高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
2.会利用导数解决某些实际问题．
【重点知识梳理】
1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
2．不等式问题
(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．
(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
3．方程解的个数问题
构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．
【高频考点突破】
考点一函数的最值与导数
例1、已知a∈R，函数f(x)＝a
x＋ln x－1.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．
【拓展提升】
1.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
2.求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要与端点值比较，对于含参数的函数最值，要注意分类讨论．
【变式探究】
已知函数f(x)＝ax －2
x －3ln x ，其中a 为常数．
(1)当函数f(x)的图象在点???
?23，f ????23处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在????32，3上的最小值；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围；
考点二 利用导数证明不等式
例2、 已知定义在正实数集上的函数f(x)＝1
2x2＋2ax ，g(x)＝3a2lnx ＋b ，其中a>0.设两曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
【方法技巧】利用导数证明不等式的步骤
(1)构造新函数，并求其单调区间；
(2)判断区间端点函数值与0的关系；
(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．
【变式探究】证明：当x∈[0,1]时，
2
2x≤sinx≤x.
考点三、利用导数研究函数零点问题
例3、已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
【方法技巧】
函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．【变式探究】已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
考点四生活中的优化问题
例4、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/
千克)满足关系式y＝a
x－3＋10(x－6)2，其中3 (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【方法技巧】 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点． 【变式探究】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB＝x(cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【真题感悟】 【高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间加油量 （升） 加油时的累计里程（千米） 2015年5月1日1235000 2015年5月15日4835600 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 【答案】B 【高考福建，文22】已知函数 2 (1) ()ln 2 x f x x - =-． (Ⅰ)求函数() f x的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1 x>时，()1 f x x <-； （Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在01 x>，当 (1,) x x ∈时，恒有()()1 f x k x >-． 【答案】(Ⅰ) 15 0, 2 ?? + ? ? ?? ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1 -∞． 【高考广东，文21】（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()2 1f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4 f x x + 在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）1,2 ??-∞ ?? ? ；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2 =a 时，()4f x x + 有一个零点2x =；当2>a 时，()4 f x x +有两个零点． 【高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0. (Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性； (Ⅱ)证明：存在a ∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 【高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R （I ）求()f x 的单调区间; （II ）设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x ,求证:对于任意 的正实数x ,都有() ()f x g x ; （III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x ,求证:1 321 -43 a x x . 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）见试题解析;（III ）见试题解析. 16.【高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数2 (),(,)f x x ax b a b R =++∈. （1）当2 14 a b 时，求函数()f x 在[1,1]上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围. 【答案】(1)2 22,2,4( )1,22,2,24 a a a g a a a a a ?++≤-?? ?=-<≤???-+>??；(2)[3,945]-- 1．（·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1. 2．（·安徽卷）若直线l与曲线C满足下列两个条件： (i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3； ②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2； ③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x； ④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x； ⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x.【答案】①③④ 3．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 4．（·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值； (2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围； (3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论) 5．（·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜ex； (3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
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