5.4 第2课时 用逼近法求一元二次方程的近似根

第2课时用逼近法求一元二次方程的近似根

知识点1用图像求一元二次方程的近似根

1.抛物线y=x2-2x+0.5如图5-4-5所示,利用图像可得方程x2-2x+0.5=0的近似根(精确到0.1)为

()

图5-4-5

A.1.7或0.3

B.1.6或0.4

C.1.5或0.5

D.1.8或0.2

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(-1,-

3.2),部分图像如图5-4-6,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈()

图5-4-6

A.-1.3

B.-2.3

C.-0.3

D.-3.3

3.图5-4-7是二次函数y=ax2+bx-c的部分图像,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是.(精确到0.1)

图5-4-7

知识点2用表格求一元二次方程的近似根

4.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:

那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()

A.1

B.1.1

C.1.2

D.1.3

5.下面的表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()

A.6

B.6.17

C.6.18

D.6.19

6.二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的部分对应值如下表:

则一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两个根x1,x2(x1

①-

7.已知二次函数y=-x2-2x+2.

(1)填写下表,并在如图5-4-8所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像;

(2)结合函数图像,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似根(指出在哪两个连续整数之间即可).

图5-4-8

8.已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如下表:

现给出下列说法:

①该函数图像开口向下;

②该函数图像的对称轴为过点(1,0)且平行于y轴的直线;

③当x=2时,y=3;

④方程ax2+bx+c=-2的正根在3与4之间.

其中正确的说法为.(只需写出序号)

9.已知二次函数y=x2+x的图像如图5-4-9所示.

(1)根据方程的根与函数图像之间的关系,将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来,并根据图像,写出方程x2+x=1的根(精确到0.1);

(2)在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=x+的图像,观察图像写出自变量x的取值在什

么范围内时,一次函数的值小于

．．二次函数的值.

图5-4-9

10.某小区有一块长100 m、宽80 m的空地,现将其建成花园广场,设计图案如图5-4-10,阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形),空白区域为活动区,且四周出口一样宽,宽度不小于50 m,不大于60 m.预计活动区每平方米造价60元,绿化区每平方米造价50元.

(1)设一块绿化区的长为x m,写出工程造价y与长边x之间的函数表达式.(写出x的取值范围)

(2)若小区投资46.9万元,则能否完成工程任务?若能,请写出x为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由.(参考数据:≈1.732)

图5-4-10

11.图5-4-11是二次函数y=(x+h)2+k的图像,其顶点坐标为M(1,-4).

(1)求图像与x轴的交点A,B的坐标.

(2)在二次函数的图像上是否存在点P,使S△P AB=S△MAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折,图像的其余部分保持不变,得到一个新的图像,请你结合这个新的图像回答:当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时,b的取值范围是多少?

图5-4-11

教师详解详析

1.A[解析] ∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点坐标分别近似是(0.3,0),(1.7,0),

∴方程x2-2x+0.5=0的近似根是1.7或0.3.

2.D[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=-1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1≈1.3,所以另一根x2≈-

3.3.故选D.

3.x1≈0.8,x2≈3.2(合理即可)

4.C

5.C

6.③

7.解:(1)填表如下:

所画图像如图:

(2)由图像可知,方程-x2-2x+2=0的两个近似根在-3与-2之间和0与1之间.

8.①③④[解析] ∵二次函数值先由小变大,再由大变小,∴抛物线的开口向下,故①正确;

∵抛物线过点(0,1)和(3,1),∴抛物线的对称轴为直线x=,故②错误;

∵抛物线的对称轴为直线x=,

∴当x=2时的函数值与当x=1时的函数值相等,为3,故③正确;

∵当x=-1时,y=-3,∴当x=4时,y=-3,

∴二次函数y=ax2+bx+c的函数值为-2时,-1

即方程ax2+bx+c=-2的负根在-1与0之间,正根在3与4之间,故④正确.

9.解:(1)如图,作出直线y=1与抛物线交于点A,B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,点C,D在x轴上表示的数就是方程x2+x=1的根.

由图像知方程x2+x=1的根为x1≈-1.6,x2≈0.6(合理即可).

(2)画直线y=x+如图.

由图像可知当x<-1.5或x>1时,一次函数的值小于二次函数的值.

10.解:(1)由题意,得出口宽为(100-2x)m,

∴一块绿化区的宽为[80-(100-2x)]=(x-10)m,

∴y=50×4×x(x-10)+60×[8000-4×x(x-10)]=200x2-2000x+480000-240x2+2400x,

即y=-40x2+400x+480000(20≤x≤25).

(2)能.令-40x2+400x+480000≤469000,

∴x2-10x-275≥0,

解得x≤5-10(舍去)或x≥5+10≈22.32,

∴投资46.9万元,能完成工程任务.

方案一:每块矩形绿地长为23 m,宽为13 m;

方案二:每块矩形绿地长为24 m,宽为14 m;

方案三:每块矩形绿地长为25 m,宽为15 m.

11.[解析] (1)依据题目条件可直接求出二次函数的表达式,求图像与x轴的交点A,B的坐标,也就是计算当y=0时x的值;(2)可先求出S△MAB,根据S△P AB=S△MAB求出△P AB的底边AB上的高(即点P纵坐标的绝对值),求得点P的纵坐标,进而计算点P的横坐标;(3)分别计算出直线y=x+b(b<1)经过点A,B时b的值,即可求出b的取值范围.

解:(1)∵(1,-4)是二次函数y=(x+h)2+k的顶点坐标,

∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.

令x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,

∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0).

(2)在二次函数的图像上存在点P,使S△P AB=S△MAB.

设P(x,y),则S△P AB=|AB|×|y|=2|y|.

又∵S△MAB=|AB|×|-4|=8,

∴2|y|=×8,即y=±5.

∵二次函数的最小值为-4,

∴y=5.

当y=5时,x=-2或x=4.

故存在符合题意的点P,点P的坐标为(-2,5)或(4,5).

(3)如图,当直线y=x+b(b<1)经过点A时,

可得b=1;

当直线y=x+b(b<1)经过点B时,

可得b=-3.

由此可知符合题意的b的取值范围为-3