初中数学竞赛辅导讲义及习题解答

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答（30套）

第一讲 走进追问求根公式

形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a

ac

b b x 2422

,1-±-=

内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美.

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】

【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个.

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.

【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）

A 、一4

B 、8

C 、6

D 、0

思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=.

【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a .

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】

设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和.

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a

d d c c b b a =+=+=+=+

1

111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值.

注：一元二次方程常见的变形形式有：

(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；

(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；

(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x .

解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝

对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222

x x x ==.

走进追问求根公式学历训练

1、已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根

为 .

2、已知0232

=--x x ，那么代数式1

1

)1(23-+--x x x 的值是 .

3、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .

4、若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )

A 、b a =

B 、0=+b a

C 、1=+b a

D 、1-=+b a

5、当分式4

31

2++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )

A 、1-

B 、4>x

C 、41<<-x

D 、1-≠x 且4≠x 6、方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、解下列关于x 的方程：

(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+.

8、已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值.

9、是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口.

10、若0152=+-x x ，则15

39222+++-x x x ＝ .

11、已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 . 12、已知a 是方程020002=--x x 的一个正根. 则代数式a

20001200012000

3+

+

+

的值为 .

13、对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、2．5 14、自然数n 满足1616247

2)22()22(2

-+--=--n n

n n n n ，这样的n 的个数是( )

A 、2

B 、1

C 、3

D 、4 15、已知a 、b 都是负实数，且

0111=--

+b a b a ，那么a

b

的值是( ) A 、

215+ B 、251- C 、2

5

1+- D 、251-- 16、已知3819-=x ，求

15

823

18262

234+-++--x x x x x x 的值.

17、已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值.

18、在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为3281

1

，求n 的值.

19、已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值.

20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证：AB

BS

需为无理数.

参考答案

第二讲 判别式——二次方程根的检测器

为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等. 我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：

利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；

运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题. 【例题求解】

【例1】 已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 . (广西中考题)

思路点拨：利用判别式建立关于k 的不等式组，注意k 21-、1+k 的隐含制约. 注：运用判别式解题，需要注意的是：

(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；

(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识.

【例2】 已知三个关于y 的方程：02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( ) （山东省竞赛题）

A 、2≤a

B 、41≤

a 或21≤≤x C 、1≥a D 、14

1

≤≤a 思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a 的不等式组，综合判断

选择.

【例3】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，

(1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. (湖北省荆门市中考题)

思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分c b =或b 、c 中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b 、c 的值. 注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.

（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.

【例4】 设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根. (重庆市竞赛题)

思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.

【例5】已知：如图，矩形ABCD 中，AD ＝a ，DC ＝b ，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝x ，问：这样的点E 是否存在?若存在， 这样的点E 有几个?请说明理由. (云南省中考题)

思路点拨：要使Rt △ADE 、Rt △BEC 、Rt △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC ＝90°，为此，可设在AE 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽Rt △BEC ，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E 的存在与否及存在的个数.

注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：

(1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造.

判别式——二次方程根的检测器学力训练

1、已知014=+++b a ，若方程02=++b ax kx 有两个相等的实数根，则k = .

2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .

(辽宁省中考题)

3、已知关于x 方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数解，化简4

422+-+

--k k k = .

4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A 、43<

m B 、43≤m C 、43>m 且2≠m D 、4

3

5、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为( )

A 、有两个相等的实数根

B 、没有实数根

C 、有两个不相等的实数根

D 、无法确定 (河南省中考题)

6、如果关于x 的方程0)1(2)2(2=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程0)4()2(2=-++-m x m mx 的根的情况是( )

A 、没有实数根

B 、有两个不相等的实数根

C 、有两个相等的实数根

D 、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)

7、在等腰三角形ABC 中，∠ A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，b 和c 是 关于x 的方程02

122=-++m mx x 的两个实数根，求△ABC 的周长. (济南市中考题)

8、已知关于x 的方程063)2(22=-+-+m x m x

(1)求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；

(2)如果方程的两实根分别为1x 、2x ，满足1x =32x ，求实数m 的值. (盐城市中考题)

9、a 、b 为实数，关于x 的方程22=++b ax x 有三个不等的实数根.

(1)求证：0842=--b a ；

(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°； (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值. (江苏省苏州市中考题)

10、关于的两个方程03242=+++m mx x ，0)12(22=+++m x m x 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是 . (2002年四川省竞赛题)

11、当a = ，b = 时，方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实数根. (全国初中数学联赛试题)

12、若方程a x x =-52有且只有相异二实根，则a 的取值范围是 .

13、如果关于x 的方程05)2(22=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程

0)2(2)5(2=++--m x m x m 的实根的个数( ) A 、2 B 、1 C 、0 D 、不能确定

14、已知一元二次方程02=++c bx x ，且b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A 、12个 B 、10个 C 、7个 D 、5个 (河南省中考题)

15、已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程0)(22222=+---b x b a c ax ，则方程根的情况是( ) A 、有两相等实根 B 、有两相异实根 C 、无实根 D 、不能确定 (河北省竞赛题) 16、若a 、b 、c 、d>0，证明：在方程

02212=+++cd x b a x ①；022

1

2=+++ad x c b x ②；02212=+++ab x d c x ③；022

1

2=+++bc x a d x ④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根. (湖北省黄冈市竞赛题)

17、已知三个实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，abc ＝1，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于2

3.

18、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值. (山东省竞赛题)

19、考虑方程b a x x =+-22)10(①

(1)若a =24，求一个实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式.

(2)若a ≥25，是否存在实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式?说明你的结论. (国家理科实验班招生试题)

20、如图，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于边长为b 的正方形EFGH ，试求

a

b

的取值范围.

参考答案

第三讲 充满活力的韦达定理

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；

利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法. 【例题求解】

【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 . 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b

a

a b +的值为( ) A 、

22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22

123

或2

思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件.

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表

示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式.

【例3】 已知关于x 的方程：04

)2(2

2

=---m x m x

(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.

(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x .

思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手.

【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值.

思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的.

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别

式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性. 【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04

7)2

1(222=+

-+-m mx x 的两个根.

(1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由.

(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB

思路点拨：对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式.

注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．

充满活力的韦达定理学历训练

1、(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式14

212

1<-+x x x x ，

则实数m 取值范围是 .

(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .

2、已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 .

3、CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 .

4、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，3

5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．

23 B ．2

5

C ．5

D ．2 6、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)

1)(1(21++x x p

的值是( )

A ．1

B ．-l

C ．21-

D ．2

1

7、若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断

4)(2≤+b a 是否正确?

8、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x . (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；

(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值.

9、已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 .

10、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 .

11、△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 .

12、两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b

a

a b +的值是( )

A ．9413

B ．

1949413 C ．999413 D ．97

9413

13、设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为(

)

A ．0232=---m x x

B ．0232=--+m x x

C ．02412=---x m x

D ．02412=+--x m x

14、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )

A ．0≤m ≤1

B ．m ≥

43 C ．143≤

3

≤m ≤1

15、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根.

(1)求rn 的值；

（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的3

1

，请说

明理由．

16、设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .

(1) 若62

2

21=+x x ，求m 的值. （2）求2

2

212111x mx x mx -+-的最大值.

17、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24

122

=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值.

18、设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值.

参考答案

第四讲 明快简捷—构造方程的妙用

有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是： 1．利用根的定义构造

当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根． 2．利用韦达定理逆定理构造

若问题中有形如a y x =+，b xy =的关系式时，则x 、y 可看作方程02=+-b az z 的两实根． 3．确定主元构造

对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程． 成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．

注： 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法． 【例题求解】

【例1】 已知x 、y 是正整数，并且23=++y x xy ，12022=+xy y x ，则=+22y x ．

思路点拨 xy y x y x 2)(222-+=+，变形题设条件，可视y x +、xy 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．

【例2】 若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则b

a

的值是( ) A ．

59 B ．95

C ．52001-

D ．9

2001-

思路点拨 第二个方程可变形为092001

52=++b b ，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．

【例3】 已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，求t 的取值范围．

思路点拨 由两个等式可求出b a +、ab 的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．

【例4】 已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ． (1)求a 、b 、c 中最大者的最小值； (2)求3=++c b a 的最小值．

思路点拨 不妨设a ≥b ，a ≥c ，由条件得a c b -=+2，a

bc 4

=

．构造以b 、c 为实根的一元二次方程，通过△≥0探求a 的取值范围，并以此为基础去解(2)．

注： 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式， 缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．

【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)

思路点拨 设前后两个二位数分别为x ，y ，则有y x y x +=+100)(2，将此方程整理成关于x (或y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y (或x )的取值范围．

学历训练

1．若方程01)32(22=+--x m x m 的两个实数根的倒数和是s ，则s 的取值范围是 ．

2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，CD ⊥AB ，已知BC 、AC 是一元二次方程0)1(4)12(2=-+--m x m x 的两个根，则m 的值是 ．

3．已知a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，则

a

b

b a += ． 4．已知012=-+αα，012=-+ββ，，则βααβ++的值为( )

A ．2

B ．-2

C ．-1

D ． 0

5．已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB ＝4，S △COD ＝9，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为( )

A ．21

B ． 25

C ．26

D ． 36

6．如图，菱形A6CD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程的根，则m 的值为( )

A ．一3

B ．5

C ．5或一3 n 一5或3

7．已知0522=--p p ，01252=-+q q ，其中p 、q 为实数，求2

21q p +的值．

8．已知x 和y 是正整数，并且满足条件71=++y x xy ，88022=+xy y x ，求22y x +的值．

9．已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中m 、n 为实数，则n

m 1

-＝ ．

10．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b 与542--=a a bc ，那么a 的取值范围是 ．

11．已知017101422522==--++y x xy y x ，则x = ，y = ．；

12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两

点，BD=BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是 ．

13．已知a 、b 、c 均为实数，且0=++c b a ，2=abc ，求c b a ++的最小值．

14．设实数a 、b 、c 满足??

???=+-++=+--0660

782

22a bc c b a bc a ，求a 的取值范围． 15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，813=

?ABC

ABCD S S 梯形，梯形的高AE=235，且40

13

11=+BC AD ． (1)求∠B 的度数；

(2)设点M 为梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 相交于点F ，当32

3

125=?ADM S ，求作以CF 、DF 的长为根的一元二次方程．

16．如图，已知△ABC 和平行于BC 的直线DE ，且△BDE 的面积等于定值2k ，那么当2k 与△BDE 之间满足什么关系时，存在直线DE ，有几条?

参考答案

第五讲一元二次方程的整数整数解

在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：

从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；

从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；

从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】

【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．

思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．

注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．

【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么b

a

a b +的值是( ) A ．

22127 B ．22125 C ．22123 D ．22

121

思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．

【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．

思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】

当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；

如果没有，请说明理由．

思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．

设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．

注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方