2
v v e =1
v v =AB
r v v =0
450
45
v r =N
第七章 点的合成运动习题解析
[习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。求在B 车上观察到的Ａ车的速度。 解： 动点：A 车。
动系：固连于B 车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A 相对于地面的运动。 相对运动：动点A 相对于B 车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。2v v e =。由速度合成定理得：
→
→→
+=r e v v v 。用作图法求得：
h km v v AB r /40== （↑）
故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。
[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。
动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。 绝对速度：未知待求，如图所示的v 。 相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。 牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。 由速度合成定理得：
→
→→
+=r e v v v
v r
1=N
1
v s
m /2s
m v e /1=v
)/(118.115.02222s m v v v r e =+=+=
0435.635
.01arctan arctan
===e r v v θ )(5002
1000tan 1000m AC ===
θ，即，船将在北岸下流５００m 处靠岸。如图所示，Ａ为出发点，Ｂ为靠岸点。 渡河所花的时间：秒分4016)(1000/110001===s s
m m
t
（２）
0301
5
.0arcsin arcsin ===r e v v α
)/(866.05.012222s m v v v e r =+=-=
即船头对准方向为北偏西030 渡河所花的时间：
秒分1519)(1155/866.010002===
s s
m m
t
[习题7-3] 播种机以匀速率s m v /11=直线前进。种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度
s m v /22=。求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间
水平距离。 解： 动点：种子。
动系：固连于输种管的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。 相对速度：s m v v r /22== 牵连速度：s m v v e /11==
→
→→
+=r e v v v
)/(65.2120cos 21221022s m v =??-+=
0120sin 65
.2)60sin(1=-θ
00
07.1965
.2120sin arcsin 60==-θ
093.40=θ
即→
v 与→
1v 之间的夹角为093.40=θ。 种子走过的水平距离为：
t v t v s x ?==θcos
22
1gt t v h y +
= 22
1sin gt t v h +
=θ 208.95.093.40sin 65.225.0t t ?+= 025.0736.19.42=-+t t
?
?
?
-=±-=?-??-±-=不合舍去）)((464.0)(11.08.9813.2736.19.42)25.0(9.44736.1736.12s s t )(22.011.093.40cos 65.20
m s =??=
[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的绝对速度为s m v /41=，其方向与铅直线成
030角。设传送带Ｂ与水平面成015角，其速度为s m v /22=，求此时砂石料对于传送带Ｂ的
相对速度。又当传送带Ｂ的速度多大时，砂石料的相对速度才能与B 带垂直。 解：
动点：砂石料。
动系：固连于传送带Ｂ的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：砂石料相对于地面的速度，s m v v /41==。 相对速度：砂石料相对于传送带Ｂ的速度，待求。 牵连速度：传送带Ｂ相对于地面的速度：s m v v e /22==
→
→→
+=r e a v v v
)/(98.375cos 42242022s m v r =??-+=
e A
a v v =v
e
v
当B r v v ⊥时，传送带Ｂ的速度为：
)/(04.115sin 415sin 00s m v v a B ===
[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成α角。杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度v 向右运动，求活塞Ｂ的速度。 解： 动点：Ａ。
动系：固连于凸轮上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。 相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。 牵连速度：凸轮相对于地面的速度。
→
→→+=r e a v v v
αtan v v A =
因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为：
αtan v v v A B ==
[习题7-6] 图示一曲柄滑道机构，长r OA =的曲柄，以匀角速度ω绕Ｏ轴转动。装在水平杆ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成0
60角。求当曲柄与水平线的夹角?分别为0
0、0
30、0
60时，杆ＢＣ的速度。 解： 动点：Ａ。
a
90
BC
O
a
e
v
C
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。
动系平动，
BC
CBDE
A
v
v
v=
=
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度。
相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。
牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→
→
→
+
=
r
e
a
v
v
v
ωr
v
a
=
0120
sin
)
90
120
180
sin(
a
BC
v
v
=
+
-
-?
0120
sin
)
30
sin(
?
?
r
v
BC=
-
ω
?
r
v
BC
?
-
=
120
sin
)
30
sin(
ω
ω
ω
?
r
r
r
v
BC3
3
2
3
2
1
120
sin
)
30
sin(
|
-
=
-
=
?
-
=
=
负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。
120
sin
)
30
30
sin(
|
300
=
-
=
=
?
BC
v，此时往复运动改变方向。
ω
ω
ω
?
r
r
r
v
BC3
3
2
3
2
1
120
sin
)
30
60
sin(
|
600
=
=
?
-
=
=
，向右。
[习题7-7] 摇杆ＯＣ带动齿条ＡＢ上下移动，齿条又带动直径为１００ｍｍ的齿轮绕Ｏ１轴摆动。
在图所示瞬时，ＯＣ之角速度ω
０
＝０.５ｒａｄ／ｓ，求这时齿轮的角速度。
解：
动点：C。
动系：固连于ＯＣ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
a
v e
v r
v A
300
90绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。 相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
)/(231.05.030cos 4
.00
s m OC v e =?=?=ω
→
→
→
+=r e a v v v
)/(267.030
cos 2
.030cos 0
20s m v v e a ===
75.0/2.01===ωr v v AB a
)/(33.505
.075
.0/2.0/267.011s rad r ==
=ω
即齿轮的角速度为s rad /33.51=ω
[习题7-８] 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长l ，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。已知在图所示位置 ＯＡ⊥ＯＯ１，l AB 2=，求该瞬时ＢＣ杆的速度。 解： 动点：Ａ。
动系：固连于D O 1杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，0ωl v a =。 相对速度：Ａ相对于D O 1杆的速度。 牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。
→
→→+=r e a v v v
0021
30sin ωl v v a e == 012
1
1ωωl A O v D O e =?= 02
1
21ωωl l D O =
? 04
11
ωω=D O
动点：Ｂ。
a
v
r
B
e
a
v r
v
a
a n
动系：固连于D O 1杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于D O 1杆的速度。 牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。
→
→→+=r e a v v v
0014
1
41ωωωl l B O v D O e =?=?=
00
0155.1866
.030cos ωωl l v v e a ===
BC 作平动，故
0155.1ωl v v a BC ==
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ２
。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解：
动点：Ｂ。
动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
→
→→+=r e a v v v
凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。 A e v v =
)/(23.1039360030cot 30cot 00s mm v v v v v A e a B BC ====== )/(12006002230
sin 0
s mm v v v e e
r =?===
→
→→
→
→
→
++=+=τr n r
e r e a a a a a a a
e
C
v r
v r
a a
a e
a
上式在x 轴上的投影为：
n r e a a a a -=0030cos 60cos
r
v a a a a r e n r
e a 2
2323?-=-=
)/(4.8214300
)1200(2800732.122
s mm a a -=?-?=，负号表示方向向下。
[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。 解：
动点：Ｃ。
动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。 相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。 牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。
→
→→+=r e a v v v
)/(20021001s mm A O v v v A C e =?=?===ω )/(1005.020060cos 0s mm v v e a =?==
)/(100s mm v v v a C CD ===
→
→
→
+=r e a a a a
A e a a = 0=τ
e a
)/(4002100222112
s mm A O A
O v a a n e
e =?=?===ω
)/(4.346866.040060sin 20s mm a a e a =?==
)/(4.346s mm a a a a C CD ===
[习题7-11] 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。若已知曲柄
a v e
v r
v A
a
ＯＡ作匀速转动，其转速为ω＝４πｒａｄ／ｓ，又Ｒ＝ＯＡ＝１００ｍｍ，求当曲柄与水平轴成角φ＝３０°时滑道ＣＤ的速度及加速度。 解：
动点：Ａ。
动系：固连于滑道ＣＤ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于滑道ＣＤ的速度。 牵连速度：滑道ＣＤ相对于地面的速度。
→
→→+=r e a v v v
s m s mm OA v v v a e CD /26.1)/(12564100≈=?=?===πω
→
→
→
→→→++=+=τr n r
e r e a a a a a a a
)/(775.15)4(1.0222s m OA a a =?=?=πω
)/(775.151
.0256.122
2s m R v a n
r
===
加速度在ξ方向的投影：
n r e a a a a +-=-0030cos 60cos
775.15866.05.0775.15+?-=?-e a )/(32.272s m a e =
)/(32.272
s m a a e CD ==
[习题7-12] 销钉Ｍ可同时在槽ＡＢ，ＣＤ内滑动。已知某瞬时杆ＡＢ沿水平方向移动的速度 ｖ１＝８０ｍｍ／ｓ，加速度ａ１＝１０ｍｍ／ｓ２；杆ＣＤ沿铅直方向移动的速度ｖ２＝６０ｍｍ／ｓ，加速度ａ２＝２０ｍｍ／ｓ２。求该瞬时销钉Ｍ的速度及加速度。 解：
动点：Ｍ。
动系：固连于ＡＢ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。
e
a
v
a
v r
v W
C
a r
a n
e a 相对速度：Ｍ相对于ＡＢ的速度。 牵连速度：ＡＢ相对于地面的速度。
→
→→+=r e a v v v
)/(1006080222
22122s mm v v v v v r e a =+=+=+=
→
→→+=r e a a a a
)/(36.222010222222122s mm a a a a a r e a =+=+=+=
[习题7-13] 水力采煤用的水枪可绕铅直轴转动。在某瞬时角速度为ω，角加速度为零。设与转动轴相距ｒ处的水点该瞬时具有相对于水枪的速度ｖ１及加速度ａ１，求该水点的绝对速度及绝对加速度。 解：
动点：水点。
动系：固连于水枪上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：水点相对于地面的速度。 相对速度：水点相对于水枪的速度。
牵连速度：水枪上与水点相重点相对于地面的速度。
→
→→+=r e a v v v
2
2
21
21
2
22
)(ωωr v v r v v v r
e
a +=+=+=
→
→
→
→
++=C r e a a a a a
00=?==r r a e ατ 2ωr a n e =
10
1290sin 2sin 2v v v a r C ωωθω===
1a a r =
2
12
21)2()(v r a a a ωω+-= 21221)2()(v r a a a ωω+-=
C
a M
n
e a τ
e
a τr
a n
r
a e
a
[习题7-14] 半径为ｒ的圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心Ｏ的铅直轴ｚ转动。一小球Ｍ悬挂于盘边缘的上方。设在图示瞬时圆盘的角速度及角加速度分别为ω及α，若以圆盘为动参考系，试求该瞬时小球的科氏加速度及相对加速度。 解：
动点：小球Ｍ。
动系：固连于圆盘上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：小球Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：小球Ｍ相对于圆盘的速度。
牵连速度：圆盘上与小球Ｍ相重点相对于地面的速度。
2ωr a n e =
ατr a e =
20290sin 2sin 2ωωωθωr r v a r C =??==，方向如图所示。
2ωr a n r = ατr a r =
24224222)()(αωαωτ+=+=
+=r r r a a a r n r r
[习题7-15] 一半径ｒ＝２００ｍｍ的圆盘，绕通过Ａ点垂直于图平面的轴转动。物块Ｍ以匀速率ｖｒ＝４００ｍｍ／ｓ沿圆盘边缘运动。在图示位置，圆盘的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝４ｒａｄ／ｓ２
，求物块Ｍ的绝对速度和绝对加速度。 解：
动点：物块Ｍ。
动系：固连于圆盘上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：物块Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：物块Ｍ相对于圆盘的速度。
牵连速度：圆盘上与物块Ｍ相重点相对于地面的速度。
→
→
→
+=r e a v v v
)/(240022002)2(s mm r v e =??==ω
C
M
n r τ
e
a
e
a M
a n
r C a a +a
a
e
A
022135cos 2r e r e a v v v v v -+=
)/(43.8945400)2
1(40024002400)2400(22s mm ==-???-+=
→
→
→
→
++=C r e a a a a a
2800420022=??==ατr a e
280022002222=??==ωr a n e )/(16002800222
s mm a a e e =?==τ
0=τ
r a
)/(800200
40022
2s mm r v a r n
r
===
)/(160090sin 40022sin 220s mm v a r C =???==θω
)/(44.2884)8001600(1600)(22222s mm a a a a n r C e a =++=++=
031.561600
2400
arctan
==β [习题7-16] 大圆环固定不动，其半径Ｒ＝０.５ｍ，小圆环Ｍ套在杆ＡＢ及大圆环上，如图所示。当θ＝３０°时，ＡＢ杆转动的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝２ｒａｄ／ｓ２
，试求该瞬时：（１）Ｍ沿大圆环滑动的速度；（２）Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度；（３）Ｍ的绝对加速度。 解：
动点：小圆环Ｍ。
动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：小圆环Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：小圆环Ｍ相对于ＡＢ杆的速度。
牵连速度：ＡＢ杆上与小圆环Ｍ相重点相对于地面的速度。
→
→
→
+=r e a v v v
0222120cos 2R R R AM -+=
)(866.05.0732.13m R =?==
A
τa
e
a
r
n
a
a τa
a a
a M
)/(732.12866.0s m AM v e =?=?=ω
)/(2866
.0732
,130cos 0s m v v e a ===
（Ｍ沿大圆环滑动的速度）
)/(15.0230sin 0
s m v v a r =?==（Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度）
→
→→→++=C r e a a a a a
)/(85.0222
2s m R v a a n a
===
)/(732.12866.02s m AM a e =?=?=ατ
)/(490sin 122sin 220s m v a r C =???==θω
如图所示，→→→→++=C r e a a a a a 在→
C a 方向上的投影为：
ττe C a n a a a a a +=+0030cos 60cos
732.14866.05.08+=+?τa a
)/(22s m a a =τ
)/(25.828)()(22222s m a a a a n a a =+=+=τ （Ｍ的绝对加速度）。
04.1482arctan arctan ===n
a
a a a τβ ，如图所示。 [习题1-17] 曲柄ＯＡ，长为２ｒ,绕固定轴Ｏ转动；圆盘半径为r,绕Ａ轴转动。已知mm r 100=，在图示位置，曲柄ＯＡ的角速度s rad /41=ω,角加速度2
1/3s rad =α，圆盘相对于ＯＡ的角速度s rad /62=ω，角加速度2
2/4s rad =α。求圆盘上Ｍ点和Ｎ点的绝对速度和绝对加速度。 解：
动点：Ｍ、Ｎ。
动系：固连于ＯＡ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ、Ｎ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ、Ｎ相对于ＯＡ杆的速度。
牵连速度：ＯＡ杆（包括其延长线）上与Ｍ、Ｎ相重点相对于地面的速度。
→
→
→
+=r e a v v v
e
v
r
O
τ
e
e
v
a
v M
Ｍ点的速度：
)/(1200410033)(11s mm r r OA v e =??==+=ωω
)/(60061002s mm r v r =?==ω
)/(6006001200s mm v v v r e a =-=-=（方向与→
e v 相同） )/(600s mm v v a M ==
Ｍ点的加速度：
→
→→→++=C r e a a a a a
)/(90031003321s mm r a e =??==ατ
)/(48004100332221s mm r a n e =??==ω
)/(40041002
2s mm r a r =?==ατ
)/(36006100222
2s mm r a n r =?==ω
)/(480090sin 60042sin 2201s m v a r C =???==θω
22)()(ττr e C n r n e a M a a a a a a a -+-+==
)/(56.3634)400900()480036004800(222s mm a M =-+-+=
009.8256
.3634500
arccos
==?
Ｎ点的速度：
)/(43.8944100551s mm r v e =??==ω )/(60061002s mm r v r =?==ω
043.635arccos
==r
r β
βcos 22
2
r e r e a v v v v v -+=
)/(62.8245
160054002600)5400(22s mm v a =?
??-+=
Ｎ点的加速度：
a y
y N
→
→→→++=C r e a a a a a
)/(82.67031005521s mm r a e =??==ατ
)/(71.35774100552221s mm r a n e =??==ω )/(400410022s mm r a r =?==ατ )/(360061002222s mm r a n r =?==ω
)/(480090sin 60042sin 2201s m v a r C =???==θω
C n
e e n r ax
a a a a a
-++=∑0043.63cos 57.26cos τ
480043.63cos 71.357757.26cos 82.670360000-++=
)/(25.10002
s mm =
0057.26sin 57.26cos ττe n e r ay
a a a a
+--=∑
0057.26sin 82.67057.26cos 71.3577400+--=
)/(81.32992
s mm -=
22)()(∑∑+==ay ax a N a a a a
)/(08.3448)81.3299(25.1000222s mm =-+=
014.7308
.344825
.1000arccos arccos ===∑a
ax
a a
δ
[习题1-18] 在图示机构中， 已知ＡＡ′＝ＢＢ′＝ｒ＝０.２５ｍ， 且ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。连杆ＡＡ′以匀角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ａ′转动，当θ＝６０°时，槽杆ＣＥ位置铅直。求此时ＣＥ的角速度及角加速度。 解：
动点：Ｄ。
动系：固连ＣＥ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｄ相对于地面的速度。 相对速度：Ｄ相对于ＣＥ杆的速度。 牵连速度：ＣＥ杆上与Ｄ相重点相对于地面的速度。
a
v e
v
n
e a r
a a
a +=r e a v v v
)/(5.0225.0s m r v v v A D a =?====ω 030cos a CE e v CD v =?=ω 030cos 5.05.0?=?CE ω
)/(866.0s rad CE =ω
→
→
→
→
++=C r e a a a a a
θωsin 2r CE C v a =
)/(433.090sin )5.05.0(866.0220s m =????= CE CE e CD a αατ
5.0=?=
005.0=?=?=CE a r a ατ
)/(1225.0222s m r a n a =?=?=ω
→→→→++=C r e a a a a a 在→
C a 方向的投影为：
τe C n a a a a +=060cos
CE α5.0433.05.01+=?
)/(134.0s rad CE =α
[习题1-19] 销钉Ｍ可同时在ＡＢ、ＣＤ两滑道内运动, ＣＤ为一圆弧形滑槽，随同板以匀角速
s rad /10=ω绕Ｏ转动；在图示瞬时，Ｔ字杆平移的速度s mm v /100=，加速度
2/120s mm a =。试求该瞬时销钉Ｍ对板的速度与加速度。
解： 动点：Ｍ。
动系：固连于Ｔ形板上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于Ｔ形板的速度。
牵连速度：Ｔ形板上与Ｍ相重点相对于地面的速度。
r
e
v a v
v
a
v e
a r
a
M
+=r e a v v v
s mm v e /100=
)/(2005
.0100
60cos 0s mm v v e a ===
)/(2.173866.020060sin 0s mm v v a r =?==（相对于ＡＢ）
→
→→+=r e a a a a 2
/120s mm a a e ==
)/(2405.012060
cos 2
s mm a a e a === )/(85.20760sin 20s mm a a a r ==（相对于ＡＢ）
若取 动点：Ｍ。
动系：固连于方形板上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于方形板的速度。
牵连速度：方形板上与Ｍ相重点相对于地面的速度。 则：
→
→→+=r e a v v v
销钉相对于ＣＤ滑槽（方形板）的速度：
相对于方形板v OM +?=0200ω
)/(1001100200s mm OM v v ０a =?-=?-ω＝板相对于方形 →
→→→++=C r e a a a a a
)/(20090sin 10012sin 22
0s mm v a r C =???==θω
)/(1001100222
0s mm OM a n e =?=?=ω
)/(100100
100222s mm OM v a r n r
===
y
→→→→++=C r e a a a a a 在→
a a 方向上的投影为： τr a a a =
)/(2402s mm a r =τ
)/(260100240)()(22222s mm a a a n r r r =+=
+=τ
[习题1-20] 已知点Ｍ在动坐标系212y O x 平面内运动，其运动方程为t t x 432
2+=，
t t y 2422-=，2x 与1x （1x 轴与x 轴保持平行）的夹角t 2=?，点1O 的运动规律为t x 31=，2154t t y -=。试用建立运动方程式及合成运动两种方法求点Ｍ的速度。
解：
方法一：建立运动方程法。
对于静坐标系而言，动点Ｍ的坐标为：
??sin cos 221y x x x -+=
t t t t t t t x 2sin )24(2cos )43(322--++=
t t t t t t t t t t dt
dx
v x 2cos )24(22sin )28(2sin )43(22cos )46(322----+-++==
t t t t t t v x 2sin )6162(2cos )8104(322--+-++=
??cos sin 221y x y y ++=
t t t t t t t t y 2cos )24(2sin )43()54(222-+++-=
t t t t t t t t t t t dt
dy
v y 2sin )24(22cos )28(2cos )43(22sin )46()104(22---+++++-== t t t t t t t dt
dy
v y 2cos )6162(2sin )8104(10422----++-==
方法二：合成运动法。 动点：Ｍ。 动系：111y O x 静系：xOy 。
绝对速度：Ｍ相对于xOy 坐标系的速度。
相对速度：Ｍ相对于111y O x 坐标系的速度。
牵连速度：111y O x 上与Ｍ相重点相对于xOy 的速度。
→
→→+=r e a v v v
牵连速度的水平分量：
3)3(1===
t dt
d
dt dx v ex 牵连速度的竖直分量：
t t t dt
d
dt dy v ey 104)54(21-=-==
Ｍ点相对于111y O x 坐标的横坐标为：
??sin cos 221y x x r -=
t t t t t t x r 2sin )24(2cos )43(2
2
1--+=
相对速度的水平分量为：
t t t t t t t t t t dt
dx v r rx 2cos )24(22sin )28(2sin )43(22cos )46(221
----+-+== t t t t t t dt
dx v r rx 2sin )6162(2cos )8104(221
--+-+==
Ｍ点速度的水平分量：
rx ex x v v v +=
t t t t t t v x 2sin )6162(2cos )8104(322--+-++=
Ｍ点相对于111y O x 坐标的纵坐标为：
??cos sin 221y x y r +=
t t t t t t y r 2cos )24(2sin )43(221-++=
相对速度的竖直分量为：
t t t t t t t t t t dt
dy v r ry 2sin )24(22cos )28(2cos )43(22sin )46(221
---++++==
t t t t t t v ry 2cos )6162(2sin )8104(22----+=
ry ey y v v v +=
Ｍ点速度的竖直分量：
r
v x
y
M
x
y
z
τe a n
e
a 0
30C
a ω
r
v 0
30r
n r a a =t t t t t t t v y 2cos )6162(2sin )8104(10422----++-=
[习题7-21] 板ＡＢＣＤ绕ｚ轴以ω＝０.５ｔ（其中ω以ｒａｄ／ｓ计，ｔ以ｓ计）的规律转动，小球Ｍ在半径ｒ＝１００ｍｍ的圆弧槽内相对于板按规律ｓ＝５０πｔ/3（ｓ以ｍｍ计，ｔ以ｓ计）运动，求ｔ＝２ｓ时，小球Ｍ的速度与加速度。 解： 动点：Ｍ。
动系：固连于板ABCD 上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于板ABCD 的速度。
牵连速度：板ABCD 上与Ｍ相重点相对于地面的速度。
→
→→+=r e a v v v
6100350t t r s ππ?=?==
小球绕CD 中点在圆弧槽滑动的角速度为：
)/(6
1s rad dt d π
?ω==
)/(3
506
1001s mm r v r π
π
ω=
?
== 3
6
2
)2(π
π?=
?=
ωπ
ρω)6
sin (r r v e -==
)/(4.1325.0)866.01(100s mm =??-?=
)/(543.524.13)()(2222s mm v v v r e a =+=+=
2481.054
4.13cos ===
a e v v α，063.75),(==αa e v v 。 →
→
→
→
++=C r e a a a a a
1. 图示的曲柄滑道机构中，曲柄长OA =10cm ,绕O 轴转动。当?=30°时，其角速度ω=1rad/s ，角加速度α=1rad/s 2，求导杆BC 的加速度和滑块A 在滑道中的相对加速度。 解 取滑块A 为动点，动坐标系固连于导杆上。 切向加速度a a τ和法向加速度a a n ，其大小分别为 a a τ=OA ·ε=10cm/s 2 a a n =OA ·ω2=10cm/s 2 牵连运动为平动的加速度合成定理为 a a = a a τ+ a a n = a e + a r 将上式各矢量分别投影在x 轴和y 轴上，解得 a r ==3.66cm/s 2 a e =13.66cm/s 2 a e 即为导杆在此瞬时的平动加速度。 2. 滚压机构的滚子沿水平地面作纯滚动。已知曲柄OA 长r ，以匀角速度ω转动。连杆AB 长r L 3=, 滚子半径为R 。求图示位置滚子的角速度和角加速度。 解 （1）分析运动，先选AB 杆为研究对象 （2）根据瞬心法求v B 先找到速度瞬心C v B = ωr 3 3 2 （3）利用加速度公式求a B n BA t BA A B a a a a ρρρρ++= ωAB = v A /AC = rω/3r = ω/3
a BA n = ABωAB 2= 3rω2/9 a B = 2 rω2/9 （4）再取滚子为研究对象，求ωB 和αB ωB = v B /R = ωr R 33 2 αB = dωB /dt =1/R ·dv B /dt = a B /R = 2 rω2/9R 3. 图示的四连杆机构中，O 1A =r , AB =O 2B =3r ,曲柄以等角速度ω1绕O 1轴转动。在图示位置时，O 1A ⊥AB ,∠O 2BA =60°。求此瞬时杆O 2B 的角速度ω2和角加速度2α。 解 （1）先计算杆O 2B 的角速度 杆O 1A 和O 2B 作定轴转动，连杆AB 作平面运动。过A 、B 两点作A v ρ、B v ρ 的垂线，其交点C 就是连杆AB 的瞬心。 根据瞬心法或者速度投影法可以求得 ο30cos B A v v = 于是 ωr v v A B 3 230 cos = =ο
2- 1凸轮以匀角速度绕°轴转动，杆AB的A端搁在凸轮上。图示瞬时AB杆 处于水平位置，°A为铅直。试求该瞬时AB杆的角速度的大小及转向解：V a V e V r 其中，v e. r2e2 V a V e tg e v e 所以AB a（逆时针） 求当0时，顶杆的速度 2-2.平底顶杆凸轮机构如图所示 转动，轴0位于顶杆轴线上为 R，偏心距OC e, 顶杆AB可沿导轨上下移动， 工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面 凸轮绕轴0转动的角速度为 偏心圆盘绕轴0 该凸轮半径 ，0C与水平线成夹角 A
（1）运动分析 轮心C 为动点，动系固结于AB ;牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底 平行直线，绝对运动为绕0圆周运动。 （2）速度分析，如图b 所示 V - V - V a e r 方向 丄OC 1 - 大小 ? ? y 肋二人二 v a cos 第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答 4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5 π?= rad ，并且当运动开始时，角 0=?，求尺上D 点的运动方程和轨迹。 解： 已知t π?2.0=，故点D 的运动方程为 m m 2.0cos 200D t x π= m m 2.0sin 100D t y π= 消去时间t 得到点D 的轨迹方程为 11002002 222=+D D y x （椭圆） 4-2 图示AB 杆长l ，以t ω?=的规律绕B 点转动， ω为常量。而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规 律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。求A 点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为?sin l s x += ，?cos l y -=，即 ()t l b a x ωsin ++= t l y ωcos -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为： 2 2 2 2()1()x a y b l l -+=+.（椭圆） 4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑 轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++= +t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套 A 的速度和加速度为 2 20d d l x x v t x v A +-==， 32 20d d x l v t v a A A -==， 负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。 4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ω?=，其中ω为常量。试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。 解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得 2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-?? 其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式 题 4-1图 题4-2图 题4-3图 2 v v e =1 v v =AB r v v =0 45 45 v r =N B C .第七章 点的合成运动习题解 [习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。求在B 车上观察到的Ａ车的速度。 解： 动点：A 车。 动系：固连于B 车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。 绝对运动：动点A 相对于地面的运动。 相对运动：动点A 相对于B 车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。2v v e =。由速度合成定理得： → → → +=r e v v v 。用作图法求得： h km v v AB r /40== （↑） 故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。 [习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。 动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。 绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。 绝对速度：未知待求，如图所示的v 。 相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。 牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。 由速度合成定理得： → → → +=r e v v v 第六章点的合成运动 一、是非题 1、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r皆成立。（） 2、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。（） 3、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。（） 4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。（） 5、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。（） 6、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。（） 7、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。（） 8、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。（） 二、选择题 1、长L的直杆OA，以角速度ω绕O轴转动，杆的A端铰 接一个半径为r的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr，绕A轴 转动。今以圆盘边缘上的一点M为动点，OA为动坐标，当AM 垂直OA时，点M的相对速度为。 ①υr=Lωr，方向沿AM； ②υr=r（ωr－ω），方向垂直AM，指向左下方； ③υr=r（L2+r2）1/2ωr，方向垂直OM，指向右下方； ④υr=rωr，方向垂直AM，指向在左下方。 2、直角三角形板ABC，一边长L，以匀角速度ω绕B轴转动，点M以S=Lt的规律自A向C运动，当t=1秒时，点M的相对加速度的大小α r= ；牵连加速度的大小αe = ；科氏 加速度的大小αk = 。方向均需在图中画出。 ①Lω2； ②0； ③3Lω2； 运动学重要知识点 一、刚体的简单运动知识点总结 1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。 2.刚体平行移动。 ·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。 ·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。 ·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。 3.刚体绕定轴转动。 ?刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。 ?刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。 ?角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，。角速度也可 以用矢量表示，。 ?角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，，当α与ω同号时，刚体作匀加速转动；当α与ω异号时，刚体作匀减速转动。角加速度 也可以用矢量表示，。 ?绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系： 。 速度、加速度的代数值为。 ?传动比。 一、点的运动合成知识点总结 1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。 ?绝对运动：动点相对于定参考系的运动； ?相对运动：动点相对于动参考系的运动； ? 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。 2.点的速度合成定理。 ?绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度； ?相对速度：动点相对于动参考系运动的速度； ?牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。 3.点的加速度合成定理。 ?绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度； ?相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度； ?牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度； ?科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。 ?当动参考系作平移或= 0 ，或与平行时， = 0 。 该部分知识点常见问题有 第五章 点的合成运动 本章要点 一、绝对运动、相对运动和牵连运动 一个动点， 两个参照系： 定系，动系； 三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动， 包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度； 牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。 二、速度合成定理 动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即 r e a v v v += 解题要领 1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上. 2 牵连速度是牵连点的速度. 3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的. 4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置. 5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理 1 牵连运动为平移时的加速度合成定理 当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即 r e a a a a +=， 当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成 n r t r n e t e n a t a a a a a a a +++=+ 其中 t v a d d a t a =，a 2a n a ρv a =，t v a d d e t e =，e 2e n e ρv a =，t v a d d r t r =，r 2r n r ρv a =，r e a ,,ρρρ依次为绝 对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。 解题要领 1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要. 2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。 3 因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。 4 在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下： 例：半径为r 的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆OA 绕O 轴转动，凸轮底面直径DE 的延长线通过O 点，如图所示。若在 30=?的图示瞬时位置，已知凸轮向左的移动速度为u ，加速度为a 且与u 反向，求此瞬时OA 杆的角速度ω与角加速度α。 ·75· 第7章 点的合成运动 一、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”） 1．点的速度和加速度合成定理建立了两个不同物体上两点之间的速度和加速度之间的 关系。 ( √ ) 2．根据速度合成定理，动点的绝对速度一定大于其相对速度。 ( × ) 3．应用速度合成定理，在选取动点和动系时，若动点是某刚体上的一点，则动系不可以固结在这个刚体上。 ( √ ) 4．从地球上观察到的太阳轨迹与同时在月球上观察到的轨迹相同。 ( × ) 5．在合成运动中，当牵连运动为转动时，科氏加速度一定不为零。 ( × ) 6．科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向而产生的加速度。 ( √ ) 7．在图7.19中，动点M 以常速度r v 相对圆盘在圆盘直径上运动，圆盘以匀角速度ω绕定轴O 转动，则无论动点运动到圆盘上的什么位置，其科氏加速度都相等。 ( √ ) 二、填空题 1．已知r 234=++v i j k ，e 63=-ωi k ，则k =a 18 i ＋ -60 j ＋ 36 k 。 2．在图7.20中，两个机构的斜杆绕O 2的角速度均为2ω，O 1O 2的距离为l ，斜杆与竖直方向的夹角为θ，则图7.20(a)中直杆的角速度=1ωθ θωcos sin 2 ，图7.20(b)中直杆的角速 度=1ω2ω。 图7.19 图7.20 3．科氏加速度为零的条件有：动参考系作平动、0=r v 和r e v ω//。 4．绝对运动和相对运动是指动点分别相对于定系和动系的运动，而牵连运动是指牵连点相对于定系的运动。牵连点是指某瞬时动系上和动点相重合的点，相应的牵连速度和加速度是指牵连点相对于定系的速度和加速度。 5．如图7.21所示的系统，以''Ax y 为动参考系，Ax'总在水平轴上运动，AB l =。则点B 的相对轨迹是圆周，若kt ?= (k 为常量)，点B 的相对速度为lk ，相对加速度为2lk 。 第五章运动学基础 一、是非题 1．已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f1（t），y=f2（t），z=f3（t），则任一瞬时点的速度、加速度即可确定。（）2．一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。（）3．切向加速度只表示速度方向的变化率，而与速度的大小无关。（）4．由于加速度a永远位于轨迹上动点处的密切面内，故a在副法线上的投影恒等于零。（）5．在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。（）6．在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动。（）7．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。（）8．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。（）9．定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v=w×r，其中w是刚体的角速度矢 量，r是从定轴上任一点引出的矢径。（） 10、在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。（） 二、选择题 1、已知某点的运动方程为S=a+bt2（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹。 ①是直线；②是曲线；③不能确定。 2、一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量。 ①平行；②垂直；③夹角随时间变化。 3、刚体作定轴转动时，切向加速度为，法向加速度为。 ①r×ε②ε×r ③ω×v④v×ω 4、杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度 α分别如图（a）、（b）、（c）所示。则该瞬时的角速度为零， 的角加速度为零。 ①图（a）系统；②图（b）系统；③图（c）系统。 质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点O 的动量矩是矢量。 质点系对点O 的动量矩是矢量。 若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为 。 若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。 2.动量矩定理。 对于定点O 和定轴z 有 若 C 为质心，C z 轴通过质心，有 第七章点的合成运动 一、是非题 1、牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。 × 2、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r皆成立。（） 答案：√ 3、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。（） 答案：× 4、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。（） 答案：√ 5、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。（）答案：× 6、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。（）答案：√ 7、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。（）答案：× 8、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。（） 答案：× 9、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。（） 答案：× 二、选择题 1.在点的合成运动问题中，当牵连运动为平动时------。 ①一定会有科氏加速度②不一定会有科氏加速度③一定没有科氏加速度 答案：③ 2.平行四边形机构，在图示瞬时，杆以角速度转动。 滑块M相对AB杆运动若取M为动点，AB为动坐标， 则该瞬时动点的牵连速度与杆AB 间的夹角为------。 ①②③④ 答案：② 3、长L 的直杆OA ，以角速度ω绕O 轴转动，杆的A 端铰接一 个半径为r 的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr 绕A 轴转动。今 以圆盘边缘上的一点M 为动点，OA 为动坐标，当AM 垂直OA 时，点M 的相对速度为 。 A υr =L ωr ，方向沿AM ； B υr =r （ωr －ω），方向垂直AM ，指向左下方； C υr =r （L 2+r 2）1/2ωr ，方向垂直OM ，指向右下方； D υr =r ωr ，方向垂直AM ，指向在左下方。 答案：D 4、直角三角形板ABC ，一边长L ，以匀角速度ω绕B 轴转动，点M 以S=Lt 的规律自A 向C 运动，当t=1秒时，点M 的相对加速度的大小αr= ；牵连加速度的大 小αe = ；科氏加速度的大小αk = 。 方向均需在图中画出。 A L ω2； B 0； C 3 L ω2； D 23 L ω2。 答案:B A D 5．圆盘以匀角速度ω0绕O 轴转动，其上一动点M 相对于圆盘以匀速u 在直槽内运动。若以圆盘为动系，则 当M 运动到A 、B 、C 各点时，动点的牵连加速度的大 小 ，科氏加速度的大 小 。 A 相等； B 不相等； C 处于A ，B 位置时相等。 答案：B A 6．一动点在圆盘内运动，同时圆盘又绕直径轴x 以角速度ω转动，若AB ∥OX ，CD ⊥OX ，则当动点沿 运动时，可使科氏加速度恒等于零。 A 直线CD 或X 轴； B 直线CD 或AB ； C 直线AB 或X 轴； D 圆周。 答案：C 习 题 7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。 图7-26 t v x e =' )c o s ()c o s (e θωθω+'=+=='x v A t A y y 7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为 常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。试求车刀在工件端面上切出的痕迹。 图7-27 t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'= 0c o s s i n ='+'=t y t x y ωω 解得 )2s i n (2 c o s s i n s i n t a n c o s s i n t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2 sin tan 2-=-='-='t b t b t x y ωωω 4 )2()(222 b b y x = +'+' 7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。设各处河水流速均匀且不随时间改变。一船 由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。 图7-28 m/s 2.0600120== v 600r L v = 船A 能垂直到达对岸的点B 750a L v = 2 a 22r v v v += 2222.0)750 ()600(+=L L m 200)750 1()6001(2 .02 2=-=L m/s 31r =v 7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=?转动，点在管内运动， 2－1 凸轮以匀角速度ω绕O 轴转动，杆AB 的A 端搁在凸轮上。图示瞬时AB 杆处于水平位置，OA 为铅直。试求该瞬时AB 杆的角速度的大小及转向。 解： r e a v v v += 其中，22e r v e -=ω e v v e a ωφ==tg 所以 l e l v a AB ωω== （逆时针） 2－2. 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O 转动，轴O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R ，偏心距e OC =，凸轮绕轴O 转动的角速度为ω，OC 与水平线成夹角?。求当?=0?时，顶杆的速度。 （1）运动分析 轮心C 为动点，动系固结于AB ；牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底平行直线，绝对运动为绕O 圆周运动。 （2）速度分析，如图b 所示 2－3. 曲柄CE 在图示瞬时以ω0绕轴E 转动，并带动直角曲杆ABD 在图示平面运动。若d 为已知，试求曲杆ABD 的角速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1 ωω== A O v BC O （顺时针） 2－4. 在图示平面机构中，已知：AB OO =1，cm 31===r B O OA ，摇杆D O 2在 D 点与套在A E 杆上的套筒铰接。OA 以匀角速度rad/s 20=ω转动， cm 332==l D O 。试求：当?=30?时，D O 2的角速度和角加速度。 习 题 5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ω?=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。 图5-13 )(cos )sin(222t e R t e y ωω-+ = ) (cos 2)2sin()[cos(2 2 2 t e R t e t e y v ωωωω-+== 5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ， MB = h 。试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度 的大小。 图5-14 A M x h l h h x += =θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h x A M +=+== θθ 得 θ θ cos )(0h l v += θθθθθt a n ) (c o s )(s i n s i n 0 0h l lv h l v l l y M +-=+?-=-= 0=M x θ θθθθ322 002 020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +- =+?+-=+-= θ 3220 cos )(h l lv a M += 5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =?（ 以 rad 计， t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。铰O 至水平杆CD 的距离h =400 mm 。试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。 图5-15 ?tan h x M = ??? 22sec 6 π 400sec ?== h x M ???????s i n s e c 9 π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π400323 3=??=??= M x 当s 1=t 时6 π=? mm/s 3.2799π 800346π400)6π(sec 6π4002==?== M v 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==??=??=M a 5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ω?=规律绕O 转动，如图5-16所示。当t = 0时，M 在点O 处，试求在任一瞬时点M 的速度和加速度的大小。 图5-16 )cos(t ut x ω= )sin(t ut y ω= )sin()cos(t t u t u x ωωω-= )cos()sin(t t u t u y ωωω+= 第5章 点的复合运动分析 5－1 曲柄OA 在图示瞬时以ω0绕轴O 转动，并带动直角曲杆O 1BC 在图示平面内运动。若d 为已知，试求曲杆O 1BC 的角速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1 ωω==A O v BC O （顺时针） 5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径cm 10=R ，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长cm 10=OA ，以匀角速rad/s 4πω=绕O 轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角 30=φ。求此时滑杆CB 的速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：BC ，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += πω401a =?=A O v cm/s ； 12640a e ====πv v v BC cm/s 5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O 和O 1、曲柄OA 和滑道摇杆O 1B 组成。曲柄OA 的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O 1B 上的滑道滑动。已知曲柄OA 长r 并以等角速度ω转动，两轴间的距离是OO 1 = d 。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A 点坐标 d t r x +=ω?cos cos 1 （1） t r x ω?sin sin 1= （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程 t rd r d t r d t rd t r x ωωωωcos 2sin cos 2cos 2 2 222221++=+++= 将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程： d t r t r += ωω?cos sin tan d t r t r +=ωω?cos sin arctan 5－4 曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O 1A 以匀角速度ω1绕轴O 1转动，O 1A = R ，O 1O 2 =b ，O 2O = L 。试求当O 1A 水平位置时，杆BC 的速度。 解：1、A 点：动点：A ，动系：杆O 2A ，牵连运动：定 轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 1a ωR v A =；2 21222a e R b R R b R v v A A +=+=ω 2、B 点：动点：B ，动系：杆O 2A ，牵连运动：定轴 转动，相对运动：直线，绝对运动：直线。 C 习题5-4图 习题5-1图 A 习题5-3图 第七章作业 1、已知：如图所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，运动方程为：x' =40(1-cos t)mm , y' =40sin t mm，式中t 以 s 计，x ' 和 y ' 以 mm 计。平面Ox ' y ' 又绕垂直于该平面的O 轴转动，转动方程为 φ=t rad ，式中角 φ 为动坐标系的 x '轴与定坐标系的 x 轴间的交角。试求：点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。 2 、已知：在图 a 和 b 所示的两种机构中，己知= a =200mm ， =3rad/s 。 试求：图示位置时杆 A 的角速度。 3、已知：绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M ，如图所示， b =0.lm 。设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为 =9rad/s 和=3rad/s 。试求：此瞬时销子 M 的速度。 4、已知：图示偏心轮摇杆机构中，摇杆 A 借助弹簧压在半径为 R 的偏心轮 C 上。偏心轮C 绕轴 O 往复摆动，从而带动摇杆绕轴 摆动。设 OC ⊥O时，轮 C 的角速度为ω，角加速度为零，θ =。试求：此时摇杆 A 的角速度 和角加速度 。 5、已知：小车沿水平方向向右作加速运动，其加速度 。在小车上有一轮绕 O 轴转动，轮的半径 r =0.2m ，转动的规律为 。试求：当 t =1s 时，轮缘上点 A 绝对加速度。 6、已知：图示直角曲杆OBC 以匀角速度ω=0.5rad/s 绕 O 轴转动，使套在其上的小环 M 沿固定直杆 OA 滑动， OB =0.1m ， OB 与BC 垂直。 试求：当 φ =时，小环 M 的速度和加速度。 一、判断题： 1. 在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度a = 0。（ ） 2、在分析点的合成运动时，动点的绝对速度一定不能恒等于零。( ) 3、对于平动刚体，任一瞬时，各点速度大小相等而方向可以不同。( ) 4、在刚体运动过程中，若刚体内任一平面始终与某固定平面平行，则这种运动就是刚体的平面运动。( ) 5、加速度 d d v t 的大小为d d v t 。（ ） 6、点的法向加速度与速度大小的改变率无关。 ( ) 7、速度瞬心的速度为零，加速度也为零。 （ ） 8、火车在北半球上自东向西行驶，两条铁轨的磨损程度是相同的。( ) 9、平动刚体上各点运动状态完全相同。( ) 10、某瞬时动点的加速度等于零，则其速度可能为零。( ) 11、不论点作什么运动，点的位移始终是一个矢量。( ) 12、某动点如果在某瞬时法向加速度为零，而切向加速度不为零，则该点一定做直线运动。（ ） 13、在研究点的合成运动时，所选动点必须相对地球有运动（ ） 14、已知自然法描述的点的运动方程为S=f(t)，则任意瞬时点的速度、加速度即可确定。（ ） 15、科氏加速度的大小等于相对速度与牵连角速度之大小的乘积的两倍。 （ ） 16、作平面运动的平面图形可以同时存在两个或两个以上的速度瞬时中心。( ) 17、在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度0a 。 （ ） 18、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（ ） 19、在分析点的合成运动时，动点的绝对速度一定不能恒等于零。( ) 20、若动系的牵连运动为定轴转动，则肯定存在哥氏加速度C a 。( ) 21、在直角坐标系中，如果一点的速度v 在三个坐标上的投影均为常数，其加速度a 必然为零。（） 22、刚体平行移动时，其上各点的轨迹一定是相互平行的直线。 二.填空题 1.点M 沿螺旋线自外向内运动，如图所示。它走过的弧长与时间的一次方成正比。试分析它的加速度越来越__________(填大或小) 2．图所示平板绕AB 轴以匀角速度ω定轴转动，动点 运动方程 第8章 点的合成运动 8-1 如图 8-1 所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动 方程为 x = 0， y = a cos(kt +β) 如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动。求点 M 在记录纸上的轨迹。 解 动系O 'x ' y '固结在纸上，点 M 的相对运动 方程 x '= v e t ， y '= a cos(kt + β) 消去t 得点 M 在记录纸上 的轨迹方程 k y '= a cos( x '+β) v e 8-2 如图 8-2 所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，图 8-1 运动方程为 x '= 40(1? cos t ) ， y '= 40sin t 式中t 以 s 计，x '和 y '以 mm 计。平面Ox ' y '又绕垂直于该平面的轴O 转动，转动方程为 ?= t rad ，式中角?为动系的 x '轴与定系的 x 轴间的交角。求点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。 解 由点 M 的相对运动方程可改写为 ? x ' ? ??? 40 ?1??? = ?cos t y ' = sin t 40 上2式两边平方后相加，得点 M 的相对轨迹方程 (x '?40)2 + y '2 =1600图 8-2由题得点 M 的坐标变换关系式 x = x 'cos ?? y 'sin ?y = x 'sin ?+ y 'cos ? 将?= t 和相对运动方程代入，消去t 得点M 的绝对轨迹方程 (x + 40)2 + y 2 =1600 8-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度v a =15 m/s ，并与直径成β= 60° 角，如图 8-3a 所示，工作轮的半径R = 2 m ，转速n = 30 r/min 。为避 免水流与工作轮叶片相冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小方向。 x ′ (a) (b) 图 8-3 解 水轮机工作轮入口处的 1 滴水为动点 M ，动系固结于工作轮，定系固结于机架/ 地面（一般定系可不别说明，默认为固结于机架，下同）；牵连运动为定轴转动，相对运动与叶片曲面相切，速度分析如图 8-3b 所示，设θ为v r 与 x '轴的夹角。点 M 的牵连速度 n π v e = R ω= 2× = 6.283 m/s 30 方向与y ' 轴平行。由图 8-3b , ′ v理论力学---第4章点的运动和刚体基本运动习题解答
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