自然数立方的规律研究
我喜欢数学，因为在数学王国里有许多有趣的规律。上学期的一天，我在做正方体体积的计算练习，13=1、23=8、33=27、43=64、53=125……这些答案是否存在什么规律呢？于是我开始仔细地研究。
我把这些答案的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，就发现了一定的规律，于是我列了一张表，如下：
我归纳一下得出这样的普遍规律：自然数n除以3，当余数=1，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得1；当余数=2，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得8；当余数=0，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得9。
这只是偶然吗？后面的自然数立方也遵循这个规律吗？于是我
开始验证我发现的规律。
验证结果让我太高兴了，我立刻把这个发现告诉全家人，大家纷纷拿笔来计算，最后也都符合我发现的这个规律。我太自豪了，这可是我自己动脑筋思考和研究的结果，也许这还是个伟大的发现呢！妈妈笑着提醒我，“你再研究研究，为什么自然数立方会有这样的规律呢？”
对呀，为什么呢？于是，我又进入了新一轮的苦思冥想，经过几番挫折，我都没有成功，后来我逐个突破，先从余数是0的开始，这个自然数n就是3的倍数，即n=3x（x=1，2，3，……），那么，
n3=27x3=9×3x3，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数，9的倍数各个位数之和一定是9的倍数，所以将各个位数上的数字相加，
直到求出的和是个位数时，结果一定是9。啊哈，我越来越接近成功了！
再来看，当余数是1时，这个自然数n就是3的倍数加1，即n=3x+1（x=0，1，2，3，……），那么，n3=（3x+1）3=27x3+27x2+9x+1=9（3x3+3x2+x）+1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再加1，那么结果一定是9+1=10，1+0=1，哈哈，第二关闯关成功！
最后看，当余数是2时，这个自然数n就是3的倍数减1，即n=3x-1（x=1，2，3，……），那么，n3=（3x-1）3=27x3-27x2+9x-1=9（3x3-3x2+x）-1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再减1，那么结果一定是9-1=8，哈哈，第三关闯关成功！耶！我兴奋地大叫并跳了起来。
学习数学真是一个快乐的过程，自然数立方的规律问题是我自己在平时学习中发现的，我联系所学的数学知识，仔细思考、归纳总结并想办法证明，让我体会到在数学海洋里遨游的无穷乐趣，我要是能掌握更多的数学知识，我一定会收获更多的快乐。
肖老师留言：下周一上交的是方案，类似于我昨天给你的样本那样简写即可。月底交的文章要详尽，可参考我刚才给你发的范文。
生活中的测量
——比例尺的应用与思考我是来自温州市实验小学的杨云涵。今天，能站在这里为大家介绍我的研究课题，我感到无比的荣幸和自豪。在这次“小数学家”评比中，我参赛的课题是《生活中的测量——比例尺的应用与思考》。
说起这个课题，不得不提建于公元前2000多年的金字塔。它是古埃及国王的陵墓，高大雄伟，令人赞叹！但是，在金字塔建成后的1000多年里，人们都无法测量出金字塔的高度——它们实在太高了。约公元前600年，泰勒斯,古希腊的伟大学者从遥远的希腊来到了埃及。为了测量出金字塔的高度，泰勒斯已经观察金字塔很久了。直到有一天，看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到了办法。泰勒斯仔细地观察着金字塔影子的变化，找出金字塔地面正方形的一边的中点，并作了标记。然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度。当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的长度，他推断这时金字塔影子的长度也就是金字塔真实的高度。
泰勒斯在2600多年前用于测量金字塔的办法令我十分着迷，我突然想到了松台山上的净光宝塔，是不是也可以像泰勒斯一样测量出它的高度呢？这个问题让我侧夜难眠，于是在一个晴朗的早晨，我和妈妈一起来到了松台山进行实地考察。当我一眼看到净光塔的影子时，我高兴地差点跳了起来，因为按照泰勒斯的方法，当人的高度和影子的高度相等时，净光塔的高度和影子的高度也一定相等。可是这
时，我也发现了一个问题：塔的四周都是郁郁葱葱的大树，无法看到塔完整的影子，怎么测量啊？想到这里，我有点沮丧。在回家的路上，我一边走，一边观察自己的影子。我发现随着太阳照射角度的变化，影子的长度也发生了变化。这时一个灵感从我脑子里蹦了出来：既然无法测量到与塔身长度相等的影子，那么可否在塔身和它的影子成一定比例的时候进行测量呢？我暗自下定决心下次再来试一试。
又是一个周末，我和妈妈再次来到了松台山。这次我带上了一根155厘米长的尖木棍和一把卷尺。我们把木棍插在塔前面的空地上，木棍留在地面以上的长度为150厘米。当塔的影子完全落在塔周边的土地上时，我用卷尺测量出此时木棍影子的长度为5.15厘米。这样计算出来的木棍长度约是木棍影子长度的29.12倍左右。同时，我们测量出塔的影子的长度为223.5厘米，那么塔的高度应该就是223.5 X 29.12 = 6508.3（厘米）≈65米。后来经过了解，净光塔的实际高度是65.46米。虽然测量结果和塔的实际高度大约有40厘米的误差，但我相信如果进行多次测量，误差应该就会相应减少。通过这次试验，我初步判断像我这种用影子测量物体高度的方法是可行的。
净光塔测量的第一次失败说明泰勒斯的方法在实际操作中有一定的难度，它对被测物体的周围环境有一定的要求。而学校操场上的旗杆又让我产生再次尝试的念头。因为旗杆很高，很直，而且操场又大又平，应该符合测量的条件。于是我在假期来到了学校，这次，我没有用棍子而是要求妈妈充当测量的参照物，方法还是和上次一样。
以下是我在不同的时间段记录的各组测量数据，经过计算每次得出的旗杆高度非常接近，分别为9.98米、9.99米和10米，误差不超过两厘米，实验结果比较可靠。我觉得这次实验应该是非常成功的。
可这时有个问题却再次困扰着我，因为不可能总是在晴天通过影子测量物体的高度，如果是阴天又该用什么办法呢？记得去年寒假的一天，我们一家外出旅游，我看到妈妈正好站在一棵大树边上。那天正好是阴天，我又想起了测量的问题。灵机一动，我拿起随身携带的数码相机，拍下了妈妈站在树下的全身像，画面上还有大树的整体图像。
回到家以后，我们马上就把照片冲洗出来。我用尺子量出照片里妈妈的高度为8厘米，树的高度为14.5厘米。我知道妈妈的实际身高是161厘米，也就是说，妈妈的实际身高是相片里的约20倍。那么树的实际高度是不是也是相片里的20倍左右呢？那样的话，树的高度就是290厘米左右了。
那么，这个实验结果可信吗？首先，被测量物体被摄入照片时，不一定总是能找到其最高点；其次，参照物与被测量物体的距离会对测量结果有一定的影响。我想这样测量的结果误差可能会比较大。
在做比例尺研究的时候，因为我们不可能总是在晴天测量物体的高度，而且如果临时没有现成的参照物又该怎么办呢？其实还有一种非常简便实用的，不受天气影响的测量物体高度的方法。就是利用等腰直角三角形的特征,使用我们数学课最常用的等腰直角三角板去测量较高的物体。下面我就举个例子来说明：
如图，如果想测量AB的高度，假设FG是一个人，他将等腰直角三角板△DEF的直角边EF水平放置，眼睛顺着斜边DF向上看，同时移动自已的位置，当刚刚能看到房子的最高点A时，记下自己的位置和三角板此时所在的高度。因为：DE=EF,所以AB=BC=BG+GC，通过计算就可以得出AB的高度了。
这种测量方法不受很多自然条件的限制，但因为是目测，所以与影子测量法相比误差会更大一些。如果精确度要求不是很高，我们就可以使用这个方法。
通过以上几次试验，让我初步体会到了利用比例的原理对物体进行测量的合理性，科学性及其局限性。今年学了六年级课本有关比例尺的知识后，我更是涣然大悟，原来我以前的这些方法竟然都可以总结成一种方法，那就是：
被测物体高度=参照物高度÷参照物影子高度×被测物体影子的长度。
也就是说：如果假设被测物体高度是X，那么就有
X:被测物体影子的长度=参照物高度:参照物影子高度
这样，通过测量出其中的三个数据就可以计算出被测物体的高度了。
通过对这些问题的研究，我明白了数学知识来源于生活，同时又
能解决生活中的问题，真是其乐无穷啊！我们如果能采用正确的方法，不怕失败，持之以恒，并摸索出其中的规律，找到突破口，也就可以像泰勒斯一样解决很多难题,很多看似复杂的问题也都会最终迎刃而解的。
追逐游戏中的发现
江舟扬
【探骊得珠】
一天，我与爸爸在楼下花坛中玩追逐游戏，妈妈在旁边当裁判。一开始，我们定下游戏规则是：要绕着一个花坛在规定的时间（1分半钟）之内追上对方。虽然双方各有输赢，但由于只绕着一个花坛跑，爸爸占着身高腿长的优势略占上风。于是，我打起了“如意小算盘”：我
们不要只绕着一个花坛跑，扩大游戏活动范围（六个花坛加
一个玻璃房，如图1所示），凭借我的灵活机智，那不就是胜
券在握了吗！就在我暗自得意的时候，老爸也提出了一个要
求：可以如你所愿，但跑的路径不能重复，以跑遍整个花坛
而没有被追上者为胜。我不假思索地答应了。新的一轮游戏又开始了，我先跑，爸爸追，出乎意料的是我场场皆败。我纳闷了，凭我这敏捷的身段，怎么会落得如此下场？五场后角色交换，爸爸先跑，我来追。虽然爸爸跑的并不慢，但他也逃脱不了五场连败的命运。奇怪了，为什么两个人都会五连败呢？而且每一次都不是被对方追上，而是走入死胡同，无路可跑了，举手投降的。这是怎么回事呢？我决定学学赵括的“纸上谈兵”，于是我将活动场景画下来，利用“走图”的方式，尝试着来解开这谜底……【按图索骥】
游戏活动的场地中一共有六个花坛和一个玻璃房，按照这些花坛的实际形状描绘下来，就是以上图1的情形。我
将分别从不同的地点出发，通过不同的路径，
来寻求答案。
1、从A点出发，会怎样呢？
从A点出发，有3个方向可选择。我们
先以图2为例。假设选择中间的方向出发，
到了第一个分岔口，又出现了3个方向可选
择。再假设选择中间的方向继续向前，到了
第二个分岔口，有2个方向可选择。再假设向左方转，行进到第3个分岔口，再选择左转，经过第4、5个分岔口时不改变方向，继续直走，一直到第六个分岔口，向右转两次，结果无论经过哪一个岔口，都会出现到无路可走的局面。
如果选择其他方向，也会出现同样的结果。比如图3至图9中所展示
的一样。
2、从B、C点出发，会怎样呢？
分别从B、C点出发，经过尝试，我们发现同样走入困境，图10至图18
所
示。
3、从其他点出发的情况
在图19至图22所展示的分别是从D、E、F点
出发的几种情况，结果还是出现与前面一样的结论。
于是，我便选择场地中间的某一个点为起点，比如点G、H、I，唉！还是进入死胡同，不能成功跑遍整个场地。
我觉得很奇怪，观察这几幅图形，到底是我没有列全所有种类遗漏了
正确路径，还是根本不可能完成这个问题的？但是列全所有的路径费时费力又不科学，看来呀，应该要寻求其他的方法来解决这个问题。
【柳暗花明】
经过观察，我发现这个问题可以将活动场地简单地画成路径图，而这样的路径图应该就是一种几何图形，就像是图28一样。
啊哈，真相大白了！现在可以清晰地看出“不重复地
走遍整个花坛”不就是“一笔画”问题吗？！
要正确解答这个问题，现在只需要弄清“一笔画”图
形必须具备哪些特点就可以了。
早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了“一
笔画”的规律。欧拉认为，能“一笔画”的图形必须是连
通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图形中的奇点和偶点（与奇数条边相连的点叫做奇点，与偶数条边相连的点叫做偶点）的数目来决定的。能一笔画的连通图一定要具备以下条件：
1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一个偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
3．其他情况的图都不能一笔画出。
用这样“一笔画”的思维去观察这幅图，我们可以看出这个图形一共有14连接点，其中有6个连接点是偶点，有8个连接点是奇点，但一笔画图形只允许有2个奇点，所以这个图不是一笔画图形，也就是说“不重复地走遍整个花坛”这个事情是不可能完成的。
【引伸触类】
本次追逐游戏的失利原因是找到了，但探究活动还没有到此为止。通过上网查资料，我才知道“一笔画”问题是属于数学里一个分支——拓扑
学的基础知识，大数学家欧拉在这一方面有着极大的成
就。
比如著名的“七桥问题”，我们的第十二册数学书
95页就有所记载。18世纪，在Prussia的Konigsberg
城中有一条名叫Pregel的河流和两个小岛，7座桥连接
着两个小岛和陆地。当地的市民热衷于在桥上散步。后来，有人提出走遍所有七座桥，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。这个提议引起了公众极大的兴趣，大家纷纷实践着，但都没有成功。大数学家欧拉（Euler）偶然到Konigsberg城游览，听说了这个游戏，就被这个游戏吸引住了。经过长时间的思考，他把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的：除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一个点时，他同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，当做两条线，从起点离开的线与最后回到始点的线亦当做两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成。
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论（就是本文“柳暗花明”中的三个条件），人们通常称之为欧拉定理。
欧拉的思考非常重要，也非常巧妙，表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，这种研究问题的方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但要想到这一点，是解决实际问题的关键。
不知不觉中，我运用了数学模型方法和“一笔画”知识解决了“追逐游戏中的失利原因”。这件事也提醒我们：无论无何，当你遇到问题陷入困境时，不要急躁，不要烦恼。只要仔细、认真的思考，总可以找办法解
决的。相信自己，没有什么困难能难倒你的！
2009年2月8日
相邻两数平方差和立方差计算公式之探讨
黄张琦
随着图形面积、体积的普及，平方、立方也进入了我们的视线。但有些时候，我总是对平方、立方的问题苦恼，如求14522 =？、3572 =？……等等，计算这类问题必须苦苦死算，那要经过N重计算，太麻烦了！于是我便想：是否有什么简便方法，可以计算相邻数之间的平方差、立方差呢？带者这个问题，我对相邻数的平方差，立方差展开了研究。
首先，我观察了平方差，从10以内的平方差入手：
52 －42 =25-16=9
62 －52 =36-25=11
72 －62 -=49-36=13
……
到这一步，我有了一个惊人的发现：
52 －42 =9=4+5
62 －52 =11=5+6
72 －62 -=13=6+7
……
难道平方差的公式是：a2 －b2 =a + b吗？当然这仅是一个推断。
接下来，我用大数进行验证：
任意选取572和573：
5732 －5722 =328329-327184=1145=572+573
选取1353和1354：
13542 －13532 =1833316-1830609=2707=1354+1353
选取11698和11699
116992 －116982 =136866601－136843204=23397=11698+11699 ……
推断完全成立。至此，可以肯定相邻数平方差公式为a2 -b2 =a + b。解决了平方差公式，便着手研究立方差计算，还是从10以内的立方差入手：
33 －23 =19
43 －33 =37
53 －43 =61
……
这时，看到前面的平方差公式——a2 －b2 =a + b，于是设想a3-b3是不是等于a2 +b2 呢？
验证：
33 －23 =19= 32 +22+6
43 －33 =37= 42 +32+12
53 －43 =61= 52 +42+20
……
基本否定a3－b3 = a2 +b2。但我的目光又转移到上面的剩余数上，经过好长时间的观察和思索、推算，发现剩余数有以下规律：
6=3×2
12=4×3
20=5×4
……
我渐渐地在脑中结合成一个公式：a3－b3 = a2 +b2+ab
仍需用大数验证：
87和88：883－873 = 681472－658503=22969
= 7569+7744+7656=872 +882+87×88
775和776：7753－7763 = 467288576－465484375=1804201
= 600625+602176+601400=7752 +7762+776×775
……
推断成立。
正在我准备下结论之时，爸爸给了我一条立方差的公式，据说是初中才会学到的知识，即是：a3 －b3 =（a+b）2－ab。
小数验证：19=25－6
37=49－12
61=81－20
……
大数验证：3804201=（775+776）2－（775×776）=2405601－601400 22969=（87+88）2－（87×88）=30625－7656
……
全部成立。
然后我又思考：这个公式a3 －b3 =（a+b）2－ab与我之前提出的公式a3－b3 = a2 +b2+ab是否存在什么关系呢？
于是我从（a+b）2－ab往回推：
（a+b）2－ab=（a+b）×（a+b）－ab
= a（a+b）+ b（a+b）－ab （乘法分配律）=a2 + ab +b2 + ab－ab （乘法分配律）
= a2 +b2+ab （抵消）
仔细观察这两条公式，得出以下结论：在计算应用时各有各的优点和缺点。前者数值小，易计算，但步骤多，易出错；后者步骤少，但数值较大，计算麻烦。由此我在运用时有了以下结论：若a－b=1，则可以用以下公式计算：a2 －b2 =a + b
而立方差则根据相邻两数a和b的数值大小分别选择计算：
a3 －b3 =（a+b）2－ab
或a3－b3 = a2 +b2+ab
这三条公式一出，我再也不为计算平方、立方而苦恼了。
父母在我身上花费了多少钱？
赵奕扬
温州市实验小学浙江温州 325000
前言：
我长这么大了，爸爸妈妈到底在我身上花了多少钱？都花在什么地方？如果把这些钱用在其他地方，能做多少事情？我想在我小学将要画上句号的时候，来一次“大盘点”，也许会发现许多我们意想不到的事情。
研究内容：12年来的花费情况。
研究方法：
和爸爸妈妈一起回顾、计算我12年来的花费情况。
研究过程：
1－3岁花费细项：
奶粉：200元/月*12*3＝7200
尿布湿：100元/月*12*＝3600
服装：2000元/年*3＝6000
玩具：1000元/年*3＝3000
医疗费：500元/年*3＝1500
托儿费：130元/月*18＝2340
旅游费：500元/年*3＝1500
零食：300元/年*3＝900
图书：300元/年*3＝900
3—6岁花费细项：
集资费：15000
学费：200元/月*12*3＝7200
钢琴费：1400元*2＝2800
玩具：1500元/年*3＝4500
服装：2500元/年*3=7500
食物：300元/月*12*3＝10800
医疗费：800元/年*3＝2400
旅游费：800元/年*3＝2400
零食：500元/年*3＝1500
学习用品：500元/年*3=1500
其他费用：2000元
托管费：200元/月*12*＝7200
钢琴：13500元
6—12岁花费细项：
集资费：20000元
学费：150元/学期*12＝1800元
钢琴费：1900*2*6＝22800元
餐费：100元/学期*12＝1200元
图画费用：200元/月*12*2＝2400元英语费用：5000元
学习用品：2000元/年*6＝12000元
服装：3000元/年*6＝18000元食物：500元/月*12*6＝36000元医疗费：600元/年*6＝3600元旅游费：800元/年*6=4800元
零食：1500元/年*6＝9000元
电脑：10000元
玩具：1000元/年*6＝6000元
其他费用：5000元
汇总表格1：
汇总表格2：
自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+... +n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1)
求连续自然数平方和的公式 前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式： 12＋22＋32…＋n 2＝6 ) 12)(1(++n n n 这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… 1＋2＋3＋…＋n 1 3 6 10 15 21 …… 12＋22＋32＋…＋n 2 1 5 14 30 55 91 …… 然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数 A n ＝n n ++++++++ 3213212 222， 再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… A n 1 35 37 3 311 313 …… 观察发现，A n 的通项公式是3 1 2+n 。 既然A n ＝n n ++++++++ 3213212222，而它的通项公式是3 1 2+n ，于是大胆猜想 n n ++++++++ 3213212222＝3 1 2+n 。 因为分母1＋2＋3＋…＋n ＝2 ) 1(+n n ， 所以 2)1(3212222+++++n n n ＝31 2+n 。 由此得到 12＋22＋32…＋n 2＝ 2)1(+n n ×312+n ＝6 ) 12)(1(++n n n 。 即 12＋22＋32…＋n 2＝ 6 ) 12)(1(++n n n 。
用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。 这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。 这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。
连续自然数立方和的公式 “图形法“ 早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非 常简单的方法推导过这个公式。 奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证： 请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端： 第1个等式左端，结束于第1个奇数； 第2个等式左端，结束于第3个奇数； 第3个等式左端，结束于第6个奇数； 第4个等式左端，结束于第10个奇数； 第5个等式左端，结束于第15个奇数； …… 结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连 续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5 项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n ＋1)/2个奇数。 然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和： 右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。 左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。 这样就得到求连续自然数立方和的公式： 这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的 宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。
“列表法” 这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。 第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。 第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。 显然，所有乘积的和等于 这5块依次是：
推导213)1(21??????+=∑=n n k n k 的两种方法 通化市第一中学校 刘天云 邮编 134001 方法一：拆项累加相消求和 已知：)12)(1(6 112++= ∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4 1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1 )3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n k n k n k n k k k k k k k 1 1121323)]2)(1([ )1(2 12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21?? ????+=n n 另外：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4 1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n )(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4 1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导 构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / …… 我们用两种方法研究前n 群的所有数的和. 1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2 1+n n 项，而且该项为 11)1(2 122)1(21 -+=-+?=+n n n n a n n
那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2 1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21 +-=-?? ????+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2 1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n k k 13. 2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2 )1(21??????+n n 因此：2 13)1(21??????+=∑=n n k n k
我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和 接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用 如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢 注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，
最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法
自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1
自然数的平方和公式的推导方法总结 自然数的平方和就是2222123n ++++ ()n N *∈，它的结果是1(1)(21)6 n n n ++。对于这一结论的推导，方法多种多样，现将我所知道的方法一一总结如下，与大家共享。 方法一：设数列{}n a ，其中22212n a n =+++ ，则 {}n a 的一阶差数列记为1 {}n a ，其中121(1)n n n a a a n +=-=+，首项为114a =； {}n a 的二阶差数列记为2{}n a ，其中 21 1221(2)(1)n n n a a a n n +=-=+-+，首项为215a =； {}n a 的三阶差数列记为3{}n a ，其中 3221(25)(23)2n n n a a a n n +=-=+-+=，首项为312a =； 于是我们可知数列{}n a 为三阶等差数列。于是我们应用下面方法求可求出数列{}n a 的通项。 22222222121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =5+333121n a a a -+++ =5+2+2+……+2=1125n C -+(2)n ≥ 亦知当1n =时亦有21125n n a C -=+， 故有21*125,n n a C n N -=+∈ 1 1111111121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =4+222121n a a a -+++ =111110122142()5n n C C C C C --++++++ =2111254n n C C --++(2)n ≥ 亦知当1n =时亦有12111254n n n a C C --=++。 故有1 2111254,*n n n a C C n N --=++∈ 121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- =1+111121n a a a -+++
斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式 将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。 例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法： )}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。 所以，6)3,4(=S 。 斯特林数),(k n S 的值列表如下： 容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12 )2,(1 -=-n n S ，2 )1,(2 = =-C n n S n 。定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。 把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。 两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 如果规定当1
连续自然数立方和公式探源 前面，在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中，曾经两次推导过求连续自然数立方和的公式： 13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2]2 一次用的是“图形法”，一次用的是“列表法”。其实，早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非常简单的方法推导过这个公式。 现在，让我们按照他的思路，重复一下这个公式的推导过程。 过程大体上是这样的： 首先，从奇数列的一个性质入手。 奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证： 1＝13 3＋5＝23 7＋9＋11＝33 13＋15＋17＋19＝43 21＋23＋25＋27＋29＝53 …… 请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端： 第1个等式左端，结束于第1个奇数； 第2个等式左端，结束于第3个奇数； 第3个等式左端，结束于第6个奇数； 第4个等式左端，结束于第10个奇数； 第5个等式左端，结束于第15个奇数； …… 结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n＋1)/2个奇数。 然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和：
右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。 左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。 这样就得到求连续自然数立方和的公式： 13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2]2 这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。
平方和公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 立方和公式：1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 首先给出网上的推导： 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 平方和的经典题目： 立方和的另类推导： (1)
自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？ 即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 怎么推导？ 利用(n+1)3-n3=3n2+3n+1即可 13-03=3×02+3×0+1 23-13=3×12+3×1+1 33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1 …… (n+1)3-n3=3n2+3n+1 ∴(n+1)3＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1) …… Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 设S=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1) 方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用叠加法可得 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1. 由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6. 方法2:由组合数性质可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1), 即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6 整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3, 所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...
关于自然数平方和公式的十种证明方法 潮阳区谷饶中学 张泽锋 摘要：在《数列》的教学过程中，大家都能够熟练掌握前n 个自然数的平方和公式： 22221 123=(1)(21)6 n S n n n n =+++ +++， 但涉及到如何进行推导证明，很多学生却无从下手。为了让学生在理解的基础上掌握数学公式，特收集整理了如下关于自然数平方和公式的十种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面以期学生能够举一反三，并有所创新。 关键词：自然数，平方和公式，十种证法，组合数性质，数学归纳法 方法一：观察、猜想、数学归纳法证明 对于自然数平方和公式的证明，通过观察、分析，得出猜想：2 222321n S n ++++= 应该是一个与n 有关的一个多项式，不妨设D n C n B n A S n +?+?+?=2 3，分别取 4,3,2,1=n 时，得到：?????? ?? ???====????????=+++=+++=+++=+++0 61 2131304166414392752481D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A )12)(1(6 1 61213123++=++=∴n n n n n n S n 下面利用数学归纳法进行证明： 证明：（1）当1n =时，左边=2 11=，右边=1 1(11)(211)16 ??+??+=，左边=右边 ∴当1n =时，原式成立. （2）假设当)(+∈=N k k n 时，2 2 2 21 123(1)(21)6 k k k k +++ +=++成立， 则当1n k =+时， 22222 222 123(1)1 (1)(21)(1)6 17 (1)(1) 36 1(1)(276)61 (1)(2)(23)61 (1)[(1)1][2(1)1]6 k k k k k k k k k k k k k k k k k k =+++ +++= ++++=+++=+++=+++=+++++左边 左边=右边 ∴当1n k =+时，原式也成立.
【连续N个自然数的平方的和等于多少】百度作业帮 平方和公式n(n 1)(2n 1)/6 即1^2 2^2 3^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)/6 (注：N^2=N的平方) 证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N 1)(2N 1)/6 证法一（归纳猜想法）： 1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x 1)(2x 1)/6 则当N＝x＋1时, 1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x 1)(2x 1)/6＋（x＋1）2 ＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6 ＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6 ＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6 ＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）1]/6 也满足公式 4、综上所述,平方和公式1^2 2^2 3^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)/6成立,得证. 证法二（利用恒等式(n 1)^3=n^3 3n^2 3n 1）： (n 1)^3-n^3=3n^2 3n 1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2 3(n-1) 1 .
3^3-2^3=3*(2^2) 3*2 1 2^3-1^3=3*(1^2) 3*1 1. 把这n个等式两端分别相加,得： (n 1)^3-1=3(1^2 2^2 3^2 . n^2) 3(1 2 3 ... n) n, 由于1 2 3 ... n=(n 1)n/2, 代人上式得： n^3 3n^2 3n=3(1^2 2^2 3^2 . n^2) 3(n 1)n/2 n 整理后得： 1^2 2^2 3^2 . n^2=n(n 1)(2n 1)/6
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1A2+2A2+3A2+ … … +nA2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1A3+2A3+3A3+ … … +nA3=[n(n+1)/2]A2 推导过程如下： 一.1A2+2A2+3A2+……+n A2=n(n+1)(2 n+1)/6 利用立方差公式 nA3-(n-1)A3=1*[nA2+(n-1)A2+n(n-1)] =nA2+(n-1)A2+nA2-n =2*nA2+(n-1)A2-n 2A3-1A3=2*2A2+1A2-2 3A3-2A3=2*3A2+2A2-3 4A3-3A3=2*4A2+3A2-4 nA3-(n-1)A3=2*nA2+(n-1)A2-n 各等式全相加 nA3-1A3=2*(2A2+3A2+...+nA2)+[1A2+2A2+...+(n-1)A2]-(2+3+4+...+n) nA3-1=2*(1A2+2A2+3A2+...+nA2)-2+[1A2+2A2+...+(n-1)A2+nA2]-nA2-(2+3+4+... +n) nA3-1=3*(1A2+2A2+3A2+...+nA2)-2-nA2-(1+2+3+...+n)+1 nA3-1=3(1A2+2A2+...+nA2)-1-nA2-n(n+1)/2 3(1A2+2A2+...+nA2)=nA3+nA2+n(n+1)/2=(n/2)(2nA2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1八2+2八2+3八2+...+门八2=n(n+1)(2 n+1)/6 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除
自然数平方和公式的推导与证明新课标 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 设：S=12+22+32+…+n2 另设：S =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解 1 题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1 (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 =2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) S 1 =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： 第二：S 1 =12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： S 1 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..( 3) 由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) S 1 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+ ...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有
帕斯卡与前n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1， 移项可得 （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 此式对于任何自然数n 都成立。 依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1， （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 －1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到 （n ＋1）3 －1＝3S n ＋2 )1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋2 )1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。