2003年考研数学（一）真题评注
【分析】∞
1型未定式，化为指数函数或利用公式)
()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行
计算求极限均可.
【详解1】)
1ln(1
2
)(cos lim x
x x +→=x
x x e
cos ln )
1ln(1
lim
20+→,
而
212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x x
x x x x x x x ， 故原式=
.
1
2
1e e
=
-
【详解2】因为
2121lim )1ln(1
)1(cos lim 2
20
2
-
=-
=+?
-→→x x
x x x x ， 所以原式=
.
1
2
1
e e
=
-
【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面2
2y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n 平行确定.
【详解】令2
2
),,(y x z z y x F --=，则
x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .
设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与已知平面
042=-+z y x 平行，因此有
11
422200-=-=-y x ，
可解得2,100==y x ，相应地有
.52
0200=+=y x z 故所求的切平面方程为
0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .
【分析】将)()(2
ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数
)
(cos 0
2
ππ≤≤-=∑∞
=x nx a x n n ，
其系数计算公式为
?
=
π
π0
cos )(2
nxdx
x f a n .
【详解】根据余弦级数的定义，有
x
d x xdx x a 2sin 1
2cos 2
20
22?
?
=
?=
π
π
π
π
=??-π
ππ
2]
22sin 2sin [1
xdx x x
x
=??
-=
π
ππ
π
π0
]
2cos 2cos [1
2cos 1
xdx x
x x xd
=1.
【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足
[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[
1
21],,,-n ααα [],,,21n βββ .
【详解】根据定义，从2
R 的基
???? ??-=???? ??=11,0121αα到基????
??=???? ??=21,1121ββ的过渡矩阵为
P=[1
21],-αα[
???
?????????-=-21111011],1
21ββ. =.
2132
21111011??????--=???????????
?- 【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率
}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=??≤0
),(),(z y x g dxdy
y x f 进行计算.
【详解】由题设，有
=
≤+}1{Y X P ????
≤+-=121
16),(y x x
x
xdy
dx dxdy y x f
=.
41
)126(210
2=-?
dx x x
y
O 21
1 x
（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个
零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51
.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975
.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】已知方差12
=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1
N n X μ
-，
由
α
μ
α-=<-1}1{
2
u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间.
【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α于是查标准正态分布表知
.
96.12
=αu 本
题n=16, 40=x , 因此，根据
95.0}96.11{
=<-n X P μ
，有
95.0}96.1161
40{
=<-μ
P ，即95.0}49.40,51
.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51
.39( .
【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.
【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).
（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞
→n n a ,1lim =∞
→n n b ,∞
=∞
→n n c lim ,则必有
(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.
(C) 极限n
n n c a ∞
→lim 不存在. (D) 极限n
n n c b ∞
→lim 不存在. [ D ]
(A),(B)；而极限n
n n c a ∞
→lim 是∞?0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即
可；极限n
n n c b ∞
→lim 属∞?1型，必为无穷大量，即不存在.
【详解】用举反例法，取
n a n 2=
，1=n b ，)
,2,1(21
==n n c n ，则可立即排除
(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).
（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且
1
)(),(lim
2
220
,0=+-→→y x xy
y x f y x ，则
(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.
(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.
【详解】由
1)(),(lim
2
220
,0=+-→→y x xy
y x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且
222)(),(y x xy y x f +≈-y x ,(充分小时），于是
.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-
可见当y=x 且x 充分小时，
04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).
【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：
r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r
>时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命
题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.
【详解】用排除法：如?
??? ??=???? ??=???? ??=10,01,00211ββα，则21100ββα?+?=，但2
1,ββ线性无关，排除(A)；
????
??=???? ??=???? ??=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线
性无关，排除(B)；
?
???
??=???? ??=???? ??=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).
[ B ]
【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.
【详解】若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，
可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如?
?????=0001A ，?
??
???=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),
故正确选项为(B).
【分析】先由t 分布的定义知
n V
U X =
，其中)(~),1,0(~2
n V N U χ，再将其代入
21
X Y =
，然后利用F 分布的定义即可.
【详解】由题设知，
n V
U X =
，其中)(~),1,0(~2
n V N U χ，于是
21X Y ==122U n V
U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故
应选(C). 三、（本题满分10分）
【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.
【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是
).(1
ln 00
0x x x x y -+
=
由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为
.1x e y =
平面图形D 的面积
?-=
-=1
.121
)(e dy ey e A y
（2）切线
x
e y 1=
与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积
为.
3121e V π=
曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为
dy
e e V y 21
2)(?-=π，
因此所求旋转体的体积为
).
3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y π
ππ
y
四、（本题满分将函数x x
x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞
=+-012)1(n n n 的和.
【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、
求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数x -11
的幂级数展开
+++++=-n x x x x 2111
即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的
和.
【详解】因为
).21,21(,4)1(2412)(202
-∈--=+-='∑∞
=x x x x f n
n n n 又f(0)=4π
, 所以
dt
t dt t f f x f n n x
x
n n ]4)1([24
)()0()(200
??∑∞
=--=
'+=π
=).
21,21(,124)1(24
120-∈+--+∞
=∑x x n n n n n π
因为级数∑∞
=+-012)1(n n n 收敛，函数f(x)在
21=x 处连续，所以 ].
21
,21(,1
24)1(24)(120-∈+--=+∞
=∑x x n x f n n n n π
令
21
=
x ，得
∑∑∞=+∞
=+--=?+--=012012)1(4]2
1124)1([24)21(n n n n n n n f ππ, 再由0)21
(=f ，得
.4)21(412)1(0
π
π=-=+-∑∞
=f n n n 五、（本题满分10分）
已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证：
(1) dx
ye dy xe dx ye dy xe x L
y x L
y
sin sin sin sin -=-??
--;
(2)
.22sin sin π≥--?dx ye dy xe x L
y
【分析】本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正
向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.
【详解】方法一：
(1) 左边=dx
e dy e x y ??
--0
sin 0
sin π
π
ππ
=?-+π
π0
sin sin )(dx
e e x x ，
右边=
?
?--π
π
ππ0
sin sin dx
e dy e
x y
=?-+π
π0
sin sin )(dx
e e x x ，
所以
dx ye dy xe dx ye dy xe x L
y x L
y sin sin sin sin -=-?
?--.
(2) 由于2sin sin ≥+-x x
e e
，故由（1）得
.2)(20
sin sin sin sin πππ
≥+=-??--dx e e dx ye dy xe x x x L
y
方法二：
（1）根据格林公式，得
???--+=-D
x y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ，
???+=---D
x y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin .
因为D 具有轮换对称性，所以
??-+D
x y dxdy e e )(sin sin =??+-D
x
y dxdy e e )(sin sin ， 故
dx ye dy xe dx ye dy xe x
L
y x L
y sin sin sin sin -=-??--.
(2) 由(1)知
???--+=-D
x
y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin
=
dxdy e dxdy e D
D
x
y ????-+sin sin
=
dxdy
e dxdy e D
D
x x
????-+sin sin （利用轮换对称性）
=
.22)(2sin sin π=≥+????-dxdy dxdy e e D
D
x x
【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.
【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为
),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，
所以
2
2101221a k x k kxdx W x ===?，
).
(2)(222
22122221
a x k x x k kxdx W x x -=-==?
由12rW W =可得
2222ra a x =-
即.)1(2
22a r x +=
].
)1([2)(22232
22333
2
a r x k x x k kxdx W x x +-=-==?
由12
23W r rW W ==可得
2222
3)1(a r a r x =+-， 从而a r r x 2
31++=，
即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 2
1++.
（2）由归纳法，设
a r r r x n n 1
21-++++= ，则 )
(222111
n n x x n x x k kxdx W n n
-==++?
+
=].
)1([2212
1a r r x k n n -++++-
由于112
1W r W r rW W n
n n n ====-+ ，故得
22121
)1(a r a r r x n n n =+++--+ , 从而
.
1111
1
a r r a r r x n n
n --=+++=++
于是a r x n n -=
+∞
→11
lim 1，
即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a
r -11 m.
七、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.
(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (3
2
2=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微
分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件
23
)0(,0)0(=
'=y y 的解.
【分析】将dy dx 转化为dx dy 比较简单，dy dx =y dx dy '
=
11，关键是应注意：
)(2
2dy dx dy d dy
x d ==dy dx
y dx d ?')1( =32
)(1y y y y y ''
'-='?'
''-. 然后再代入原方程化简即可.
【详解】 (1) 由反函数的求导公式知
y dy dx '=1
，于是有 )(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ?
')1(=32)(1y y y y y ''
'-='
?'''-. 代入原微分方程得
.sin x y y =-'' ( * )
(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为
.21x x e C e C Y -+=
设方程( * )的特解为
x B x A y sin cos *+=，
代入方程( * )，求得
21,0-
==B A ，故x y sin 21
*-=，从而x y y sin =-''的通解是
.
sin 21
21*x e C e C y Y y x x -+=+=-
由23
)0(,0)0(=
'=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为
八、（本题满分12分）
设函数f(x)连续且恒大于零，
?????
+++=
Ω)
(22
)
(222)()()(t D t d y x
f dv
z y x f t F σ
，
?
??
-+=
t
t D dx
x f d y x f t G 1
2)
(22)()()(σ
，
其中
}
),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，
}.
),{()(222t y x y x t D ≤+=
(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.
(2) 证明当t>0时，
).
(2
)(t G t F π
>
【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.
【详解】 (1) 因为
?
??
??
??=
=
t
t
t
t
rdr
r f dr
r r f rdr
r f d dr
r r f d d t F 0
202220
0220
00
22)()(2)(sin )()(π
π
πθ??θ，
2
2022
])([)()()(2
)(rdr r f dr
r t r r f t tf t F t
t ??-='，
所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.
（2）因
?
?=
t
t
dr
r f rdr
r f t G 0
202)()()(π，
要证明t>0时
)
(2
)(t G t F π
>
，只需证明t>0时，
)(2
)(>-
t G t F π
，即
.
0])([)()(0
20
2222>-?
??t
t
t
rdr r f dr r f dr r r f
令???-=t
t
t
rdr r f dr r f dr r r f t g 0
20
2222])([)()()(，
则
)()()()(2022
>-='?dr r t r f t f t g t
，故g(t)在),0(+∞内单调增加.
因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,
因此，当t>0时，
).
(2
)(t G t F π
>
dx
x g dx x f dx x g x f b a
b
a
b
a
????≤)()(])()([22
2
，
在上式中取f(x)为
r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.129【例9.21】、【例9.24】和《数学复习指南》P.305的【例11.26】.
九、（本题满分10分）
设矩阵
??????????=322232223A ，??
???
?????=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*
A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.
【分析】可先求出1
*,,-P A ，进而确定P A P B *
1-=及B+2E ，再按通常方法确定其特
征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.
【详解】方法一： 经计算可得
??
????????------=522252225*A ，?????
?????-=-1000011101P ， P A P B *1-==??????
????----322452007
. 从而
??
????????----=+522472009
2E B ，
)3()9(52
2
47
2
09
)2(2--=---=
+-λλλλλλE B E ，
故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ
当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为
,0111??????????-=η,1022?????
?????-=η
所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为
??????????-+??????????-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数.
当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为
??????????=1103η，
所以属于特征值33=λ的所有特征向量为
?????
?????=110333k k η，其中03≠k 为任意常数. 方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ
又因E A A A =*，故有
.
*ηλ
ηA
A =
于是有
)
()(*)(1111ηλ
ηη----=
=P A
P P A P P B ，
.
)2()2(11ηλ
η--+=+P A
P E B
因此，2
+λ
A
为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1
η-P
由于
)
7()1(32
2
23
2
2
23
2--=---------=-λλλλλλA E ，
故A 的特征值为.7,1321===λλλ
当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为
??????????-=0111η，.1012?????
?????-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为
.1113????
?
?????=η
由
??????????-=-1000011101
P ，得??????????-=-01111
ηP ，??????????--=-11121ηP ，?????
?????=-11031ηP .
因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.
对应于特征值9的全部特征向量为
??????????--+??????????-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；
对应于特征值3的全部特征向量为
????
?
?????=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.
【评注】设AP P B 1
-=，若λ是A 的特征值，对应特征向量为η，则B 与A 有相同的
特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为
.1
η-P 本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。不过利用
相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量，这方面可参见类似例题《考研数学大串讲》P.214【例5】，《数学最后冲刺》P.136【例3】.
十、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
:1l 032=++c by ax ，
:2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a
【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.
【详解】方法一：必要性
设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组
???
??-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)
有唯一解，故系数矩阵??????????=a c c b b a A 222与增广矩阵?????
?????---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.
0=A
由于
]
)[(6323232222bc ac ab c b a c b a b
a c a c
b c
b a A ---++++=---=
=
])()())[((32
22a c c b b a c b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(2
22≠-+-+-a c c b b a ，故
.0=++c b a
充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0
=A ，故秩.3)( 由于 ])([2)(22222b b a a b ac c b b a ++-=-= =0 ]43 )21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩)(A =2. 因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点. 方法二：必要性 设三直线交于一点),(00y x ，则? ?????????100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232?? ??? ?????=b a c a c b c b a A 于是 0=A . 而])[(6323232222bc ac ab c b a c b a b a c a c b c b a A ---++++-== = ])()())[((32 22a c c b b a c b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a 充分性：考虑线性方程组 ??? ??-=+-=+-=+,32,32, 32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ?? ?-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为 ] )([2)(22222b b a a b ac c b b a ++-=-= =- 0])([2 22≠+++b a b a , 故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点. 【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转 化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点. 完全类似例题见《数学最后冲刺》P.196【例5】. 十一、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【分析】乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组. 【详解】(1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为 3 6 33 3}{C C C k X P k k -==， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 P 201209209201 因此 .232013209220912010=?+?+?+? =EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 ∑====3 } {}{)(k k X A P k X P A P =∑∑====?=3 3 0}{616}{k k k X kP k k X P =. 41 23616 1=?=EX 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法： 设 ,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第 件产品是合格品从甲箱中取出的第 i i X i ?? ?= 则i X 的概率分布为 i X 0 1 P 2121 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以 .23321= ++=EX EX EX EX 完全类似例题见《考研数学大串讲》P.256【例20】，利用分解法求数字特征的思想见《数学题型集粹与练习题集》P.280【例3.18-21】. 十二、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为 ?? ?≤>=--,,, 0,2)()(2θθθx x e x f x 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记 ).,,,min(?21n X X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x); (2) 求统计量θ?的分布函数)(?x F θ； (3) 如果用θ?作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θ?的分布函数)(?x F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验 θθ =?E 是否成立. 【详解】(1) ., ,0,1)()()(2θθθ≤>? ? ?-==? ∞ ---x x e dt t f x F x x (2) }),,,{min(}? {)(21?x X X X P x P x F n ≤=≤= θθ =}),,,{min(121x X X X P n >- =},,,{121x X x X x X P n >>>- =n x F )](1[1-- =.,,0,1)(2θθθ≤>? ? ?---x x e x n (3) θ?概率密度为 .,,0,2)()()(2??θθθθθ≤>? ? ?== --x x ne dx x dF x f x n 因为 ?? +∞ --+∞ ∞ -==θ θθθ dx nxe dx x xf E x n )(2?2)(? = θθ≠+ n 21 ， 所以θ?作为θ的估计量不具有无偏性. 2004年数学一试题分析、详解和评注 【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确 定切点的坐标。 【详解】由11 )(ln == '='x x y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y ，即1-=x y . 【评注】本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为 11 == ' =x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-?=-x y ，即1-=x y . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. 【分析】先求出)(x f '的表达式，再积分即可。 【详解】令t e x =，则t x ln =，于是有 t t t f ln )(= '，即.ln )(x x x f =' 积分得C x dx x x x f +==?2)(ln 2 1 ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2 )(ln 2 1x . 【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为 . 2 0:, sin 2,cos 2π θθθ→ ?? ?==y x 于是 θθθθθπd ydx xdy L ]sin 2sin 22cos 2cos 2[220 ?+?=-?? =.2 3sin 220 2πθθππ = + ? d （4）欧拉方程)0(0242 22 >=++x y dx dy x dx y d x 的通解为221x c x c y +=. 【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换t e x =化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】令t e x =，则 dt dy x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==?=-， ][11122222222dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=， 代入原方程，整理得 0232 2=++y dt dy dt y d ， 解此方程，得通解为.2 2 1221x c x c e c e c y t t += +=-- 【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令t e x =，则欧拉方程 )(2 22 x f cy dx dy bx dx y d ax =++， 可化为).(][22t e f cy dt dy b dt dy dt y d a =++- （5）设矩阵???? ? ?????=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中* A 为A 的伴随 矩阵，E 是单位矩阵，则= B 9 1 . 【分析】可先用公式E A A A =* 进行化简 【详解】已知等式两边同时右乘A ，得 A A BA A ABA +=**2，而3=A ，于是有 A B AB +=63，即A B E A =-)63(， 再两边取行列式，有 363==-A B E A ， 而2763=-E A ，故所求行列式为.9 1= B （6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P > = e 1 . 【分析】已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】由题设，知2 1 λ= DX ，于是 }{DX X P >=dx e X P x ?+∞-=>λ λλλ1}1 { =.11 e e x =-∞+-λ λ ] 【分析】先两两进行比较，再排出次序即可. 2002数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? ∞+e x x dx 2ln = _____________. (2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1 (0)1,(0)2 y y '== 的特解是_____________. (4)已知实二次型3231212 32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则 a =_____________. (5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题(每小题3分.) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?① (D)③?①?④ (2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数)11 ()1(11+++ -∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数)(x f 在+ R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞ →x f x 时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (B)当)(lim x f x '+∞ →存在时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (C) 当0)(lim 0=+ →x f x 时,必有0)(lim 0='+ →x f x (D) 当)(lim 0x f x '+ →存在时,必有0)(lim 0='+ →x f x . (4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和 )(y F Y ,则 (A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 2011年考研数学二真题答案解析 2011年考研已经结束，以下是 2011年考研数学二真题答案解析，希望对考生有所帮助 2(111考研数学真题解析——数学二 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…（-） ，其中n为正整数，则 (0) f' =（ ） （A） 1 (1)(1)! n n - -- （B） (1)(1)! n n -- （C） 1 (1)! n n - - （D） (1)! n n - （3）设函数 () f t 连续，则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =（） （A ） 2 22 0 () dx x y dy + ? （B ） 2 22 0 () dx f x y dy + ? （C ） 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? （D ） 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? （4 ）已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛， 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛，则 α范围为（） （A）0<α 1 2 ≤ （B） 1 2< α≤1 （C）1<α≤ 3 2（D） 3 2<α<2 （5）设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，， （C ） 134ααα，， （D ） 234ααα，， （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1 =Q AQ -（） （A ）1 2 1?? ? ? ??? （B ）1 1 2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ?? ? （D ）22 1?? ? ? ?? ? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤2 2 ｛1｝ （ ） （A ） 1 4 （B ） 1 2 （C ） 8π （D ） 4 π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体 N σσ>2 （1，）（0）的简单随机样本，则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布（ ） （A ） N （0，1） （B ） (1) t （C ） 2 (1)χ （D ） (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→ 2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()() 4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()2 3 4 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函 数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1ΛΛ无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径 1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ， 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0 x = 2011考研数学一真题试卷 一选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A(1，０) B(2,０） C （3，0) D(４，０） 2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-n k n k x a 1)1(的收敛域 A （-1，1] B ［-1，1) Ｃ［0，2) D （0，2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ,则函数)(ln )(y f x f z =在点(0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 2011年考研数一真题及答案解析 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()() ()() 2 34 12340 y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数() 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域 为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2x =时 幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ） 0)0(1 )0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1 )0(>'' 2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1 n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π= ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大小关 系是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得 单位矩阵，记1100110001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A = ( ) (A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 1 21-P P (6) 设A 为43?矩阵， 123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( ) (A) 23 121()2 k ηηηη++- (B) 23 121()2 k ηηηη-+- n ∑a (x -1) ? ? ? ? 1 2 2 1 0 0 2011 年考研数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的 四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上． (1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3(x - 4)4 的拐点是( ) (A) (1, 0) ． (B) (2, 0) ． (C) (3, 0) ． (D) (4, 0) ． (2) 设数列{a n } 单调减少， lim a n = 0 ， S n = ∑a k (n = 1, 2, 无界，则幂级数 n →∞ k =1 ∞ n 的收敛域为( ) n =1 (A) (-1,1] ． (B) [-1,1) ． (C) [0, 2) ． (D) (0, 2] ． (3) 设函数 f (x ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 f (x ) > 0 ， f '(0) = 0 ， 则 函 数 z = f (x ) l n f ( y ) 在点(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f (0) > 1， f ''(0) > 0 ． (B) f (0) > 1， f ''(0) < 0 ． (C) f (0) < 1， f ''(0) > 0 ． (D) f (0) < 1， f ''(0) < 0 ． π π π (4) 设 I = ? 4 ln sin xdx ， J = ? 4 ln cot xdx ， K = ? 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大 小关系是( ) (A) I < J < K ． (B) I < K < J ． (C) J < I < K ． (D) K < J < I ． (5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 ? 1 0 0 ? 行得单位矩阵，记 P = 1 1 0 ? ， P ? 1 0 0 ? = 0 0 1 ? ，则 A = ( ) 1 ? 0 0 1 ? 2 ? 0 1 0 ? (A) P 1P 2 ． (B) P -1 P ． (C) P 2 P 1 ． (D) P P -1 ． (6) 设 A = (α ,α ,α ,α ) 是 4 阶矩阵， A * 为 A 的伴随矩阵，若(1, 0,1, 0)T 是方程组 1 2 3 4 ) n 2011年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版 附答案分析及详解 一、选择题 1、 曲线()()()()4 324321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0， 2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()11n n n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． (1) 曲线234 (1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( ) (A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞ =，1 (1,2,)n n k k S a n == =∑ 无界，则幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数 ()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<． (4) 设40 ln sin I x dx π = ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1 21P P -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组 0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( ) (A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα． 2011年考研数学真题试卷及标准答案解析 ---------------------心若在，梦就在，谨以此献给2012考研的同学们！！ 一选择题 1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点 A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2设数列{}n a 单调减少，∑=∞ →?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数 ∑=-n k n k x a 1 ) 1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数 )(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 2011年概率论考研真题与答案 1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与 2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥ 1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞ -∞ ∴ ? 12()() F x F x +∞=-∞ 1= 2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记 {}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】 A. ()()E U E V B. ()()E X E Y C. ()()E U E Y D. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==. 所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = 根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =. 3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是 来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=1 1n i i T X n =∑和12=111 1n i n i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】 A. 1212()(),()()E T E T D T D T >> B. 1212()(),()()E T E T D T D T >< C. 1212()(),()()E T E T D T D T <> D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ (), ()E X D X λλ∴ == 1=1=1 11()()()n n i i i i E T E X E X n n λ∴ ===∑∑ 12=11111()()(1)11 n i n i E T E X X n n n n n n λ λλλ-=+=?-?+?=+--∑ 12()()E T E T ∴ < 2008-2019年考研数学一 真题答案及解析 目录 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (2) 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (6) 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (10) 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (14) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (18) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (21) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (25) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (29) 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (34) 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (38) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (42) 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (46) 1 2 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=??，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A.()()2,3r A r A == B.()() 2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()() 1,1r A r A == 2011年考研数学试题（数学二） 一、选择题 1. 已知当时，函数 A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 2. A B C D0 3. 函数的驻点个数为 A0 B1 C2 D3 4. 微分方程 A B C D 5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A B C D 6.设 A I 16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区 间及拐点。 17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取 得极值g(1)=1,求 18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原 点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。 19.证明：1）对任意正整数n，都有 2）设,证明收敛。 20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。 （1）求容器的容积。 （2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为） 21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。 22. X01 P1/32/3 Y-101 P1/31/31/3 求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3） 23.A为三阶实矩阵，，且 （1）求A的特征值与特征向量；（2）求A 2011年考研数学试卷各科分数分布比例 2011年考研数学真题各学科分数详细分布比例 题的内容，考查的内容基本一致，但难度有所提升，加强了对知识的综合运用能力。 从内容方面来看，考试大纲中的内容都有所涉及，在三份试卷当中相同的题目很多，这也是这些年命题非常重要的特点，数学一和数学二有相同的，数学二和数学三也有相同的，甚至数学一、数学二、数学三都相同的题目也有，这是带有规律性的。 从难度方面看，虽然比去年有所提升，但对广大考生来说，难度比较适中。只要能够掌握并理解考试大纲中的内容，在规定的时间内，答完题目没有问题。 从考查重点来看，很多知识点都是每年必考的，如高等数学中的极限、微分、积分、级数，线性代数中的矩阵、向量、方程组的特征值和特征向量，还有概率论中随机变量的分布等。 整体来看，2011年考研数学的三份试卷能充分地检验了考生对知识的掌握、理解、运用能力。只要考生平时多看、多写、多练，通过考试是没有问题的。 2011年考研数学（三）试题分析 今年数学三的试题整体难度不大，以考查考生的计算能力和综合运用知识的能力为主。对于基础扎实，经过良好训练的考生可以获得比较理想的成绩。首先分析一下高数部分。 第1题、第9题和第15题可以归结为求极限的题目，考查的是等价无穷小的概念，洛必达法则求导，常用的等价无穷小公式替换等等非常常用的求极限的方法。这类题目在同学的复习当中想必做得已经滚瓜烂熟，只要认真些，拿全分完全没问题。 第2题考查的导数的概念，和极限四则运算法则，这在平时的复习训练中也是很基本很常见的。 第3题考查的判断级数的敛散性，拿到这个题目同学们可能有似曾相识的感觉，不错，与04年真题类似。级数部分是广大考生比较薄弱的部分，但通篇关于级数部分只有这么一道选择题，因此可以说试卷难度真的不大。 第4题考查利用定积分的性质进行估值，第10题求全微分在某点的值，这类问题也属于常见题目。第11题求曲线在一点处的切线方程，第12题求旋转体体积这些题目大家在练习中，上课的讲义中再常见不过了，相信只要仔细，高数的选择题和填空题应该拿全分不成问题。 第16题综合考查二元函数取极值的条件和复合函数求偏导，第17题考查不定积分的计算，也属于比较常规的类型。主要考察考生的计算能力，对考生解题的熟练度和准确度有较高要求。 第18题考查方程根的个数的讨论，综合考查导数的应用与闭区间上连续函数的性质部分的知识。这类题目解题时应该先利用导数求出函数的单调区间，再在每个单调区间上运用闭区间上连续函数的介质定理(零点存在定理)就可以证明题目所要求的结论。关于利用微分中值定理证明的这部分内容一直是学员认为的难点，但这个题目相对来讲，用的思想和方法比较常见，难度不大。 高数的最后一道大题比较新颖，结合了二重积分和微分方程。考生解题时需要先利用二重积分的计算方法，将题目中所给的二重积分的不等式转化为微分方程，然后再利用相应类型方 2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)已知当时，与是等价无穷小，则 (A)(B) (C)(D) 【答案】C。 【解析】 【方法一】 (洛必达法则) (洛必达法则) () 由此得。 【方法二】 由泰勒公式知 则 故。 【方法三】 故 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则 (2)已知在处可导，且,则 (A)(B) (C)(D)0 【答案】B。 【解析】 【方法一】加项减项凑处导数定义 【方法二】拆项用导数定义 由于，由导数定义知 所以 【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数,则 而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B) 【方法四】由于在处可导，则 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数 和微分的四则运算 (3)设是数列，则下列命题正确的是 (A)若收敛，则收敛。 (B)若收敛，则收敛。 (C)若收敛，则收敛。 (D)若收敛，则收敛。 【答案】A。 【解析】 若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件 (4)设,则的大小 关系为 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 【解析】 同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小， 由于当时， 又因为为上的单调增函数，所以 2011年考研数学（三）真题及答案详解 一．选择题 1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 （A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 2．已知 ()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= （A ）()' 20f - （B ）()'0f - (C) ()'0f (D)0 3．设 {}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=+∑收敛 （B ）若 ()21 21n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 （C ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛 （D ）若 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 4．设4440 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ π ===???，则,,I J K 的大小关系是 （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记 1100110001P ????=?????? ,2100001010P ?? ??=? ?????,则A = （A ）12P P （B ）1 12P P - 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一 一、选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2设数列{}n a 单调递减，∑=∞ →?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-n k n k x a 1 ) 1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数 )(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>''考研数学一历年真题(2002-2011)版)
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