第三章 微分中值定理习题课
一、判断题（每题3分）
1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ）
2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ）
3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × )
4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × )
5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .
（ √ ）
6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × )
7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ）
8.因为函数y =在0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =的拐点.（ × ）
二、选择题（每题3分）
1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x
e B ．ln x
C ．x
D ．2
1x -
2．对于函数()2
1
1f x x
=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-；
（B ）[]0,1；
（C ）；[]1,2-
（D ）[]2,2-
3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）
(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.
4．已知函数3
()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.
（A ）
1
3 （B （C ）12 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数 6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).
A. 单调减函数
B.单调增函数
C. 有单调增区间也有单调减区间
D. 没有单调性
7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞
（C ）)2,1(
（D ）),2(+∞
8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;
（B ）下方;
（C ）左方;
（D ）右方.
9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=
（D ）0,340a b a b +<+=
10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）
A.单调增加，图像是凹的
B.单调减少，图像是凹的
C.单调减少，图像是凸的
D. 单调增加，图像是凸的
11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）. （A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；
（D ）0a <且c 是任意实数.
12． 函数23
++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的
(D) 图形是凸的
13．若()()
00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()
00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()
00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;
（D ）0x x =必为曲线的拐点.
14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）. （A ）1x = （B ）12
x =
（C ）(1,2) (D) 1(,1ln 2)2
+
15．函数2
ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0 C ．是1ln 2- D ．不存在
16.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）
( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -
17.设()f x 具有二阶连续的导数，且20()
lim
3,ln(1)
x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的
（ A ）
（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.
18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点
C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点
D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点
三、 解答题（求极限每题4分其余每题 8分）
1．
求极限
2
2000001
1sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---??-===== ??
?x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）11lim 1ln x x
x x →??
???
-
- =()()1
1ln 1ln 11
lim
lim 11ln ln x x x x x x x x x x x
→→--+-=--+
1
1ln ln 11
lim
lim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===
+-+
0(3)11lim 1→??
???
--x x x e 01lim (1)→--=-x
x x e x x e 0011lim lim 12x
x
x x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）
2
00011ln(1)
ln(1)
lim(
)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-==++
001
1111lim
lim lim 22(1)2(1)2
x x x x x x x x x →→→-
+====++
20
sin (5)lim
tan →-x x x
x x 22
00sin 1cos lim lim
tan 3x x x x x x x x →→--==0sin 1lim 66x x x →==
2
2
2
20
1(6)lim
(1)
→---x x x e x
x e 2
2
401lim
→--=x x e x x 22
32002211lim lim 42x x x x xe x e x x →→--==12
=
2223220000tan tan sec 1tan 1
(7)lim lim lim lim ln(1)333
→→→→---====+x x x x x x x x x x x x x x x
1ln 1(8)lim cot →+∞??+ ???x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 2
222
11lim lim 11
1x x x x x x x →+∞→+∞-+===+-
+
sin sin cos (9)lim
lim cos 1
→→-==-x a x a x a x
a x a
222
00021
sec 77
ln tan7tan 2sec 77tan7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan7sec 22sec 22tan 2+++→→→???===???x x x x x x x x x x x x x (11)lim arctan 2→+∞
??
- ?
??
x x x π
2
222
1
arctan 12
lim lim
lim 1
1
1
1→+∞
→+∞
→+∞-
-+====+-x x x x x x x x
x
π
2
lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞??= ???x x
x x x x e
ππ
2
l i m l n (
a r c t a n )
→+∞
x x x π
2
2
2211ln arctan ln ln arctan arctan 1lim lim lim 111
→+∞→+∞→+∞+?+===-x x x x x x x x x x
ππ 222
2
lim 1x x x ππ
→+∞=-=-+ 2
2lim arctan -→+∞??
∴= ???
x
x x e ππ .
()
tan 2
1
(13)lim 2→-x x x π
解：()
()()
1
1sin ln 22lim
lim tan ln 2cos tan 2
22
1
lim 2x x x x x x x
x x x e
e
π
π
ππ
→→--→-==
1
122
sin
lim
22
x x
x e e
πππ
→---?==
tan 0(14)1lim +→??
?
??x
x x 001
1lim tan ln
lim ln
+
+
→→??==x x x x x
x
e
e
0011
10ln lim
lim
1x x x x
x x
e e
e
++
→→-
-
-====
2．
验证罗尔中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.
解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满
足罗尔定理条件.
（3分）
令()2121010f x x x '=-+=
，得()50,112
x ±=∈，满足罗尔定理结论.
3．
试证明对函数2y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.
证明：在区间[],a b 上，
()()
()f b f a f b a
ξ-'=-
代入：
()()
2
22pb qb r pa qa r p q b a
ξ++-++=+-
解得：2
a b
ξ+=. 4．
证明方程5
31x
x -=在()1,2之间有且仅有一个实根．
证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()522610f =-->
所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，
当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根. ()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.
5．
设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令
()()x F x e f x =
证明：令()()x F x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()()()x
F x e
f x f x ''=+ （3分）
由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()
()F b F a F b a
ξ-'=-
又()()0f a f b == ∴()()0
f f ξξ'+=
6．
设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =. 证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a
内可导
∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+
且(0)()0F F a ==
由Rolle 定理，至少(0,)a ξ?∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+= 7．
证明：不论b 取何值，方程033
=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个
实根
证：令
()()()()
323,33311f x x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，0,,f f
'<故()f x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.
8．
证明：当1x >时，x
e x e >?.
证明: 令()x
f x e x e =-?，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条
件，由中值定理，至少存在一点(1,)x ξ∈，使得
()(1)(1)()(1)()f x f x f x e e ξξ'-=-=--
即()(1)0f x f >=又即x e x e >?
9．
证明：当0x >时，1
12
x +
>
证：()()1110
22f x x f x '=+==>
()()
00f x f >=,即有1
12
x +>
10．
求证：1,(0,)>+∈+∞x
e x x
证明：令()1,,[0,)x f x e x x =--∈+∞
当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->
故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增
从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+
或者：
证明：()22
1112!2
x
f e e x x x x x ξξ''=++
=++>+ ……8分
11．
当1>x 时，证明：1
3>-
x
. 答案参看课本p148 例6 12．
证明：当0x >时，
ln(1).1x
x x x
<+<+ 答案参看课本P132 例1 13．
设0,1a b n >>>，
证明:1
1()()n n n n nb
a b a b na a b ---<-<-.
证明：
令()n
f x x =，
显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得
()()()()f a f b f a b ξ'-=-
即
1()n n n a b n a b ξ--=-
又由b a ξ<<及1(1)n n n ξ->的单增性，得
11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-
14．
设0a b >>，证明：
ln a b b a b
a a b
--<< 证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1
ln ln ()a b a b ξ
-=
-，又
因为111
0,a b
ξ<
<<因此，ln a b a a b a b b --<<. 15．
证明恒等式()arcsin arccos ,112
x x x π
+=
-≤≤.
证：令()arcsin arccos f x x x =+ 则()f x 在[]
1,1-上连续.在()1,1-内有:
()
0,f x f C '=
-
≡≡
令0,,arcsin arccos 2
2x C x x π
π
==
+=
在
()1,1-内成立.
再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]
1,1-上成立.
16．
求函数2y x =的极值点和单调区间.
解：13
2(1)y x -'=-
因此，2y x =在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点
21x =
17．
求函数32535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间.
解：23103y x x '=-+,
易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3
-∞+∞,单调减区间1
(,3)3.
610y x ''=-,令0y ''=，得5
3
x =.
当5
3
x -∞<<时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；
当5
3
x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，
故520
(,)327
是拐点
18．
试确定,,a b c 的值，使曲线32y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.
解：2
32y x ax b '=-+ 62y x a ''=-
(1,1)-为拐点，则062a =- 3a ∴=
由0y '=，则2
360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.
11,1a b c c -++=-=
曲线为3231y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.
19．
求函数()7ln 124-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.
解： 3
4
31
4(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x
'=-+??
=-， 易得函数的单调递增区间为13
(,)e +∞,单调减区间13
(0,)e . ()23
21
12(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x
''=-+??=>， 令0y ''=，得1x =.
当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；
当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20．
求函数arctan x y e =的单调区间，拐点及凹或凸的区间．
解：arctan 2
1
1x
y e x '=?
+>0,因此单调增区间是R , arctan arctan arctan 2222221212(1)(1)(1)x
x x x x y e e e x x x ????-''=+-=????+++????
， 令0y ''=，得1
2
x =. 当12x -∞<<
时，0y ''>，因此曲线在1
(,]2
-∞上是凹的； 当1
2x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1[,)2+∞上是凸的，
故1
arctan 2
1(,)2
e
是拐点 21．
求函数1234+-=x x y 的拐点和凹凸区间.
解：3246y x x '=- 2121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x =
22．
求函数3
2
391=+-+y x x x 的极值.
解：2
'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+ ''66y x =+
令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.
当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.
23．
求函数23(1)1=-+y x 的极值.
解： 22
6(1)y x x '=-
22226(1)24(1)y x x x ''=-+- 令0y '=，得1
231,0,1x x x =-== (0)60y ''=>，故20x =是极小值点.
(1)0y ''±=， 无法用第二充分条件进行
判定.
在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =
24．
求函数32(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.
解：22323(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=
所以，驻点11x =，232x =-，31
2
x =- 列表
∴()f x 在2x =-
处取得极大值()02f -= ()f x 在12x =-处取得极小值127
()22
f -=-
单调递增区间31(,],[,)22-∞--+∞，单调递增区间31
[,]22
--
25． 试问a 为何值时，函数1()sin sin 23=+f x a x x 在3
π
处取得极值？它
是极大值还是极小值？并求此极值. 解：2
()cos cos 23
f x a x x '=+
()f x 在
3
π
处取得极值
22121
()cos
cos 03333232
f a a ππ
π'∴=+=?-?= 2
3
a ∴=
即 ()2()cos cos 23f x x x '=+ ()2
()sin 2sin 23
f x x x ''∴=--
222()sin 2sin 203
333322f π
ππ???''∴=
--=-?+?< ? ????
所以它是极大值，极大值为212()sin sin 3
3333f π
ππ∴=
+=
26．
求函数3223y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值. 解
：
212660,0,1
y x x x x '=-===(舍去
x =)
()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.
27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应
围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102
x
x y y +==-.
2101022x x S x x ?
?=-=- ???，100,10S x x '=-==
故小屋长10米，宽5米时，面积最大.
28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为
()5200C x x =+（元）
， 得到的收入是
()2100.01R x x x =-（元）.
问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？
解：
()()()22100.0152000.015200L x x x x x x =--+=-+-
()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）
()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.
第3章自测题及参考答案 一、名称解释 1．需求分析2．当前系统 3．目标系统4．SA 5．DFD 二、填空题 1．需求分析阶段产生的最重要的文档是_________。 2．为解决一个复杂问题，往往采取的策略是__________。 3．SA方法中使用半形式化的描述方式表达需求，采用的主要描述工具是__________。4．数据流图中有四种符号元素，它们是__________。 5．数据字典中有四类条目，分别是___________。 6．在IDEF0图中，表示系统功能的图形称为___________图形。 7．在画分层的DFD时，父图与子图的输入输出数据流要__________。 8．用于描述基本加工的小说明的三种描述工具是_______________。 9．IDEF0是建立系统_________模型的有效方法。 10．在IDEF0方法中，被标志为A—0的图称为系统的_________图。 三、选择题 1．分层DFD是一种比较严格又易于理解的描述方式，它的顶层图描述了系统的( )。 A．细节B．输入与输出C．软件的作者D．绘制的时间 2．需求规格说明书的内容还应包括对( )的描述。 A．主要功能B．算法的详细过程C．用户界面及运行环境D．软件的性能 3．需求规格说明书的作用不应包括( )。 A．软件设计的依据B．用户与开发人员对软件要做什么的共同理解 C．软件验收的依据D．软件可行性研究的依据 4．SA方法用DFD描述( ) A．系统的控制流程B．系统的数据结构 C．系统的基本加工D．系统的功能
5．一个局部数据存储只有当它作为( )时，就把它画出来。 A．某些加工的数据接口B．某个加工的特定输入 C．某个加工的特定输出D．某些加工的数据接口或某个加工的特定输入/输出 6．对于分层的DFD，父图与子图的平衡指子图的输入、输出数据流同父图相应加工的输入、输出数据 流( )。 A．必须一致B．数目必须相等C．名字必须相同D．数目必须不等 7．需求分析阶段不适用于描述加工逻辑的工具是( )。 A．结构化语言B．判定表C．判定树D．流程图 8．SA方法的分析步骤是首先调查了解当前系统的工作流程，然后( )。 A．获得当前系统的物理模型，抽象出当前系统的逻辑模型，建立目标系统的逻辑模型B．获得当前系统的物理模型，抽象出目标系统的逻辑模型，建立目标系统的物理模型C．获得当前系统的物理模型，建立当前系统的物理模型，抽象出目标系统的逻辑模型D．获得当前系统的物理模型，建立当前系统的物理模型，建立目标系统的物理模型9．SA方法的基本思想是( ) A．自底向上逐步抽象B．自底向上逐步分解 C．自顶向下逐步分解D．自顶向下逐步抽象 10．初步用户手册在( )阶段编写。 A.可行性研究B．需求分析C．软件概要设计D．软件详细设计 四、简答题 1．什么是需求分析？该阶段的基本任务是什么？ 2．简述结构化分析方法的步骤。 3．数据流图与数据字典的作用是什么？画数据流图应注意什么？ 4．简述SA方法的优缺点。 5．简述建立IDEF0图的步骤。 五、应用题 1．某电器集团公司下属一个成套厂(产品组装)和若干零件厂等单位，成套厂下设技术科、
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
第三章练习题 一、判断正误并解释 1.所谓商品的效用，就是指商品的功能。 分析：这种说法是错误的。商品的效用指商品满足人的欲望的能力，指消费者在消费商品时所感受到的满足程度 2.不同的消费者对同一件商品的效用的大小可以进行比较。 分析：这种说法是错误的。同一个消费者对不同商品的效用大小可以比较。但由于效用是主观价值判断，所以同一商品对不同的消费者来说，其效用的大小是不可比的。 3.效用的大小，即使是对同一件商品来说，也会因人、因时、因地而异。分析：这种说法是正确的。同一商品给消费者的主观心理感受会随环境的改变而改变。 4.边际效用递减规律是指消费者消费某种消费品时，随着消费量的增加，其最后一单位消费品的效用递减。 分析：这种说法是错误的。必须在某一特定的时间里，连续性增加。5.预算线的移动表示消费者的货币收入发生变化。 分析：这种说法是错误的。只有在收入变动，商品价格不变，预算线发生平移时，预算线的移动才表
示消费者的收入发生了变化。 6.效应可以分解为替代效应和收入效应，并且替代效应与收入效应总是反向变化。 分析：这种说法是错误的。正常物品的替代效应和收入效应是同向变化的。 二、选择 1.当总效用增加时，边际效用应该：（A ） A.为正值，但不断减少； B.为正值，且不断增加； C.为负值，且不断减少； D.以上都不对 ２.当某消费者对商品Ｘ的消费达到饱合点时，则边际效用ＭＵχ为：（C ） Ａ.正值Ｂ.负值Ｃ.零Ｄ.不确定 ３.正常物品价格上升导致需求量减少的原因在于：（C ） Ａ.替代效应使需求量增加，收入效应使需求量减少； Ｂ.替代效应使需求量增加，收入效应使需求量增加；
高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
混凝土结构设计——复习资料三 一、选择题（每小题2分） 1.一般情况下，风荷载作用下的多层多跨框架（） A.迎风面一侧的框架柱产生轴向压力 B.背风面一侧的框架柱产生轴向拉力 C.框架外柱轴力小于内柱轴力 D.框架内柱轴力小于外柱轴力 2.关于伸缩缝、沉降缝、防震缝，下列说法中，不正确 ．．．的是（） A.伸缩缝之间的距离取决于结构类型和温度变化情况 B.沉降缝应将建筑物从基顶到屋顶全部分开 C.非地震区的沉降缝可兼作伸缩缝 D.地震区的伸缩缝和沉降缝均应符合防震缝要求 3.非抗震设计的现浇框架，混凝土强度等级不宜低于（） A.C30 B.C20 C.C15 D.C10 4.关于框架结构的弯矩调幅，下列说法中正确的是（） A.调幅是对水平荷载作用下的内力进行的 B.先与水平荷载产生的内力进行组合，再进行弯矩调幅 C.现浇框架梁端的调幅系数大于装配整体式框架梁端的调幅系数 D.调幅是对柱端弯矩进行的 5.水平荷载作用下的多层框架结构，在其它条件不变时，某层的（） A.上层层高加大，则该层柱的反弯点上移 B.上层层高减小，则该层柱的反弯点上移 C.下层层高加大，则该层柱的反弯点上移 D.本层层高减小，则该层柱的反弯点下移 6.多层框架底层柱的计算长度（） A.应取基础顶面到二层横梁底面之间的距离 B.应取基础顶面到二层楼板顶面之间的距离 C.应取室外地面到二层楼板顶面之间的距离 D.应取基础顶面到二层楼板底面之间的距离 7.关于在框架梁端设置箍筋加密区的目的，下列说法中错误 ．．的是（） A.约束混凝土 B.提高梁的变形能力 C.满足抗剪承载力要求 D.增加梁的延性 8.在用D值法计算框架结构时，与框架柱标准反弯点高度比无关 ．．的因素是（）
武科院试题 一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有 （A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在 （D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、 已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？ 四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题 一、 填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.
2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 环境监测第三章练习题答案 一、名词解释 1、辐射逆温 答：平静而晴朗的夜晚，地面因辐射而失去热量，近地气层冷却强烈，较高气层冷却较慢，形成从地面开始向上气温递增的现象。 2、硫酸盐化速率 答：由大气中的含硫污染物二氧化硫、硫化氢、硫酸等经过一系列的氧化演变过程生成对人类更为有害的硫酸雾和硫酸盐雾，大气中硫化物的这种演变过程的速率称为硫酸盐化速率。 3、二次污染物 答：由污染源排放到空气中的一次污染物，在空气中相互作用或者与空气中的组分发生了物理、化学等作用所产生的新的污染物。 4、山谷风 答：山区往往山坡受热强，谷底受热弱，使得地表受热不均，引起局部气流有规律的变化，在白天，山坡受热快，气温上升，谷底的气流沿山坡上升，形成谷风；夜间，山坡空气冷却较快，重力原因，山坡的空间沿坡下滑至谷底，产生山风。山谷风转换时往往造成严重的空气污染。 5、海陆风 答：海洋由于大量水的存在，温度变化缓慢，而陆地表面温度变化剧烈。因此，在白天形成海洋指向陆地的气压梯度，形成海风；在夜间陆地表面温度降低的比较快，形成陆地指向海洋的气压梯度，形成陆风，即海陆风。海陆风形成所产生的循环作用和往返作用加重环境污染。 6、空气污染指数 答：空气污染指数是一种向社会公众公布的反映和评价空气质量状况的指标。它将常规监测的几种主要污染物浓度经过处理简化为单一的数值形式，分级表示空气质量和污染程度，具有简明、直观和使用方便的优点。 7、光化学氧化剂 答：除去氮氧化物以外的能氧化碘化钾的物质。 二、填空题 1、大气层分为，对流层、平流层、中间层、热层、散逸层，其中，大气污染物的迁移和转 化主要发生在对流层。 2、产生急性危害必须满足两个条件：短时间内有大量污染物排入、有不利于污染物迁移和扩散的条件（如天气形势和地理地势引起的逆温）。 3、直接从污染源排放到空气中的有害物质称为一次污染物，经过发生作用，产生一些新的物质，这些物质和直接排放的污染物的物理化学性质均有很大不同，毒性也比较大，这些新产生的污染物称为二次污染物。如臭氧、硫酸盐、硝酸盐、过氧乙酰基硝酸酯（PAN）。 4、空气中的污染物按存在状态进行分类，可以分为分子状态污染物、粒子状态污染物。 5、粒子状态污染物（或颗粒物）是分散在空气中的微小液体和固体颗粒，粒径多在0.01-200微米之间，是一个复杂的非均匀体系，通常分为降尘、可吸入颗粒物。 6、PM10是指可吸入颗粒物（或者粒径小于10微米的颗粒物）、TSP是指总悬浮颗粒物。 7、空气污染物的常规监测项目有TSP 、SO2、NO2 、硫酸盐化速率、灰尘自然沉降量。 8、大气采样点应设在整个监测区域的高、中、低三种不同污染物浓度的地方。 9、污染源比较集中的地区，若主导风向较明显，应污染源下风向位置多设采样点。 10、大气采样的布点方法有功能区布点法、网格布点法、同心圆布点法、扇形布点法。 11、对于区域性的常规监测一般采用功能区布点法。 12、如某地区有多个污染源，且分布较均匀，采样的过程中，应采用网格布点法进行布设采样点。 13、网格布点法的监测结果可以绘制成污染物空间分布图，对指导城市环境规划和管理具有重要意义。 14、同心圆布点法适用于多个污染源构成污染群，且大污染源较集中的地区。 15、扇形布点法适用于孤立的高架点源，且主导风向明显的地区。扇形的角度一般为45-90度。 16、采用同心圆和扇形布点法时，要特别注意高架点源排放污染物的扩散特点，在最大地面浓度出现的位置应多布设采样点。 高等数学练习题库及答 案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下： 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有 d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分． 由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>； 第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2） 4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x大学高等数学下考试题库(及答案)
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