2018届高三年级第三次模拟考试(十六)
数学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体体积公式：V ＝13
Sh ，其中S 为底面积，h 为高． 圆锥侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为底面半径，l 为母线长．
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2
＝1n ∑n i ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n ∑n i ＝1x i . 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知A ＝(－∞，m]，B ＝(1，2]，若B ?A ，则实数m 的取值范围为__________．
2. 设复数z ＝a ＋i 1＋i
(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为__________． 3. 设数据a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差为1，则数据2a 1，2a 2，2a 3，2a 4，2a 5的方差为__________．
4. 一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为__________．
5. “x ＝2k π＋π6，k ∈Z ”是“sin x ＝12
”成立的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
6. 运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为__________．
7. 若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 交于O ，P ，Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为
__________．
8. 函数f(x)＝ln (1－3－x)的定义域为__________．
9. 若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为__________．
10. 已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条
相邻对称轴间的距离为π2
，则f ????－π8的值为__________． 11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n(n ∈N *)，则数列{a n }
的通项公式为a n ＝__________．
12. 如图，在△AB 1B 8中，已知∠B 1AB 8＝π3
，AB 1＝6，AB 8＝4，B 2，B 3，B 4，B 5，B 6，B 7分别为边B 1B 8的7等分点，则当i ＋j ＝9(1≤i ≤8)
时，AB i →·AB j →的最大值为__________．
13. 定义：点M(x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的有向距离为ax 0＋by 0＋c a 2＋b 2
.已知点A(－1，0)，B(1，0)，直线m 过点P(3，0)，若圆x 2＋(y －18)2＝81上存在一点C ，使得A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线m 的斜率的取值范围为__________．
14. 设△ABC 的面积为2，若角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则a 2＋2b 2＋3c 2的最小值为__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点．求证：
(1) AC ∥平面DMN ；
(2) 平面DMN ⊥平面BB 1D 1D.
16. (本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的中线．
(1) 若a ＝4，b ＝2，AD ＝1，求c 的长；
(2) 若AB →·AD →＝c 2，求角B 的大小．
如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，∠AOB ＝π2
，且半径OC 平分∠AOB.现拟在OC 上选取一点P ，修建PO ，PA ，PB 三条路供游人行走观赏，设∠PAO ＝α.
(1) 将PO ，PA ，PB 三条路的长度之和表示为α的函数f(α)，并写出此函数的定义域；
(2) 试确定α的值，使得函数f(α)的值最小．
如图，已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P(－2，3)是椭圆C 上的一点，且PF 1⊥x 轴．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设圆M ：(x －m)2＋y 2＝r 2(r>0)．
①设圆M 与线段PF 2交于两点A ，B ，若MA →＋MB →＝MP →＋MF 2→，且AB ＝2，求r 的值；
②设m ＝－2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点(均异于点P)．问：是否存在这样的正数r ，使得G ，H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．