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定积分的近似计算

定积分的近似计算
定积分的近似计算

数学实验报告

实验序号:4 日期:2012 年12 月13 日

实验名称定积分的近似计算

问题背景描述:

利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分.

实验目的:

本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算,Matlab有专门函数可用。

实验原理与数学模型:

1.矩形法

根据定积分的定义,每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值,即

在几何意义上,这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度.

针对不同的取法,计算结果会有不同。

(1)左点法:对等分区间

在区间上取左端点,即取。

(2)右点法:同(1)中划分区间,在区间上取右端点,即取。

(3)中点法:同(1)中划分区间,在区间上取中点,即取。2.梯形法

等分区间

相应函数值为().

曲线上相应的点为()

将曲线的每一段弧用过点,的弦(线性函数)来代替,这使得每个

上的曲边梯形成为真正的梯形,其面积为

,.

于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值,

即,

称此式为梯形公式。

3.抛物线法

将积分区间作等分,分点依次为

,,

对应函数值为

(),

曲线上相应点为

().

现把区间上的曲线段用通过三点,,的抛物线

来近似代替,然后求函数从到的定积分:

由于,代入上式整理后得

同样也有

……

将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值:

,即

这就是抛物线法公式,也称为辛卜生(Simpson)公式.

实验所用软件及版本:

Matlab 7.0

主要内容(要点):

1.分别用梯形法与抛物线法,计算,取.并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解,比较结果的差异.

2.试计算定积分.(注意:可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗?为什么?)

3.学习fulu2sum.m的程序设计方法,尝试用函数sum 改写附录1和附录3的程序,避免for 循环。

实验过程记录(含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等):1:

○1梯形法

format long

n=120;a=1;b=2;

syms x fx

fx=1/x;

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %所有左点的数组

xi=a+i*(b-a)/n; %所有右点的数组

fxj=subs(fx,'x',xj); %所有左点值

fxi=subs(fx,'x',xi); %所有右点值

f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n; %梯形面积

inum=sum(f) %加和梯形面积求解

integrate=int(fx,1,2);

integrate=double(integrate)

fprintf('The relative error between inum and real-value is about:%g/n/n',...

abs((inum-integrate)/integrate))

【调试结果】

inum =

0.69315152080005

integrate =

0.69314718055995

The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006/n/n

○2抛物线法:

%抛物线法

format long

n=120;a=1;b=2;

inum=0;

syms x fx

fx=1/x;

for i=1:n

xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点

xi=a+i*(b-a)/n; %右点

xk=(xi+xj)/2; %中点

fxj=subs(fx,'x',xj);

fxi=subs(fx,'x',xi);

fxk=subs(fx,'x',xk);

inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);

end

inum

integrate=int(fx,1,2);

integrate=double(integrate);

fprintf('The relative error between inum and real-value is about:%g/n/n',...

abs((inum-integrate)/integrate))

【调试结果】

inum =

0.69314718056936

The relative error between inum and real-value is about:1.35886e-011/n/n>>

○3使用函数trapz()

x=1:1/120:2;

y=1./x;

trapz(x,y)

【调试结果】

ans =

0.69315152080005

○4使用函数quad()

quad('1./x',1,2)

【调试结果】

ans =

0.69314719986297

2:

○1使用函数trapz()

x=1:1/120:inf;

y=sin(x)./x;

trapz(x,y)

【调试结果】

??? Error using ==> colon

Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

○2使用函数quad()

quad('sin(x)./x',0,inf)

【调试结果】

ans =

NaN

○3程序法

%矩阵法

format long

n=inf;a=0;b=inf;

syms x fx

fx=sin(x)./x;

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点

xi=a+i*(b-a)/n; %右点

xij=(xi+xj)/2;

fxj=subs(fx,'x',xj); %左点值

fxi=subs(fx,'x',xi); %右点值

fxij=subs(fx,'x',xij); %中点值

f1=fxj*(b-a)/n;

f2=fxi*(b-a)/n;

f3=fxij*(b-a)/n;

inum1=sum(f1)

inum2=sum(f2)

inum3=sum(f3)

integrate=int(fx,0,inf);

integrate=double(integrate);

fprintf('the relative error between inum1 and real-value is about: %g\n\n',...

abs((inum1-integrate)/integrate))

fprintf('the relative error between inum2 and real-value is about: %g\n\n',...

abs((inum2-integrate)/integrate))

fprintf('the relative error between inum3 and real-value is about: %g\n\n',...

abs((inum3-integrate)/integrate))

【调试结果】

??? Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

○4使用matlab命令

syms x;f=sin(x)/x;I=int(f,0,inf)

【调试结果】

I =

1/2*pi

3:

○1矩形法:利用求和函数

%矩阵法

format long

n=100;a=0;b=1;

syms x fx

fx=1/(1+x^2);

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点

xi=a+i*(b-a)/n; %右点

xij=(xi+xj)/2;

fxj=subs(fx,'x',xj); %左点值

fxi=subs(fx,'x',xi); %右点值

fxij=subs(fx,'x',xij); %中点值

f1=fxj*(b-a)/n;

f2=fxi*(b-a)/n;

f3=fxij*(b-a)/n;

inum1=sum(f1)

inum2=sum(f2)

inum3=sum(f3)

integrate=int(fx,0,1);

integrate=double(integrate);

fprintf('the relative error between inum1 and real-value is about: %g\n\n',...

abs((inum1-integrate)/integrate))

fprintf('the relative error between inum2 and real-value is about: %g\n\n',...

abs((inum2-integrate)/integrate))

fprintf('the relative error between inum3 and real-value is about: %g\n\n',...

abs((inum3-integrate)/integrate))

【调试结果】

inum1 =

0.78789399673078

inum2 =

0.78289399673078

inum3 =

0.78540024673078

the relative error between inum1 and real-value is about: 0.00317779

the relative error between inum2 and real-value is about: 0.0031884

the relative error between inum3 and real-value is about: 2.65258e-006

○2抛物线法:使用求和函数

%抛物线

format long

n=100;a=0;b=1;

syms x fx

fx=1/(1+x^2);

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点

xi=a+i*(b-a)/n; %右点

xij=(xi+xj)/2;

fxj=subs(fx,'x',xj); %左点值

fxi=subs(fx,'x',xi); %右点值

fxij=subs(fx,'x',xij); %中点值

f=(fxj+4*fxij+fxi)*(b-a)/(6*n);

inum=sum(f)

integrate=int(fx,0,1);

integrate=double(integrate);

fprintf('the relative error between inum and real-value is about: %g\n\n',...

abs((inum-integrate)/integrate))

【调试结果】

inum =

0.78539816339745

the relative error between inum and real-value is about: 2.82716e-016

【情况记录】

1、梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用for循环函数和求和函数时的不同matlab命令,避免混淆出错。使用函数trapz(),quad()时要注意被积函数是数值形式,应使用数组计算,应用点除即 ./ ,否则将出错,不能调试出结果。

2、使用函数trapz(),quad()和附录程序求解,均不能调试出获得出正确答案。最后尝试用matlab命令中的符号求积分才得出正确结果。

3、参照附录B中的求和函数程序设计顺利改变了附录A和C。发现使用求和函数时,inum不需要赋初值,应用了积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法,避免了for 循环的冗杂性,较容易理解。

实验结果报告及实验总结:

1、结果

○1梯形法

inum =

0.69315152080005

integrate =

0.69314718055995

The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006/n/n

○2抛物线法:

i num =

0.69314718056936

The relative error between inum and real-value is about:1.35886e-011/n/n

○3使用函数trapz()

ans =

0.69315152080005

○4使用函数quad()

ans =

0.69314719986297

将题中的近似计算结果与Matlab各命令的计算结果相比较,发现运用不同的方法,计算结果会有不同。

因为由梯形法求近似值,当为凹曲线时,它就偏小;当为凸曲线时,它就偏大.误差较大。故由计算结果知,利用抛物线法近似计算定积分,更接近于实际值,精确程度更高.

且发现trapz()的调试结果与梯形法结果相同,故可猜测该Matlab中的数值积分命令函数trapz()采用了梯形法近似计算方法。

2、

○1使用函数trapz()

??? Error using ==> colon

Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

○2使用函数quad()

ans =

NaN

○3程序法

??? Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

○4使用matlab命令

I =

1/2*pi

通过实验发现使用函数trapz(),quad()和附录程序求解,均不能调试出或得出正确答案。用matlab命令中的符号求积分int()才得出正确结果。故矩形法、梯形法、抛物线法是主要研究定积分的三种近似计算算法。Matlab的专门函数trapz(),quad()也是用于定积分的近似数值计算。对于不定积分,由于积分区间无限大,故不能使用该分割方法。

3、实验结果见实验过程中的调试结果。调试顺利。使用sum函数时,inum不需要赋初值,应用了积分理论中分割近似求和取极限的思想方法,避免了for循环的冗杂性,简单明了。

思考与深入:

题目理解稍有困难,第三题参照附录B改写附录C不是很容易。通过本实验加深理解了积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法。学习并掌握了用matlab求定积分的方法,了解了定积分近似计算的矩形法、梯形法,和抛物线法。并认识到对于不同的题目,采取不同的运算方法,结果会不同,且精确程度也不同。

要多加练习,要深刻理解不定积分、定积分概念,熟悉matlab数学软件的求不定积分、定积分的命令,了解简单的编程语句,以准确有效地设计出程序。

教师评语:

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容,其中定积分的计算是重点考查的考点之一,下面例析定积分计算的几种常用方法. 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? , (b a <) 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续,所以函数sin x 在],[b a 上可积,采用特殊的 方法作积分和.取h = n a b -,将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ],其中x 0=a ,x n =b 。可知各区间的长度依次是:△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ(1,2,...,n ),作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }(即λ是 最大的区间长度),则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分,记为: ()b a f x dx ?。 其中:a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。 对于定积分,有这样一个重要问题:函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件, ()f x 在[a,b]上一定可积?下面给出两个充分条件: 定理1: 设()f x 在区间[a,b]上连续,则()f x 在[a,b]上可积。 定理2: 设()f x 在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则 ()f x 在[a,b]上可积。 例:利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解:因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此,为了 便于计算,不妨把区间[0,1]分成n 等份,分点为i i x n = ,1,2,,1i n =?-;这样,

MATLAB实验三-定积分的近似计算

实验三定积分的近似计算 一、问题背景与实验目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛物线法.对于定积分的近似数值计算,Matlab有专门函数可用. 二、相关函数(命令)及简介 1.sum(a):求数组a的和. 2.format long:长格式,即屏幕显示15位有效数字. (注:由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差,需要更高的精度).3.double():若输入的是字符则转化为相应的ASCII码;若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值. 4.quad():抛物线法求数值积分. 格式: quad(fun,a,b) ,注意此处的fun是函数,并且为数值形式的,所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点,即 .*、./、.^等.例:Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2); 5.trapz():梯形法求数值积分. 格式:trapz(x,y) 其中x为带有步长的积分区间;y为数值形式的运算(相当于上面介绍的函数fun) 例:计算 0sin()d x x π ? x=0:pi/100:pi;y=sin(x); trapz(x,y) 6.dblquad():抛物线法求二重数值积分. 格式:dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax),fun可以用inline定义,也可以通过某个函数文件的句柄传递. 例1:Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) 顺便计算下面的Q2,通过计算,比较Q1 与Q2结果(或加上手工验算),找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法. Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2:Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi) 这时必须存在一个函数文件integrnd.m:

实验二 定积分的近似计算

实验二定积分的近似计算 一、问题背景与实验目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛物线法.对于定积分的近似数值计算,Matlab有专门函数可用. 二、相关函数(命令)及简介 1.sum(a):求数组a的和. 2.format long:长格式,即屏幕显示15位有效数字. (注:由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差,需要更高的精度).3.double():若输入的是字符则转化为相应的ASCII码;若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值. 4.quad():抛物线法求数值积分. 格式:quad(fun,a,b) ,注意此处的fun是函数,并且为数值形式的,所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点,即.*、./、.^等. 例:Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2); 5.trapz():梯形法求数值积分. 格式:trapz(x,y) 其中x为带有步长的积分区间;y为数值形式的运算(相当于上面介绍的函数fun) 例:计算 0sin()d x x π ? x=0:pi/100:pi;y=sin(x); trapz(x,y) 6.dblquad():抛物线法求二重数值积分. 格式:dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax),fun可以用inline定义,也可以通过某个函数文件的句柄传递. 例1:Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) 顺便计算下面的Q2,通过计算,比较Q1 与Q2结果(或加上手工验算),找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法. Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi) 例2:Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi) 这时必须存在一个函数文件integrnd.m:

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续,并且设x 为上的任一点, 于是, 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动,则对 于每一个取定的x 值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数,我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看,也很显然。因为X 是上一个动点, 从而以线段 为底的曲边梯形的面积,必然随着底数 端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点x 的函数(见图5-10) 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道:如果物体以速度作直线运动,那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面,如果物体经过的路程s 是时间t 的函数,那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是(见图5-11) 即 由导数的物理意义可知:即 是 一个原函数,因此,为了求出定积分,应先求出被积函数 的原函数 , 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分的一般 方法: 设函数在闭区间上连续, 是 的一个原函数, 即 ,则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便,将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续,利用前面学过的知识,可以 得到定积分以下几个简单性质: 图 5-12

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容,也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础,所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种: (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂,Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK )-忑.旦r x 二)祝成);网><可久切 二2氐化如(長)寸 a 花不直押、朱 J 、 解: 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时[使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型: ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等,方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r :解:arctan f xdx等,方法是把疋; Jx" arcsm11xdx

定积分与定积分的近似计算

第六讲 定积分与定积分的近似计算 实验目的 1.通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法. 2.学习并掌握用matlab 求不定积分、定积分、二重积分、曲线积分的方法. 3.学习matlab 命令sum 、symsum 与int. 4. 了解定积分近似计算的矩形法、梯形法。(***) 实验内容 1. 学习matlab 命令 (1)求和命令sum 调用格式. sum(x),给出向量x 的各个元素的累加和,如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量. 例4.1.x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];? sum(x)? ans=55 例4.2.x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]? x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x)? ans=12 15 18 (2)求和命令symsum 调用格式. symsum(s,n), 求 ∑n s symsum(s,k,m,n),求∑=n m k s 当x 的元素很有规律,比如为表达式是)(k s 的数列时,可用symsum 求得x 的各项和,即 symsum ),1),((n k s =)()2()1(n s s s +++ symsum )()1()(),,),((n s m s m s n m k k s ++++=

例4.3.syms k n ? symsum(k,1,10)? ans=55 symsum(k^2,k,1,n)? ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6 (3)matlab 积分命令int 调用格式 int (函数)(x f ) 计算不定积分 ?dx x f )( int (函数),(y x f ,变量名x ) 计算不定积分?dx y x f ),( int (函数b a x f ,),() 计算定积分 ?b a dx x f )( int (函数),,(y x f 变量名b a x ,,) 计算定积分 ?b a dx y x f ),( 1.计算不定积分 例4.4.计算 xdx x ln 2 ? 解:输入命令: int(x^2*log(x)) 可得结果: ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3 注意设置符号变量. 例4.5.计算下列不定积分: 1. dx x a ? -22 2. ?++dx x x 3 131 3. ?xdx x arcsin 2 解:首先建立函数向量. syms x syms a real y=[sqrt(a^2-x^2),(x-1)/(3*x-1)^(1/3),x^2*asin(x)]; 然后对y 积分可得对y 的每个分量积分的结果. int(y,x)? ans = [1/2*x*(a^2-x^2)^(1/2)+1/2*a^2*asin((1/a^2)^(1/2)*x), -1/3*(3*x-1)^(2/3)+1/15*(3*x-1)^(5/3), 1/3*x^3*asin(x)+1/9*x^2*(1-x^2)^(1/2)+2/9*(1-x^2)^(1/2)]

定积分的近似计算

数学实验报告 实验序号:4 日期:2012 年12 月13 日 实验名称定积分的近似计算 问题背景描述: 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 实验目的: 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算,Matlab有专门函数可用。

实验原理与数学模型: 1.矩形法 根据定积分的定义,每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值,即 在几何意义上,这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度. 针对不同的取法,计算结果会有不同。 (1)左点法:对等分区间 , 在区间上取左端点,即取。 (2)右点法:同(1)中划分区间,在区间上取右端点,即取。 (3)中点法:同(1)中划分区间,在区间上取中点,即取。2.梯形法 等分区间 , 相应函数值为().

曲线上相应的点为() 将曲线的每一段弧用过点,的弦(线性函数)来代替,这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形,其面积为 ,. 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值, , 即, 称此式为梯形公式。 3.抛物线法 将积分区间作等分,分点依次为 ,, 对应函数值为 (), 曲线上相应点为 (). 现把区间上的曲线段用通过三点,,的抛物线

matlab实验报告--定积分的近似计算 -

数学实验报告 实验序号:2 日期:2013 年11 月30日 班级应数二班姓名丁慧娜学号1101114088 实验名称定积分的近似计算 实验所用软件及版本MATLAB R2012b 问题背景描述: 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只就是一条实验记录曲线,或者就是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 实验目的: 1、本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛 物线法。 2、加深理解积分运算中分割、近似、求与、取极限的思想方法。 3、学习fulu2sum、m的程序设计方法,尝试用函数sum 改写附录1与 附录3的程序,避免for 循环。 实验原理与数学模型: 1.矩形法 根据定积分的定义,每一个积分与都可以瞧作就是定积分的一个近似值,即 在几何意义上,这就是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把

这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度. 针对不同的取法,计算结果会有不同。 (1)左点法:对等分区间 , 在区间上取左端点,即取。 (2)右点法:同(1)中划分区间,在区间上取右端点,即取。 (3)中点法:同(1)中划分区间,在区间上取中点,即取。 2.梯形法 等分区间 , 相应函数值为(). 曲线上相应的点为() 将曲线的每一段弧用过点,的弦(线性函数)来代替,这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形,其面积为

最新定积分的近似计算2

定积分的近似计算2

定积分的近似计算 虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题,但它的使用是有一定局限性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形,我们就有必要考虑近似计算的方法。 定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍两种常用的方法梯形法及抛物线法。 一梯形法 将积分区间?Skip Record If...?作?Skip Record If...?等分,分点依次为 ?Skip Record If...? 相应的函数为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 曲线?Skip Record If...?上相应的点为 ?Skip Record If...? 将曲线的每一段弧?Skip Record If...?用过点?Skip Record If...?(线性函数)来代替,这使得每个?Skip Record If...?上的曲边梯形形成了真正的梯形(图11——25),其面积为 ?Skip Record If...? 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近 似值,即 ?Skip Record If...? 亦即 ?Skip Record If...?(2) 称此式为梯形法公式。 在实际应用中,我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差,从而有 ?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...? 二抛物线法 由梯形法求近似值,当?Skip Record If...?为凹曲线时,它就偏小;当?Skip Record If...?为凸曲线时,它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似,就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。 将区间?Skip Record If...?作?Skip Record If...?等分(图)分点依次为 ?Skip Record If...? 对应的函数值为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?曲线上相应的点为?Skip Record If...? 现把区间?Skip Record If...?上的曲线段?Skip Record If...?用通过三点?Skip Record If...?的抛物线 ?Skip Record If...? 来近似代替,然后求函数?Skip Record If...?从?Skip Record If...?到?Skip Record If...?的定积分: ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?由于?Skip Record If...?,将它代入上式整理后可得 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 同样也有 ?Skip Record If...? ……………………………………………….. ?Skip Record If...? 将这?Skip Record If...?个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值: ?Skip Record If...? 即 ?Skip Record If...?

实验五 定积分的近似计算

实验五 定积分的近似计算 我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法,那里所谓的计算方法,是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。但在许多实际问题中遇到的定积分,被积函数往往不用算式给出,而通过图形或表格给出;或虽然可用一个算式给出,但是要计算它的原函数却很困难,甚至于原函数可能是非初等函数。本实验的目的,就是为了解决这些问题,介绍定积分的“数值积分”,即定积分的近似计算。 所谓定积分的近似计算,就是找到一个适当的计算公式,利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值,来计算定积分的近似值,并作出误差估计。我们知道,定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示曲线)(x f y =,直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想,就是将积分区间分割成许多小区间,然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积,最后将小曲边梯形的面积求和,就得到了定积分的近似值。 1、 观察黎曼和式的收敛性 由定积分的定义知道,定积分就是黎曼和式 i n i i x f ?∑=1 )(ξ的极限,因此可以用黎曼和 式来近似计算定积分。为计算方便,这里特殊的,将积分区间等分为n 段,并以小区间中点 处的函数值作近似,于是黎曼和式为:∑=-+-+-n k n a b k a f n a b 1))5.0)1(((, 因而 ? ∑=-+-+-≈b a n k n a b k a f n a b dx x f 1))5.0)1((()(。 例1 计算 dx x ? 3 2 ln 1 的黎曼和。 解:输入命令如下: 2、 梯形法 大家可以看出,用上述方法进行的近似计算,其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似,上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似,就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。具体方法如下: 将区间],[b a 用b x x x a n ==,,,10 等分为n 个小区间,小区间的长度为 n a b -。设)()(n a b i a f x f y i i -+==),,1,0( n i =,则每个小梯形的面积为n a b y y i i -?++21,从而得到梯形法的公式为:

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要:本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种:(1)定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法. 关键词:定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期,出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程,则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么,究竟什么是定积分呢?我们给定积分下一个定义:设函数()f x 在[],a b 有定义,任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=,有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑,若当()0l T →时,积分和(,)T σξ存在有限极限,设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑,且数I 与分法T 无关,也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关,即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

定积分的近似计算以及误差估计

定积分的近似计算方法与误差估计 作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式,高斯求积公式等近 似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等. 关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1引言 在计算定积分的值()b a I f x dx =?时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数 )(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分,()()()b a I f x dx F b F a ==-?.但这种方法只限于解 决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2 b x a e dx ? ,2 sin b a x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法来求积分值. 与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替()f x ,且 ()b a x dx ?? 的值容易求的.这样就把计算复杂的()b a f x dx ?转化为求简单的积分值()b a x dx ??. 因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题. 2 定积分的近似计算——常见数值方法 2.1 矩形公式 根据定积分的定义,每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值,即 1 ()d ()n b i i a i f x x f x ?==?∑? 在几何意义上,这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度. 针对不同i ?的取法,计算结果会有不同,常见的取法有: (1)左端点法,即1-=i i x ?, i a b n i i x x f dx x f ? ∑=-?≈11)()( (2)右端点法,即 i i x =?,i n i i a b x x f dx x f ?≈∑?=1 )()(

几种定积分的数值计算方法

几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid

1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 0sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较. 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法 矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值.若 取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=n i i x f n a b A 1 ).(

定积分近似计算方法论文开题报告

本计划研究目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 提纲 1引言 2一元函数常见数值积分方法 2.1插值型积分 2.2高斯积分 4 一维数值积分方法应用以及误差分析 5高维数值积分方法应用以及误差分析 研究计划 1.指导教师与学生见面,指导教师填写纸质毕业论文(设计)任务书,并下达给学生。 2011年10月19日210月23日(第8—第8周) 2.学生撰写毕业论文(设计)开题报告并提交第一次周志,交指导教师审阅。2011 年10月24日至12月26日(第9—17周) 3.学生完成毕业论文(设计)初稿并提交第二次周志交指导教师审阅。2012年3月 5日前(第1—3周) 4.学生完成毕业论文(设计)初稿,二稿直至最终定稿,指导教师审阅二稿,三稿。 2012年4月10日前(第4—10周) 5.指导教师:评定教师分别评定论文(设计)成绩2012年4月30 日前(第11—11 周) 6.毕业论文设计答辩2012年5月11日前(第12—13周) 7.教师通过教务管理系统登录学生毕业论文(设计)成绩。2012年5月15日前(第 14周——) 主要文献资料 (1)华东师范大学数学系编《数学分析》上册

(2)李庆扬关治白峰杉《数值计算原理》 (3)肖筱南《现代数值计算方法》 (4)菲赫金哥尔茨《微积分学教程》 (5)裴礼文《数学分析中的典型问题和方法》 (6)LU J T.Is the comos ite function integrable? [J]Amer Math Monthy,1999(106):763--766

定积分的近似计算方法..

定积分的近似计算方法 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求 积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等. 关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1引言 在计算定积分的值()b a I f x dx = ? 时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函 数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()b a I f x dx F b F a = =-? .但在实际应用中, 这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2 b x a e dx ? ,2 sin b a x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值. 与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替 ()f x ,且()b a x dx ??的值容易求的.这样就把计算复杂的()b a f x dx ?转化为求简单的积分值 ()b a x dx ??.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题. 2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法 牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式. 利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是: 给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数 ()( 0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式 ()()() n n i i i x f x l x ?==∑, 其中 011011()()()() ()()()()() i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----= ----,将插值公式

定积分的近似计算

定积分的近似计算 一、问题背景 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛物线法. 二、实验内容 1. 矩形法 根据定积分的定义,每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值,即 1()d ()n b i i a i f x x f x ?==?∑? 在几何意义上,这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度. 针对不同i ?的取法,计算结果会有不同,我们以 12 0d 1x x +?为例(取100=n ), (1) 左点法:对等分区间 b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10, 在区间],[1i i x x -上取左端点,即取1-=i i x ?, 1 2 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑?0.78789399673078, 理论值 1 2 0d 14x x π=+?,此时计算的相对误差 0.7878939967307840.0031784 ππ-=≈ (2)右点法:同(1)中划分区间,在区间],[1i i x x -上取右端点,即取i i x =?, 1 2 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑ ?0.78289399673078,

MATLAB数学实验报告 定积分的近似计算

MATLAB数学实验报告 实验日期:2015年11月20日 实验名称定积分的近似计算 姓名:学号:班级: 问题背景描述: 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 实验目的: 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算,Matlab有专门函数可用。 实验原理与数学模型: 1.矩形法 根据定积分的定义,每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值,即 在几何意义上,这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度. 针对不同的取法,计算结果会有不同。 (1)左点法:对等分区间

,在区间上取左端点,即取。 (2)右点法:同(1)中划分区间,在区间上取右端点,即取。 (3)中点法:同(1)中划分区间,在区间上取中点,即取。2.梯形法 等分区间 , 相应函数值为(). 曲线上相应的点为() 将曲线的每一段弧用过点,的弦(线性函数)来代替,这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形,其面积为 ,. 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值, ,

即, 称此式为梯形公式。 3.抛物线法 将积分区间作等分,分点依次为 ,, 对应函数值为 (), 曲线上相应点为 (). 现把区间上的曲线段用通过三点,,的抛物线来近似代替,然后求函数从到的定积分: 由于,代入上式整理后得

数值积分-计算方法

数值积分 第1章 理论依据 逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理,推导出数值积分的基本公式。 §1插值求积公式 为了用数值方法求 b a I(f)=f(x)dx ? ,对被积函数f(x)在给定的n+1个节点 上作Lagrange 插值,用插值函数Pn(x)代替f(x),就可用I (Pn(x))构造求积公式,近似地计算定积分I(f(x))。 §2Newton —Cotes 公式 §2.1Newton —Cotes 公式的推导 当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时,就得到Newton —Cotes 公式。 将区间[a,b]n 等分, b a h n -= ,n+1个节点为 x k =a+kh (k=0,1,…,n) 在节点上对f(x)的Lagrange 插值多项式是: 0()()() n n j n k k j k j j k x x p x f x x x ==≠-=-∑∏ 用P n (x)代替f(x)构造求积公式: 0()()()n n b b j n n k a a k j k j j k x x I p x dx f x dx x x ==≠-==-∑∏?? 记,(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th 带入上式,变为: () 00()n n n n k k j j k b a t j A dt b a C n k j =≠? --==--∏?

其中: (k=0,1,…,n) (1-1) 这个积分是有理多项式积分,它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。只要确定n 就能计算出系数。 于是得到称为Newton —Cotes 公式的求积公式: ()0 ()n n n k k k I b a C y ==-∑ (1-2) 其中称为Newton —Cotes 系数。如表1所示。 §2.2Newton —Cotes 公式误差和稳定性 在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是 (1)0 ()()()()()(1)!n n n n k k f R x f x p x x x n ξ+==-=-+∏ 因此,Newton —Cotes 公式的截断误差是 (1)0 ()()()(1)!n n b k a k f R f x x dx n ξ+==-+∏? (1-3) 讨论舍入误差对计算结果产生的影响,设(1-2)式近似计算()b a f x dx ? 其中计算函数值f(xn)有误差值(k=0,1,2, …,n )。在(1-2)式中令 ? 设计算无误差,舍入误差也忽略,则,由(1-2)式 计算时引式的误差为 () ()()() 0000()[()(())()(...) n n n n n n n k k k k n n n k k e b a C f x C f x b a C C εεε===--+=--++∑∑ 如果皆为正,并设,则 ,故 有

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