章复习第21章二次根式
一、二次根式
1、二次根式的概念
一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数.
注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________.
2、二次根式的意义与性质
⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________．
a≥是一个______数；②____________；③____________．
(0)
注：①2(0)
=≥可逆用平方根定义得出；②注意0
a a
a<时，a-．
二、二次根式的乘除
1、二次根式的乘法规定：__________________
即：____________________________________．
注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________.
2、二次根式的除法规定：__________________
即：______________________________.
注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化.
分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0)
=≥；②商的算术平方根的性质的限制条
a a
件“(00)
，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零，
a b
≥>
所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立.
3、最简二次根式
满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式.
注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1．
三、二次根式的化简
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．
四、二次根式的加减
1、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
注：①几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关；②判断几个二次根式是否是同类二次根式，应先化成最简二次根式，再进行判断．
2、二次根式的加减
二次根式的加减，就是合并同类二次根式，二次根式加减运算的一般步骤：
①将每一个二次根式化为最简二次根式；
②找出其中的同类二次根式，合并同类二次根式．
注：合并同类二次根式的方法是，把根号外面的因式相加，根指数和被开方数不变，其理论依据是逆用乘法对加法的分配律． 如：.34
73)412(34132=-=- 五、重难专攻 综合方法
专攻1 二次根式的化简
在二次根式的运算中，二次根式的化简是必不可少的步骤．化二次根式为最简二次根式的方法：
(1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用00)a b =≥>，把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．
(2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来．
专攻2 二次根式的运算技巧
(1)巧移因式，避繁就简
【例1】计算：?-+
)3418)(4823( 解：原式=)3418)(4823(22?-+?)4818)(4818(-+=304818-=-=
(2)巧换元，干净利索
【例2】计算：
n n n n n n n n n (4
24242422222-++--++--+-+
+>2)． 【解】设42,4222--+=-+
+=n n y n n x ，则
原式=
(3)巧用因式分解，手到擒来
【例3】化简：6
22633++++
【解】原式=?==+++
+2
623)312(2)213(3
另外，还有配方、整体代入、拆项等方法，进行二次根式运算时，要灵活应用这些方法，以达到事半功倍的目的．
六、中考能力提升
重要例题分类解析
题例1 二次根式
【例1】
【解】3．
【点拨】考查二次根式运算，同时考查平方与开方的互逆关系．
【例2】 （上海中考）计算：
【例3】 （广东中考）化简：
【分析
【分析
【解
题蜘2二次根式的乘除
.171-
.3)
3(2=J .1777777
77-=-=- =-
7
77 =2)3(
题刨
±∝=R 、3
的加
R
【例4】 （重庆中考）计算^／8
=∞-/2
A ．6
B ．厢
C ．2
D ．厄
【解】D ．
简再计算，
【分析】
.33312,3212-=-∴=
【解】一万．
【点拨
中考最新动
析
置击1化简探讨题
【例1】 （镇江中考）若
为( )．
A ．o 万
B ．口 ~-b-
b a C -.
b a D --.
P 、
1．（襄樊中考）与怕是
A.~/8
B.√27
C. 2√S
21
2.-A
2.±B
2.C
4.D
rH r
*.(3Λ 中考．2009）下面计算正确的是( )．
3333.=+A
3327.=÷B
532.=?
C 24.±=D
的取值范围是( )．
3.-≥x A 3.->x B 3.-≤x C 3.- hs Φ=? 下列计算正确的是( )． A ．√822=- 14931227.=-=- B 1)52)(52(=+-?C 23226.=- D 、- 填空 6．（上海中考）函数 ≡?-=R hR x y 、2 7．（芜湖中考）式子 ≡-=≡+hhL N TKRL r a 12 8．（曲靖中考） 9．（湘西 10．（温州 【分析 ab b a b a ab ∴><∴><,0,0,0,012 .b a -= 【解】C ． 【点拨】 渎探究题 【例 观察下列各式： =+=+=+51 3,41 341 2,31 231 1 .,51 4 请你将发现 自然数n(n≥1)的等式 【分析】比较等式的左边及右边， ?++=++2 1)1(21n n n n 【解】 ?++=++2 1)1(21n n n n 【点拨】 11.（内江中考）化简： .45sin 2321 +- 12.（江西中考）已知：以0凡是整数， 数n 为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 且、-F 放j 宋ji 毯 z .(/13 阳 +-=++-=++-=+3431,32321,212 11 ,20022001200220011 ,,4.+-=+ .20032002200320021 +-=+ +++++++++2002200114313212 11 ( ?+?+)20031()200320021 题 14．（内江中考）实数 上的位置如图 kk ,110- =-+-22)2()1(P P 110-r u k ML L *、)(15*≡≡-Φ-?? 先化 n JN x J x x x ∏≡? -=Φ±---~22/,.,,2007,91:)96 学做题时把“ ,,2007-=x 错抄成了“≡= HTk x 1,,,2007的计算结果也是正确的， 第16章 二次根式复习课 【教学目标】 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【教学重点】含二次根式的式子的混合运算． 【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 【教学方法】典例解析法 【教学过程】 【知识回顾】 ( 填空形式，学生口答) 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。（当a ≥0时，a ≥0；当a ≥0时，a 在实数范围内有意义。） 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） ==a a 2 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 ⑵二次根式的乘除运算： b a ?=ab （a ≥0,b ≥0）； ()0,0>≥=b a b a b a 【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 【例题讲解】 例1 1.使2x -有意义的x 的取值范围是 ． 2.中，的取值范围是 ． 分析：第2题的分子是二次根式，分母是含x 的多项式，因此x 的取值必须使二次根式 有意义，同时使分母的值不等于零。 例2下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.21a + B.12 C.8 D.27 分析：B 选项根式被开方数中中含有分母，CD 选项中含有能开得尽方的因数（或式）。 例3下列各式中与 是同类二次根式的是（ ） A ．2 B ． C ． D ． 分析：判断是否是同类二次根式前，要对每个根式进行化简。 例4 计算：（1）2)3(= ； （2）()24-=_________。 分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。 例5化简：（1）72=__ __； 61218??=___ _；（2）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _； 分析：逆用二次根式乘除法公式结合二次根式的性质可直接得到结论。 例6 计算：（1）12+18－8－32 （2）＝________； （3） ； 分析：第1小题首先要将它们化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。第2题即可以先算括号里的运算，也可以用乘法的分配律展开来计算。第3题利用平方差公式运算简单。 第十六章二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子： 二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零． x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a＞0． 解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？ 二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2)(0a a a =≥）. 2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 知识点 类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13 ；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） 例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题 苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 0)a ≥. 要点诠释：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时， 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2）； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥）， 如22212;;3x ===（0x ≥）. （2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42的异同 a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 章复习第21章二次根式 一、二次根式 1、二次根式的概念 一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数. 注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________. 2、二次根式的意义与性质 ⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________． a≥是一个______数；②____________；③____________． (0) 注：①2(0) =≥可逆用平方根定义得出；②注意0 a a a<时，a-． 二、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法规定：__________________ 即：____________________________________． 注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________. 2、二次根式的除法规定：__________________ 即：______________________________. 注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0) =≥；②商的算术平方根的性质的限制条 a a 件“(00) ，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零， a b ≥> 所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立. 3、最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式. 注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1． 三、二次根式的化简 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来． 四、二次根式的加减 1、同类二次根式 《二次根式》全章测试卷 一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1.下列各式①y ; ②2+a ; ③52+x ; ④a 3;⑤962++y y ; ⑥3其中一定 是二次根式的有（ ） A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．()()225.25.2=- B. ()22a a = C. 1122-=+-x x x D.3392+?-= -x x x 3.式子2 1+-x x 的取值范围是（ ） A . x ≥1 且 X ≠-2 B.x>1且x ≠-2 C.x ≠-2 D. .x ≥1 4.化简6 151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 5.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.计算()()20092008227227-?+,正确的结果是（ ） A ．722- B. 227- C.1 D. 227+ 7.化简()2 232441--+-x x x 得（ ） A. 44x - B. 44x -+ C. 2- D. 2 8.已知0>b , 化简b a 3-的结果是( ) A ． ab a B. ab a - C. ab a -- D. ab a - 9.若5-a ·a -5=)5)(5(a a --,则a 的取值范围是( ) A.a=5 B.a ≥5 C.a ≤5 D.无论a 取何值,等式都无意义 10.设25,3223-=-=-=c ，b a ,则a 、、b、c 的大小关系是（ ） A.c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >> 二、耐心填一填（每小题3分，共24分） 11.同学们玩过“24点”游戏吗？现在给你一个无理数2，你再找3个有理数，使它经过 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 【典型例题】1、概念与性质 例1、下列各式 1 ）- ， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x 例3、在根式 1) ， 最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、已知： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y 例5、已知数a，b ，若=b－a，则( ) A. a>b B. a 《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3, ,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2 a =（0a ≥）， 如2 2211 22); );)33 x x ===（0x ≥）. （2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42 的异同 a 可以取任何实数，而2 中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥> 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变， 二次根式小结与复习基础盘点 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根式. 定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式； （3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质 （1）a _____0（a ___0）；（2） ()2 a ＝_____（a ___0）；（3） a a =2＝() () ?? ?0_____ 0_____ a a ； （4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____. 4.二次根式的乘、除法则： （1）（a ___0，b ___0）；（2）=_______（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2 () () ?? ?<-≥00a a a a 进行化 简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简. 5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变； （2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8； （3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用 利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 考点1 二次根式有意义的条件 人教版九年级上第二十一章二次根式 二次根式 教师：学生：时间：内容简介： 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等． 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：的式子叫二次根式，其中 形如 是一个非负数时， 叫被开方数，只有当 才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1），其中是二次根式的是（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A、 B、 C、 D、 2、在、、、、中是二次根式的个数有个 【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式有意义的x的取值范围是（） A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 2、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【例3】若2009，则 解题思路：式子（a≥0），，2009，则2014 举一反三： 1、若，则x－y的值为（） A．－1 B．1 C．2 D．3 2、若x、y都是实数，且，求的值 3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。 已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。 若的整数部分是a，小数部分是b，则。 若的整数部分为x，小数部分为y，求的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负 《二次根式复习课》教学设计 ---- 黄州中学 马利民 教学背景 《二次根式》是人教版《数学》初中九年级上册第一章的内容，属于“数与代数”领域。它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。本章的主要内容有二次根式的概念、性质、运算和应用。二次根式的性质的依据是算术平 方根的概念。二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运 算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类 似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这 些都说明了前后知识之间的内在联系。本章的学习将为今后进一步学习根式奠定基础，本章的内 容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用。 复习目标 1、知识与技能目标 （1）了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则。 （2）用二次根式的意义和性质进行求取值范围化简和运算。 （3）会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题。 2、过程与方法目标 （1）经历应用性质解决问题的过程，发展运算能力，体验数学的严谨性。 （2）经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力。 （3）经历本章的学习过程，渗透转化、分类讨论和类比等数学思想方法。 3、情感与态度目标 （1）通过常见的情境资料，吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，拉近师生之间情感距离，为完成本复习课打下良好的基础。 （2）通过老师的及时表扬，鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望， 让学生体验成功的喜悦，增加学生学习数学的兴趣的信心。 （3）通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又反过来应用于实际的辩证唯物主义思想。 重点难点 教学重点：运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系。 教学难点：运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题要求学生有严密的数学思维，是本节复 习课的难点． 教学过程 一、情境引入 【答一答】 如图是由边长为m 1的正方形地砖铺设的地面示意图， 小明要沿着如图所示的路线前进，请问从B A →所走的路程为 m ； 若a BE =,则从C B →所走的路程为 m （结果保留根号）。 设计意图：二次根式是由于实际计算的需要而产生的，计算“行径路程”需要二次根式的知识。该具体情境的引入，学生既觉得非常熟悉又倍感亲切，结合“勾股定理”全体学生不难回答。这样的低起点设置，首先能引发全体学生的学习兴趣和积极性、启发他们的探索欲望。 本章知识 1、二次根式的【概念】： 定义1：形如)0(≥a a 的代数式叫做二次根式. 强调：二次根式被开方数不小于0。 2、二次根式的【性质】： (1))0()(2≥=a a a ； (2)???<-≥==)0(,)0(,2 a a a a a a (3))0,0(≥≥?=?b a b a b a (4))0,0(>≥=b a b a b a 3、二次根式的【运算】： 二次根式乘法法则：)0,0(≥≥?=?b a b a b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a b a b a 二次根式加减运算：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并. 二次根式混合运算：原来学习的运算顺序，运算律（结合律、交换律、分配律），乘法公式（如22))((b a b a b a -=-+,2222)(b ab a b a +±=±）等仍然适用. 4、二次根式的【化简】： 二次根式计算或化简的结果（即最简二次根式）应符合两点要求： （1）分母中不含根号； （2）根号内不含分母、小数和能开得尽方的因数. 二、典型例题 【辩一辩】 例1：下列各式中哪些是二次根式？那些不是？为什么？① 2 1；144-3 5 二次根式 章节综合复习练习 时间：45分钟 分数：100分 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b≥3 D ．b≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2-的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 6．如果)6(6-=-?x x x x ，那么（ ） A ．x≥0 B ．x≥6 C ．0≤x≤6 D ．x 为一切实数 7．（2005·湖南长沙）小明的作业本上有以下四题： ①24416a a =；②a a a 25105=?； ③a a a a a =?=112；④ a a a =-23。 做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简6 151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ． 1130 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．43 -=a B ．34 =a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简)22(28+-得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2)52( 。 12．二次根式31 -x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++= 。 14．1112-=-?+x x x 成立的条件是 。 15．比较大小： 。 16．=?y xy 82 ，=?2712 。 17．计算3 393a a a a -+= 。 18．23231+-与的关系是 。 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 。 20．化简???? ??--+ 1083114515的结果是 。 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题24分，共48分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 22．化简： （1）)169()144(-?- （2）2253 1- （3）510242 1?- （4）n m 218 二次根式单元备课 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是数与代数中重要内容之一.前面学生较系统地学习了有理数及其运算；学习了平方根和算术平方根、立方根的概念、用根号表示数的平方根、立方根；知道了开方与乘方互为逆运算，会用平方运算和立方运算求某些非负数的平方根以及某些数的立方根. 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a（a≥0），2a=a（a≥0）． （3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·bab=ab（a≥0，b>0），ab=ab （a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算 和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）2＝a（a≥0）； 2a=a（a≥0）及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）2＝a（a≥0）及2a=a（a≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需9课时，具体分配如下： 16．1二次根式2课时 16．2二次根式的乘法3课时 16．3二次根式的加减2课时 第十六章二次根式知识点归纳 一、形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”； 第二，被开方数是正数或0． 二、取值范围 1、 二次根式有意义的条件：a ≧0。 2、 二次根式无意义的条件： a ﹤0。 3、二次根式值为0的条件：a=0 . 4、式子a b 有意义的条件：a ﹥0. 5、式子a b 有意义的条件:b ≥0,且a ≠0 6、式子a b 有意义的条件:b ≥0,且a ＞0 三、二次根式（）的双重非负性： 1、被开方数非负。 2、a 的值非负。 四、二次根式的化简。 1、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数或0. 2a = ∣a ∣ ①若a 是正数，则∣a ∣等于a 本身； ②若a 是负数，则∣a ∣等于a 的相反数-a, ③若a 是0，则∣a ∣等于0. 2、 ()2 a =a (a ≥0). 3、被开方数是乘积用ab=a·b（a≥0，b≥0）化， 4、被开方数是商的形式用a b= b a （a≥0，b>0）或 b a = b 1 ab 5、最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中的因数或因式不能再开方。 （五）二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 （六）二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 （七）分母有理化 分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。构成()2a化去分母中的根号。 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 II.分母是多项式要利用平方差公式 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 课 题 二次根式全章综合复习 学习目标 1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目 2、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2 =a （a ≥0）并利用它们进行计算和化简 3、二次根式的运算与化简求值 学习重点 二次根式的性质及其运算 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才9有意义． 【典型例题】 例1、下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． 练习： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、2 1a + 2、在a 、2 a b 、 1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个 例2、若式子 1 3 x -有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 练习： 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 （公式? ??<-≥==)0a (a ) 0a (a a a 2的应用） 例7、已知2x <,则化简244x x -+的结果是 A 、2x - B 、2x + C 、2x -- D 、2x - 练习： 1、已知a<0，那么│2a －2a │可化简为（ ） A ．－a B ．a C ．－3a D ．3a 2、若a －3＜0，则化简 a a a -++-4962的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a 3、当a ＜l 且a ≠0时，化简 a a a a -+-221 2＝ ． 4、已知0a <，化简求值： 22 114()4()a a a a -+-+- 例8、如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b + 的结果等 于（ ） A ．－2b B ．2b C ．－2a D ．2a 练习： 1、实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：2 1(2)______a a -+-=．2、 已知实数a ，b 在数轴上的位置如图，化简： 22222)1()1()(---+-++a b b a b a 例9、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简2 2 2 2 )()()()(b a c c b a c b a c b a --+--+-++++ 1 -0 1 2 a o b a 二次根式 21.1 二次根式： 1. 2. 当__________ 3. 11 m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤ 5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. = 成立的条件是 。 12. 若1a b -+与互为相反数，则()2005 _____________ a b -=。 13. )))020x y x x y =-+ 中，二次 根式有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()2 22a + D. ()2 24a + 17. 若1a ≤，则 ） A. ()1a -(1a - C. ()1a -(1a - 18. = 成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. 的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） ( ) ( ) ()() 123224== ?????-= = ∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. () 4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。 21.2 二次根式的乘除 1. 当0a ≤，0 b __________= 。 2. _____,______m n == 。 3. __________== 。 4. 计算：_____________÷= 。 5. 面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） 4 8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+a b =+ 22 a b =+ a b = + 9. -- ） A. - - -- C. -=- 不能确定 10. ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3,,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子 a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 a 2()a =（0a ≥），如22211 2(2);();()33 x x ===（0x ≥）. （2） 2a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义. （3）化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）2a 与2()a 的异同 不同点：2a 中a 可以取任何实数，而2()a 中的a 必须取非负数； 2a =a ，2()a =a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，2a =2()a . 3. 最简二次根式 1）被开方数是整数或整式； 2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如22 2,,3,ab x a b +等 都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 (0,0)a b ab a b ?=≥≥ 积的算术平方根化简公式： (0,0)ab a b a b =?≥≥ 二次根式的除法 (0,0)a a a b b b =≥> 商的算术平方根化简公式： (0,0)a a a b b b =≥> 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ?=. （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 (4)(9)49-?-≠-?-. 2.加减法 a = ( a )2 （ a ≥ 0 ），如 2 = ( 2) 2 ; = ( )2 ; x = ( x )2 （ x ≥ 0 ）. 《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如 a (a ≥ 0) 的式子叫做二次根式，如 3, 1 2 , 0.02, 0 等式子，都叫做二 次根式. 要点诠释：二次根式 a 有意义的条件是 a ≥ 0 ，即只有被开方数 a ≥ 0 时，式子 a 才是二次根式， a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3） . 要点诠释：（ 1 ） 一个非负数 a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 1 1 3 3 （2） a 2 中 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， a 2 一定有意义. 二次根式的除法a b b a （3）化简a2时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）a2与(a)2的异同 不同点：a2中a可以取任何实数，而(a)2中的a必须取非负数； a2=a，(a)2=a（a≥0）. 相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，a2=(a)2. 3.最简二次根式 1）被开方数是整数或整式； 2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2,ab,3x,a2+b2等 都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数 中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类 二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方 数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次 根式. 知识点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型法则逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法a?b=ab(a≥0,b≥0)ab=a?b(a≥0,b≥0) 商的算术平方根化简公式： a =(a≥0,b>0)a =(a≥0,b>0) b b 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的 法则，如a b?c d=ac bd. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(-4)?(-9)≠-4?-9. 2.加减法二次根式章节复习教案
第十六章二次根式复习教案
04.二次根式全章复习与巩固讲义
苏教版八年级下册数学[《二次根式》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
章复习 第21章 二次根式
最新浙教版八年级数学下册二次根式全章测试卷
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
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第十六章 二次根式知识点与常见题型总结
二次根式全章复习讲义
二次根式复习课教学设计
二次根式 章节综合复习练习(含答案)
新人教版第16章二次根式全章教案
第十六章二次根式知识点归纳
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二次根式(全章)
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