摘要
本文以感应加热为研究对象，简要介绍了感应加热的基本原理和特点，阐述了感应加热技术的现状及其发展趋势。本文主要研究了感应加热器的设计方法。感应加热器是利用工件中的涡流的焦耳效应将工件加热，这种加热方式具有效率高、控制精确、污染少等特点，在工业生产中得到了广泛的应用。如何设置感应线圈的参数使之满足被加热工件中性能要求普遍关注的问题。
传统的设计方法是利用线圈在整个电路中的等效电阻地位，利用一系列电磁学公式计算出线圈的性能参数。然而这种基于实验的系统设计方法却耗时费力，并且测量成本高。因此，近似模拟方法对于感应加热器的设计和研究具有重要意义。
本文的主要工作是建立感应加热器的近似设计方法。从感应加热理论的一系列经过实验数据修正过的理论曲线为依据，根据工艺要求得出相关物理参数，并通过计算得到感应器的设计参数。
关键词：
第一章绪论
1.1 国内外感应加热的发展与现状
随着现代科学技术的发展，对机械零件的性能和可靠性要求越来越高，金属零件的性能和质量除材料成分特新外，更与其加热技术密不可分。例如，加热速度的快慢不仅影响生产效率而且影响产品的氧化程度，局部温度过冷或过热可能导致产品变形甚至损坏等。由于感应加热具有热效率高，便于控制等优点，目前在金属材料加工，处理等方面得到广泛应用。
在工业发达国家，感应加热研究起步较早，应用也更为广泛。1890年瑞士技术人员发明了第一台感应熔炼炉——开槽式有芯炉，1916年美国人发明了闭槽式有芯炉，感应加热技术开始进入实用化阶段。1966年，瑞士和西德开始利用可控硅半导体器件研制感应加热装置。从此感应加热技术开始飞速发展，并且被广泛用于生产活动中。
在我国，感应加热技术起步比较晚，与世界发达国家相比存在较大的差距。直到80年代
初，感应加热设备才有一定的应用，但因其与其它加热方式相比在节能和无环境污染等方面的显著优势，近几年来得到了长足的发展，已经广泛应用于钢铁、石油、化工、有色金属、汽车、机械、和军工产品的零部件热处理方面，且随着感应加热技术的进一步发展，其市场应用前景将越来越广阔。
金属感应热处理中的加热目标是将金属加热到特定温度分布，比如热轧，不仅要求表面达到一定的温度，而且要求工件加热温度均匀，即工件径向与轴向温差小。在此特定温度下进行轧制既能保证能源的合理利用，又能使轧制力在正常范围内以方便轧制。又如在淬火加热中，除了表面温度要求外，对加热层厚度也有不同要求。所有这些都要求加热功率、加热时间等工艺参数选择合理。而在实际生产中，生产过程的复杂性以及人工控制的不精确性和随机性，可能就会产生两种不希望出现的情况：一是加热功率过大，加热时间过短。虽然钢坯的表面温度已达到要求，但钢坯内部却没达到工艺温度分布要求，将会影响后续工艺。如在轧制过程中，如果钢坯没被加热透，硬度较大，不仅对热成型的成品、半成品的质量造成很大影响，损坏产品信誉，而且会使轧制钢坯的轧锟逐渐产生裂纹，严重缩短轧锟的寿命，导致轧锟仅在短短数月甚至是一个月左右就不能再用。而轧锟成本一般比较高，会给工厂造成较大的损失；二是加热功率过小，加热时间过长。这种情况不仅会增加氧化皮含量，而且浪费能源。在能源价格日益上涨和能源危机日趋严重情况下，应尽可能避免这种现象发生，以节约能源，造福后世。同时加热时间过长也会降低工厂的生产率，增加产品的成本。
总而言之，加热炉内的加热温度，一方面影响加热炉的能耗和工件烧损，另一方面又影响后续工艺。将工件温度控制在合理的范围内，既可保证产品的性能，又可使加热炉和后续设备的总能耗最低。因此，如何在复杂的生产过程中有效地控制加热温度是当前迫切需要解决的问题。要有效地控制加热温度，其中最关键的是在确定钢坯表面温度的同时，也确定钢坯的芯部温度，然而就目前的测温技术而言，很难用仪器直接测量出被加热钢坯的芯部温度。目前的做法是热处理完毕之后，在室温状态下通过解剖方法测定组织状态和残留应力分布情况下来进行估算。这种算法不仅耗费大量人力、物力、和时间，而且所得的仅是某一零件、某一具体工艺条件下的最后情况，很难获得直接推广应用的规律性成果。故目前感应加热热处理工艺大多数还是建立在定性分析基础上，凭经验制定的，生产力迅速发展要求的高质量、低成本相去甚远。
1.2 感应加热的优点
1）加热速度快：用电磁感应加热时，温度上升的速度远比用石油或煤气加热的速度快得多；2）铁屑损耗少：快速加热能有效地降低材料损耗。而用煤气为燃料的装置，加热速度慢，损耗很大；
3)启动快：在有些加热装置中，有很多耐火材料，加热启动时它们吸收热量，即装置的热惯性大。感应加热不存在这类问题，因而启动快；
4)节能：不工作时感应加热电源可以关闭，因为感应加热启动快的特点，而对其他装置来说，由于启动慢，不工作时，也必须维持一定的加热温度；
5）生产效率高：由于加热时间短，感应加热可以提高生产效率，降低成本。除此之外，感应加热还有便于控制、易于实现自动化、减少设备占地面积、工作环境安静、安全、洁净、维护简单等优点。
第二章感应加热基本原理
2.1 感应加热原理及主要特点
2.1.1 电磁感应与涡流发热
感应加热实质是利用电磁感应在导体内产生的涡流发热来加热工件的电加热，它是依靠感应器通过电磁感应把电能传递给被加热的金属，电能在金属内部
转变为热能，达到加热金属的目的。以加热圆柱形工件为例，其原理如图2.1，电流通过线圈产生交变的磁场，当磁场内磁力通过待加热金属工件时，交变的磁力线穿透金属工件形成回路，故在其横截面内产生感应电流，此电流称为涡流，可使待加热工件局部迅速发热，进而达到工业加热的目的。
感应加热基本原理可以用电磁定理和焦耳一楞次定理来描述，电磁感应定理内容为：当穿过任何一闭合回路所限制的面的磁通量随时间发生变化时，在回路上就会产生感应电动势e:
d
e
dt
φ
=-
需要加热的金属工件自成回路，在横截面内产生感应电流，此电流称涡流，并用表示
f
I，其值取决于感应电动势E和涡流回路的阻抗Z：
22
f
L
E
I
Z R X
==
+
式中：
E——感应电动势等效值；
R——涡流回路内的电阻;
L
X——涡流回路内的感抗；
由于Z值很小，涡流If可以达到很高的数值，在此电流流动时，为克服导体本身的电阻而产生焦耳热，因而能在极短时间里加热工件到很高的温度。
感应电动势使工件导体中产生涡流i，进而产生焦耳热Q。这一过程可用焦耳一楞次定律表达为：
2
Q i Rt
=（2.3）
感应加热的加热过程是电磁感应过程和热传导过程的综合体现，电磁感应过程具有主导作用，它影响并在一定程度上决定着热传导过程。热传导过程中所需要的热能是由电磁感应过程中所产生的涡流功率提供的。应当指出，对磁铁材料来讲，除涡流产生热效应外，还有磁滞热效应，但这部分热量比涡流产生的热量小得多，故在以后的讨论中我们将忽略此部分的
热量。
2.1.2 集肤效应及透入深度
众所周知，直流电流经导体时，电流在导体截面上是均匀分布的，而当给一个圆形断面直
导线通以交流电时，这时电流在导体截面上的分布将不再是均匀的，导体表面上各点的电流
密度最大，而在导体中心轴线上电流密度最小，由外表面向内层以幂指数规律逐渐递减，这
种现象叫做集肤效应，也称表面效应或趋肤效应。在感应加热中，电源电流是交流电，工件
中的感应电流也是交流电流，因此同样具有集肤效应，在此效应作用下，工件中的电流密度
分布是不均匀的，以圆柱形工件为例，设表面的电流Io ，沿工件半径方向x 方向的电流密
度为：
x r D I I e δ-= （2.4）
当 x=δ，x D I I e =，即为表面层密度的36.8%，把电流密度为Io/e 的σ层称为电流透入
深度。可以计算出，在σ层中放出的能量为86.5%。在设计使用时，认为金属被加热的能量
先在 层产生，内层金属靠传热传导而被加热。实际上工件表面σ的地方，电流密度就差不
多降到零。电流透入深度σ可按下式计算：
σ式（2.5）中：
ρ——工件的电阻率（cm ?Ω）
，一般来说金属的温度越高，其电阻率越大，当温度从0o C 升高到0(850~900)C 时，钢的电阻率增加4~5倍，而且可大致认为，在0(850~900)C
温度范围内，各类钢的电阻率几乎相等，约为410cm -?Ω； μ——工件的相对磁导率，真空中和非铁磁性物质其取值1，磁铁性物质在居里点以下
时远大于1，居里点以上时接近1；
f ——电源频率（Hz ）
； 由式（2.5）可以看出，电流透入深度取决于电流频率f 、零件材料的电阻率ρ和磁导
率μ。在材料ρ和μ一定时，可以通过调节f 来调节δ，也就是说对于工件的加热厚度可
以方便的通过调节电源频率加以控制，频率越高，工件的加热厚度就越薄，这种性质在工业
金属热处理方面获得广泛的应用。
需要说明的是，对磁铁物质而言，式2.5表示材料在失磁前的涡流透入深度，称为“冷
态的涡流透入深度”，随材料温度的上升，会导致ρ增大和μ下降，从而使涡流分布平缓，
透入深度增大。当温度上升到磁性转变点时，由于其中μ急剧下降，可使涡流透入深度增
大几倍至几十倍。材料在失去磁性后的涡流透入深度称为“热态的涡流透入深度”，对于钢
铁材料在0
800C 热态时的涡流透入深度δ热可按式2.6求出：
δ热
2.1.3圆环效应
圆环形的导体通过高频（或中频）交变电流时所产生的磁场在环内空间集中，环外分散，见图2.2。.环内的磁通不仅穿过环外空间，同时也穿过环形导体自身，这样就使环形导体外侧交链的磁通多于内侧，于是环形导体外侧产生较大的感应电动势，迫使电流在环形导体内侧的电流透入深度层中流过，这种现象称为电流的圆环效应或环状效应。环状效应使感应器上的电流密度集到感应器内侧，对加热零件外表面十分有利，但对加热零件内孔时，此效应使感应器电流远离加热零件表面，是有害的。
如图2.2，在圆环导体中通以交流电时，所产生的磁通在环内空间集中，环外分散，最大电流密度分布在环状导体内侧，这种现象叫环状效应，也叫圆环效应。圆环效应的实质是环形感应器的临近效应。
图2.2 圆环效应
2.1.4 透入式加热和传导式加热
当感应线圈刚刚接通电源，工件温度开始明显升高前的瞬间，涡流在零件中的透入深度是符合冷态分布式（2.5）的。由于越趋近零件表面涡流强度越大，因此表面升温也越快。当表面出现已超过失磁温度的薄层时，加热层就被拆分成两层：外层的失磁层和与之毗邻的未失磁层。失磁层内的材料导磁率μ的急剧下降，造成了涡流强度的明显下降，从而使最大的涡流强度出现在失磁层和未失磁层的交界处。涡流强度分布的变化，使两层交界处的升温速度比表面的升温速度更大，因此使失磁层不断向纵深移动，零件就这样得到逐层而
连续的加热，直到热透深度δ
为止。这种加热方式称为透入式加热。
热
当失磁的高温层厚度超过热态的涡流透入深度δ
后，继续加热时，热量基本上是依靠
热
在厚度为δ
的表层中析出，而在此层内越靠近表面，涡流强度和所得的能量越大。同时，热
由于热传导的作用，加热层的厚度将随时间的延长而不断增大。当零件的加热层厚度远远大于材料在该电流频率下热态的涡流透入深度时，那么这种加热层就是主要依靠传导式方式获得的，其加热过程及沿截面的温度分布特性与用外热源加热（如在炉内加热或火焰加热）的基本相同，为热传导加热方式。
热总是从温度高的地方向温度低的方向转移，称之为热传递。从微观来看，就是区域分子受到外界能量冲击后，由能量高的区域分子传递至能量低的区域分子。热传递主要有三种方式：传导、对流和辐射。固体的热传递方式就是热传导。热传导是指完全接触的两个物体之间或一个物体的不同部分之间由于温度梯度而引起的内能的交换。从微观角度看，热传导是依靠物体中分子、原子或自由电子等微观粒子的热运动而进行的热能传输过程。其基本定律是傅里叶定律，级单位时间内通过单位截面积的导热能量与温度梯度成正比。
dT q k dx
=- q 表示热流密度，k 为导热系数，
“-”号表示热量流向温度降低的方向。 在感应加热过程中，由于生电流焦耳热作为内热源来加热工件表面，然后依据传热导作
用，使加热工件的温度由表层向内层逐层升高。
2.1.5 感应加热的能量参数
在一定时间内涡流透入层的温度，以及加热层向心部的发展速度，均取决于单位时间内
向零件单位表面积所提供的能量，即比功率0P 。决定感应加热速度和最终温度的最基本参
数是加热比功率和加热时间，他们的数值大小可以表征零件所获得的能量，故称为感应加热
的能量参数。比功率可用下式表示：
0L P P S =
式（2.8）中
L P —零件被加热表面所得的功率（kw ）;
S —零件同时被加热的表面积（2cm ）
； 比功率的理论值对于不同的加热规范有一定的范围，比如在同时加热的中频淬火中，常
采用的比功率是（0.8~1.5）2
kw cm 。实际选择比功率时要考虑集体因数的影响。实际运行
中0P 的大小可由下式确定：
002P K I =式（2.9）中
0K —决定于感应线圈和零件几何尺寸的系数；
2I —感应器中的电流
由式（2.9）可知，在频率f 一定时，加热过程中零件的ρ和μ的变化，将使比功率0
P
发生变化。在其他参数一定时，0P 子，它反映材料在一定温度下对电磁的吸收能力。另外，在一般的感应加热条件下，零件材
料的ρ和μ的变化，反过来又将引起感应器中电流2I 的表变化。这是因为负载的阻抗随着
ρ的变化而发生改变引起的。由式2.9可知，加热比功率0P 与22I 成正比，因而引起加热比
功率的显著变化。22I 对比功率的影响是通过改变电磁强度而实现的。此零件在加热过程中
比功率的变化来自于三方面：（1;(2)电磁场强度的改变（2I 的
改变）；（3）电流频率的影响，在2I 和ρμ相同条件下，0P 和f 成正比。由于比功率在
加热过程中是变化的，所以在许多情况下常常采用平均比功率（在整个加热周期内比功率的
平均值）表征其大小。
另一个重要能量参数——加热时间的作用是明显的，即在一定的平均比功率下，加热时
间越长，工作所获得的总能量就越多。由于涡流透入过程的进展和热传导的作用，加热时间
越长，加热深度也就越深。
改变加热比功率的大小和加热时间的长短，就可以调节加热速度、最终的加热温度及加
热的深度。
第三章 感应加热器磁通方向的选择
感应加热方式基本可分为纵向磁通感应加热与横向磁通感应加热。其感应加热器也分
为纵向磁通结构与横向磁通感应结构。
3.1 纵向磁通感应加热
由感应线圈中电流所产生的磁通方向与受热物件被加热表面平行的感应加热称之为纵
向磁通感应加热。传统的纵向磁通感应加热，线圈围绕工件，如图2-1所示。交变电流
产生沿工件轴向的交变磁通，交变磁通所引起的涡流平行于金属板横截面，利用涡流的
焦耳热，使板材温度升高。由于磁通平行于加热工件的轴向，因此，这种加热方式称为
纵向磁通感应加热。
图3.1a 是圆柱形感应器产生纵向磁通的结构图，图3.1b 是矩形感应器产生纵向磁通的
结构图。
图3.1纵向磁通感应加热器示意图
但随着金属冶金工业的发展，对金属板材进行加热的需求越来越广泛，纵向磁通感应加热自
身的局限性也日益明显。
由涡流分布公式及透入深度公式可知，如果要得到较高的加热效率必须使带材料厚度d 与
集肤深度δ之比大于3，否则，会因涡流的相互抵消而导致加热效率降低。
因此，对于一定厚度的带材，要取得较好的加热效率，就要增大频率以减小集肤深度。被加热的带材愈薄，则要求集肤深度愈小，而要减小集肤深度则要增大频
率。事实上，对于带材，若采用纵向磁通感应加热，其频率要超过10kHz。在d
很小的情况下，即便增大加热的频率与电流，也难以达到所需的温度。例如，采用纵向磁通感应加热对于磁铁性板材能够加热的最小厚度0.8mm。铝板为4mm，而非磁铁性钢板只能达到12mm，因此纵向磁通感应加热主要应用于中厚板和圆柱形金属材料。
3.2横向磁通感应加热
横向磁通感应加热，其重要应用领域之一是对金属板坯、中厚板或带材加热，如图3-1所示：（a）铜板焊接，（b）钢排焊接，（c）金属带材加热。横向磁通感应加热研究较少，但工业需求又与日俱增。
由感应线圈中电流所产生的磁通方向与受热物件被加热表面垂直的感应加热称之为横向磁通感应加热。如图3-3.
这种加热装置包含对称防置在金属带材两侧的两组线圈，两组线圈中的交变电流产生垂直于工件表面的交变磁通（横向磁通），感应出的涡流平行于板材表面，在板材截面上涡流并不存在相互抵消的问题，因此对频率的要求大大降低了。频率的降低使得无功率相应降低，节约了能源，同时由于线圈并不围绕工件，使得磁通感应加热装置放置灵活，因此尤其适合连续的热处理过程与工件的局部加热。
第四章感应加热器设计技术
4.1感应加热电源
系统原理图见图4.1
图2.4系统原理结构
（1）感应加热电源技术发展现状
感应电源按频率范围可分为以下等级：500Hz以下为低频，1-10KHz为中频；20KHz以上为超音频和高频。感应加热电源发展与电力电子器件的发展密切相关。1970年浙大研制成功国内第一台100KW/1KHz晶闸管中频电源以来，国产KGPS 系列中频电源已覆盖了中频机组的全部型号。在超音频电源方面，日本在1986年就利用SITH研制出100KW/60KHz的超音频电源，此后日本和西班牙又在1991年相继研制出500KW/50KHz和200KW/50KHz的IGBT超音频电源。国内在超音频领域与国外还有一定差距，但发展很快，1995年浙大研制出50KW/50KHz的IGBT 超音频电源，北京有色金属研究总院和本溪高频电源设备厂在1996年联合研制出100KW/20KHz的IGBT电源。在高频这一频段可供选择的全控型器件只有静电感应晶闸管（SITH）和功率场效应晶闸管（MOSFET），前者是日本研制的3KW～200KW，20KHz～300KHz系列高频电源,后者由欧美采用MOSFET研制成功输出频率为200～300KHz,输出功率为100～400KW的高频电源。与国外相比，国内导体高频电源存在较大差距，铁岭高频设备厂1993年研制成功80KW/150KHz的SIT 高频电源，但由于SIT很少进入国际化流通渠道，整机价格偏高，并没有投入商业运行。现在，电力电子应用国家工程中心设计研制出了5～50KW/100～400KHz 高频MOSFET逆变电源。上海宝钢1420冷轧生产线于1998年引进了日本富士公司的71～80KHz,3200KW高频感应加热电源，是目前世界上最为先进的逆变电源。
总体说来，国内在感应加热电源的设计开发和产品化方面虽有发展，但远不能适应我国工业发展的要求，对于应用范围越来越广泛的高频感应加热电源领域的研究尤为薄弱，处于刚刚起步阶段。
（1）感应加热电源技术发展与趋势
感应加热电源的水平与半导体功率器件的发展密切相关，因此当前功率器件在性能上的不断完善，使得感应加热电源的发展趋势呈现出以下几方面的特点。
①高频率
目前，感应加热电源在中频频段主要采用晶闸管，超音频频段主要采用IGBT，而高频频段，由于SIT存在高导通损耗等缺陷，主要发展MOSFET电源。感应加热电源谐振逆变器中采用的功率器件利于实现软开关，但是，感应加热电源通常功率较大，对功率器件，无源器件，电缆，布线，接地，屏蔽等均有许多特殊要求，尤其是高频电源。因此，实现感应加热电源高频化仍有许多应用基础技术需要进一步探讨。
②大容量化
从电路的角度来考虑感应加热电源的大容量化，可将大容量化技术分为二大类：一类是器件的串、并联，另一类是多台电源的串、并联器件的均流问题，由于器件制造工艺和参数的离散性，限制了器件的串、并联数目，且串、并联数越
多，装置的可靠性越差。多台电源的串、并联技术是在器件串、并联技术基础上进一步大容量化的有效手段，借助于可靠的电源串、并联技术，在单机容量适当的情况下，可简单地通过串、并联运行方式得到大容量装置，每台单机只是装置的一个单元或一个模块。感应加热电源逆变器主要有并联逆变器和串联逆变器，串联逆变器输出可等效为一低阻抗的电压源，当二电压源并联时，相互间的幅值、相位和频率不同或波动时将导致很大的环流以致逆变器器件的电流产生严重不均，因此串联逆变器存在并机扩容困难；而对并联逆变器，逆变器输入端的直流大电抗器可充当各并联器之间的电流缓冲环节，使得输入端的AC/DC或DC/AC 环节有足够的时间来纠正直流电源的偏差，达到多机并联扩容。
③负载匹配
感应加热电源多用于工业现场，其运行工况比较复杂，它与钢铁、冶金和金属热处理行业具有十分密切的联系，他的负载对象各式各样，而电源逆变器与负载是一有机的整体，负载直接影响到电源的运行效率和可靠性。对焊接、表面热处理等负载，一般采用匹配变压器连接电源和负载感应器，对高频、超音频电源用的匹配变压器要求漏抗很小，如何实现匹配变压器的高输入效率，从磁性材料选择到绕组结构的设计已成为一重要课题，另外，从电路拓扑上负载结构以三个无源元件代替原来的二哥无源元件以取消匹配变压器，实现高效、低成本隔离匹配。
④智能化控制
随着感应热处理生产线自动化控制程度及对电源可靠性要求的提高，感应加热电源正向智能化控制方向发展。具有计算机智能接口、远程控制、故障自动诊断等控制性能的感应加热电源正成为下一代发展目标。
3.2 感应加热电源电路的主回路结构
感应加热电源主电路图，如图3.2所示
如图3.2所示，它由整流器、滤波器和逆变器组成。整流器采用不可控三相
全桥式整流电路。 1d C 、d L 和d C (C1、C2)构成Ⅱ型滤波器。两个电解电容C1，
C2串联以减小单个电容的承受的电压，R2 , R3起均压作用。R1为限流电阻，
当系统开始上电时，由于电容两端电压为零，故刚开始对电容充电时，电流将很
大，加上限流电阻R1后则就电流不会很大了。当电容两端电压达到一定数值时，
交流接触器K1闭合，将限流电阻短接。系统即可正常工作。
逆变器采用单相变逆变桥，经变压器和串联谐振电路相接。利用轮流驱动单
相对角的两组IGBT 工作，把恒定的直流电压变成10 Hz ～10 kHz 方波电压输出
给负载。
3.2.1主回路的等效模型
（1）从图3.2可知，开始工作时，首先给电容C 充电。电路等效为一个一
阶RC 零状态响应电路，把整流器理想化为一个直流电压源。如右下图所示，开
关S 闭合前电路处于零初始状态，即
0)0(=-C u 。在0=t 时刻，开关S 闭合，电
路接入直流电压源S U 。根据基尔霍夫电压
定律（KVL ），有
S C R U u u =+
把dt
du C i iR u C R ==,代入，得电路微分方程 S C C U u dt du RC
=+ 求解微分方程得出： 图3.2a 主回路等效电路1
)1(ττt S t S S C e U e U U u ---=-=
τt S C e R U dt
du C i -== （2）C u 以指数形式趋近于它的最终恒定值S U ，达到该值后，电压和电流
不再变化，电容相当于开路，电流为零。
当电解电容C 充满电后，相当一个直流电压源。1T 和4T 导通时，整流后的直
流电开始给负载供电，电流的流向1T —R —L —4T —1T ，则主回路等效于一个一
阶RL 零状态响应电路。电路图如右下图。
开关S 接通后，i （+0）=i （-0）=0,电路的微分方程为
s u iR dt
di L =+ 初始条件为i （+0）＝0时，电流i 的通解
为 ： i ＝'i ＋τt
Ae -
式中 τ＝R
L 为时间常数。
特解'i ＝R u s ，积分常数 A ＝－'i （+0）＝－R
u s 所以 i ＝R
u s （1－τt e -） （3） 1T 继续导通，电压源提供的电流为0，此时，电感储存的能量通过1
T 和续流二极管D o2形成回路，等效为一个一阶RL 零输入响应电路。如右下图所
示。电路在开关S 动作之前电压和电流已恒定不变，电感中有电流
)0(0
00-==i R U I 。具有初始电流0I 的电感L 和电阻R 连接，构成一个闭合回路。在t >0时，根据KVL ，有
0=+L R u u
而,Ri u R =dt di L
u L =，电路的微分方程为 0=+Ri dt di L
图3.2b 主回路等效电路2
其特征根为 L R p -= 故电流为 t L R Ae i -=
电阻和电感上电压分别为： t L R R e RI Ri u -==0
t L R L e RI dt
di L u --==0 （4）当1T 和4T 关断，2T 和3T 到通时，电感的自感电流比整流电流大，通过二极管2D 、3D 续流，等效为一个RLC 二阶零输入响应电路。如下图所示，为RLC 串联电路，假设电容原已充电，其电压为0U ，电感中的
初始电流为0I 。则t =0时，开关S 闭合，
此电路的放电过程即是二阶电路的零输
入响应。在指定的电压、电流参考方向
下，根据KVL 可得
0=++-L R C u u u
dt du C i C -=，电压dt du RC Ri u C R -==，22dt u d LC dt di L u C L -==。把它们代入上式，得 02
2=++C C C u dt du RC dt u d LC 上式以c u （令c u =pt Ae 以方便求解）为未知量的RLC 串联电路放电过程的微分方程。求解后，特征方程为
012=++RCp LCp
解出特征根为
LC
L R L R p 1)2(22-±-= 根号前有正负两个符号，所以p 有两个值。为了兼顾这两个值，电压c u 可以写成 c u =t p t p e A e A 2121+
图3.2d 主回路等效电路4