揭阳一中高三数学（文）上学期阶段1考试
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，则A
B =（ ）
A ．{1,2,3}
B ．{1,2}
C ．{1}
D ．{3} 2．已知复数142i
z i i
+=
-，则复数z 的模为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
3．已知命题p ：?x 0∈R ， x 0－2>0，命题q ：?x ∈R ，x A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(?q )是真命题 D ．命题p ∨(?q )是假命题 4．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q ，若QRF ?的面积为2，则点P 的坐标为（ ） A ．（1，2）或（1，－2） B ．（1，4）或（1，－4） C ．（1，2） D ．（1，4） 5．某几何体的三视图如图(其中俯视图中的圆弧是半圆)，则 该几何体的表面积为（ ） A ．92＋14π B ．82＋14π C ．92＋24π D ．82＋24π 6．函数31 1log (2),1()3,1 x x x f x x -+- ≥?，则3(7)(log 12)f f -+=（ ） A ．8 B ．15 C ．7 D ．16 7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．设函数()sin(2)cos(2)44 f x x x ππ =+ ++，则（ ） A ．()y f x =在(0,)2 π上单调递增，其图象关于直线4 x π = 对称 B ．()y f x =在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线2x π =对称 C ．()y f x =在(0,)2 π上单调递减，其图象关于直线4 x π =对称 D ．()y f x =在(0,)2π上单调递减，其图象关于直线2 x π = 对称 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2a n －4（n ∈N *），则a n =（ ） A ．2n +1 B ．2n C ．2n － 1 D ．2n － 2 10．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则（ ） A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 11．πsin 22cos 2x x ? ?-+ ?? ?的最大值是（ ） A ．－3 B ．－32 C ．3 2 D ．3 12．已知函数()y f x =的定义域为R ，当x <0时，()1f x >，且对任意的实数x 、y ∈R ，等 式()()()f x f y f x y =+恒成立．若数列{a n }满足a 1=f (0)，且11 ()(2) n n f a f a += -- (*)n N ∈，则a 2015的值为（ ） A ．4029 B ．3029 C ．2249 D ．2209 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．已知向量(,1)a x x =-，(1,2)b =，且a //b ，则x = ___________ ． 14．设曲线x e x f x sin )(=在（0,0)处的切线与直线x +my +l=0平行，则m = _____ ． 15. 若x ，y 满足约束条件2022020x y x y x y +-?? -+??-+? ≤≤≥，则3z x y =+的最大值为 ． 16．若偶函数(),y f x x R =∈，满足(2)()f x f x +=-，且当[0,2]x ∈时，2 ()2f x x =-， 则方程()sin ||f x x =在[－10，10]内的根的个数为 ___________ ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ΔABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且sin sin().3 a B b A π =-+ （1）求A ； （2）若ΔABC 的面积2 4 S c =，求sin C 的值． 18．(本小题满分12分） 为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n 名 学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组： [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90，100]， 频率分布直方图如图所示，成绩落在[70,80)中的人数为20． （1）求a 和n 的值； （2）设成绩在80分以上（含80分)为优秀，已知样本中成绩 落在[50,80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80,100]中的男、女生人数比为3：2，请完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关． 参考公式和数据：) )()()(()(22 d b c a d c b a bc ad n K ++++-= 19．（本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝ 2 2 AD ，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点． （1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面PDC ⊥平面P AD ； （3）求四棱锥P －ABCD 的体积． 20．(本小题满分12分) 已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，圆C 与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13． （1）求圆C 的标准方程； （2）设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边 形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；若不存在请说明理由． 21．(本小题满分12分) 已知函数2 1()(22)(21)ln .2 f x x a x a x = -+++ （1）若曲线()y f x =在点(2, f (2))处的切线的斜率小于0，求f (x )的单调区间； （2）对任意的a ∈[32，52]，函数g (x )=f (x )－λ x 在区间[1，2]上为增函数，求λ的取值范围． 请考生在（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E ． （1）过E 做O 的切线，交AC 与点D ，证明：D 是AC 的中点； （2）若3CE AO =，求ACB ∠的大小． 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线1:x t l y =???=??（t 为参数），圆22 1:((2)1C x y +-=，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系． （1）求圆1C 的极坐标方程，直线1l 的极坐标方程； （2）设1l 与1C 的交点为,M N ，求1C MN ?的面积． （第22题图） 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|. （1）若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； （2）在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 揭阳一中高三数学（文）上学期阶段1考试参考答案 BBCAA CBDAD CA 13．－1 14．－1 15. 10 3 16．10 17．解：（1）∵sin sin()3 a B b A π =-+ ， ∴由正弦定理得sin sin sin sin()3 A B B A π =-+ ， 即sin sin()3A A π =-+ ，亦即1sin (sin cos )22 A A A =-+， 化简得 tan A = ∵(0,)A π∈，∴56A π =． ……………………（6分） （2）由（1）已得56A π=，则1 sin 2 A =， 由211 sin 24 S bc A bc = ==，得b =， ∴22222 252cos )2 3cos 76 a b c bc A c c c c π =+-=+-=，则a =， 由正弦定理得sin sin c A C a = = ……………………（12分） 18．解： (1)连接EF ，AC ， ∵四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点， ∴对角线AC 经过F 点，又点E 为PC 的中点， ∴EF 为△P AC 的中位线，∴EF ∥P A ． 又P A ?平面P AD ，EF ?平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ．……………………（4分） (2)∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD ⊥AD ， 又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面P AD ． 又CD ?平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面P AD ． ……………………（8分） (3)过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G ， ∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，PG ?平面P AD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，即PG 为四棱锥P －ABCD 的高， 又P A ＝PD ＝ 22AD 且AD ＝a ，∴PG ＝a 2 ． ∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PG ＝13×a 2×a 2＝16a 3 ． ……………………（12分） 19．解：（1）由10a =1－(0．005+0．01+0．015+0．02)×10=0．5得 a =0．05， 则n = 20 100.05 ?= 40． ． ……………………（5分） （2）优秀的男生为6人，女生为4人；不优秀的男生为10人，女生为20人． 所以2×2列联表如下表： 则2 2 40(620410) 2.222 3.84116241030 K ??-?= ≈ 20．解： (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)， 由题意知????? |3a ＋7|32＋4 2 ＝r ，a 2＋3＝r ， 解得a ＝1或a ＝13 8 ， 又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1， ∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4．………………………………（5分） (2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．……………………（6分） 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得? ???? y ＝kx ＋3， x －2 ＋y 2＝4， 消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0． ∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋26 3． ………………………………（8分） x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋6 1＋k 2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC → ＝(1，－3)， 假设OD →∥MC → ，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34 ………………（11分） 显然k ＝34 ? (－∞，1－263)∪(1＋26 3 ，＋∞)，假设不成立， ∴不存在这样的直线l ． ………………………………（12分） 21．解：（1）21(21)(1) ()(22)(0)a x a x f x x a x x x +---'=-++ => 若曲线()y f x =在点(2, f (2))处的切线的斜率小于0， 则1(2)02f a '=-+ <，即1 2 a >， ∴2a +1>1 则令()0f x '>，解得0 ∴()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2a +1,+∞)，单调递减区间为(1，2a +1) ．…（5分） （2）∵()()g x f x x λ =- 在区间[1，2]上为增函数， ∴()0g x '≥对任意的a ∈[32，5 2]，x ∈[1，2]恒成立， ∴221()(22)0a g x x a x x λ +'=-++ +≥， 化简可得32(22)(21)0x a x a x λ-++++≥， 即232(22)20x x a x x x λ-+-++≥，其中a ∈[32，5 2] ……………（7分） ∵x ∈[1，2]，∴2220x x -≤， ∴只需2 325 (22) 202 x x x x x λ-+-++≥ 即32 760x x x λ-++≥对任意x ∈[1，2]恒成立． 令32()76h x x x x λ=-++，x ∈[1，2]， 则2()31460h x x x '=-+<在[1，2]上恒成立， ∴32 ()76h x x x x λ=-++在区间[1，2]上为减函数， ∴min ()(2)80h x h λ==-≥，解得8λ≥． ……………………………（12分） 22.（1）证明：连接,OE AE ， ∵AC 是O 的切线，DE 也是O 的切线， ∴弦切角CAE DEA ∠=∠，∴ADE ?是等腰三角形，AD DE =， ∵AB 是O 的直径，∴0 90AEB CEA ∠==∠． ∴D 是AEC ?的外心，即是AC 的中点．………………………………（5分） （2）解：不妨设AO =1，则CE =3 在ABC ?中，22 sin 3AO ACB CE BE BE ∠= =++………① 在ABE ?中，cos 22BE BE EBA AO ∠==，即sin 2BE ACB ∠=………② 联立①②，解得1 sin sin -22 ACB ACB ∠=∠=或（舍）， ∴锐角030ACB ∠=． ………………………………（10分） 23．解：（1）将cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 代入1C 展开整理得： 2cos 4sin 60ρθρθ--+=， ∴圆1C 的极坐标方程为：2cos 4sin 60ρθρθ--+=． ∵直线1l 的方程消参得y x =， 又∵tan y x θ= ， ∴直线1l 的极坐标方程为tan 3 π θθ==即（R ρ∈）……（5分） （2）∵直线1l 0y -=， ∴圆心C 12）到直线 1l 1 2=， ｜MN ｜==， ∴111224 C MN S ?= = ． ……………………………………（10分） 24 ．解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以? ??? ? a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. …………………………………（5分） (2) 解法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.
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