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新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

第二章：实数

知识梳理

【无理数】

1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；

（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2π,

（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-

、④π、⑤252.±、⑥3

、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个【算术平方根】：

1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，

读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32

=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根

2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方

根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±

。

例：（1）下列说法正确的是（）

A ．1的立方根是1±；

B ．24±=；（

C ）、81的平方根是3±；（

D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）

A 、981±=

B 、14.314.3-=-ππ

C 、3927-=-

D 、235=

（3）2

)3(-的算术平方根是。（4）若x x -+

有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32

=-+-b a ，求c 的取值范围。

（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. 平方根：

1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称x 是a 的平方（也

叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x

2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）负数没有平方根

例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（2）当x 时，x 23－有意义。（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？

3. 的性质与22)0()(a a a ≥

（1）

77)0()2

2=≥=）如：（a a a （2）||2

a a =中，a 可以取任意实数。如5|5|52== 3|3-|3-2

==）（

例：1.求下列各式的值

（1）27 （2）2

7-）（（3）

49-）（

2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是。

3.已知2＜x ＜3,化简=-+|3|)-22x x （。【立方根】

1.定义：一般地，如果以个数x 的立方等于a ，即x 3

=a,那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。如23

=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.

例：（1）64的立方根是

（2）若9.28,89.23

3==ab a ，则b 等于（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33

，③64的立方根是2，④()4832

±=±。

其中正确的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个【估算】

用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹

逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部

分。

“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m ，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m ，答案在其值左右1m 内都符合题意，答案不唯一。

方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。

例：估算下列各数的大小

（1））（误差小于1.0327 （2）

）（精确到1.0327 （3））（误差小于133453

用估算的方法比较数的大小

用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较

当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：（1）若a ＞b ≥0,则

b a （2）若a ＞b ，则3333b a b a 或

（3）若a 、b 都为正数，且a ＞b 时，则a 2

＞b 2

例：通过估算比较下列各组数的大小比较两个数的大小：

方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则a-b ＞0.

方法三：乘方法.如比较3362与的大小。例：比较下列两数的大小

（1） 2

23-10与（2）5325与【实数】

定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1

（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=???<-≥)

0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大

于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的

数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的

（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（）；

A 、任何有理数均可用分数形式表示；

B 、数轴上的点与有理数一一对应；

C 、1和2之间的无理数只有2 ；

D 、不带根号的数都是有理数。（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A 、b a -

B 、ab

C 、b a +

D 、a b - （3）比较大小(填“>”或“<”).

-， 76______67， 215- 2

，（4）数 2,3-- 的大小关系是 ( ) A. 32<-<-

B. 32-<-

C. 23-<<-

32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。（6）若2,3==b a ，且0

【二次根式】

定义：形如）（0≥a a 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数

注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“

”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不是二次根式。

（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式。若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式

（1）3- （2）｜｜

3- （3）a - （4）3

2-- 二次根式的性质：性质1：)0,0(.≥≥=

b a b a ab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对

二次根式进行化简。

性质2：

)0,0.( b a b

b a ≥= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。例：1.化简：

（1）1512? （2）)0(272

≥b b a （3）x

94 2.计算：

32278115.041--+ 32

3811613125.0??

? ??-+-

3.已知：()()06

4.01,12173

-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++-

-的值。

6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ①2111111112111122=+-+=++ ②61

11212113

12112

2=+-+=++ ③121

1131311413112

2=+-+=++

，……

（1）根据上面三个等式的信息，请猜想225

411++

的结果；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。

课后练习

一、重点考查题型：

1.－1的相反数的倒数是

2.已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数

3.数－3．14与－Л的大小关系是

4.和数轴上的点成一一对应关系的是

5.和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是

6.在实数中Л,－2

,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有个

7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）

（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数

8．若x＜－3，则｜x＋3｜= 。

9．下列说法正确是（）

（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数

（B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b和d-a

（2） bc和ad

二、考点训练：

*1．判断题：

（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）

（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）

（3）两个无理数之和一定是无理数；（）

（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）

（5）任何有理数都有倒数；（）

（6）最小的负数是－1；（）

（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）

（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）

2．把下列各数分别填入相应的集合里

－|－3|，21．3，－1．234，－22

,0，－9 ,－

3－1

, －

,8 , ( 2 － 3 )0，3－2，

ctg45°,1.2121121112．．．．．．中

无理数集合｛｝负分数集合｛｝

整数集合｛｝非负数集合｛｝ *3．已知1

4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？

－3, 2 －1， 3，－ 0．3， 3－1， 1 + 2 ， 31

互为相反数：互为倒数：互为负倒数：

*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X － 2 ）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y 的值

6.ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，

求

|a+b|

2m 2+1

+4m-3cd= 。 *7．已知（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜

a+2 ＝0，求ａ＋ｂ= 。

三、解题指导： 1．下列语句正确的是（）

A 、无尽小数都是无理数

B 、无理数都是无尽小数

C 、带拫号的数都是无理数

D 、不带拫号的数一定不是无理数。 2．和数轴上的点一一对应的数是（）

A 、整数

B 、有理数

C 、无理数

D 、实数 2．零是（）

A 、最小的有理数

B 、绝对值最小的实数

C 、最小的自然数

D 、最小的整数 4.如果a 是实数，下列四种说法：

（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

（3）ａ的倒数是1a ，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有个

*5．比较下列各组数的大小： (1) 3

时, 1a 1

6．若a,b 满足|4-a 2|+a+b a+2 =0,则2a+3b

的值是

*7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且|a|=|c|

（1）判定a+b,a+c,c-b 的符号（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8．数轴上点A 表示数－1，若AB ＝3，则点B 所表示的数为 9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a 是负数；（2）a 、b 两数异号；（3）a 、b 互为相反数；（4）a 、b 互为倒数；(5)x 与y 的平方和是非负数；（6）c 、d 两数中至少有一个为零；（7）a 、b 两数均不为0 。 *13.数轴上作出表示 2 ， 3 ，－ 5 的点。四．独立训练：

1．0的相反数是，3－л的相反数是，3

－8 的相反数是；－л的绝对值是，

0 的绝对值是， 2 － 3 的倒数是 2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是。

A 表示的数是－12 ，且A

B ＝1

，则点B 表示的数是。

3 －3

3 ,л,(1－ 2 )o,－227

,0．1313…,2cos60o, －3－1 ,1．101001000…

(两1之间依次多一个0),其中无理数有，整数有，负数有。

4. 若a 的相反数是27，则｜a|＝；5．若|a|＝ 2 ，则a= 5．若实数x ，y 满足等式（x ＋3）2＋｜4－y ｜＝0，则x ＋y 的值是

6．实数可分为（） A 、正数和零 B 、有理数和无理数 C 、负数和零 D 、正数和负数

*7．若2a与1－a互为相反数，则a等于a=

8．当a为实数时，a2 =－a在数轴上对应的点在（）

A、原点右侧

B、原点左侧

C、原点或原点的右侧

D、原点或原点左侧

*9．代数式

ａ

｜ａ｜

＋

ｂ

｜ｂ｜

＋

ａｂ

｜ａｂ｜

的所有可能的值有个。

10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图

（1）比较a－b与a+b的大小

（2）化简|b－a|+|a+b|

11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜

试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周长。＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2－（ｍ－8）2

北师大版八年级数学上册第二章实数测试题

1 / 4 北师大版八年级数学上册第二章实数测试题一、选择题 1.在实数?1.414，√2，π， 3.1.4. ，2+√3，3.212212221…，3.14中，无理数的个数是( )个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.下列说法中 ①无限小数是无理数； ②无理数是无限小数； ③无理数的平方一定是无理数；正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3.(?3)2的平方根是( ) A. ?3 B. 3 C. 3或?3 D. 9 4.若a 2=4，b 2=9，且ab >0，则a ?b 的值为( ) A. ±5 B. ±1 C. 5 D. ?1 5.64的立方根是( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 6.√83的算术平方根是( ) A. 2 B. ±2 C. √2 D. ±√2 7.估算√19的值是在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8.下列四个数：?3，?√3，?π，?1，其中最小的数是( ) A. ?π B. ?3 C. ?1 D. ?√3 9.用计算器依次按键，得到的结果最接近的是( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 10.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( )

A. a +b =0 B. b 0 D. |b|<|a| 11.实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( ) A. a >?4 B. bd >0 C. |a|>|d| D. b +c >0 12.在根式√15、1a?b √a 2?b 2、3ab 、13√6、1a √2a 2b 中，最简二次根式有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13.把根号外的因式化到根号内：?a √?a =( ) A. √?a 2 B. √?a 3 C. ?√?a 3 D. √a 3 14.下列式子正确的是( ) A. √(?7)2=7 B. √(?7)2=?7 C. √49=±7 D. √?49=?7 15.下列二次根式中，与√6是同类二次根式的是( ) A. √12 B. √18 C. √2 3 D. √30 二、计算题 16.计算：(1)√8?2√1 2 (2)(3√2?2)2 (3)√20+√125 √5+5 (4)(√32+√1 3)×√3?2√16 3．