复习课
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[警示·易错提醒]
1.比较法的一个易错点.
忽略讨论导致错误,当作差所得的结果“正负不明”时,应注意分类讨论.
2.分析法和综合法的易错点.
对证明方法不理解导致证明错误,在不等式的证明过程中,常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误.
3.反证法与放缩法的注意点.
(1)反证法中对结论否定不全.
(2)应用放缩法时放缩不恰当.
专题一比较法证明不等式
比较法证明不等式的大致步骤是:作差(或商)—恒等变形—判断差的符号(或商与1的大小),其中,恒等变形是关键,目的在于判断差的符号或商与1的大小.
[例1]已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.
证明:因为2a3-b3-(2ab2-a2b)=(2a3-2ab2)+(a2b-b3)=2a(a2
-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a+b)(a-b)(2a+b).又因为a≥b>0,所以a+b>0,a-b≥0,2a+b>0,
所以(a+b)(a-b)(2a+b)≥0,
所以2a3-b3-(2ab2-a2b)≥0,
所以2a3-b3≥2ab2-a2b.
归纳升华
变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方、因式分解,可运用一切恒等变形的方法.
[变式训练]已知a>0,b>0,a≠b,求证:a6+b6>a4b2+a2b4.
证明:因为a6+b6-(a4b2+a2b4)=a4(a2-b2)+b4(b2-a2)=(a2-b2)(a4-b4)=(a2-b2)(a2-b2)(a2+b2)=(a+b)2(a-b)2(a2+b2).因为a>0,b>0,a≠b,
所以(a+b)2>0,(a-b)2>0,a2+b2>0,
所以(a6+b6)-(a4b2+a2b4)>0,
所以a6+b6>a4b2+a2b4.
专题二综合法证明不等式
综合法证明不等式的思维方式是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.
证明时要注意的是:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,
避免错误. [例2] 设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,求证:
a 2
b +b 2
c +c 2
a
≥1. 证明:因为a 2b +b ≥2a ,b 2c +c ≥2b ,c 2
a
+a ≥2c , 故a 2b +b 2c +c 2a +(a +b +c )≥2(a +b +c ), 则a 2b +b 2c +c 2a
≥a +b +c . 所以a 2b +b 2c +c 2a
≥1. 归纳升华
用综合法证明不等式,可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式.
[变式训练] 设a >0,b >0,a +b =1,求证:1a +1b +1ab
≥8. 证明:因为a >0,b >0,a +b =1,
所以1=a +b ≥2ab ,ab ≤12
,所以1ab ≥4. 所以1a +1b +1ab =(a +b )? ????1a +1b +1ab ≥2ab ·21ab
+4=8, 所以1a +1b +1ab
≥8, 当且仅当a =b =12
时,等号成立. 专题三 用分析法证明不等式
分析法证明不等式的思维方法是“逆推”,即由待证的不等式出
发,逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.
当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更为有效.
[例3]求证:3+6<4+ 5.
证明:欲证3+6<4+5,
只需证(3+6)2<(4+5)2,
只需证9+62<9+45,
即证62<4 5.
只需证(62)2<(45)2,即证72<80.
上式明显成立,所以原不等式成立.
归纳升华
1.分析法的格式是固定的,但是必须注意推演过程中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件.
2.分析法是“执果索因”,逐步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果”,逐步推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的.一般来说,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用.
[变式训练]已知a>b>0,求证:a-b<a-b.
证明:要证a-b<a-b,
即证a<b+a-b,
只需证a<b+2(a-b)b+a-b,
只需证0<2(a-b)b.
由a>b>0知最后一个不等式成立,
故原不等式成立.
专题四用反证法证明不等式
反证法常用于直接证明困难或结论以否定形式出现的命题,涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题.
[例4]若a3+b3=2,求证:a+b≤2.
证明:法一:假设a+b>2,则a>2-b,
故2=a3+b3>(2-b)3+b3,
即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,
这不可能,假设不成立,从而a+b≤2.
法二:假设a+b>2,
则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8.
由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6.
故ab(a+b)>2.
又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,
所以ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2),
所以a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这不可能,
假设不成立,故a +b ≤2.
归纳升华
反证法是从否定结论出发,经过推理论证,得出矛盾,从而肯定原命题正确的证明方法,其步骤为:(1)分清命题的条件和结论,作出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论).(2)从假定和条件出发,应用正确的推理方法,推出矛盾.(3)断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不正确,于是原命题成立,从而间接证明了原命题为真命题.
[变式训练] 若a ,b ,c 均为实数,且a =x 2
-2y +π2,b =y 2-2z +π3,c =z 2-2x +π6
,求证:a ,b ,c 中至少有一个大于0. 证明:假设a ,b ,c 都不大于0,即a ≤0,b ≤0,c ≤0,
则有a +b +c ≤0.
因为a +b +c =?
????x 2-2y +π2+? ????y 2-2z +π3+? ????z 2-2x +π6=(x 2-2x )+(y 2-2y )+(z 2-2z )+π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+(π-3),
所以a +b +c >0.
这与a +b +c ≤0矛盾,故假设不成立.
所以a ,b ,c 中至少有一个大于0.
专题五 用放缩法证明不等式
在证明不等式时,有时需要舍去或添加一些项,有时需要拆项、
添项,使不等式的一边放大或缩小,然后利用不等式的传递性达到证明的目的.运用放缩法证明的关键是放缩要适当,既不能太大,也不能太小. [例5] 设a ,b ,c ∈R +
且abc =1,求证:11+a +b +11+b +c +11+c +a
≤1. 证明:设a =x 3,b =y 3,c =z 3且x ,y ,z ∈R +.
由题意得:xyz =1,
所以1+a +b =xyz +x 3+y 3.
所以x 3+y 3-(x 2y +xy 2)=x 2(x -y )+y 2(y -x )=(x -y )2(x +y )≥0. 所以x 3+y 3≥x 2y +xy 2.
所以1+a +b =xyz +x 3+y 3≥xyz +xy (x +y )=xy (x +y +z ).
所以11+a +b ≤1xy (x +y +z )=z x +y +z
. 同理,可得11+b +c ≤x x +y +z ,11+c +a ≤y x +y +z
, 三式相加得11+a +b +11+b +c +11+c +a ≤x +y +z x +y +z
=1. 所以命题得证.
归纳升华
用放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性.缩小分母,扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式
值减小;全量不小于部分;每次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头.同时,放缩有时需便于求和.
[变式训练] 若n 是大于1的自然数,求证112+122+132+…+1n 2<2.
证明:因为1k 2<1k (k -1)=1k -1-1k
(k =2,3,4,…,n ), 所以112+122+132+…+1n 2<11+11×2+12×3+…+1(n -1)n =11
+? ????11-12+? ????12-13+…+? ??
???1n -1-1n =2-1n <2, 故112+122+132+…+1n 2<2. 专题六 函数与方程思想
函数与方程思想是先构造辅助函数,将所给问题转化为函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)问题.运用此方法要能够根据问题的结构特征恰当地构造函数,准确地利用函数的性质解决问题.
[例6] 已知a ,b 是正实数,且a +b =1,求证1ab +ab ≥174
. 证明:因为a ,b 都是正实数,a +b =1,
所以0<ab ≤? ??
???a +b 22=14. 令f (x )=x +1x
(0<x <1), 设0<x 1<x 2<1,
则f (x 1)-f (x 2)=1x 1+x 1-1x 2-x 2=(x 1-x 2)? ??
??1-1x 1x 2. 因为0<x 1<x 2<1,
所以x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1.
所以1-1x 1x 2
<0. 所以f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2).
因此函数f (x )在(0,1)上单调递减.
所以当x ∈? ????0,14时,f (x )min =f ? ????14=174
, 令x =ab ,得1ab +ab ≥174
. [变式训练] 已知a ,b ,c 为三角形的三条边,求证a 1+a ,b 1+b
,c 1+c
也可以构成一个三角形. 证明:设f (x )=x 1+x
,x ∈[0,+∞),0≤x 1<x 2, 则f (x 2)-f (x 1)=x 21+x 2-x 11+x 1=x 2-x 1(1+x 1)(1+x 2)
>0. 故f (x )在[0,+∞)上为单调增函数.
因为a ,b ,c 为三角形的三条边,所以a +b >c .
因为c 1+c <a +b 1+(a +b )=a 1+a +b +b 1+a +b <a 1+a +b 1+b
,
所以c 1+c <a 1+a +b 1+b
, 同理可证a 1+a <b 1+b +c 1+c ,b 1+b <c 1+c +a 1+a
, 所以以a 1+a ,b 1+b ,c 1+c
为边可以构成一个三角形.
人教版高二数学上册各章节知识点集合归纳总结 不等式单元知识总结 一、不等式的性质 1.两个实数a 与b 之间的大小关系 (1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b ->>;-;-<<.?????? ?? 若、,则>>;; <<. a b R (4)a b 1a b (5)a b =1a =b (6)a b 1a b ∈????????????+ 2.不等式的性质 (1)a b b a()><对称性? (2)a b b c a c()>>>传递性? ??? (3)a b a c b c()>+>+加法单调性? a b c 0 ac bc >>>? ??? (4) (乘法单调性) a b c 0 ac bc ><<? ??? (5)a b c a c b()+>>-移项法则? (6)a b c d a c b d()>>+>+同向不等式可加???? (7) a b c d a c b d()><->-异向不等式可减? ??? (8)a b 0c d 0ac bd()>>>>>同向正数不等式可乘????
(9)a b 00c d b d ()>><<>异向正数不等式可除?? ??a c (10)a b 0n N a b () n n >>>正数不等式可乘方∈???? (11)a b 0n N a () n >>>正数不等式可开方∈????b n (12)a b 01a ()>><正数不等式两边取倒数? 1 b 3.绝对值不等式的性质 (1)|a|a |a|= a (a 0)a (a 0)≥;≥, -<.?? ? (2)如果a >0,那么 |x|a x a a x a 22<<-<<;?? |x|a x a x a x a 22>>>或<-.?? (3)|a ·b|=|a|·|b|. (4)|a b | (b 0)=≠. || ||a b (5)|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|. (6)|a 1+a 2+……+a n |≤|a 1|+|a 2|+……+|a n |. 二、不等式的证明 1.不等式证明的依据 (1)a b ab 0a b ab 0a b 0a b a b 0a b a b =0a =b 实数的性质:、同号>;、异号<->>;-<<;-????? (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式:①|a|≥0;a 2 ≥0;(a -b)2 ≥0(a 、b ∈R) ②a 2 +b 2 ≥2ab(a 、b ∈R ,当且仅当a=b 时取“=”号) ③ ≥、,当且仅当时取“”号a b +∈+2ab(a b R a =b =) 2.不等式的证明方法 (1)比较法:要证明a >b(a <b),只要证明a -b >0(a -b <0),这种证明不等式的
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 复数 =() A.B.C.D. 2. 下列有关命题的说法正确的是() A.命题“若 =1,则x=1的否命题为” 若“ =1,则x 1 ” B.若为真命题,则,均为真命题 C.命题“ 使得+x+1 ”的否定是:“ 均有+x+1 ” D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题 3. 曲线在点处的切线方程是( ) A. B.C.D. 4. 下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( ) A. B. C. D. 5. 已知抛物线的准线与圆相切,则的值为( ) A. B.1 C.2 D.4 6. 设是函数的导函数, 的图象如右图所示,则的图象最有可能的是( ) 7. 执行下面的程序框图,输出的S 值为() A. B. C. D . 8. 右侧茎叶图表示的是甲、乙两人在5次
综合测评中的成绩,其中一个数字被污 损. 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩 的概率为() A.B. C. D. 9. 若,则的单调递增区间为() A.B.C.D. 10.椭圆的两顶点为,且左焦点为,是 以角为直角的直角三角形,则椭圆的离心率为() A. B. C. D. 11. 已知R上可导函数的图象如图所示,则不等式的解集 为() A.B. C. D. 12. 已知点是椭圆上的动点,为椭圆的两个焦点,是坐标原点,若是的角平分线上一点,且,则的取值范围是() A.B.C. D. 第II卷(非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 某地区有小学150所,中学75所,大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取_________所学校. 14. 以F1(-3,0)、F2(3,0)为焦点,渐近线方程为的双曲线的标准方程是 __________________; 15. 已知函数在处的切线与直线平行,则 =_____; 16. 已知函数在区间上恰有一个极值点,则实数的取值范围是__________________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 设互为共轭复数,满足,且在复平面内对应的点在第一象限,求 . 18.(本小题满分12分) 直线过抛物线的焦点F,是与抛物线的交点,若 , 求直线的方程. 19 .(本小题满分12分) 已知p:,q:x2-2x+1-m2 0(m>0),若 p是 q的必要而不充分条 件,求实数m的取值范围. 20.(本小题满分12分) 有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具,每个玩具的各个面上分别写着数字1,2,3,5. 同时投掷这两枚玩具一次,记为两个朝上的面上的数字之和. (1)求事件“m不小于6”的概率; (2)“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是不是相等?证明你作出的结论.
高二数学下学期期末测试题(理) 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) (1 ) 复 数 3 1 ()i i -等于 ( ) A.8 B.-8 C.8i D.-8i (2)曲线y =x 2+3x 在点A (2,10)处的切线的斜率k 是 ( ) A .4 B .5 C .6 D .7 (3)),(~P n B ξ,15=ξE ,25.11=ξD ,则=n ( ) A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 (4)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( ) A.60 B.90 C.120 D.180
(5)数学归纳法证明 1 2 1 *11(,1)1n n a a a a n N a a ++-++++=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 2 1a a ++ D. 231a a a +++ (6)函数 x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ (7 ) 9 1) x -展开式中的常数项是 ( ) A -36 B 36 C -84 D 84 (8)已知随机变量X ~B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=( ). A.-1.88 B.-2.88 C.5.76 D.6.76 ( 9 ) 函 数 x x y ln = 的最大值为 ( ) A 1-e B e C 2e D 3 10 (10)设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++,则 01211a a a a ++++= ( ) A.2- B.1- C.1 D.2
浙江省温州市十校联合体高二(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(4分)准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是() A.x2=8y B.x2=﹣8y C.y2=﹣8x D.y2=8x 2.(4分)已知直线l1:x﹣y+1=0和l2:x﹣y+3=0,则l1与l2之间距离是()A.B.C.D.2 3.(4分)设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V,E,F,G分别是AA1,AB,AC的中点,则三棱锥E ﹣AFG体积是() A.B.C.D. 4.(4分)若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是() A.0或2 B.2 C.D.或2 5.(4分)在四面体ABCD中() 命题①:AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD 命题②:AC=AD且BC=BD则AB⊥CD. A.命题①②都正确 B.命题①②都不正确 C.命题①正确,命题②不正确D.命题①不正确,命题②正确 6.(4分)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是() A.m⊥α,n?β,m⊥n?α⊥βB.α∥β,m⊥α,n∥β?m⊥n C.α⊥β,m⊥α,n∥β?m⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β 7.(4分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,二面角A﹣BD1﹣B1的大小是() A.B.C. D. 8.(4分)过点(0,﹣2)的直线交抛物线y2=16x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y12﹣y22=1,则△OAB(O为坐标原点)的面积为() A.B.C.D. 9.(4分)已知在△ABC中,∠ACB=,AB=2BC,现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC,设二面角P﹣BC﹣A大小为θ,PB与平面ABC所成角为α,PC与平面PAB所成角为β,若0<θ<π,则()
人教版高二数学下册知识点归纳 人教版高二数学下册知识点归纳: 1.不等式的定义:a-b>;0a>;b, a-b=0a=b, a-b<;0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质:①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有: (1) a>;bb (2) a>;b,b>;ca>;c (传递性) (3) a>;ba+c>;b+c (c∈R) (4) c>;0时,a>;bac>;bc c<;0时,a>;bac 运算性质有:(1) a>;b, c>;da+c>;b+d. (2) a>;b>;0,c>;d>;0ac>;bd. (3) a>;b>;0an>;bn (n∈N,n>;1)。(4) a>;b>;0>;(n∈N, n>;1)。应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。②关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:(1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性
质,判断实数值的大小。(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。人教版高二数学下册知识结构: 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式重点:通过探索和讨论交流,导出两角差与和的三角函数的十一个公式,并了解它们的内在联系。难点:两角差的余弦公式的探索和证明。 2.简单的三角恒等变换重点:掌握三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点. 难点:公式的灵活应用. 三角函数几点说明: 1.对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面加深. 2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算,熟练配角和sin和cos的计算. 3.已知三角函数值求角问题,达到课本要求即可,不必拓展. 4.熟练掌握函数y=Asin(wx+j)图象、单调区间、对称轴、对称点、特殊点和最值. 5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习,不要求记忆. 6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
人教版高二下学期数学期末试卷 一、单选题 1.已知 ,则 ( ). A. B. C. D. 2.已知1tan 2α= , ()1 tan 212 αβ-=,则()tan αβ-=( ) A. 25- B. 25 C. 1423- D. 1423 3.已知函数f (x )x +2cos 2x ,则函数f (x )最大值为( ) A. 2 B. C. 3 D. 2 4.已知 为锐角, ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中,已知向量 ,若 , 则x =( ) A. -2 B. -4 C. -3 D. -1 6.已知函数()()sin f x A x ω?=+ (0,0,)2 A π ω?>><在一个周期内的图象如图 所示,则4f π?? = ??? ( ) A. 2- B. 2 C. D. 7.对两个变量 和 进行回归分析,得到一组样本数据 ,则下列说法中不正确的是( ) A. 由样本数据得到的回归方程 必过样本点的中心 B. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C. 用相关指数 来刻画回归效果, 越小说明拟合效果越好 D. 若变量 和 之间的相关系数为 ,则变量 和 之间具有线性相关关系 8.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A. 1 B. π C. 1 D. π
9.已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 10.运行如图所示的程序框图,则输出的 等于 A. B. C. 3 D. 1 11.阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为58,则判断框中应填入的条件为( ) A. 3k ≤ B. 4k ≤ C. 5k ≤ D. 6k ≤ 12.若把函数y =f (x )的图像沿x 轴向左平移 个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y =sin x 的图像,则y =f (x )的解析式为( ) A. y =sin(2x - )+1 B. y =sin(2x - )+1 C. y =sin( x + )-1 D. y =sin( x + )-1 13.sin18sin78cos162cos78??-??等于( ) A. B. 12- C. D. 12 14.已知 为单位向量,其夹角为60°,则 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 15.已知31= αtan ,则 =+α α 221sin cos ( ) A . B . C .3- D .3 16.将函数()sin 6f x x π?? =+ ?? ? 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 12,再向右平移6 π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,则()y g x =图象的一条对称轴是直线( ) A. 12 x π = B. 6 x π = C. 3 x π = D. 23 x π = 13 -1 3
一年要完成二年的课程。 二、高一的新鲜过了,距离高考尚远,最容易玩的疯、走的远的 时候。 导致心理上的迷茫期,学业上进的缓慢期,自我约束的松散期, 易误入歧路,大浪淘沙的筛选期。 因此,直面高二的挑战,认清高二,认清高二的自己,认清高二 的任务,显得意义十分重大而迫切。 2 集合与元素的关系用符号=表示。 3 常用数集的符号表示自然数集;正整数集;整数集;有理数集、 实数集。 4 集合的表示法列举法,描述法,韦恩图。 5 空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 函数 一、映射与函数 1 映射的概念 2 一一映射 3 函数的概念 二、函数的三要素 相同函数的判断方法①对应法则;②定义域两点必须同时具备 1 函数解析式的求法 ①定义法拼凑②换元法③待定系数法④赋值法 2 函数定义域的求法 ①含参问题的定义域要分类讨论;
②对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此 时的定义域要根据实际意义来确定。
3 函数值域的求法 ①配方法转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化 为型如的形式; ②逆求法反求法通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解 不等式,得出的取值范围;常用来解,型如; ④换元法通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界 性来求值域; ⑥基本不等式法转化成型如,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 三、函数的性质 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性定义注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有定义法作差比较和作商比较 导数法适用于多项式函数 复合函数法和图像法。 应用比较大小,证明不等式,解不等式。 奇偶性定义注意区间是否关于原点对称,比较与-的关系。 --=0=-为偶函数;
人教版高二数学上册各 章节知识点 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)
不等式单元知识总结 一、不等式的性质 1.两个实数a 与b 之间的大小关系 2.不等式的性质 (4) (乘法单调性) 3.绝对值不等式的性质 (2)如果a >0,那么 (3)|a ·b|=|a|·|b|. (5)|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|. (6)|a 1+a 2+……+a n |≤|a 1|+|a 2|+……+|a n |. 二、不等式的证明 1.不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式:①|a|≥0;a 2≥0;(a -b)2≥0(a 、b ∈R) ②a 2+b 2≥2ab(a 、b ∈R ,当且仅当a=b 时取“=”号) 2.不等式的证明方法 (1)比较法:要证明a >b(a <b),只要证明a -b >0(a -b <0),这种证明不等式的方法叫做比较法. 用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号. (2)综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.
(3)分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充 分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等. 三、解不等式 1.解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式. (2)解一元二次不等式. (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式. ①解一元高次不等式; ②解分式不等式; ③解无理不等式; ④解指数不等式; ⑤解对数不等式; ⑥解带绝对值的不等式; ⑦解不等式组. 2.解不等式时应特别注意下列几点: (1)正确应用不等式的基本性质. (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性. (3)注意代数式中未知数的取值范围. 3.不等式的同解性
人教版高二数学上册期末试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆C:(x﹣2)2+(y+1)2=4,则圆C的圆心和半径分别为() A.(2,1),4B.(2,﹣1),2C.(﹣2,1),2D.(﹣2, ﹣1),2 2.当m∈N*,命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆 否命题是() A.若方程x2+x﹣m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x﹣m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x﹣m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x﹣m=0没有实根,则m≤0 3.已知命题p:x>0,x3>0,那么¬p是() A.x>0,x3≤0B. C.x<0,x3≤0D. 4.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.8πB.4πC.2πD.π 5.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3, =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是() A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.4
6.在区间[0,3]上随机地取一个实数x,则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为() A.B.C.D. 7.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为6,4,则输出a的值为() A.0B.2C.4D.6 8.在班级的演讲比赛中,将甲、乙两名同学的得分情况制成如 图所示的茎叶图.记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙,则下列判断准确的是() A.甲<乙,甲比乙成绩稳定B.甲>乙,甲比乙成绩稳定 C.甲<乙,乙比甲成绩稳定D.甲>乙,乙比甲成绩稳定 9.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不准确的是() A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 B.当mα时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C.当mα时,“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件 D.当mα时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 10.如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M, N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值为() A.B.C.D. 11.已知命题p:函数f(x)=x2﹣2mx+4在[2,+∞)上单调递增;命题q:关于x的不等式mx2+2(m﹣2)x+1>0对任意x∈R恒成立.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数m的取值范围为()
高一数学课本内容 第一章集合与简易逻辑 本章概述 1.教学要求 [1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. [2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法;熟练掌握一元二次不等式的解法. [3]理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件. 2.重点难点 重点:有关集合的基本概念;一元二次不等式的解法及简单应用;逻辑联结词"或"、"且"、"非" 与充要条件. 难点:有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系;"四个二次"之间的关系;对一些代数命题真假的判断. 3. 教学设想 利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念;突出一种数学方法--元素分析法;渗透两种数学思想--数形结合思想与分类讨论思想;掌握三种数学语言--文字语言、符号语言、图形语言的转译. 1.1 集合(2课时) 目的:要求学生初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法;初步了解集合的分类及性质。 教学重点:集合的基本概念及表示方法 教学难点:运用集合的两种常用表示方法--列举法与描述法,正确表示一些简单的集合 教学过程: 第一课时 一、引言:(实例)用到过的"正数的集合"、"负数的集合"、"不等式2x-1>3的解集" 如:几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
集合与元素:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 指出:"集合"如点、直线、平面一样是不定义概念。 二、集合的表示: 用大括号表示集合 { ... } 如:{我校的篮球队员},{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋} 用拉丁字母表示集合 如:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,5} 常用数集及其记法: 1.非负整数集(即自然数集) 记作:N 2.正整数集 N*或 N+ 3.整数集 Z 4.有理数集 Q 5.实数集 R 集合的三要素: 1。元素的确定性; 2。元素的互异性; 3。元素的无序性 三、关于"属于"的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集A 记作 a?A ,相反,a不属于集A 记作 a?A (或aA) 例:见P4-5中例 四、练习 P5 略 五、集合的表示方法:列举法与描述法 1. 列举法:把集合中的元素一一列举出来。 例:由方程x2-1=0的解集;例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合。 2. 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ① 文字语言描述法:例{斜三角形}再见P6 ○2符号语言描述法:例不等式x-3>2的解集图形语言描述法(不等式的解集、用图形体现"属于","不属于" )。 3. 用图形表示集合(韦恩图法) P6略 六、集合的分类 1.有限集 2.无限集 七、小结:概念、符号、分类、表示法
第一章集合与函数概念 第一节集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ …} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋, 印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: 有限集含有有限个元素的集合 (1)无限集含有无限个元素的集合 (2)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B 或B?/A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记 作 A B(或 B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集三、集合的运算
人教版高二(上)数学教案(全册) 第六章 不等式 第一教时 教材:不等式、不等式的综合性质 目的:首先让学生掌握不等式的一个等价关系,了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。 过程: 一、引入新课 1.世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。 2.过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 (例略) 1.“同向不等式与异向不等式” 2.“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系(充要条件) 1.从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而22)1(+x >12 4++x x 小结:步骤:作差—变形—判断—结论 例三 比较大小1. 2 31-和10 解:∵ 232 31+=- ∵02524562)10()23(22<-= -=-+