1．(2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图1所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )
图1
A.L 12g
6h ＜v ＜L 1g
6h
B.L 14g
h ＜v ＜ (4L 21＋L 2
2)g
6h C.L 12g 6h ＜v ＜12(4L 21＋L 2
2)g
6h D.L 14
g h ＜v ＜12
(4L 21＋L 22)g
6h
2．(多选)(2015·浙江理综·19)如图2所示为赛车场的一个水平“U ”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内外半径分别为r 和2r .一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ′B ′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ′为圆心的半圆，OO ′＝r .赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max .选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( )
图2
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
3．(2015·海南单科·14)如图3所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝2 m，s＝ 2 m．取重力加速度大小g＝10 m/s2.
图3
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．
1．题型特点
抛体运动与圆周运动是高考热点之一．考查的知识点有：对平抛运动的理解及综合运用、运动的合成与分解思想方法的应用、竖直面内圆周运动的理解和应用．高考中单
独考查曲线运动的知识点时，题型为选择题，将曲线运动与功和能、电场与磁场综合时题型为计算题．
2．应考策略
抓住处理问题的基本方法即运动的合成与分解，灵活掌握常见的曲线运动模型：平抛运动及类平抛运动、竖直面内的圆周运动及完成圆周运动的临界条件．
考题一运动的合成与分解
1．(2015·南通二模)如图4所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至b点时，救生员乙从O点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的运动方向应为图中的()
图4
A．Oa方向B．Ob方向
C．Oc方向D．Od方向
2．(多选)(2015·盐城二模)如图5所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R视为质点)．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度的方向与y轴夹角为α.则红蜡块R的()
图5
A ．分位移y 与x 成正比
B ．分位移y 的平方与x 成正比
C ．合速度v 的大小与时间t 成正比
D ．tan α与时间t 成正比
3．(多选)(2015·南昌二模)如图6所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d ，杆上的A 点与定滑轮等高，杆上的B 点在A 点下方距离为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )
图6
A ．环到达
B 处时，重物上升的高度h ＝d 2
B ．环到达B 处时，环与重物的速度大小相等
C ．环从A 到B ，环减少的机械能等于重物增加的机械能
D ．环能下降的最大高度为4
3
d
1．合运动与分运动的关系：
(1)独立性：两个分运动可能共线、可能互成角度．两个分运动各自独立，互不干扰． (2)等效性：两个分运动的规律、位移、速度、加速度叠加起来与合运动的规律、位移、速度、加速度效果相同．
(3)等时性：各个分运动及其合运动总是同时发生，同时结束，经历的时间相等． (4)合运动一定是物体的实际运动．
物体实际发生的运动就是物体相对地面发生的运动，或者说是相对于地面上的观察者所发生的运动．
2．判断以下说法的对错．
(1)曲线运动一定是变速运动．( √ )
(2)变速运动一定是曲线运动．( × )
(3)做曲线运动的物体所受的合外力一定是变力．( × )
考题二 平抛(类平抛)运动的规律
4．(多选)如图7所示，A 、B 两点在同一条竖直线上，A 点离地面的高度为2.5h .B 点离地面的高度为2h .将两个小球分别从A 、B 两点水平抛出，它们在P 点相遇，P 点离地面的高度为h .已知重力加速度为g ，则( )
图7
A ．两个小球一定同时抛出
B ．两个小球抛出的时间间隔为(3－2)h g
C ．小球A 、B 抛出的初速度之比v A
v B ＝
32 D ．小球A 、B 抛出的初速度之比v A
v B
＝
23 5.(2015·武汉四月调研)在水平地面上的O 点同时将甲、乙两块小石头斜向上抛出，甲、乙在同一竖直面内运动，其轨迹如图8所示，A 点是两轨迹在空中的交点，甲、乙运动的最大高度相等．若不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
图8
A ．甲先到达最大高度处
B ．乙先到达最大高度处
C ．乙先到达A 点
D ．甲先到达水平地面
6．(2015·赣州模拟)如图9，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A 点正上方高度为10 m 处的O 点，以5 m /s 的速度水平抛出一个小球，则飞行一段时间后撞在斜面上时速度与
水平方向夹角的正切值为(g ＝10 m/s 2)( )
图9
A ．2
B ．0.5
C ．1
D. 2
1．平抛运动规律
图10
以抛出点为坐标原点，水平初速度v 0方向为x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图10所示的坐标系，则平抛运动规律如下． (1)水平方向：v x ＝v 0 x ＝v 0t (2)竖直方向：v y ＝gt y ＝1
2
gt 2
(3)合运动：合速度：v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋g 2t 2
合位移：s ＝x 2＋y 2
合速度与水平方向夹角的正切值tan α＝v y v 0＝gt v 0
合位移与水平方向夹角的正切值tan θ＝y x ＝gt
2v 0
2．平抛运动的两个重要推论
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位臵处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
考题三圆周运动问题的分析
7．(2015·绵阳三诊)如图11所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力．则球B在最高点时()
图11
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为2gL
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
8．(2015·哈尔滨第六中学二模)如图12所示，质量为m的竖直光滑圆环A的半径为r，竖直固定在质量为m的木板B上，木板B的两侧各有一竖直挡板固定在地面上，使木板不能左右运动．在环的最低点静置一质量为m的小球C.现给小球一水平向右的瞬时速度v0，小球会在环内侧做圆周运动．为保证小球能通过环的最高点，且不会使木板离开地面，则初速度v0必须满足()
图12
A.3gr≤v0≤5gr
B.gr≤v0≤3gr
C.7gr≤v0≤3gr
D.5gr≤v0≤7gr
9．(2015·淮安三调)如图13所示，光滑杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k、原长为l0的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接．OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ.
图13
(1)杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a 及小球速度最大时弹簧的压缩量Δl 1；
(2)当球随杆一起绕OO ′轴匀速转动时，弹簧伸长量为Δl 2，求匀速转动的角速度ω； (3)若θ＝30°，移去弹簧，当杆绕OO ′轴以角速度ω0＝
g
L
匀速转动时，小球恰好在杆上某一位置随杆在水平面内匀速转动，球受轻微扰动后沿杆向上滑动，到最高点A 时球沿杆方向的速度大小为v 0，求小球从开始滑动到离开杆过程中，杆对球所做的功W .
1．圆周运动主要分为水平面内的圆周运动(转盘上的物体、汽车拐弯、火车拐弯、圆锥摆等)和竖直平面内的圆周运动(绳模型、汽车过拱形桥、水流星、内轨道、轻杆模型、管道模型)． 2．找向心力的来源是解决圆周运动的出发点，学会牛顿第二定律在曲线运动中的应用． 3．注意有些题目中有“恰能”、“刚好”、“正好”、“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点．
考题四抛体运动与圆周运动的综合
10．(多选)(2015·揭阳二模)如图14所示，小球沿水平面以初速度v0通过O点进入半径为R 的竖直半圆弧轨道，不计一切阻力，则()
图14
A．球进入竖直半圆弧轨道后做匀速圆周运动
B．若小球能通过半圆弧最高点P，则球在P点受力平衡
C．若小球的初速度v0＝3gR，则小球一定能通过P点
D．若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球落地点到O点的水平距离为2R 11．(2015·雅安三诊)如图15所示，参加某电视台娱乐节目的选手从较高的平台以v0＝8 m/s 的速度从A点水平跃出后，沿B点切线方向进入光滑圆弧轨道，沿轨道滑到C点后离开轨道．已知A、B之间的竖直高度H＝1.8 m，圆弧轨道半径R＝10 m，选手质量m＝50 kg，不计空气阻力，g＝10 m/s2，求：
图15
(1)选手从A点运动到B点的时间及到达B点的速度；
(2)选手到达C点时对轨道的压力．
曲线运动的综合题往往涉及圆周运动、平抛运动等多个运动过程，常结合功能关系进行求解，解答时可从以下两点进行突破： 1．分析临界点
对于物体在临界点相关的多个物理量，需要区分哪些物理量能够突变，哪些物理量不能突变，而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口． 2．分析每个运动过程的运动性质
对于物体参与的多个运动过程，要仔细分析每个运动过程做何种运动：
(1)若为圆周运动，应明确是水平面的匀速圆周运动，还是竖直平面的变速圆周运动，机械能是否守恒．
(2)若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度方向的力是由哪个力、哪个力的分力或哪几个力提供的．
专题综合练
1．(多选)(2015·广东六校联考)关于物体的运动，以下说法正确的是( ) A ．物体做平抛运动时，加速度不变 B ．物体做匀速圆周运动时，加速度不变 C ．物体做曲线运动时，加速度一定改变 D ．物体做曲线运动时，速度一定变化
2．(2015·湖南省十三校第二次联考)如图16所示，河水流动的速度为v 且处处相同，河宽为a .在船下水点A 的下游距离为b 处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)( )
图16
A ．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t ＝b
v .速度最大，最大速度为v max ＝a v b
B ．小船轨迹沿y 轴方向渡河位移最小．速度最大，最大速度为v max ＝a 2＋b 2v
b
C．小船沿轨迹AB运动位移最大、时间最长．速度最小，最小速度v min＝a v b
D．小船沿轨迹AB运动位移最大、速度最小．则小船的最小速度v min＝
a v
a2＋b2
3．(多选)(2015·宜宾二诊)如图17所示，水平光滑长杆上套有一个质量为m A的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接A，另一端悬挂质量为m B的小物块B，C为O点正下方杆上一点，定滑轮到杆的距离OC＝h.开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°.现将A、B同时由静止释放，则下列分析正确的是()
图17
A．物块B从释放到最低点的过程中，物块A的动能不断增大
B．物块A由P点出发第一次到达C点的过程中，物块B的机械能先增大后减小
C．PO与水平方向的夹角为45°时，物块A、B速度大小关系是v A＝
2 2
v B
D．物块A在运动过程中最大速度为2m B gh m A
4．(2015·临汾四校二模)如图18所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是()
图18
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．PQ间距是原来间距的3倍
5．(2015·莆田三校模拟)如图19所示，水平地面附近，小球B以初速度v斜向上瞄准另一小球A射出，恰巧在B球射出的同时，A球由静止开始下落，不计空气阻力．则两球在空中运动的过程中()
图19
A．A做匀变速直线运动，B做变加速曲线运动
B．相同时间内B的速度变化一定比A的速度变化大
C．两球的动能都随离地竖直高度均匀变化
D．A、B两球一定会相碰
6．(多选)(2015·洛阳第二次统考)如图20所示，一个质量为0.4 kg的小物块从高h＝0.05 m的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点．现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g＝10 m/s2，则下列说法正确的是()
图20
A．小物块从水平台上O点飞出的速度大小为1 m/s
B．小物块从O点运动到P点的时间为1 s
C．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于5
D．小物块刚到P点时速度的大小为10 m/s
7．(2015·黄山二质检)如图21所示，一根质量不计的轻杆绕水平固定转轴O顺时针匀速转动，另一端固定有一个质量为m的小球，当小球运动到图中位置时，轻杆对小球作用力的方向可能()
图21
A．沿F1的方向B．沿F2的方向
C．沿F3的方向D．沿F4的方向
8．(多选)(2015·安阳二模)如图22所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()
图22
A．B的向心力是A的向心力的2倍
B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
C．A、B都有沿半径向外滑动的趋势
D．若B先滑动，则B与A间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB 9．(2015·辽宁重点中学协作体4月模拟)如图23所示，水平的粗糙轨道与竖直的光滑圆形轨道相连，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续沿水平轨道运动．圆形轨道半径R＝0.2 m，右侧水平轨道BC长为L＝4 m，C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h＝1 m，水平距离s＝2 m，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2.小球从圆形轨道最低点B以某一水平向右的初速度出发，进入圆形轨道．试求：
图23
(1)若小球通过圆形轨道最高点A时给轨道的压力大小恰为小球的重力大小，求小球在B点的初速度多大？
(2)若小球从B点向右出发，在以后的运动过程中，小球既不脱离圆形轨道，又不掉进壕沟，求小球在B点的初速度大小的范围．
10．(2015·金丽衢十二校二次联考)如图24所示，半径R＝2.5 m的光滑半圆轨道ABC与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道DC相切于C点，半圆轨道的直径AC与斜面垂直．质量m＝1 kg的小球从A点左上方距A点高h＝0.45 m的P点以某一速度v0水平抛出，刚好与半圆轨道的A 点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D点．已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
图24
(1)小球从P点抛出时的速度大小v0；
(2)小球从C点运动到D点过程中摩擦力做的功W；
(3)小球从D点返回经过轨道最低点B的压力大小．
答案精析
专题3 抛体运动与圆周运动
真题示例
1．D [发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动．当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有：3h －h ＝gt 21
2①
L 1
2
＝v 1t 1② 联立①②得v 1＝
L 1
4
g h
当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 (L 22)2＋L 21＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22
④
联立③④得v 2＝
1
2
(4L 21＋L 2
2)g
6h
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为
L 1
4g h ＜v ＜12
(4L 21＋L 2
2)g
6h
，选项D 正确．]
2．ACD [赛车经过路线①的路程s 1＝πr ＋2r ＝(π＋2)r ，路线②的路程s 2＝2πr ＋2r ＝(2π＋2)r ，路线③的路程s 3＝2πr ，A 正确；根据F max ＝m v 2R ，可知R 越小，其不打滑的最大速率越小，
所以路线①的最大速率最小，B 错误；三种路线对应的最大速率v 2＝v 3＝2v 1，则选择路线①所用时间t 1＝(π＋2)r v 1，路线②所用时间t 2＝(2π＋2)r 2v 1，路线③所用时间t 3＝2πr
2v 1，t 3最小，
C 正确；由F max ＝ma ，可知三条路线对应的a 相等，
D 正确．] 3．(1)0.25 m (2)210
3
m/s
解析 (1)小环在bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b 点时的速度水平，使小环做平抛运动的轨迹与轨道bc 重合，故有s ＝v b t ① h ＝1
2
gt 2② 在ab 滑落过程中，根据动能定理可得mgR ＝1
2m v 2b
③
联立三式可得R ＝s 2
4h
＝0.25 m
(2)下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得mgh ＝1
2m v 2c
④
因为小环滑到c 点时速度与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c 点时速度与竖直方向的夹角，设为θ，则根据平抛运动规律可知sin θ＝v b v 2b ＋2gh
⑤
根据运动的合成与分解可得sin θ＝v 水平
v c ⑥
联立①②④⑤⑥可得v 水平＝
210
3
m/s.
考题一 运动的合成与分解
1．B [人在水中相对于水游动的同时还要随着水一起相对地面向下游漂流，以水为参考系，落水者甲静止不动，救援者做匀速直线运动，则救援者直接沿着Ob 方向即可对甲实施救助．] 2．BD [由题意可知，y 轴方向，y ＝v 0t .而x 轴方向，x ＝1
2at 2，联立可得：y 2＝2v 2
0a
x ，故A
错误，B 正确；x 轴方向，v x ＝at ，那么合速度的大小v ＝v 20＋a 2t 2
，则v 的大小与时间t 不
成正比，故C 错误；tan α＝at v 0＝a
v 0
t ，故D 正确．]
3．CD [环到达B 处时，重物上升的高度为(2－1)d ，选项A 错误；环到达B 处时，重物的速度与环的速度大小关系为：v 物＝v 环sin 45°，即环与重物的速度大小不相等，选项B 错误；根据机械能守恒定律，对环和重物组成的系统机械能守恒，则环从A 到B ，环减少的机械能等于重物增加的机械能，选项C 正确；设环能下降的最大距离为H ，则对环和重物组成的系统，根据机械能守恒定律可得：mgH ＝2mg (H 2＋d 2－d )，解得H ＝4
3
d ，选项D 正确．]
考题二 平抛(类平抛)运动的规律
4．BD [平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由h ＝1
2
gt 2，得t ＝
2h
g
，由于A 到P 的竖直高度较大，所以从A 点抛出的小球运动时间较长，应先抛出．故A 错误；由t ＝2h g
，得两个小球抛出的时间间隔为Δt ＝t A －t B ＝2×1.5h
g
－2h
g
＝(3－2)h
g
.故B 正确；由x ＝v 0t 得v 0＝x
g
2h ，x 相等，则小球A 、B 抛出的初速度之比v A v B
＝ h B h A
＝ h 1.5h
＝23
，故C 错误，D 正确．]
5．C [斜抛可以分解为水平匀速运动和竖直匀变速运动，由于甲、乙运动的最大高度相等，
由v 2
＝2gh ，则可知其竖直方向初速度相同，则甲、乙同时到达最高点，故A 、B 错误；由前面分析，结合图象可知，乙到达A 点时，甲在上升阶段，故C 正确；由于甲、乙竖直方向运动一致，故会同时到达地面，故D 错误．] 6．A [如图所示，
由三角形的边角关系可知， AQ ＝PQ
所以在竖直方向上有， OQ ＋AQ ＝10 m
所以有：v 0t ＋1
2gt 2＝10 m ，
解得：t ＝1 s. v y ＝gt ＝10 m/s 所以tan θ＝v y
v 0
＝2]
考题三 圆周运动问题的分析
7．C [球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg ＝m
v 2
2L 解得v ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v ′＝
2gL
2
，故B 错误；球B 到最高点时，对杆无弹力，此时球A 受重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v ′2
L
解得：F ＝1.5mg ，故C 正确，D 错误．]
8．D [在最高点，速度最小时有：mg ＝m v 21
r
解得：v 1＝gr .
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设最低点的速度为v 1′，根据机械能守恒定律，有：
2mgr ＋12m v 21
＝1
2
m v 1′2解得v 1′＝5gr . 要使木板不会在竖直方向上跳起，球对环的压力最大为：F ＝mg ＋mg ＝2mg 从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设此时最低点的速度为v 2′， 在最高点，速度最大时有：mg ＋2mg ＝m v 22
r 解得：v 2＝3gr .
根据机械能守恒定律有：2mgr ＋12m v 22＝1
2
m v 2′2解得：v 2′＝7gr .
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使木板在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为：
5gr ≤v ≤7gr .] 9．见解析
解析 (1)小球从弹簧的原长位臵静止释放时，根据牛顿第二定律有 mg sin θ＝ma 解得a ＝g sin θ 小球速度最大时其加速度为零，则 k Δl 1＝mg sin θ 解得Δl 1＝mg sin θ
k
(2)设弹簧伸长Δl 2时，球受到杆的支持力为F N ，水平方向上有F N sin θ＋k Δl 2cos θ＝mω2(l 0＋Δl 2)cos θ
竖直方向上有F N cos θ－k Δl 2sin θ－mg ＝0 解得ω＝
mg sin θ＋k Δl 2
m (l 0＋Δl 2)cos 2θ
(3)当杆绕OO ′轴以角速度ω0匀速转动时，设小球距离B 点L 0， 此时有mg tan θ＝mω20L 0cos θ 解得L 0＝2L 3
此时小球的动能E k0＝1
2m (ω0L 0cos θ)2
小球在最高点A 离开杆瞬间的动能 E k A ＝12
m [v 20＋(ω0L cos θ)2
] 根据动能定理有W －mg (L －L 0)sin θ＝E k A －E k0 解得W ＝38mgL ＋12m v 20
考题四 抛体运动与圆周运动的综合
10．CD [不计一切阻力，小球机械能守恒，随着高度增加，E k 减少，故做变速圆周运动A
错误；在最高点P 需要向心力，故受力不平衡，B 错误．恰好通过P 点，则有mg ＝m v 2P
R
得v P ＝gR ， mg ·2R ＋12m v 2P ＝12
m v 2
得v ＝5gR <3gR ，故C 正确； 过P 点 x ＝v P ·t 2R ＝1
2gt 2
得：x ＝gR ·2
R
g
＝2R ，故D 正确．]
11．(1)0.6 s 10 m/s ，与水平方向的夹角为37° (2)1 200 N ，方向竖直向下 解析 (1)选手离开平台后做平抛运动，在竖直方向H ＝12gt 2
解得：t ＝
2H
g
＝0.6 s 在竖直方向 v y ＝gt ＝6 m/s
选手到达B 点速度为v B ＝v 20＋v 2
y ＝10 m/s
与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y
v 0＝0.75，则θ＝37°
(2)从B 点到C 点：mgR (1－cos θ)＝12m v 2C －12m v 2
B
在C 点：F N C －mg ＝m v 2C
R
F N C ＝1 200 N
由牛顿第三定律得，选手对轨道的压力 F N C ′＝F N C ＝1 200 N ，方向竖直向下
专题综合练
1．AD [物体做平抛运动时，物体只受到重力的作用，加速度为重力加速度，所以加速度是不变的，所以A 正确；物体做匀速圆周运动时，要受到向心加速度的作用，向心加速度的大小不变，但是向心加速度的方向是在不断的变化的，所以加速度要变化，所以B 错误；物体做曲线运动时，加速度不一定改变，比如平抛运动的加速度就为重力加速度，是不变的，所以C 错误；物体既然做曲线运动，速度的方向一定在变化，所以速度一定变化，所以D 正确．] 2．D [小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t ＝a v 船，不掉到瀑布里t ＝a v 船≤b
v ，解得
v 船≥a v b ，船最小速度为a v
b ，A 错误；小船轨迹沿y 轴方向渡河应是时间最小，B 错误；小船
沿轨迹AB 运动位移最大，但时间的长短取决于垂直河岸的速度，但有最小速度为a v
a 2＋
b 2，所以C 错误，而D 正确．]
3．AD [物块B 从释放到最低点过程中，由机械能守恒可知，物块B 的机械能不断减小，则物块A 的动能不断增大，故A 正确；物块A 由P 点出发第一次到达C 点过程中，物块B 动能先增大后减小，而其机械能不断减小，故B 错误；PO 与水平方向的夹角为45°时，有：v A cos 45°＝v B ，则：v A ＝2v B ，故C 错误；B 的机械能最小时，即为A 到达C 点，此时A 的速度最大，此时物块B 下落高度为h ，由机械能守恒定律得：12
m A v 2A ＝m B gh ，解得：v A ＝2m B gh
m A ，
故D 正确．]
4．B [根据tan θ＝12gt 2v 0t ＝gt
2v 0得，小球在空中运动的时间t ＝2v 0tan θg ，因为初速度变为原来的
2倍，则小球在空中运动的时间变为原来的2倍．故C 错误．速度与水平方向的夹角的正切值tan β＝gt
v 0＝2tan θ，因为θ不变，则速度与水平方向的夹角不变，可知α不变，与初速度
无关，故A 错误，B 正确．PQ 的间距s ＝x cos θ＝v 0t cos θ＝2v 20tan θ
g cos θ，初速度变为原来的2倍，
则PQ 的间距变为原来的4倍，故D 错误．]
5．C [A 球做的是自由落体运动，是匀变速直线运动，B 球做的是斜抛运动，是匀变速曲线运动，故A 错误．根据公式Δv ＝a Δt ，由于A 和B 的加速度都是重力加速度，所以相同时间内A 的速度变化等于B 的速度变化，故B 错误．根据动能定理得：W G ＝ΔE k ，重力做功随离地竖直高度均匀变化，所以A 、B 两球的动能都随离地竖直高度均匀变化，故C 正确．A 球做的是自由落体运动，B 球做的是斜抛运动，在水平方向匀速运动，在竖直方向匀减速运动，由于不清楚具体的距离关系，所以A 、B 两球可能在空中不相碰，故D 错误．]
6．AB [从坡面顶端到O 点，由机械能守恒，mgh ＝1
2m v 2，v ＝1 m/s ，故A 正确；O 到P 平
抛，水平方向x ＝v t ，竖直方向h ′＝12gt 2；由数学知识y ＝x 2－6，－h ′＝x 2－6，即－1
2gt 2
＝(v t )2－6，解得t ＝1 s ，则B 正确；tan α＝gt
v ＝10，故C 错误；到P 的速度v P ＝v 2＋(gt )2＝101 m /s ，D 错误．]
7．C [因小球做匀速圆周运动，故小球所受的合力方向指向圆心，小球受竖直向下的重力作用，故轻杆对小球作用力的方向与重力的合力方向指向圆心，故杆对小球作用力的方向可能在F 3的方向，故选C.]
8．BC [因为A 、B 两物体的角速度大小相等，根据F n ＝mrω2，因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心力相等，故A 错误；对A 、B 整体分析，F f B ＝2mrω2，对A 分析，有：F f A ＝mrω2，知盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2倍，故B 正确；A 所受的静摩擦力方向指向圆心，可知A 有沿半径向外滑动的趋势，B 受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C 正确；对A 、B 整体分析，μB ×2mg ＝2mrω2B ，解得ωB ＝
μB g
r
，对A 分析，μA mg ＝mrω2A ，解得ωA ＝ μA g
r
，因为B 先滑动，可知B 先达到临界角速度，可知B 的临界角速度较小，即μB <μA ，故D 错误．]
1、质量为m的滑块从半径为R的半球形碗的边缘滑向碗底，过碗底时速度为v,若滑块与碗间的动摩擦因数为口，则在过碗底时滑块受到摩擦力的大小为( ) v2v2V2 A.(! mg B.(i m— C .口m(g+ ) D .口m(——g) R R R 2、质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的 临界速度为v ,当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是() A. 0 B . mg C . 3mg D . 5mg 3、质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，经过最高点时恰好不脱离轨道的临界速度为v o,则： (1)当小球以2v o的速度经过轨道最高点时，对轨道的压力为多少？ (2)当小球以后吩的速度经过轨道最低点时.轨道对小球的弾力为事少？ 4、如图所示，长度为L=1.0m的绳，系一小球在竖直面内做圆周运 动, 小球半径不计，小球在通过最低点的速度大小为v=20m/s,试求: (1)小球在最低点所受绳的拉力(2)小球在最低的向心加速度 小球的质量为M=5kg 1 5、如图所示，位于竖直平面上的丄圆弧轨道光滑，半径为R, OB沿竖直 4 方向，上端A距地面高度为H,质量为m的小球从A点由静止释放，到达 B点时的速度为，2gR，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求： (1) 小球刚运动到B点时的加速度为多大，对轨道的压力多大； (2) 小球落地点C与B点水平距离为多少。 6、质量为m的小球被一根细线系于O点，线长为L,悬点O距地面的高度为2L, 当小球被拉到与O点在同一水平面上的A点时由静止释放，球做圆周运动至最低 点B时，线恰好断裂，球落在地面上的C点，C点距悬点0的水平距离为S (不计 空气阻力).求： (1)小球从A点运动到B点时的速度大小； (2)悬线能承受的最大拉力； 7、如图，AB为竖直半圆轨道的竖直直径，轨道半径R=10m ,轨道A端与水平面 相切.光滑木块从水平面上以一定初速度滑上轨道，若木块经B点时，对轨道的 压力恰好为零，g取10m/s 2,求： (1)小球经B点时的速度大小；(2)小球落地点到A点的距离. 时，对管壁上部的压力为3mg , b通过最高点A时，对管壁下部的压力为 0.75mg ,求： (1) a球在最高点速度. (2) b球在最高点速度. (3) a、b两球落地点间的距离
物理二轮抛体运动与圆周运动专题卷（全国通用） 一、单项选择题 1．由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为(B) A．西偏北方向，1.9×103 m/s B．东偏南方向，1.9×103 m/s C．西偏北方向，2.7×103 m/s D．东偏南方向，2.7×103 m/s 解析：设当卫星在转移轨道上飞经赤道上空与同步轨道高度相同的某点时，速度为v1，发动机给卫星的附加速度为v2，该点在同步轨道上运行时的速度为v.三者关系如图，由图知附加速度方向为东偏南，由余弦定理知v22＝v21＋v2－2v1v cos30°，代入数据解得v2≈1.9×103 m/s.选项B正确． 2．(2017·新课标全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球
网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(C) A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 解析：发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据 平抛运动规律，竖直方向上，h＝1 2gt 2，可知两球下降相同距离h所 用的时间是相同的，选项A错误；由v2y＝2gh可知，两球下降相同距离h时在竖直方向上的速度v y相同，选项B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝v t，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D 错误． 3．(2018·山东潍坊统一考试)如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离 为x，v水与x的关系为v水＝3 400x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是(B) A．小船渡河的轨迹为直线 B．小船在河水中的最大速度是5 m/s C．小船在距南岸200 m处的速度小于其在距北岸200 m处的速
6.4 抛体运动的规律 ★新课标要求 （一）知识与技能 1、理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g。 2、掌握抛体运动的位置与速度的关系。 （二）过程与方法 1、掌握平抛运动的特点，能够运用平抛规律解决有关问题。 2、通过例题分析再次体会平抛运动的规律。 （三）情感、态度与价值观 1、有参与实验总结规律的热情，从而能更方便的解决实际问题。 2、通过实践，巩固自己所学知识。 ★教学重点 分析归纳抛体运动的规律 ★教学难点 应用数学知识分析归纳抛体运动的规律 ★教学方法 教师启发、引导，学生归纳分析，讨论、交流学习成果。 ★教学工具 投影仪等多媒体教学设备 ★教学过程 （一）引入新课 上节课已经实验探究了平抛运动的特点，本节我们将从理论上对抛体运动的规律进行研究。 （二）进行新课 1、抛体的位置 教师活动：引导学生阅读教材，独立推导抛体运动的位置坐标。为了便于研究，推导时考虑以下问题： 1、应该沿什么方向建立坐标系？ 2、应以哪个位置作为坐标原点？ 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，推导t时刻小球在水平方向和竖直方向上的位置坐标x、y. 为了研究问题的方便，应该沿水平向右和竖直向下建立坐标系，并取小球刚 被水平抛出的瞬间作为坐标原点。 教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。 投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。 点评：通过学生推导分析，提高学生分析解决问题的能力。通过推导，体会成功的喜悦。 为进一步研究轨迹方程做好准备。 教师活动：投影例1，讨论以速度v水平抛出的物体的运动轨迹。 引导学生独立思考，独立寻找求解轨迹的方法。 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，利用上面推导出的位置坐标x、y的表达式，消去时间t，得到轨迹方程，即x与y的关系式。 点评：培养学生运用数学知识分析解决物理问题的能力。
1．(2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图1所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()
图1 A.L 12g 6h ＜v ＜L 1g 6h B.L 14g h ＜v ＜ (4L 21＋L 22)g 6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g 6h D.L 14 g h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g 6h 2．(多选)(2015·浙江理综·19)如图2所示为赛车场的一个水平“U ”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内外半径分别为r 和2r .一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ′B ′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ′为圆心的半圆，OO ′＝r .赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max .选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( )
图2 A．选择路线①，赛车经过的路程最短 B．选择路线②，赛车的速率最小 C．选择路线③，赛车所用时间最短 D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等 3．(2015·海南单科·14)如图3所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝2 m，s＝ 2 m．取重力加速度大小g＝10 m/s2. 图3 (1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
1、质量为m 的滑块从半径为R 的半球形碗的边缘滑向碗底，过碗底时速度为v ，若滑块与碗间的动摩擦因数为μ，则在过碗底时滑块受到摩擦力的大小为（ ） A ．μmg B ．μm R v 2 C ．μm(g ＋R v 2) D ．μm(R v 2 －g) 2、质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是( ) A ．0 B ．mg C ．3mg D ．5mg 3、质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，经过最高点时恰好不脱离轨道的临界速度为v 0，则： （1）当小球以2v 0的速度经过轨道最高点时，对轨道的压力为多少 4、如图所示，长度为L=的绳，系一小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为M=5kg ，小球半径不计，小球在通过最低点的速度大小为v =20m/s,试求： （1)小球在最低点所受绳的拉力 (2)小球在最低的向心加速度 5、如图所示，位于竖直平面上的4 1圆弧轨道光滑，半径为R ，OB 沿竖直方向，上端A 距地面高度为H ，质量为m 的小球从A 点由静止释放，到 达B 点时的速度为gR 2，最后落在地面上C 点处，不计空气阻力，求： (1)小球刚运动到B 点时的加速度为多大，对轨道的压力多大； (2)小球落地点C 与B 点水平距离为多少。 6、质量为m 的小球被一根细线系于O 点，线长为L ，悬点O 距地 面的高度为2L ，当小球被拉到与O 点在同一水平面上的A 点时由 静止释放，球做圆周运动至最低点B 时，线恰好断裂，球落在地 面上的C 点，C 点距悬点O 的水平距离为S （不计空气阻力）．求：
主题三 抛体运动与圆周运动 （第1课时 运动的合成与分解） Ⅰ.考点解读 [考纲要求] 1．认识认识曲线运动的性质和物体做曲线运动的条件。 2．理解和掌握运动的合成和分解的规律和方法。 ［要点精析］ 一、曲线运动 1.物体做曲线运动的条件： ⑴物体具有初速度； ⑵一定受到合外力的作用； ⑶合外力的方向必需与速度的方向不在同一直线上. 2.曲线运动的速度方向： ⑴在某时刻（或某位置）的速度方向沿着运动轨迹的切线方向； ⑵曲线运动的速度方向时刻改变. 3.曲线运动的运动性质： ⑴曲线运动所受合力不为零，故曲线运动是 变速 运动； ⑵曲线运动物体受的合力(或加速度)的方向总是指向运动轨迹曲线的内侧.当合力与速 度方向夹角小于900时,速度增加；当合力与速度方向夹角大于900时,物体运动的速度减小。 二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动：在物理学上，如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动；这两个运动叫做这一实际运动的分运动. 2.合运动与分运动的特性： ⑴分运动具有独立性：一个物体同时参与几个分运动．任一个分运动的存在，对其它分运动的规律没有干扰和影响； ⑵分运动与合运动具有等时性：合运动与分运动是在同一时间内进行的，即经历时间相等； ⑶分运动与合运动具有等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果相同。 3.运动的合成与分解： ⑴求几个已知分运动的合运动的过程叫运动的合成 ；已知合运动求分运动的过程叫运动的分解； ⑵运动的合成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解； ⑶位移、速度、加速度的合成与分解，都遵循平行四边形定则． 三、方法与思路 1.结合曲线运动的条件正确理解力和运动的关系： ⑴若0＝合F （即0=a ），则物体静止或做匀速直线运动； ⑵若0≠合F （即0≠a ），且与0v 同一直线，则物体做变速直线运动：
抛体运动的规律及其应用 基础知识回顾 1．平抛运动 （1）定义：将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动。 （2）性质：加速度为g 的匀变速曲线运动，运动过程中水平速度不变，只是竖直速度不断增大，合速度大小、方向时刻改变。 （3）研究方法：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成。 （4）规律： 设平抛运动的初速度为0v ，建立坐标系如图 ○ 1速度、位移： 水平方向： 0v v x =，t v x 0=， 竖直方向： gt v y =，221gt y = 合速度（t 秒末的速度）： 22y x t v v v +=， 方向：0 0tan v gt v v g y ==? 合位移（t 秒末的位移）：22y x s += 方向：0 0222/1tan v gt t v gt x y g ===θ ∴ θ?g g tan 2tan = ○2运动时间：由221gt y =得：2y t g = （t 由下落高度y 决定） ○3轨迹方程：2202g y x v = （在未知时间情况下应用方便） ○ 4可独立研究竖直分运动： a ．连续相等时间内竖直位移之比为： 1∶3∶5∶…∶(2n-1)（n=1，2，3，…） 图4-2-1
b ．连续相等时间内竖直位移之差为：2 y gt ?= ○5一个有用的推论： 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 证明：设时间t 内物体的水平位移为s ，竖直位移为h ，则末速度的水平分量0x s v v t ==，而竖直分量2y h v t =， s h v v 2tan x y ==α， 所以有2tan s h s == 'α 2．斜抛运动： （1）将物体斜向射出，在重力作用下，物体作曲线运动，它的运动轨迹是抛物线，这种运动叫做“斜抛运动”。 （2）性质：加速度为g 的匀变速曲线运动。根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是作水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动来处理。取水平方向和竖直向上的方向为x 轴和y 轴，则这两个方向的初速度分别是：v 0x =v 0cosθ，v 0y =v 0sinθ 重点难点例析 一、平抛物体运动中的速度变化 水平方向分速度保持v x =v 0，竖直方向，加速度恒为g ，速度 v y =gt ，从抛出点看，每隔?t 时间的速度的矢量关系如图4-2-3所示．这 一矢量关系有两个特点： 1．任意时刻v 的速度水平分量均等于初速度v 0； 2．任意相等时间间隔?t 内的速度改变量均竖直向下，且 y v v g t ?=?=?． 【例1】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相 等的是 ( ) A ．速度的增量 B ．加速度 C ．位移 D ．平均速度 【解析】平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重力加速度g,由加速度定义v a t ?=?，可知速度θ v t v 0 v y A O B D C 图4-2-2 图4-2-3
专题三 圆周运动 一、选择题 1. （2010衡阳高一检测）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．匀速圆周运动就是匀速运动 B ．匀速圆周运动的加速度是恒定不变的 C ．匀速圆周运动的物体处于平衡状态 D ．匀速圆周运动是一种变加速运动 答案：D 。 2.（2010荆州高一检测）关于向心力的说法中错误．．的是（ ） A ．物体因为做圆周运动才受到向心力 B ．向心力是沿着半径指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的 C ．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某个力的分力 D ．向心力只改变物体线速度的方向，不可能改变物体线速度的大小 答案：A 。 3. （2010银川高一检测）在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O 点为圆心，能正确地表示小滑块受到的牵引力F 及摩擦力f F 的图是( ) 答案：A 。 4. (2010嘉兴高一检测)在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示。 一质量为m 的汽车，通过凸形路面的最高处时对路面的压力为N 1，通过凹形路面最低处时对路面的压力为N 2，则( ) A ．N 1 > mg B ．N 1 < mg C ．N 2 = mg D ．N 2 < mg 答案：B 。 5.（2010忻州高一检测）如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A 和B 是前轮和后轮边缘上的 点，若车行进时轮与路面没有滑动，则（ ） A ．A 点和B 点的线速度大小之比为1∶2 B ．前轮和后轮的角速度之比为2∶1 C ．两轮转动的周期相等 D ．A 点和B 点的向心加速度相等
答案：B 。 6. （2010天津高一检测）有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大 型圆筒底部作速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动的半径逐步增大，最后能以较大 的速度在竖直的壁上作匀速圆周运动，这时使车子和人整体作匀速圆周运动的向心力是（ ） A ．圆筒壁对车的静摩擦力 B ．筒壁对车的弹力 C ．摩托车本身的动力 D ．重力和摩擦力的合力 答案：B 。 7.（2010南安高一检测）如图所示，将一单摆拉到摆线呈水平位置后静止释放，在P 点有钉子阻止OP 部分的细线移动，当单摆运动到此位置受阻时，下列说法不正确的是（ ） A ．摆球的线速度突然增大 B ．摆球的角速度突然增大 C ．摆球的向心加速度突然增大 D ．摆线的张力突然增大 答案：A 。 8.（2010安福高一检测）汽车沿水平圆跑道行驶，跑道半径为R 。地面对汽车的最大静摩擦力是车重的1 n 。那么车速不应大于 ( ) A ． g nR B ．gR C ．g nR ?? ? ? ?12 D ．gR n ?? ? ? ?12 【解析】选D 。汽车沿水平圆跑道行驶，静摩擦力提供向心力。当速度达到最大时，最大静摩擦力提供向 心力，根据题意有：R v m m g n m 2 1 =,所以21 )(1n gR gR n v m == ，D 正确。 9.（2010福州高一检测）2008年 8月19日晚，北京奥运会男子体操单杠决赛在国家体育 馆举行，中国四川小将邹凯（下图）以高难度的动作和出色的发挥以16.20分夺得金牌，小将邹凯做“单臂大回环”时，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴作圆周运动。此过程中，运动员到达最低点时手臂受到的拉力至少约．．．为（忽略空气阻力取g=10m/s 2 ）（ ） A ．50N B ．500N C ．2500N D ．5000N 答案：C 。 10.（2010台州高一检测）一箱土豆在转盘上随转盘以角速度ω做匀速圆
《曲线运动》练习题 一选择题 １. 关于运动的合成的说法中，正确的是（） A．合运动的位移等于分运动位移的矢量和 B．合运动的时间等于分运动的时间之和 C．合运动的速度一定大于其中一个分运动的速度 D．合运动的速度方向与合运动的位移方向相同 ２. 物体在几个力的作用下处于平衡状态，若撤去其中某一个力而其余力的性质（大小、方向、作用点）不变，物体的运动情况可能是（） A．静止 B．匀加速直线运动 C．匀速直线运动 D．匀速圆周运动 ３.某质点做曲线运动时（） A.在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向 B.在任意时间，位移的大小总是大于路程 C.在某段时间里质点受到的合外力可能为零 D.速度的方向与合外力的方向必不在同一直线上 5.一个质点在恒力F作用下，在xOy平面从O点运动到A点的轨迹如图所示，且在A点的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向不可能（） A.沿x轴正方向 B.沿x轴负方向 C.沿y轴正方向 D.沿y轴负方向 6在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2N力水平旋转90o，则关于物体运动情况的叙述正确的是（） A. 物体做速度大小不变的曲线运动 B. 物体做加速度为在2m/s2的匀变速曲线运动 C. 物体做速度越来越大的曲线运动 D. 物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大 7. 做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（） A.速度 B.加速度 C.速率 D.合外力 9 关于曲线运动，下面说确的是（） A. 物体运动状态改变着，它一定做曲线运动 B. 物体做曲线运动，它的运动状态一定在改变 C. 物体做曲线运动时，它的加速度的方向始终和速度的方向一致 D. 物体做曲线运动时，它的加速度的方向始终和所受到的合外力方向一致 10 物体受到几个力的作用而处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做（） A. 静止或匀速直线运动 B. 匀变速直线运动 C. 曲线运动 D. 匀变速曲线运动 14.关于物体的运动，下列说法中正确的是（） A. 物体做曲线运动时，它所受的合力一定不为零 B. 做曲线运动的物体，有可能处于平衡状态 C. 做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变 D. 做曲线运动的物体，所受的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上 17．加速度不变的运动( ) A．可能是直线运动B．可能是曲线运动C．可能是匀速圆周运动D．一定是匀变速运动 18.如图所示，蜡块可以在竖直玻璃管的水中匀速上升，若在蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置水 A．直线P B．曲线Q C．曲线R D．三条轨迹都有可能
1．运动的合成与分解 一、基础知识 1．物体做曲线运动的条件：F合与v不共线． 2．研究曲线运动的方法：运动的合成与分解． 3．运动的合成与分解的运算法则：平行四边形定则或三角形定则． 4．合运动与分运动的三个特性：等时性、独立性、等效性． 5．特别注意：合运动就是物体的实际运动． 二、解决运动的合成与分解的一般思路 1．明确合运动或分运动的运动性质． 2．确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解． 3．找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)． 4．运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解． 三、典型例题 考点1 运动的合成与分解的理解 [例1] 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成θ角的斜面向右上以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，橡皮的速度方向与水平方向的夹角为α，则( ) A．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而增大 B．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而减小 C．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为22v D．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为2＋2v 解析若θ＝0，则橡皮的运动可视为水平方向随钉尖一起匀速，竖直方向细线的缩短长度等于水平方向细线增加的长度，即竖直方向也做与钉尖运动速率相同的匀速运动，所以橡皮的速度方向与水平方向的夹角α＝45°，与钉尖的速度v无关，选项A、B错；若θ＝45°， 钉尖的速度为v，则橡皮在水平方向的分速度为 2 2 v，而在t时间内沿竖直方向向上运动的距 离为y＝vt＋ 2 2 vt，即竖直方向的分速度为 ? ? ? ? ? 1＋ 2 2 v，所以橡皮速度为2＋2v，C错、D
抛体运动的规律教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
抛体运动的规律 ★新课标要求 （一）知识与技能 1、理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g。 2、掌握抛体运动的位置与速度的关系。 （二）过程与方法 1、掌握平抛运动的特点，能够运用平抛规律解决有关问题。 2、通过例题分析再次体会平抛运动的规律。 （三）情感、态度与价值观 1、有参与实验总结规律的热情，从而能更方便的解决实际问题。 2、通过实践，巩固自己所学知识。 ★教学重点 分析归纳抛体运动的规律 ★教学难点 应用数学知识分析归纳抛体运动的规律 ★教学方法 教师启发、引导，学生归纳分析，讨论、交流学习成果。 ★教学工具 投影仪等多媒体教学设备 ★教学过程 （一）引入新课 上节课已经实验探究了平抛运动的特点，本节我们将从理论上对抛体运动的规律进行研究。 （二）进行新课 1、抛体的位置
教师活动：引导学生阅读教材，独立推导抛体运动的位置坐标。为了便于研究，推导时考虑以下问题： 1、应该沿什么方向建立坐标系 2、应以哪个位置作为坐标原点 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，推导t时刻小球在水平方向和竖直方向上的位置坐标x、y. 为了研究问题的方便，应该沿水平向右和竖直向下建立坐标 系，并取小球刚被水平抛出的瞬间作为坐标原点。 教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。 投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。 点评：通过学生推导分析，提高学生分析解决问题的能力。通过推导，体会成功的喜悦。为进一步研究轨迹方程做好准备。 教师活动：投影例1，讨论以速度v水平抛出的物体的运动轨迹。 引导学生独立思考，独立寻找求解轨迹的方法。 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，利用上面推导出的位置坐标x、y的表达式，消去时间t，得到轨迹方程，即x与y的关系 式。 点评：培养学生运用数学知识分析解决物理问题的能力。 教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。 投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。 从轨迹方程可以看出，其轨迹为抛物线。 提出问题：如果将物体斜向上或斜向下抛出，物体的运动轨迹 是怎样的呢 引导学生阅读教材有关内容，就“说一说”栏目中的问题进行 讨论。 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，利用上面推导平抛运动轨迹的方法，推导斜抛物体的轨迹方程
圆周运动 1．物体做匀速圆周运动的条件： 匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。 2．描述圆周运动的运动学物理量 （1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。如：T r r v πω2= ?=，2 2224T r r r v a πω===。要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为n T 60=。 （2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有： ωωv r r v a ===22 ，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动 的公式有：2 24T r a π= ，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。 例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。 b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。 c 点和 d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 练习 1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，2:1:=c A R R ，3:2:=B A R R 。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速度之比是 ；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。 2．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打 图3－1 4r 2r r r a b c d 图3－4
高中物理学习材料 金戈铁骑整理制作 抛体运动知识要点 一、匀变速直线运动的特征和规律： 匀变速直线运动：加速度是一个恒量、且与速度在同一直线上。 基本公式：、、 （只适用于匀变速直线运动）。 当v0=0、a=g（自由落体运动），有 v t=gt 、、、。 当V0竖直向上、a= -g（竖直上抛运动）。 注意：(1)上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。 (2)全过程加速度大小是g，方向竖直向下，全过程是匀变速直线运动 (3)从抛出到落回抛出点的时间：t总= 2V0/g =2 t上=2 t下 (4)上升的最大高度（相对抛出点）：H=v02/2g (5)*上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向 (6)*上升、下落经过同一段位移的时间相等。 (7)*用全程法分析求解时：取竖直向上方向为正方向，S>0表示此时刻质 点的位置在抛出点的上方；S<0表示质点位置在抛出点的下方。v t >0表示方向向上；v t <0表示方向向下。在最高点a=-g v=0。 二、运动的合成和分解： 1．两个匀速直线运动的物体的合运动是___________________运动。一般来说，两个直线运动的合运动并不一定是____________运动，也可能是_____________运动。合运动和分运动进行的时间是__________的。 2．由于位移、速度和加速度都是______量，它们的合成和分解都按照_________法则。 三、曲线运动： 曲线运动中质点的速度沿____________方向，曲线运动中，物体的速度方向
随时间而变化，所以曲线运动是一种__________运动，所受的合力一定.必具有_________。物体做曲线运动的条件是________ ________ 。 四、平抛运动（设初速度为v0）： 1．特征：初速度方向____________，加速度____________。是一种。。。2．性质和规律： 水平方向：做______________运动，v X=v0、x=v0t。 竖直方向：做______________运动，v y=gt＝、y=gt2/2＝。 合速度：V= ，合位移S= 。 3．平抛运动的飞行时间由决定，与无关。 五、斜抛运动（设初速度为v0，抛射角为θ）： 1．特征：初速度方向_______________，加速度________________。 2．性质和规律： 水平方向：做______________运动，v X=、x= 竖直方向：做______________运动，v y=、y= 。 合速度：V= ，合位移S= 。 3．在最高点a=-g v y=0 最大高度：H= ,射程S= 飞行时间T＝ 圆周运动知识要点 一、匀速圆周运动的基本概念和公式： 1．速度（线速度）： 定义：文字表述____________________________________；定义式为_________； 速度的其他计算公式：v=2rπ/T=2πRn、n是转速。 2．角速度： 定义：文字表述______________________________________；定义式________； 角速度的其他计算公式：_________________________________。 线速度与角速度的关系：___________________。 3．向心加速度：计算公式：a=v2/r=ω2r= . 注意：（1）上述计算向心加速度的两个公式也适用于计算变速圆周运动的向心加速度，计算时必须用该点的线速度（或角速度）的瞬时值； （2）v一定时，a与r成反比；一定时，a与r成正比。 4．向心力： 计算公式：F=mv2/r＝＝＝ （1）匀速圆周运动速度大小不变，方向时刻改变，是变速运动；加速度大小不变方向时刻改变，是一种变加速运动。匀速圆周运动的速度、加速度和所受向心力都是变量，但角速度是恒量； （2）线速度、角速度和周期都表示匀速圆周运动的快慢；运动越快，则线速度越、角速度越、周期越。
抛体运动的规律 新课标要求 （一）知识与技能 1、理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g。 2、掌握抛体运动的位置与速度的关系。 （二）过程与方法 1、掌握平抛运动的特点，能够运用平抛规律解决有关问题。 2、通过例题分析再次体会平抛运动的规律。 （三）情感、态度与价值观 1、有参与实验总结规律的热情，从而能更方便的解决实际问题。 2、通过实践，巩固自己所学知识。 教学重点 分析归纳抛体运动的规律 教学难点 应用数学知识分析归纳抛体运动的规律 教学方法 教师启发、引导，学生归纳分析、讨论、交流学习成果。 教学工具 平抛运动演示仪、投影仪等多媒体教学设备 复习提问： 处理质点在平面内的曲线运动的一般方法是什么？ 可以选择平面直角坐标系，运用运动的合成与分解的方法求解。 教学过程 （一）引入新课 由几段视频引入新课，本节课我们来研究可以忽略阻力的抛体运动。 （二）进行新课 以一定的速度将物体抛出去，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力，它的运动即为抛体运动，日常生活中还有哪些抛体运动呢？（学生举例） 一、平抛运动的定义 在这些例子中，如果抛体运动的初速度是水平方向这种运动称为平抛运动。 下面我们来对水平抛出的粉笔头进行受力分析。（只受重力）（学生回答）（注意纠错）平抛运动的条件（1）只受重力（2）初速度方向水平 平抛运动加速度的特点：受力恒定加速度恒定为g 所以平抛运动又是一种特殊的匀变速曲线运动 二、研究平抛运动 猜想：平抛运动可以分解为什么样的运动？（理论分析） 1、抛体的位置 教师活动：引导学生阅读教材，独立推导抛体运动的位置坐标。为了便于研究，推导时考虑以下问题： 1、应该沿什么方向建立坐标系？ 2、应以哪个位置作为坐标原点？ 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，推导t时刻小球在水平方向和竖直方向上
专题强化：圆周运动的综合分析 一、选择题 1.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( ) A.0 B.gR C.2gR D.3gR 2.某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面，重力加速度为g )( ) A.mg B.2mg C.mg ＋m v 2 R D.2m v 2R 3.(多选)如图所示，质量为m 的小球(可视为质点)在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R ，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g )( ) A.小球对圆环的压力大小等于mg B.重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力 C.小球的线速度大小等于gR D.小球的向心加速度大小等于g 4.(多选)如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v ，下列说法正确的是(重力加速度为g )( ) A.v 的最小值为gl
B.v由零逐渐增大，向心力也增大 C.当v由gl逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大 D.当v由gl逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 5.(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径(远小于R)的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是(重力加速度为g)() A.若v0＝gR，则小球对管内壁无压力 B.若v0>gR，则小球对管内上壁有压力 C.若0
平抛与圆周运动综合 【方法归纳】所谓平抛与圆周运动综合是指物体先做圆周运动后做平抛运动或先做平抛运动后做竖直面内的圆周运动。解答此类题的策略是：根据物体的运动过程，分别利用平抛运动的规律和圆周运动的规律列方程解得。 例34.（2010重庆理综）晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当 球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d 后 落地，如图9所示，已知握绳的手离地面高度为d ，手与球 之间的绳长为3d/4，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和 空气阻力。 （1） 求绳断时球的速度大小v 1，和球落地时的速度大小 v 2。 （2） 问绳能承受的最大拉力多大？ （3） 改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有 竖直方向 41d=2 1gt 2 水平方向d=v 1t ， 联立解得v 1=gd 2。 由机械能守恒定律，有 21mv 22=2 1mv 12+mg (d -3d /4) 解得v 2=gd 25。 （2） 设绳能承受的拉力大小为T ，这也是球受到绳的最大拉力。 球做圆周运动的半径为R =3d/4 对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心力公式有T-mg=m v 12/R ， 联立解得T=3 11mg 。 （3） 设绳长为L ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有 T-mg=m v 32/L
解得v 3=L g 3 8。 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-L ，水平位移为x ，飞行时间为t 1，根据 平抛运动规律有d-L =2 1gt 12，x = v 3 t 1 联立解得x =4()3 L d L -. 当L=d /2时，x 有极大值，最大水平距离为x max = 332d . 【点评】此题将竖直面内的圆周运动和平抛运动有机结合，涉及的知识点由平抛运动规律、牛顿运动定律、机械能守恒定律、极值问题等，考查综合运用知识能力。 衍生题1.如图所示，一质量为M =5.0kg 的平板车静止在光滑水平地面上，平板车的上表面距离地面高h =0.8m ，其右侧足够远处有一固定障碍物A 。另一质量为m =2.0kg 可视为质点的滑块，以v 0=8m/s 的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为5N 的恒力F 。当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止。此时车去恒力F 。当平板车碰到障碍物A 时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B 点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧半径为R =1.0m ，圆弧所对的圆心角∠BOD =θ=106°，取g =10m/s 2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： （1）平板车的长度。 （2）障碍物A 与圆弧左端B 的水平距离。 （3）滑块运动圆弧轨道最低点C 时对轨道压力的大小。
合格演练测评(四) (抛体运动与圆周运动) 姓名：__________ 班级：__________ 正确率：__________ 题号12345678910 答案 题号11121314151617181920 答案 一、单项选择题 1．如图，篮球沿优美的弧线穿过篮筐，图中能正确表示篮球在相应点速度方向的是( ) A．v1B．v2 C．v3D．v4 答案：C 2．下列关于曲线运动的说法中，不正确的是( ) A．做曲线运动的物体，轨迹上某点切线方向即为物体此时的速度方向 B．曲线运动可以是匀速运动 C．在曲线运动中，物体加速度方向和速度方向是不相同的 D．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动
3.如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向反向而大小不变(即由F变为－F)．在此力作用下，对物体以后的运动情况，下列说法正确的是( ) A．物体可能沿曲线Ba运动 B．物体可能沿直线Bb运动 C．物体可能沿曲线Bc运动 D．物体可能沿原曲线由B返回A 答案：C 4.翻滚过山车是大型游乐园的一种比较刺激的娱乐项目，翻滚过山车(可看作质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示．在圆形轨道经过A、B、C三点时，下列说法正确的是( ) A．过A点的速度方向沿AB方向 B．过B点的速度方向沿水平方向向左 C．过A、C两点的速度方向相同 D．圆形轨道上与M点速度方向相同的点在AB段上 答案：B 5．从同一高处以不同的速度水平抛出两个质量不同的石子，如果不计空气阻力，则下列说法正确的是( ) A．初速度大的先落地B．质量大的先落地 C．两个石子同时落地D．无法判断
3.圆周运动问题 一、基础知识 1．解决圆周运动力学问题的关键 (1)正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径． (2)列出正确的动力学方程F ＝m v 2r ＝mr ω2 ＝m ωv ＝mr 4π2 T 2.结合v ＝ωr 、T ＝2πω＝2πr v 等 基本公式进行求解． 2．抓住“两类模型”是解决问题的突破点 (1)模型1——水平面内的圆周运动，一般由牛顿运动定律列方程求解． (2)模型2——竖直面内的圆周运动(绳球模型和杆球模型)，通过最高点和最低点的速度常利用动能定理(或机械能守恒)来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析求解． 3．竖直平面内圆周运动的两种临界问题 (1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是v ≥gR . (2)杆球模型：小球能通过最高点的条件是v ≥0. 二、典型例题 考点1 水平面内的圆周运动问题 [例1] (多选)如图，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上， a 与转轴OO ′的距离为l ， b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重 力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( ) A ．b 一定比a 先开始滑动 B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等 C ．ω＝ kg 2l 是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝ 2kg 3l 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 解析 本题从向心力来源入手，分析发生相对滑动的临界条件．小木块a 、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f ＝m ω2 R .当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a ：f a ＝m ω2 a l ，当f a ＝kmg 时，即kmg ＝m ω2 a l ，ωa