 y=4x ―5 平行，所以 2x 0=4，x 0=2，y 0=4， 即 P （2，4）。
1 3 9 （2）因为切线与直线 2x ―6y+5=0 垂直，所以2x 0 ? 3 = -1 ，得 x 0 = -
2 ， y 0 = 4
，
3 9 即 P (- , ) 。
2 4
1 1
（3）因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即 2x 0=―1，得 x 0 = - 2 ， y 0 = 4
，
1 1 即 P (- , ) 。
2 4
2 2 例 4．已知函数 f (x ) 可导，若 f (1) =
3 ， f '(1) = 3 ，求lim
x →1 f (x 2 ) - 3
x -1
解析： lim x →1 f (x 2 ) - 3 x -1
= lim[ x →1 f (x 2 ) - 3
x 2 -1 ? (x +1)]
（ f (1) = 3 ）
= lim[ x →1
= lim x →1 f (x 2 ) - f (1) x 2 -1
f (x 2 ) - f (1) x 2 -1
? (x +1)]
? lim(x +1) x →1
（令 t=x 2，x→1，t→1） = 2 lim
f (t ) - f (1) t →1
t -1
= 2 f '(1) = 2 ? 3 = 6
举一反三：
【变式】已知函数 f (x ) 可导，若 f (3) = 2 ， f '(3) = 2 ，求lim x →3
2x - 3 f (x ) x - 3
【答案】lim 2x - 3 f (x ) = lim (2x - 6) + 6 - 3 f (x )
x →3
x - 3
x →3
x - 3
= lim{2 +
3[2 - f (x )]
x →3 x - 3
= 2 + 3lim
f (3) - f (x )
x →3 x - 3
= 2 - 3lim
f (x ) - f (3)
x →3 x - 3 = 2 - 3 f '(3) = 2 - 3? (-2) = 8
类型三：利用公式及运算法则求导数
例 5．求下列函数的导数： （1） y = 1
x
4
；
（2） y =
（3） y = log x 2
- log x ； （4）y=2x 3
―3x 2
+5x ＋4
解析：
（1） y ' = ( 1 ) ' = (x -4 ) ' = -4x -4-1 = -4x -5 = - 4
.
x 4 x 5
3
（2） y ' = ( 5 x 3
) ' = (x 5
) ' = 3 3 -
1 x 5 = 3 - 2
3 x 5 = .
5 5
（3）∵ y = log x 2
- log x = log
x ，∴ y ' = (log x ) ' =
1
.
2
2
2
2
x ? ln 2
（4） y ' = 2(x 3 ) '- 3(x 2 ) '+ 5(x ) '+ (4) ' = 6x 2 - 6x + 5
5 x 3
55 x 2
}
x 3 x 2 s in (1- 2 cos ) = 2 s in (2 cos -1) = 2 s in cos 总结升华：
①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.
举一反三：
【变式】求下列函数的导数： （1） y = x ； （2） y = -
x - 2 cos 2 x
)
2 s in (1
2 4
（3）y=6x 3
―4x 2
+9x―6 【答案】
3
（1） y ' = (x x ) ' = (x 2
) ' = 3
-1
x 2 = .
（2） y = - x 2 2
2 x x 2 x x x 2 4 2 4 2 2
∴ y ' = cos x .
（3） y ' = 6(x 3 ) '- 4(x 2 ) '+ 9(x ) '- (6) ' = 18x 2 - 8x + 9
例 6．求下列各函数的导函数
（1） f (x ) = (x 2 +1)(2x - 3) ；（2）y=x 2sinx;
e x + 1
x + cos x
（３）y= e x - 1
；
（４）y= x + sin x
解析：
（1） 法一：去掉括号后求导.
f (x ) = 2x 3 - 3x 2 + 2x - 3
f '(x ) = 6x 2 - 6x + 2
法二：利用两个函数乘积的求导法则
f '(x ) = (x 2 +1)'(2x - 3) + (x 2 +1) ? (2x - 3) '
=2x(2x －3)+(x 2
+1)×2
=6x 2
－6x+2 （2） y′=（x 2）′sinx＋x 2（sinx ）′=2xsinx＋x 2
cosx
（３） y ' = (e x +1)'(e x -1) - (e x +1)(e x -1)' = (e x -1)2
- 2e x
(e x - 1) 2
（4） y ' =
(x + cos x )'(x + sin x ) - (x + cos x )(x + sin x )' (x + sin x )2
= sin x 3
(1 - sin x )(x + sin x ) - (x + cos x )(1 + cos x ) =
(x + sin x ) 2
=
- x cos x - x sin x + sin x - cos x - 1 (x + sin x ) 2
举一反三：
【变式 1】函数 y = (x +1)2 (x -1) 在 x = 1 处的导数等于(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
法一： y ' = [(x +1)2 ]'(x -1) + (x +1)2 (x -1) '
= 2(x +1) ? (x -1) + (x +1)2 = 3x 2 + 2x -1
∴ y ' |x =1 = 4 .
法二：∵ y = (x +1)2 (x -1) = (x 2 -1)(x +1) = x 3 + x 2 - x -1
∴ y ' = (x 3 ) '+ (x 2 ) '- x '-1' = 3x 2 + 2x -1
∴ y ' |x =1 = 4 .
【变式 2】下列函数的导数
2
（1） y = (x +1)(2x + 3x -1) ；
（2） y =
【答案】
（1）法一： y = 2x 3 + 3x 2 - x + 2x 2 + 3x - 1 = 2x 3 + 5x 2 + 2x - 1
∴ y ' = 6x 2 +10x + 2
法二： y ' = (x + 1)'(2x 2 + 3x - 1) + (x + 1)(2x 2 + 3x - 1)'
= 2x 2 + 3x - 1+ (x + 1) (4x + 3)
= 6x 2 +10x + 2
3
（2） y = 2x 2 - 3x
- 1
-
3 2
+ x -1 - x 2
1
∴ y ' = 3x 2 + 3 - 3 x 2 - x -
2 + 2
3 - 5 x 2
2
【变式 3】求下列函数的导数.
2x 3 - 3x + x -1
x x
x x 5
+ x + sin x x
-
- - - - - （1） y = x (x 2
【答案】
+ 1 + 1 x x 3
) ； （2） y = ( +1)( 1
-1) ；（3） y = . x 2 （1） y = x 3 + x -2 +1 ，∴ y ' = 3x 2 - 2x -3 .
（2） y = ( +1) = 1- x = x - 1 1
2 - x 2
，
3 ∴ y ' = - 1
x
- 2
- 1
-
1 x
2 . 2
2
- 3
（3）∵ y = x 3
+ x 2
+ x -2 sin x ，
∴ y ' = 3x 2 - 3
x 2
5 2 + (x 2 ) 'sin x + x 2 (sin x ) '
= 3x 2
- 3
x 2
5 2
- 2x 3 sin x + x 2 cos x .
类型四：复合函数的求导 例 7．求下列函数导数.
1
（1） y =
(1- 3x )4
； （2） y = ln(x + 2) ；
（3） y = e 2x +1 ；
（4） y = cos(2x +1) .
思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导. 解析：
（1） y = u -4 ， u = 1- 3x .
y 'x = y 'u ? u 'x = (u -4 ) '? (1- 3x ) '
= -4u -5 ? (-3) = 12u -5
=
12 . (1- 3x )5
（2） y = ln u ， u = x + 2
∴ y 'x = y 'u ? u 'x = (ln u ) '? (x + 2) '
= 1 ?1 = 1
u x + 2
（3） y = e u ， u = 2x +1 .
x x 1- x x
1 + x
2 1 + x 2
x + 1+ x 2 x + 1+ x 2 1+ x 2 3 3 ∴ y ' x = y 'u ?
u 'x = (e u ) '? (2x +1)'
= 2e u = 2e 2x +1
（4） y = cos u ， u = 2x +1 ，
∴ y 'x = y 'u ? u 'x = (cos u ) '? (2x +1)'
= -2 sin u = -2 sin(2x +1) .
总结升华：
①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；
②求复合函数的导数的方法步骤：
（1） 分清复合函数的复合关系，选好中间变量；
（2） 运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3） 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.
举一反三：
【变式 1】求下列函数的导数：
(1) y = (1 + 2x 2 )8 ； （2） y =
（3） y=ln （x ＋ ）；
（4） f (x ) = e -x (cos x + sin x )
【答案】
(1)令u = 1+ 2x 2 , y = u 8 ,
∴ y ' = y ' u ' = (u 8 )'(1 + 2x 2 )' = 8u 7 ? 4x = 32x (1 + 2x 2 )7 .
x
u x
1
1
（2）令u = x + x 3
, y = u 3
,
1
1 1 -
2 1 - 2 1 ? - 2 1 ?
3 ? 1 - 2 ? ∴ y 'x = (u 3
)'
? (x + x 3
)' = ? u 3
(1 + x 3 ) = x + x 3
? 1 + x 3 ?. 3 3 ? ? ? ? ? ?
（3） y ' =
1
(x + 1+ x 2 ) ' = 1 (1+ x ) ＝ 1
（4） f '(x ) = e -x ? (-x )'(cos x + sin x ) + e -x ? (cos x + sin x ) '
= -e -x (cos x + sin x ) + e -x (-sin x + cos x )
= e -x (-sin x + cos x - cos x - sin x )
= e -x (-2 sin x )
3 x + 3 x
x =1 1 1 0 2 4
1 1 = -2e -x ?sin x
类型五：求曲线的切线方程
例 8．求曲线 y=x 3
+2x 在 x=1 处的切线方程. 解析： y ' = 3x 2 + 2 ，
y ' | = 3?12
+
2 = 5 x=1 时，y=3， ∴切点为（1，3），切线斜率为 5
切线方程为 y―3=5(x―1)，即 y=5x―2.
总结升华: 求函数 y = f (x ) 图像上点 P (x 0 , y 0 ) 处的切线方程的求解步骤：
③ 求出函数 y = f (x ) 的导函数 y = f '(x )
④ 求出导函数在 x = x 0 处的导数 f '(x 0 ) （即过点 P 的切线的斜率），
⑤ 用点斜式写出切线方程，再化简整理。 举一反三：
【变式 1】求曲线 y =
1
1
在点( , 2) 处的切线的斜率，并写出切线方程.
x 2 解析：∵ y ' = ( ) ' = -
x x 2
∴切线的斜率 k = y ' | x = 1 = -4 .
2
∴切线方程为 y - 2 = -4(x - 1
) ，即4x + y - 4 = 0 .
2
【变式 2】已知 P (-1,1) ， Q (2, 4) 是曲线 y = x 2 上的两点，则与直线 PQ 平行的曲线 y = x 2 的切线方
程是 .
【答案】 y = x 2 的导数为 y ' = 2x .
设切点 M (x 0 , y 0 ) ，则 y ' |x = x
= 2x 0 . 4 -1 ∵ PQ 的斜率 k PQ = 2 +1 = 1，又切线平行于 PQ ，
1 1 1
∴ k = y ' |x = x 0 = 2x 0 = 1，∴ x 0 = 2 ，∴切点 M ( , ) ，
∴切线方程为 y - = x - 4 2
【变式 3】已知曲线C : y = x 3 .
，即4x - 4 y -1 = 0 .
（1） 求曲线C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程；
（2） 第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？
x =1 ? 2
2
- 【答案】
（1） 将 x = 1 代入曲线C 的方程得 y = 1，∴切点 P (1,1) .
∵ y ' = 3x 2 ，∴ y ' | = 3.
∴过点 P 的切线方程为 y -1 = 3(x -1) ，即3x - y - 2 = 0 .
? y = 3x - 2 （2） 由? y = x
3
可得(x -1)(x 2 + x - 2) = 0 ，解得 x = 1 或 x = -2 .
从而求得公共点为 P (1,1) ，或 P (-2, -8) .
∴切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点.
例 9．已知直线l 为曲线 y = x 2
+ x - 2 在点（1，0）处的切线， l
为该曲线的另一条切线，且l
⊥ l .
1
2
1
2
（1） 求直线l 2 的方程；
（2） 求由直线l 1 、l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积.
解析：
（1） y ' = 2x +1 ， y ' |x =1 = 2 ?1+1 = 3
直线l 1 的方程为 y = 3x - 3 .
设直线l 过曲线 y = x 2 + x - 2 上的点 B (b , b 2 + b - 2) ，
则l 的方程为 y -（b 2 + b - 2) = (2b +1（) x - b ），即 y = (2b +1)x - b 2 - 2 . 1
2
因为l 1 ⊥ l 2 ，则有2b +1 = - 3 ， b = - 3 .
1 22
所以直线l 2 的方程为 y = - 3 x - 9 .
? y = 3x - 3,
?x = 1 ,
?
（2）解方程组? y = - ? 6 1 x - 22 , 得? 5
?? 3 9
? y = - . ? 2 1 5
所以直线l 1 和l 2 的交点坐标为( 6 , - 2
) .
l 1 、l 2 22
与
x 轴交点的坐标分别为（1，0）、( , 0) ， 3
1 25 5 125
所以所求三角形的面积为 S = ? ? | - |= .
举一反三：
2 3 2 12 【变式 1】如果曲线 y = x 3 + x - 10 的某一切线与直线 y = 4x + 3平行，求切点坐标与切线方程
5 5
5 x = x 0
0 y ? 2
x =1
0 ? 0
0 【答案】 y ' = 3x 2 +1
设切点坐标为 M (x 0 , y 0 )
∴切线在点 M 的斜率为 y ' = (3x 2 +1) 0
切线与直线 y = 4x + 3平行， 斜率为 4
= 3x 2
+1 0
∴ 3x 2 + 1 = 4 ，∴ x = ±1
? x 0 = 1 ? x 0 = -1
?
= -8 或? y = -12
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为 y + 8 = 4(x - 1) 或 y + 12 = 4(x + 1)
即 y = 4x - 12 或 y = 4x - 8
【变式 2】曲线 y = x 3 在点（1，1）处的切线与 x 轴、直线 x = 2 所围成的三角形的面积为 .
【答案】由题意，切线的斜率为 y ' | = 3?12 = 3 ，
∴切线方程为 y -1 = 3(x -1) ，
与 x 轴交点为( , 0) ，直线 x = 2 的交点为（2，4），
3
1 2 8 ∴ S = | 2 - | ?4 = .
2 3 3
【变式 3】曲线 y = e 2x cos 3x 在（0，1）处的切线与l 的距离为 ，求l 的方程.
【答案】由题意知， y ' = (e 2x ) ' cos 3x + e 2x (cos 3x ) '
= 2e 2x cos 3x + (3x ) '(-sin 3x ) ? e 2x
= 2e 2x cos 3x - 3e 2x sin 3x
∴曲线在（0，1）处的切线的斜率 k = y ' |x =0 = 2
∴该切线方程为 y -1 = 2x ? y = 2x +1
设l 的方程为 y = 2x + m ，
| m -1| 则 d =
= ，
x
解得 m =-4 ，或 m = 6 .
当m =-4 时，l 的方程为y = 2x - 4 ；
当 m = 6 时， l 的方程为 y = 2x + 6
综上可知， l 的方程为 y = 2x - 4 或 y = 2x + 6 .