第一章解三角形知识点归纳及

第一章 解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；A+B<180°.

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：sin()sin ,

A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C

===A B ． 5、正弦定理的变形公式：

①边化角公式：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②角化边公式：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R

=；

③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C

++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)

7、三角形面积公式：

111sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---

8、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

9、余弦定理的推论：222

cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac

+-B =，222

cos 2a b c C ab +-=． 10、余弦定理主要解决的问题：

①已知两边和夹角，求其余的量。 ②已知三边求角。

11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．

12、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点