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(完整word版)2019年浙江省高考数学试卷

2019年浙江省高考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()(U A B =I e

)

A ．{1}-

B ．{0，1}

C ．{1-，2，3}

D ．{1-，0，1，3}

2．渐进线方程为0

x y ±=的双曲线的离心率是( ) A ．

2 B ．1

C ．2

D ．2

3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??

--??+?

…

?…，则32z x y =+的最大值是( )

A ．1-

B ．1

C ．10

D ．12

4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是( )

A ．158

B ．162

C ．182

D ．324

5．若0a >，0b >，则“4a b +?”是“4ab ?”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．在同一直角坐标系中，函数1x y a

=，1

1()2a y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

X 0 a

1 P

A ．()D X 增大

B ．()D X 减小

C ．()

D X 先增大后减小

D ．()D X 先减小后增大

8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则( ) A ．βγ<，αγ<

B ．βα<，βγ<

C ．βα<，γα<

D ．αβ<，γβ<

9．设a ，b R ∈，函数32

,0,

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++??g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <

B ．1a <-，0b >

C ．1a >-，0b <

D ．1a >-，0b >

10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，2

1n n

a a

b +=+，*n N ∈，则( ) A ．当12b =时，1010a > B ．当1

b =时，1010a >

C ．当2b =-时，1010a >

D ．当4b =-时，1010a >

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．已知复数1

1z i

=+，其中i 是虚数单位，则||z = ．

12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点(2,1)A --，则m = ，r = ．

13．在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是． 14．在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，

则BD = ，cos ABD ∠= ．

15．已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点

在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是．

16．已知a R ∈，函数3()f x ax x =-．若存在t R ∈，使得2

|(2)()|3

f t f t +-…，则实数a 的

最大值是．

17．已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

的最小值是，最大值是．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（14分）设函数()sin f x x =，x R ∈．

（1）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124

y f x f x ππ

++的值域．

19．（15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?，30BAC ∠=?，11

A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11A

B 的中点．（Ⅰ）证明：EF B

C ⊥；

（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．

20．（15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记2n

n n

a c

b =

*n N ∈，证明：122n c c c n ++?+<，*n N ∈． 21．如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ?的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点

F 的右侧．记AF

G ?，CQG ?的面积分别为1S ，2S ．

（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；

（Ⅱ）求12

S 的最小值及此时点G 点坐标．

22．（15分）已知实数0a ≠，设函数()1f x alnx x =+0x >．

（Ⅰ）当3

a =-时，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）对任意21

[x e

∈，)+∞均有()x f x …a 的取值范围．

注意： 2.71828e =??为自然对数的底数．

2019年浙江省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()(U A B =I e

)

A ．{1}-

B ．{0，1}

C ．{1-，2，3}

D ．{1-，0，1，3}

【思路分析】由全集U 以及A 求A 的补集，然后根据交集定义得结果．

【解析】：{1U A =-Q e，3}，()U A B ∴I e{1=-，3}{1-?，0，}l {1}=-故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( ) A

B ．1 C

D ．2

【思路分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．

【解析】：根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =

，所以c =

则该双曲线的离心率为c

e a

=C ．

【归纳与总结】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??

--??+?

…

?…，则32z x y =+的最大值是( )

A ．1-

B ．1

C ．10

D ．12

【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解析】：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??

--??+?

…

?…作出可行域如图，

联立340

340x y x y -+=??--=?

，解得(2,2)A ，

化目标函数32z x y =+为31

22y x z =--，

由图可知，当直线31

y x z =--过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，

z 有最大值：10．故选：C ．

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh 柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是( )

A ．158

B ．162

C ．182

D ．324

【思路分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．

【解析】：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，

即()()11

4632632722

ABCDE S =+?++?=五边形，

高为6，则该柱体的体积是276162V =?=．故选：B ．

【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．若0a >，0b >，则“4a b +?”是“4ab ?”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【思路分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果

【解析】：0a >Q ，0b >，42a b ab ∴+厖， 2ab ∴…，4ab ∴?，即44a b ab +?剟，

若4a =，1

4b =，则14ab =?，

但1

444

a b +=+>，

即4ab ?推不出4a b +?，

4a b ∴+?是4ab ?的充分不必要条件

故选：A ．

【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．

6．在同一直角坐标系中，函数1x

y a

，11()2a y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【思路分析】对a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；

【解析】：由函数1x y a

=，1

1()2a y og x =+，

当1a >时，可得1

x y a =是递减函数，图象恒过(0,1)点，

函数11()2a y og x =+，是递增函数，图象恒过1

，0)；

当10a >>时，可得1

x y a

=是递增函数，图象恒过(0,1)点，

函数11()2a y og x =+，是递减函数，图象恒过1

，0)；

∴满足要求的图象为：D 故选：D ．

【归纳与总结】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题． X 0 a

1 P

A ．()D X 增大

B ．()D X 减小

C ．()

D X 先增大后减小

D ．()D X 先减小后增大

【思路分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果

【解析】：1111

()013333

a E X a +=?+?+?=，

222111111

()()()(1)333333

a a a D X a +++=?+-?+-?

2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926a a a a a a =++-+-=-+=-+ 01a <

【归纳与总结】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．

8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则( )

A ．βγ<，αγ<

B ．βα<，βγ<

C ．βα<，γα<

D ．αβ<，γβ<

【思路分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，

【解析】：方法一、如图G 为AC 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影D 在线段AO 上，作DE AC ⊥于E ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，

则BPF α=∠，PBD β=∠，PED γ=∠，

则cos cos PF EG DH BD

PB PB PB PB αβ===<=

，可得βα<；

tan tan PD PD

ED BD

γβ=>=，可得βγ<，

方法二、由最小值定理可得βα<，记V AC B --的平面角为γ'（显然)γγ'=，由最大角定理可得βγγ'<=；

方法三、（特殊图形法）设三棱锥V ABC -为棱长为2的正四面体，P 为VA 的中点，易得132cos 3α==，可得33sin α=，62

3sin 3

β==，6

223sin 3γ==，

故选：B ．

【归纳与总结】本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法．

9．设a ，b R ∈，函数32

,0,

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++??g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <

B ．1a <-，0b >

C ．1a >-，0b <

D ．1a >-，0b >

【思路分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …

时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的

单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．

【解析】：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b

x a

=-；

()y f x ax b =--最多一个零点；

当0x …时，32321111

()(1)

(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，

2(1)y x a x '=-+，

当10a +?，即1a -?时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；

当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：

∴01b a <-且32

11(1)(1)(1)03

2b a a a b ->???+-++-，31

(1)6

b a >-+．

故选：C ．

【归纳与总结】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．

10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，2

1n n

a a

b +=+，*n N ∈，则( ) A ．当12b =时，1010a > B ．当1

b =时，1010a >

C ．当2b =-时，1010a >

D ．当4b =-时，1010a >

【思路分析】对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=，取112a =，得到当1

b =时，1010a <；

对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-，取12a =，得到当2b =-时，1010a <；对于D ，

令240x λ--=，得117λ±=

，取1117

a +=，得到当4

b =-时，1010a <；对于A ，221122a a =+…，223113()224a a =++…，4224319117

()14216216a a a =++++=>…，当4n …

时，11

2122

n n n n a a a a +=+>+=，由此推导出61043()2a a >，从而107291064a >

>．【解析】：对于B ，令2104x λ-+=，得1

λ=，

取112a =

，∴211

,,1022n a a =?=<， ∴当1

b =时，1010a <，故B 错误；

对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-，

取12a =，22a ∴=，?，210n a =<，

∴当2b =-时，1010a <，故C 错误；

对于D ，令240x λ--=

，得λ=

取1a =

∴2a =?

，10n a =<，

∴当4b =-时，1010a <，故D 错误；

对于A ，221122a a =+…，223113

()224a a =++…，

4224319117

()14216216

a a a =++++=>…，

10n n a a +->，{}n a 递增，

当4n …时，11

2122

n n n n a a a a +=+>+=，

∴54

451093

23232

a a a a a a ?>???>????????

?>??g g

g ，∴61043()2a a >，107291064a ∴>>．故A 正确．

故选：A ．

【归纳与总结】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．已知复数1

1z i

+，其中i 是虚数单位，则||z =

．

【思路分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．

【解析】：1111

1(1)(1)22

i z i i i i -===-++-Q ．

||z ∴．

．【归纳与总结】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题． 12．（6分）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点

(2,1)A --，则m = 2

- ，r = ．

【思路分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m ，再由两点间的距离公式求半径．【解析】：如图，

由圆心与切点的连线与切线垂直，得

m +=-，解得2m =-． ∴圆心为(0,2)-，则半径22(20)(12)5r =--+-+

故答案为：2-5．

【归纳与总结】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．

13．（6分）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是 162 ，系数为有理数的项的个数是．

【思路分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．

【解析】：二项式9

(2)x 的展开式的通项为992

9(2)

r r

r r r T C x C x --+==．

由0r =，得常数项是1162T =

当1r =，3，5，7，9时，系数为有理数，

∴系数为有理数的项的个数是5个．

故答案为：1625．

【归纳与总结】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 14．（6分）在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =

122

，cos ABD ∠= ．【思路分析】解直角三角形ABC ，可得sin C ，cos C ，在三角形BCD 中，运用正弦定理可得BD ；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．

【解析】：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4

sin 5

C =，

在BCD ?sin 2BD

，可得122BD =； 135CBD C ∠=?-，224372

sin sin(135)sin )()55CBD C C C ∠=?-=

即有72

cos cos(90)sin 10

ABD CBD CBD ∠=?-∠=∠=

，故答案为：

1225，72

，

【归纳与总结】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．

15．已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点

在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 15 ．

【思路分析】求得椭圆的a ，b ，c ，e ，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P 的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．

【解析】：椭圆22195x y +=的3a =，5b =，2c =，2

e =，

设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，

线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆，连接AO ，可得||2||4PF AO '==，

设P 的坐标为(,)m n ，可得2343m -=，可得3

m =-，15n =，

由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为 15

215322

=-+．故答案为：15．

【归纳与总结】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

16．已知a R ∈，函数3()f x ax x =-．若存在t R ∈，使得2

|(2)()|3

f t f t +-…

，则实数a 的

最大值是

．【思路分析】由题意可得332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+?

，化为22

|2(364)2|3

a t t ++-?，去绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a 的范围，

进而得到所求最大值．

【解析】：存在t R ∈，使得2|(2)()|3

f t f t +-?，即有332

|(2)(2)|3

a t t at t +-+-+?，化为22|2(364)2|3

a t t ++-?

，可得2222(364)2

33a t t -++-剟，即224(364)33

a t t ++剟，由223643(1)11t t t ++=++…

，可得403a

3．

故答案为：4

．

【归纳与总结】本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简

变形能力，属于基础题．

17．（6分）已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

的最小值是 0 ，最大值是．

【思路分析】由题意可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r

，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，0AB AD =u u u r u u u r g ，化简123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±，由完

全平方数的最值，可得所求最值．

【解析】：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u

r u u u r u u u r ， 0AB AD =u u u r u u u r

g ， 123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r

由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±，

可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取561λλ==，131λλ==，21λ=-，41λ=，可得所求最小值为0；

由1356λλλλ-+-，2456λλλλ-++的最大值为4，可取21λ=，41λ=-，561λλ==，11λ=，

31λ=-，

可得所求最大值为

故答案为：0，

【归纳与总结】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（14分）设函数()sin f x x =，x R ∈．

（1）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124

y f x f x ππ

++的值域．

【思路分析】（1）函数()f x θ+是偶函数，则()2

k k Z π

θπ=+∈，根据θ的范围可得结果；

（2）化简函数得3)16

y x π

-+，然后根据x 的范围求值域即可．【解析】：（1）由()sin f x x =，得

()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+Q 为偶函数，∴()2

k k Z π

θπ=+∈， [0θ∈Q ，2)π，∴2

θ=

或32

θ=

，（2）22[()][()]124

y f x f x ππ

=+++ 22sin ()sin ()124

x x ππ

++ 1cos(2)1cos(2)

6222x x ππ

-+-+=

+ 11(cos2cos sin 2sin sin 2)266x x x ππ

=---

33sin 214x x =+ 3)16x π=-+， x R ∈Q ，∴sin(2)[1,1]6

x π

-∈-，

∴333

)1[16y x π=-+∈，

∴函数22[()][()]124

y f x f x π

++的值域为：33[1+．【归纳与总结】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三

角恒等变换，属基础题．

19．（15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?，30BAC ∠=?，11

A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11A

B 的中点．

（Ⅰ）证明：EF BC ⊥；

（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．

【思路分析】法一：

（Ⅰ）连结1A E ，则1A E AC ⊥，从而1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，推导出1BC A F ⊥，从而BC ⊥平面1A EF 由此能证明EF BC ⊥．

（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，推导出1A E EG ⊥，从而平行四边形1EGFA 是矩形，推导出BC ⊥平面1EGFA ，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角），由此能求出直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．法二：

（Ⅰ）连结1A E ，推导出1A E ⊥平面ABC ，以E 为原点，EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．【解答】方法一：

证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，

又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ?平面11A ACC ，平面11A ACC ?平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，1A E BC ∴⊥，

1//A F AB Q ，90ABC ∠=?，1BC A F ∴⊥，

BC ∴⊥平面1A EF ，EF BC ∴⊥．

解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，

∴平行四边形1EGFA 是矩形，

由（Ⅰ）得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，

EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，

连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角），不妨设4AC =，则在Rt △1A EG 中，123A E =，3EG ， O Q 是1A G 的中点，故1

152AG EO OG ==

2223

cos 25

EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==??，

∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为35

．

方法二：

证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，

又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ?平面11A ACC ，平面11A ACC ?平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，

如图，以E 为原点，EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设4AC =，则1(0A ，0，23)，(3,1,0)B ，1(3,3,23)B ，33

(,,23)2

F ，(0C ，2，0)，

(,,23)2EF =u u u r ，(3,1,0)BC =-u u u r ，

由0EF BC =u u u r u u u r

g ，得EF BC ⊥．

解：（Ⅱ）设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，

由（Ⅰ）得(3,1,0)BC =-u u u r ，1(0A C =u u u u r

，2，23)-，

设平面1A BC 的法向量(n x =，y ，)z ，

则13030BC n x y AC n y z ?=-+=??=-=??u u u r r g u u u u r r

，取1x =，得(1,3,1)n =r ， ||4sin 5

||||EF n EF n θ∴==u u u r g u u u r r g ， ∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3

．

【归纳与总结】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面． 20．（15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记2n

n n

a c

b =

*n N ∈，证明：122n c c c n ++?+<，*n N ∈．【思路分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出10a =，2d =，

从而22n a n =-，*n N ∈．2n S n n =-，*n N ∈，利用212()()()n n n n n n S b S b S b +++=++，能求出n b ．（Ⅱ

）n c =

=，*n N ∈，用数学归纳法证明，得

到

12n c c c ++?+<，*n N ∈．

【解析】：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124333a d a d a d

+=??+=+?，

解得10a =，2d =， 22n a n ∴=-，*n N ∈．

2n S n n ∴=-，*n N ∈，

Q 数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．

212()()()n n n n n n S b S b S b ++∴+=++，

解得2121

()n n n n b S S S d

++=-，

解得2n b n n =+，*n N ∈．证明：

（Ⅱ）n c =

，*n N ∈，

用数学归纳法证明：

①当1n =时，102c =<，不等式成立；

②假设n k =，*()k N ∈

时不等式成立，即12k c c c ++?+< 则当1n k =+时，

121k k c c c c +++?++<<

<==

即1n k =+时，不等式也成立．

由①②得12n c c c ++?+<，*n N ∈．

【归纳与总结】本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．

21．如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ?的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点

F 的右侧．记AF

G ?，CQG ?的面积分别为1S ，2S ．

（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；

（Ⅱ）求12

S 的最小值及此时点G 点坐标．

【思路分析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：

=，由此能求出抛物线的准线方程；（Ⅱ）设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，(C C x ，)C y ，重心(G G x ，)G y ，令2A y t =，0t ≠，则

A x t =，从而直线A

B 的方程为2112t x y t -=+，代入24y x =，得：222(1)40t y y t

---=，

求出21(B t ，2)t -，由重心在x 轴上，得到220C t y t -+=，从而21

(()C t t -，12())t t -，

422

222

(3t t G t

-+，0)，进崦直线AC 的方程为222()y t t x t -=-，得2(1Q t -，0)，由此结合已知条件能求出结果．

【解析】：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：12

=，

2p ∴=，

∴抛物线的准线方程为1x =-；

（Ⅱ）设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，(C C x ，)C y ，重心(G G x ，)G y ，令2A y t =，0t ≠，则2A x t =，

由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为21

12t x y t

-=+，

代入24y x =，得：2

22(1)

40t y y t

---=，

24B ty ∴=-，即2B y t =-，21

(B t

∴，2)t -，

又1()3G A B C x x x x =++，1

()3G A B C y y y y =++，重心在x 轴上，

∴2

20C t y t

-+=，

1(()C t t

∴-，12())t t -，422222(

3t t G t -+，0)， ∴直线AC 的方程为222()y t t x t -=-，得2(1Q t -，0)，

Q Q 在焦点F 的右侧，22t ∴>，

∴424222142

442222211

|||2|||||223221222211|||||1||2|

23A C t t t FG y S t t t t t t S t t QG y t t t t

-+--====--+-----g g g g ，令22m t =-，则0m >，

2221

434

S m

S m m m

=-=--=

++++

…，

∴

当m时，1

取得最小值为1(2,0)

G．

【归纳与总结】本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

22．（15分）已知实数0

a≠

，设函数()

f x alnx

x>．

（Ⅰ）当3

a=-时，求函数()

f x的单调区间；

（Ⅱ）对任意

[

∈，)

+∞

均有()

f x?a的取值范围．

注意： 2.71828

e=??为自然对数的底数．

【思路分析】（1）当3

a=-

时，

()

f x

'=-+=，利用导数性质能求出函数()

f x的单调区间．

（2）由1

()

f x

?，

得0a

当0a

时，()

f x?，

lnx

-…，令1

=，

则t…，

设()22

g t t lnx

，t…，

则2

()2

g t t lnx

=--，由此利用分类讨论思想和导导数性质能求出a的取值范围．

【解析】：（1）当3

a=-时，

()

f x lnx

=-0

x>，

()

f x

'=-+

=，

∴函数()

f x的单调递减区间为(0,3)

，单调递增区间为(3,)

+∞．

（2）由1

()

，得0a

当0a

时，()

f x

lnx

-…

，

令1

，则t…

设()22

g t t lnx

=-，t…，

则2

()2

g t

t lnx

=--，

(

)i当

[

x∈，)

+∞

则()2

g x g lnx

…，

记()

p x lnx

=，1

x…，

2014年浙江省高考数学试卷(理科)

2014年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 2 2 3．（5分）（2014?浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（） 4．（5分）（2014?浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图向右平移向左平移个单位向右平移向左平移个单位 5．（5分）（2014?浙江）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n）， 6．（5分）（2014?浙江）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3） 7．（5分）（2014?浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（）

B ．． D ． 8．（5分）（2014?浙江）记max{x ，y}=，min{x ，y}=，设，为 +||﹣min{|||} min{|+﹣|}min{||||} ||﹣||||max{|||﹣|+||9．（5分）（2014?浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球（m ≥3，n ≥3），从乙盒中随机抽取i （i=1，2）个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi （i=1，2）；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i （i=1，2）． 10．（5分）（2014?浙江）设函数f 1（x ）=x 2 ，f 2（x ）=2（x ﹣x 2 ），，，i=0，1，2，…，99 ．记I k =|f k （a 1）﹣f k （a 0）|+|f k （a 2）﹣f k （a 1）丨+…+|f k （a 99）二、填空题 11．（4分）（2014?浙江）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．

2019年浙江高考数学真题及答案(Word版,精校版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B e= A ．{}1- B ．{}0,1? C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3- 2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥?? --≤??+≥? ，则z =3x +2y 的最大值是 A ．1- B ．1 C ．10 D ．12 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体 =Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 5．若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数y = 1 x a ，y =log a (x +)，(a >0且a ≠0)的图像可能是 7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

则当a 在（0,1）内增大时 A ．D （X ）增大 B ．D （X ）减小 C ． D （X ）先增大后减小 D ．D （X ）先减小后增大 8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 9．已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a ＞-1，b ＞0 D ．a ＞-1，b <0 10．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则 A ．当b =，a 10＞10 B ．当b =，a 10＞10 C ．当b =-2，a 10＞10 D ．当b =-4，a 10＞10 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．复数1 1i z = +（为虚数单位），则||z =___________. 12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是.若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____， =______. 13 ．在二项式9 )x 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______. 14．在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =____，cos ABD ∠=________. 15．已知椭圆22 195 x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 16．已知a ∈R ，函数3 ()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2 |(2)()|3 f t f t +-≤，则实数的最大值是____. 17．已知正方形ABCD 的边长为 1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时， 123456 ||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________，最大值是_______. 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019年数学高考试题(附答案)

2019年数学高考试题(附答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．函数ln || ()x x f x e = 的大致图象是（） A ． B ． C ． D ． 3．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（） A ． 1.2308?.0y x =+ B ．0.0813?.2y x =+ C ． 1.234?y x =+ D ． 1.235?y x =+ 4．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 5．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A ． 19 B ． 29 C ． 49 D ． 718 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2) 8．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（）

2019年浙江省高考数学试卷(原卷版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{} 1,0,1,2,3 U=-，集合{} 0,1,2 A=，{}101 B=-,,，则 U A B= e（） A. {}1- B. {}0,1 C. {} 1,2,3 - D. {} 1,0,1,3 - 2.渐近线方程为0 x y ±=的双曲线的离心率是（） A. B. 1 C. D. 2 3.若实数,x y满足约束条件 340 340 x y x y x y -+≥ ? ? --≤ ? ?+≥ ? ，则32 z x y =+的最大值是（） A. 1- B. 1 C 10 D. 12 4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以

得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（） A. 158 B. 162 C. 182 D. 32 5.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ??= =+> ?? ?且0)a ≠的图象可能是（） A. B. C. D. 7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在 ()0,1内增大时（）

2020年浙江高考数学试卷-(含答案)

2020年浙江高考数学试卷参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()C (1) (0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-= 台体的体积公式121 ()3 V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式 24S R =π 球的体积公式 34 3 V R =π 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P Q = A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤< D ．{|14}x x << 2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i(i 为虚数单位)是实数，则a = A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2 3．若实数x ，y 满足约束条件310 30x y x y -+≤??+-≥? ，则2z x y =+的取值范围是 A ．(,4]-∞ B ．[4,)+∞ C ．[5,)+∞ D ．(,)-∞+∞ 4．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是

2019年浙江省高考数学试卷-解析版

2019年浙江省高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.已知全集U={?1,0，1，2，3}，集合A={0,1，2}，B={?1,0，1}，则(?U A)∩B=() A. {?1} B. {0,1} C. {?1,2，3} D. {?1,0，1，3} 2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是() A. √2 2 B. 1 C. √2 D. 2 3.若实数x，y满足约束条件{x?3y+4≥0 3x?y?4≤0 x+y≥0 ，则z=3x+2y的最大值是() A. ?1 B. 1 C. 10 D. 12 4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=S?，其中S是柱体的底面积， h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是() A. 158 B. 162 C. 182 D. 324 5.若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.在同一直角坐标系中，函数y=1 a x ，y=log a(x+1 2 )(a>0且a≠1)的图象可能是() A. B. C. D.

7. X 0 a 1 P 13 13 13 则当a 在(0,1)内增大时，( ) A. D(X)增大 B. D(X)减小 C. D(X)先增大后减小 D. D(X)先减小后增大 8. 设三棱锥V ?ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点 )，记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P ?AC ?B 的平面角为γ，则( ) A. β<γ，α<γ B. β<α，β<γ C. β<α，γ<α D. α<β，γ<β 9. 设a ， b ∈R ，函数f(x)={x,x <0, 13 x 3?12 (a +1)x 2+ax,x ≥0．若函数y =f(x)?ax ?b 恰有3个零点，则( ) A. a 0 C. a >?1，b <0 D. a >?1，b >0 10. 设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=a n 2 +b ，n ∈N ?，则( ) A. 当b =1 2时，a 10>10 B. 当b =1 4时，a 10>10 C. 当时，a 10>10 D. 当时，a 10>10 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 复数z =1 1+i (i 为虚数单位)，则|z|=______． 12. 已知圆C 的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x ?y +3=0与圆C 相切于点 A(?2,?1)，则m =______，r =______． 13. 在二项式(√2+x)9的展开式中，常数项是_____________，系数为有理数的项的个数是______________． 14. 在?ABC 中， ∠ABC =90°，AB =4，BC =3，点D 在线段AC 上，若∠BDC =45°，则BD =___________；cos∠ABD =___________． 15. 已知椭圆x 2 9+y 2 5 =1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是______． 16. 已知a ∈R ，函数f(x)=ax 3?x.若存在t ∈R ，使得|f(t +2)?f(t)|≤2 3，则实数 a 的最大值是______． 17. 已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i =1,2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB ????? +λ2BC ????? +λ3CD ????? +λ4DA ????? +λ5AC ????? +λ6BD ?????? |的最小值是______，最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 设函数f(x)=sinx ，x ∈R ． (1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x +θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y =[f(x +π 12)]2+[f(x +π 4)]2的值域．

2019年数学高考试卷(附答案)

2019年数学高考试卷(附答案) 一、选择题 1．如图所示的圆锥的俯视图为（） A ． B ． C ． D ． 2．123{ 3 x x >>是12126{ 9 x x x x +>>成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 3．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 4．函数2 ||()x x f x e -=的图象是（） A ． B ． C ． D ． 5．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（） A 2B 3 C ．22 D ．326．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面

的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）. A ．6500元 B ．7000元 C ．7500元 D ．8000元 7．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若 0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形但不是等边三角形. 8．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 9．设F 为双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 10．若实数满足约束条件，则的最大值是（） A ． B ．1 C ．10 D ．12 11．已知抛物线2 2(0)y px p =>交双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ?的面积为32，则抛物线的焦点为（） A ．(2,0) B ．(4,0) C ．(6,0) D ．(8,0) 12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 二、填空题

2017浙江高考数学试卷含答案

2017浙江一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q ＝( ) A ．(－1，2) B ．(0，1) C ．(－1，0) D ．(1，2) 【解析】利用数轴，取P ，Q 所有元素，得P ∪Q ＝(－1，2)． 2．椭圆x 29＋y 2 4＝1的离心率是 A ．133 B ．53 C ．23 D ．59 解析根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，故椭圆的离心率e ＝c a ＝5 3，故选B ． 3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( ) A ．π2＋1 B ．π2＋3 C ．3π2＋1 D ．3π2 ＋3 【解析】由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积 V ＝13 ×1 2π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A ． 4．若x ，y 满足约束条件???? ?x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是 A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，＋∞) D ．[4，＋∞) 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，故z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由?????x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2，1)，此时，z ＝4，故z ≥4，故选D ． 5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关

2019年浙江省高考数学试卷(原卷答案解析版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题1-5+解析5-28页参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{} 1,0,1,2,3 U=-，集合{} 0,1,2 A=，{} 101 B=-,,，则 U A B= e（） A. {}1- B. {} 0,1 C. {} 1,2,3 - D. {} 1,0,1,3 - 2.渐近线方程为0 x y ±=的双曲线的离心率是（） A. B. 1 C. D. 2 3.若实数,x y满足约束条件 340 340 x y x y x y -+≥ ? ? --≤ ? ?+≥ ? ，则32 z x y =+的最大值是（） A. 1 - B. 1 C 10 D. 12

4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（） A. 158 B. 162 C. 182 D. 32 5.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ??= =+> ?? ?且0)a ≠图象可能是（） A. B. C. D. 7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：的

2019年高考数学试卷(含答案)

2019年高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 2．定义运算()() a a b a b b a b ≤?⊕=? >?，则函数()12x f x =⊕的图象是（）． A ． B ． C ． D ． 3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =- B ．1()2 x y = C ．2y log x = D ．() 2 112 y x = - 4．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7 c π=，则（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 5．若满足 sin cos cos A B C a b c ==，则ABC ?为（） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形

C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30的等腰三角形 6．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 7．ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b = ，则 c =( ) A ．23 B ．2 C ．2 D ．1 8．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 9．函数y =2x sin2x 的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 10．若实数满足约束条件，则的最大值是（） A ． B ．1 C ．10 D ．12 11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=， ()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3 2 BQ CP ?=-，则λ=（） A ． 12 B ． 12 2 ± C ． 110 2 ± D ． 32 2 ±

2019年浙江省高考理科数学试卷答案解析

. 2019年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{} 5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （） A. ? B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ （2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 2cm 4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（） A.向右平移 4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12 π 个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（） A.45 B.60 C.120 D. 210 6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(2 3≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （） A.3≤c B.63≤c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（）

2019年高考英语浙江卷-答案

2019年6月普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 英语答案解析第一部分听力 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】B 8.【答案】A 9.【答案】C 10.【答案】C 11.【答案】B 12.【答案】A 13.【答案】C 14.【答案】A 15.【答案】B 16.【答案】A 17.【答案】C 18.【答案】B 19.【答案】A 20.【答案】C 第二部分阅读理解第一节 A 【文章大意】文章主要介绍了Zachariah Fike为“军功章”寻找其真正的主人的故事。 21.【答案】A 【解析】根据第二段中的"he earned one himself in a war as a soldier"可知，Zac曾经在战场上获得过紫心勋章，故选A项。【考点】细节理解 22.【答案】B 【解析】根据第三段中的"she called Zac back...To drive eight hours to come to see me"可推知，Adeline 很在意这枚勋章，故选B项。【考点】推理判断 23.【答案】D

【解析】根据倒数第二段中的"Adeline couldn't understand.…missed my brother more and more...the only thing we had left"可知，这枚紫心勋章代表着Adeline对在战场上牺牲的兄弟的深切怀念和记忆，故选 D项。 B 【文章大意】文章介绍了Tyler Bridges发起的一个项目，让有能力的人捐助钱财，让需要的人自取钱财，而这个项目的宗旨是让人们能够互相帮助。 24.【答案】C 【解析】根据下文的内容并结合木板上写的"Give What You Can, Take What You Need"可知，附在木板上的钱是可以随意取的，并不附带任何条件，故选C项。【考点】句意理解 25.【答案】B 【解析】根据第二段的内容，尤其是"People of all ages, races..…even had a bride"可推知，作者提到新娘参与该活动来说明参与人员的多样性，故选B项。【考点】推理判断 26.【答案】D 【解析】根据倒数第二段第一句中的"Bridges said the only goal was to show generosity and sympathy"并结合全文内容可知，Bridges开展这个活动的目的在于传递“慷慨和同情之心”，故选D项。【考点】细节理解 C 【文章大意】文章主要讲述了美国加利福尼亚州的森林中大树急剧减少的现象，并分析了其原因。 27.【答案】A 【解析】根据文章第二段中"The number of trees...declined by 50 percent...more than 55 percent (75) percent"提到的数字可知，该段主要描述了加州森林中大树急剧减少的严重性，故选A项。【考点】段落大意 28.【答案】D 【解析】根据第三段中的"Aggressive wildfire control..…compete with big trees for resources(资源)“可知，声势浩大的森林防火措施虽然一定程度上保护了森林，但同时也导致小树泛滥，与大树争抢资源，从而导致大树数量减少，故选D项。【考点】推理判断 29.【答案】C 【解析】根据最后一段中的"Since the 1930s, Mclntyre said.…have been rising temperatures...reduces the water supply"可知，Mclntyre认为水资源短缺的主要原因是逐渐上升的气温，故选C项。【考点】细节理解 30.【答案】A 【解析】根据全文可知，文章主要讲述了美国加州森林中大树数量急剧下降的现象，并分析了其原

2019全国II卷理科数学高考真题【2020新】

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ={x |x 2 –5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，||BC u u u r =1，则AB BC ?u u u r u u u r = A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121223 ()()M M M R r R r r R +=++.设r R α=，由于α的值很小，

2016年浙江省高考数学试卷(理科)

2016年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（?R Q）=（） A．[2，3]B．（﹣2，3]C．[1，2）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n ⊥β，则（） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 3．（5分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|=（） A．2B．4 C．3D．6 4．（5分）命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（） A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 5．（5分）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关 6．（5分）如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）

2018浙江高考数学试题及其官方标准答案

２01８年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷一、选择题(本大题共1０小题,每小题４分,共4０分) 1. 已知全集U ={１，２,３，4,５},Ａ={１，３},则C ＵA =( ） A . ? B . ｛１，３｝ C . ｛2，4，５} Ｄ. {1，2，3，4，5} 2. 双曲线 x 23 ?ｙ2=１的焦点坐标是( ) Ａ. （?√2,０),（√2,0） B . （?2,０),(2,０) C . (0,?√2)，(0，√2)?Ｄ. (０，?2)，（0，2） 3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3）是( ) A ．２ B ． 4? C . 6 D . 8 4. 复数 2 1?i (i 为虚数单位）的共轭复数是（） A . 1+i ?B . 1?i Ｃ. ?1+ｉ?D . ?1?i 5. 函数ｙ=2|x |sin 2x 的图象可能是( ) 6. 已知平面α，直线m ,n 满足m ?α,ｎ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) 俯视图正视图 D C B A

A ．充分不必要条件? B ．必要不充分条件 C . 充分必要条件? D . 既不充分也不必要条件 7. 设0<ｐ＜1，随机变量ξ的分布列是 ?则当p 在(０,1）内增大时( A . D （ξ）减小?B . D (ξ）增大 C ． D (ξ)先减小后增大 D . D （ξ)先增大后减小 8. 已知四棱锥S ?ABC Ｄ的底面是正方形,侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点),设SE 与BC 所成的角为 θ1,ＳE 与平面ＡBCD 所成的角为θ2,二面角S ?A Ｂ?C 的平面角为θ3，则( ) A . θ1≤θ2≤θ3 Ｂ． θ３≤θ2≤θ1 C . θ１≤θ3≤θ２?Ｄ. θ2≤θ3≤θ１ 9. 已知a ，b ,e 是平面向量,e 是单位向量,若非零向量a 与e 的夹角为 π 3,向量b 满足b 2?4e ?b +3=0,则|a ?b |的最小值是( ) Ａ. √3?1?Ｂ． √3+1?C . 2 D . 2?√3 10. 已知a 1，a ２,ａ3，a 4成等比数列，且ａ１＋ａ2+a 3+a 4＝ｌｎ(a １＋a 2+ａ3),若a 1>1，则（ ) A . a 1a 3,a 2 a 4 Ｄ. a 1>a 3,a 2>ａ4 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分,共36分) 11. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三;鸡雏三,值钱一,凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x ,y ,z ，则{x +y +z =100 5x +3y +1 3 z =100 ,当z =81时,x =___＿_______＿______________，ｙ=___＿___＿____＿_______＿______ 12. 若x ,y 满足约束条件{x ?y ≥0 2x +y ≤6x +y ≥2 ，则ｚ=x +3y 的最小值是__＿_＿__＿____＿____＿___＿__,最大值是__＿____＿＿__＿ ______＿__ 13. 在△ＡＢC 中,角A ,Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ,b ，ｃ,若a =√7，b =2,A ＝60°,则sinB =__＿______＿_＿＿___＿,c =____ ＿____＿_＿_______ 14. 二项式(√x 3 ＋ 1 2x )8的展开式的常数项是＿＿_＿_＿___________＿_______ 15. 已知λ∈Ｒ,函数f (x )={ x ?4，x ≥λ x 2?4x +3，x <λ ，当λ=2时,不等式ｆ(x ）<0的解集是____＿__＿______＿______,若函数ｆ