验证快速电子的动量与动能的相对论关系
摘要：本实验通过对快速电子的动量值及动能的同时测定来验证动量和动能之间的相对论关系。同时实验者将从中学习到β磁谱仪测量原理、闪烁记数器的使用方法及一些实验数据处理的思想方法。
关键词：电子的动量电子的动能相对论效应β磁谱仪闪烁记数器
引言：相对论的基本假设是相对性原理，即物理定律与参照系的选择无关。狭义相对论和广义相对论的区别是，前者讨论的是匀速直线运动的参照系（惯性参照系）之间的物理定律，后者则推广到具有加速度的参照系中（非惯性系），并在等效原理的假设下，广泛应用于引力场中。相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观领域。相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。相对论颠覆了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“时间和空间的相对性”、“四维时空”、“弯曲空间”等全新的概念。狭义相对论提出于1905年，广义相对论提出于1915年[爱因斯坦在1915年末完成广义相对论的创建工作，在1916年初正式发表相关论文]。
本实验通过对快速电子的动量值及动能的同事测定，验证其动能与动量的关系，同时了解半圆聚焦β磁谱仪的工作原理。
实验方案：
一、实验内容
1测量快速电子的动量。
2测量快速电子的动能。
3验证快速电子的动量与动能之间的关系符合相对论效应。
二、实验原理
经典力学总结了低速物理的运动规律，它反映了牛顿的绝对时空观：认为时间和空间是两个独立的观念，彼此之间没有联系；同一物体在不同惯性参照系中观察到的运动学量(如坐标、速度)可通过伽利略变换而互相联系。这就是力学相对性原理：一切力学规律在伽利略变换下是不变的。
19世纪末至20世纪初，人们试图将伽利略变换和力学相对性原理推广到电磁学和光学时遇到了困难；实验证明对高速运动的物体伽利略变换是不正确的，实验还证明在所有惯性参照系中光在真空中的传播速度为同一常数。在此基础上，爱因斯坦于1905年提出了狭义相对论；并据此导出从一个惯性系到另一惯性系的变换方程即“洛伦兹变换”。
洛伦兹变换下，静止质量为m0，速度为v的物体，狭义相对论定义的动量p为：
p m v m v
=
-=012
β
(5—1)
式中
m m v c
=-=012
/,/β
β。相对论的能量E 为：
E m c =2
(5—2)
这就是著名的质能关系。mc 2是运动物体的总能量，当物体静止时v=0，物体的能量为E 0=m 0c 2称为静止能量；两者之差为物体的动能E k ，即
E m c
m c
m c k =-=--2
2
2
2
00111(
)
β
(5—3)
当β? 1时，式（5—3）可展开为
E m c v c
m c
m v
p
m k =+
+-≈
=
0002
22
2
2
2
011212
12() (5—4)
即得经典力学中的动量—能量关系。
由式(5—1)和(5—2)可得：
E
c p
E 2
22
02
-= (5—5)
这就是狭义相对论的动量与能量关系。而动能与动量的关系为：
E E E c p
m c
m c
k =-=
+-02
2
4
2
02
0 (4─6)
这就是我们要验证的狭义相对论的动量与动能的关系。对高速电子其关系如图所示，图中pc 用MeV 作单位，电子的m 0c 2=0.511MeV 。式(5—4)可化为：
E p c m c
p c
k =
=
?12205112
22
22
0.
以利于计算。
四．实验装置及方法
实验装置主要由以下部分组成：①真空、非真空半圆聚焦β磁谱仪；②β放射源
90
Sr —90Y(强度≈1毫居里)，定标用γ放射源137Cs 和60Co(强度≈2微居里)；③200μmAl 窗NaI(Tl)
闪烁探头；④数据处理计算软件；⑤高压电源、放大器、多道脉冲幅度分析器。
β源射出的高速β粒子经准直后垂直射入一均匀磁场中(B V ⊥)，粒子因受到与运动方向
垂直的洛伦兹力的作用而作圆周运动。如果不考虑其在空气中的能量损失(一般情况下为小量)，则粒子具有恒定的动量数值而仅仅是方向不断变化。粒子作圆周运动的方程为：
d p d t
e v B
=-? (5—7)
e 为电子电荷，v 为粒子速度，B 为磁场强度。由式(5—1)可知p=mv ，对某一确定的动量数值P ，其运动速率为一常数，所以质量m 是不变的，故
d p d t
m
d v d t
=,
且d v
d t
v
R
=
2
所以 p eBR = (5—8)
式中R 为β粒子轨道的半径，为源与探测器间距的一半。
在磁场外距β源X 处放置一个β能量探测器来接收从该处出射的β粒子，则这些粒子的能量(即动能)即可由探测器直接测出，而粒子的动量值即为：
p e B R e B X ==?/2
。由于
β源3890
3990
Sr Y -(0～2.27MeV)射出的β粒子具有连续的能量分布(0～2.27MeV)，因此探测器在不同位置(不同?X)就可测得一系列不同的能量与对应的动量值。这样就可以用实验方法确定测量范围内动能与动量的对应关系，进而验证相对论给出的这一关系的理论公式的正确性。
三、实验步骤
1. 检查仪器线路连接是否正确，然后开启高压电源，开始工作；
2. 打开
60
C o γ定标源的盖子，移动闪烁探测器使其狭缝对准
60
C o 源的出射孔并开始记数
测量；
3. 调整加到闪烁探测器上的高压和放大数值，使测得的
60
C o 的1.33MeV 峰位道数在一个比
较合理的位置（建议：在多道脉冲分析器总道数的50%～70%之间，这样既可以保证测量高能β粒子(1.8~1.9MeV)时不越出量程范围，又充分利用多道分析器的有效探测范围）；
4. 选择好高压和放大数值后，稳定10～20分钟；
5. 正式开始对NaI(Tl)闪烁探测器进行能量定标，首先测量
60
C o 的γ能谱，等1.33MeV 光电
峰的峰顶记数达到1000以上后（尽量减少统计涨落带来的误差），对能谱进行数据分析，记录下1.17和1.33MeV 两个光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH 3、CH 4； 6. 移开探测器，关上
60
C o γ定标源的盖子，然后打开
137
C s
γ定标源的盖子并移动闪烁探测
器使其狭缝对准
137
C s
源的出射孔并开始记数测量，等0.661MeV 光电峰的峰顶记数达到
1000后对能谱进行数据分析，记录下0.184MeV 反散射峰和0.661 MeV 光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH 1、CH 2； 7. 关上
137
C s
γ定标源，打开机械泵抽真空（机械泵正常运转2～3分钟即可停止工作）；
8. 盖上有机玻璃罩，打开β源的盖子开始测量快速电子的动量和动能，探测器与β源的距
离?X 最近要小于9cm 、最远要大于24cm ，保证获得动能范围0.4～1.8MeV 的电子； 9. 选定探测器位置后开始逐个测量单能电子能峰，记下峰位道数CH 和相应的位置坐标X ； 10. 全部数据测量完毕后关闭β源及仪器电源，进行数据处理和计算。
四、数据处理
1.真空状态下P 与?X 的关系的合理表述
由于工艺水平的限制，磁场的非均匀性(尤其是边缘部分)无法避免，直接用
p e B R e B X ==?/2
来求动量将产生一定的系统误差；因此需要采取更为合理的方式来表
述P 与?X 的关系。
设粒子的真实径迹为aob ，位移ds 与Y 轴的夹角为θ，如上图所示；则ds 在X 轴上的投影为sin θ?ds 。显然有：
?x ds ds
=
?≈
???
sin sin θθ
π
θ0
1
()
θπ1≈ (5—9)
又因为d s R d =?θ以及eB P R /=，(其中R 、B 分别为ds 处的曲率半径和磁场强度)，则有：
?X P e B
d P e
B
d =
?
?=
??
?
sin sin θθθθ
π
π
( 真空中P 为定值) (5─10)
所以有：
P e X B
d B
e X
=?=
?
??/
sin θθπ
12
(1
12
B
B
d =
??
s in θθ
π
) (5─11)
把1
B 改写成：
?
?
??=
π
π
θ
θθθ0
sin /
sin 1d d B
B
，
则物理含义更为明显：即B /1为粒子在整个路径上的磁场强度的倒数以各自所处位置处的位移与Y 轴夹角的正弦为权重的加权平均值。显然，B 相当于均匀磁场下公式
p e B R e B X ==?/2
中的磁场强度B ；即只要求出B ，就能更为确切地表述P 与?X 的关系，
进而准确地确定粒子的动量值。
实际计算操作中还需要把求积分进一步简化为求级数和；即可把画在磁场分布图上直径为?X 的半圆弧作N 等分(间距取10毫米左右为宜)，依此读出第i 段位移所在处的磁场强度B i ，再注意到：
θπ
i N i =
-()
1以及
?θπ
i N =
，
则最后求和可以得到：
112
121211
1
B B d N
N
i B N
N
i B i N
i i
i N
≈''
?'≈
-=
-==∑
?
∑
s in s in [
()]/s in [
()]/θθππ
π
π
π
(5─12)
所以：
P N e x
N
i B i
i N
=
-=∑
?π
π
sin [
()]/11
(5─13)
2.β粒子动能的测量
β粒子与物质相互作用是一个很复杂的问题，如何对其损失的能量进行必要的修正十分重要。
①β粒子在Al 膜中的能量损失修正
在计算β粒子动能时还需要对粒子穿过Al 膜(220μm ：200μm 为NaI(Tl)晶体的铝膜密封层厚度，20μm 为反射层的铝膜厚度)时的动能予以修正，计算方法如下。 设β-粒子在Al 膜中穿越?x 的动能损失为?E ，则：
??E d E d x x
=
ρ
ρ (5—14)
其中d E d x ρ(d E
d x ρ
<0
)是Al 对β-粒子的能量吸收系数，(ρ是Al 的密度)，d E
d x ρ是关于E 的函数，不同
E 情况下d E d x ρ
的取值可以通过计算得到。可设d E d x K E ρ
ρ=()
，则?E=K(E)?x ；取?x →0，则
β-
粒子穿过整个Al 膜的能量损失为：
?+=
-d
x x
dx
E K E E )(12 (5─15)；即
?+-
=d
x x
dx
E K E
E )(2
1 (5─16)
其中d 为薄膜的厚度，E 2为出射后的动能，E 1为入射前的动能。由于实验探测到的是经Al 膜衰减后的动能，所以经公式(4─9)可计算出修正后的动能(即入射前的动能)。下表列出了根据本计算程序求出的入射动能E 1和出射动能E 2之间的对应关系：
E 1(MeV) E 2(MeV) E 1(MeV) E 2(MeV) E 1(MeV) E 2(MeV) 0.317 0.200 0.887 0.800 1.489 1.400 0.360 0.250 0.937 0.850 1.536 1.450 0.404 0.300 0.988 0.900 1.583 1.500 0.451 0.350 1.039 0.950 1.638 1.550 0.497 0.400 1.090 1.000 1.685 1.600 0.545 0.450 1.137 1.050 1.740 1.650 0.595 0.500 1.184 1.100 1.787 1.700 0.640 0.550 1.239 1.150 1.834 1.750 0.690 0.600 1.286 1.200 1.889 1.800 0.740 0.650 1.333 1.250 1.936 1.850 0.790 0.700 1.388 1.300 1.991 1.900 0.840
0.750
1.435
1.350
2.038
1.950
②β粒子在有机塑料薄膜中的能量损失修正
此外，实验表明封装真空室的有机塑料薄膜对β存在一定的能量吸收，尤其对小于0.4MeV 的β粒子吸收近0.02MeV 。由于塑料薄膜的厚度及物质组分难以测量，可采用实验的方法进行修正。实验测量了不同能量下入射动能E k 和出射动能E 0(单位均为MeV)的关系，采用分段插值的方法进行计算。具体数据见下表：
E k (MeV) 0.382 0.581 0.777 0.973 1.173 1.367 1.567 1.752 E 0(MeV)
0.365
0.571
0.770
0.966
1.166
1.360
1.557
1.747
3．数据处理的计算方法和步骤（举例说明）：
设对探测器进行能量定标（操作步骤中的第5、6步）的数据如下：
能量(MeV) 0.661 1.17 1.33 道数(CH)
158.8
283.2
321.0
实验测得当探测器位于25cm 时的单能电子能峰道数为220，求该点所得β粒子的动能、动量及误差，已知β源位置坐标为10cm 、平均磁场强度为642.8高斯(Gs)。 1)根据能量定标数据求定标曲线
已知；8.15
8,6
61.01
1==C H
MeV E ；
2
.283,17.12
2==C H
MeV E ；
0.321,33.13
3==C H
MeV E ；根据最小二乘原理用线性拟合的方法求能量E 和道数CH 之间
的关系：
E a b CH =+?
可以推导，其中：
]
)([12
∑
∑
∑
∑??
-
?
?
=
i
i i i
i i
i i
i
E CH CH E CH
a
]
)([1∑
∑
∑?
-
??
=
i
i i
i i
i i E CH E CH n b ?=-∑∑n C H C H i
i
i i
2
2
()
代入上述公式计算可得：CH E ?+=0041.000877.0 2）求β粒子动能
对于X=25cm 处的β粒子：
①将其道数220代入求得的定标曲线，得动能E 2=0.9108MeV ，注意：此为β粒子穿过总计220μm 厚铝膜后的出射动能，需要进行能量修正；
②在前面所给出的穿过铝膜前后的入射动能E 1和出射动能E 2之间的对应关系数据表中取E 2=0.9108MeV 前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E 2=0.9108MeV 的入射动能E 1=0.9990MeV
E 1(MeV) E 2(MeV) 0.988 0.900 1.039
0.950
③上一步求得的E 1为β粒子穿过封装真空室的有机塑料薄膜后的出射动能E 0，需要再次进行能量修正求出之前的入射动能E k ，同上面一步，取E 0=0.9990MeV 前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E 0=0.9990MeV 的入射动能E k =1.006MeV ；
E k (MeV) 0.973 1.173 E 0(MeV)
0.966
1.166
E k =1.006MeV 才是最后求得的β粒子动能。
3）根据β粒子动能由动能和动量的相对论关系求出动量PC （为与动能量纲统一，故把动量P 乘以光速，这样两者单位均为MeV ）的理论值 由
E E E c p
m c m c
k =-=
+-02
2
4
2
02
0得出：
4
2
2
2
00)(c
m c m E PC k -+=
将E k =1.006MeV 代入，得PCT=1.428MeV ，为动量PC 的理论值。 4）由eBR P =求PC 的实验值
β源位置坐标为10cm ，所以X=25cm 处所得的β粒子的曲率半径为：
cm
R 5.72/)1025(=-=；电子电量C e 19
1060219.1-?=，磁场强度
T Gs B 06428.08.642==，光速s m c /1099.28
?=；所以：
J eBRC
PC 8
19
10
99.2075.006428.010
60219
.1?????==-；
因为J
eV 19
10
60219.11-?=，所以：
MeV
eV eV eV BRC PC 441.11441479
1099.2075.006428.0)(8
≈=???==
5）求该实验点的相对误差DPC
%
9.0%100428
.1428
.1441.1=?-=-=PCT
PCT
PC DPC
4．关于非真空条件下的实验方法和数据处理
这一实验也可以在非真空状况下进行，同样可得到较为理想的结果。非真空条件下得到的单能电子峰与真空条件相比其分辨率明显变差，可能出现寻峰困难或不准的情况，建议在寻峰前先利用多道程序软件进行光滑化处理，可以较好地解决这一问题。在数据处理上要对电子在回转路径上因与空气发生相互作用而导致的能量损失进行修正，具体做法是对E k 进行电子在回转路径上与空气发生相互作用而导致的能量损失进行修正以得到最终的能量E k '。
五、实验注意事项
1. 闪烁探测器上的高压电源、前置电源、信号线绝对不可以接错；
2. 装置的有机玻璃防护罩打开之前应先关闭β源；
3. 应防止β源强烈震动，以免损坏它的密封薄膜；
4. 移动真空盒时应格外小心，以防损坏密封薄膜；
附录：空气对β粒子的能量吸收系数（取空气密度3
/290.1cm mg =ρ）
β粒子能量(MeV)
)
/(2
g cm
MeV dx
dE
?ρ
)
/(cm MeV dx
dE
? 0.1 3.6294 4.6823
10-? 0.2 2.4703 3.1873
10-? 0.3 2.0871 2.6923
10-? 0.4 1.9070 2.4603
10-? 0.5 1.8087 2.3333
10-? 0.6 1.7510 2.2593
10-? 0.7 1.7159 2.2143
10-? 0.8 1.6945 2.1863
10-? 0.9 1.6819 2.1703
10-? 1.0 1.6752 2.1613
10-? 2.0
1.7140
2.2113
10
-?
动量与能量结合综合题 1．如图所示，水平放置的两根金属导轨位于方向垂直于导轨平面并指向纸里的匀强磁场中．导轨上有两根小金属导体杆ab和cd，其质量均为m，能沿导轨无摩擦地滑动．金属杆ab和cd与导轨及它们间的接触等所有电阻可忽略不计．开始时ab和cd都是静止的，现突然让cd杆以初速度v向右开始运动，如果两根导轨足够长，则（）A．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，并将追上cd B．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，但追不上cd C．开始时cd做减速运动，ab做加速运动，最终两杆以相同速度做匀速运动 D．磁场力对两金属杆做功的大小相等 h，如图所示。2．一轻弹簧的下端固定在水平面上，上端连接质量为m的木板处于静止状态，此时弹簧的压缩量为 3h的A处自由落下，打在木板上并与木板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点一物块从木板正上方距离为 后又向上运动。若物块质量也为m时，它们恰能回到O点；若物块质量为2m时，它们到达最低点后又向上运动，在通过O点时它们仍然具有向上的速度，求： 1，质量为m时物块与木板碰撞后的速度； 2，质量为2m时物块向上运动到O的速度。 3．如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度0v，若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热Q最多是多少？ （2）当ab棒的速度变为初速度的4/3时，cd棒的加速度a是多少？
动量和能量综合例析 例1、如图，两滑块Ａ、Ｂ的质量分别为m1和m2， 置于光滑的水平面上，Ａ、Ｂ间用一劲度系数 为K的弹簧相连。开始时两滑块静止，弹簧为 原长。一质量为ｍ的子弹以速度Ｖ0沿弹簧长度方向射入滑块Ａ并留在其中。试求：（１）弹簧的最大压缩长度；(已知弹性势能公式E P=(1/2)KX2，其中K为劲度系数、X为弹簧的形变量) ；（２）滑块Ｂ相对于地面的最大速度和最小速度。【解】（１）设子弹射入后Ａ的速度为Ｖ１，有： ｍＶ0＝（ｍ＋ｍ１）Ｖ1（1） 得：此时两滑块具有的相同速度为Ｖ，依前文中提到的解题策略有： （ｍ＋ｍ１）Ｖ１＝（ｍ＋ｍ1＋m 2)V (2) (3) 由(1)、(2)、(3)式解得： （２） ｍＶ0=（m＋m1）V2＋m2V3(4) (5)
由（１）、（４）、（５）式得： Ｖ3[（m＋m1＋m2）V3－2mV0]=0 解得：V3=0 （最小速度）（最大速度）例２、如图，光滑水平面上有Ａ、Ｂ两辆小车，Ｃ球用０.５m长的细线悬挂在Ａ车的支架上，已知mA=m B=1kg，m C=0.5kg。开始时B车静止，Ａ车以Ｖ0＝４m/s的速度驶向Ｂ车并与其正碰后粘在一起。若碰撞时间极短且不计空气阻力，g取10m/s2，求C球摆起的最大高度。 【解】由于A、B碰撞过程极短，C球尚未开始摆动， 故对该过程依前文解题策略有： m A V0=(m A+m B)V1(1) E内= (2) 对A、B、C组成的系统，图示状态为初始状态，C球摆起有最大高度时，A、B、C有共同速度，该状态为终了状态，这个过程同样依解题策略处理有： （m A+m C）V0=(m A+m B+m C)V2(3) (4)
第三章 动量守恒和能量守恒定律 §1-1质点和质点系的动量定理 一、质点的动量定理 1、动量 质点的质量m 与其速度v 的乘积称为质点的动量，记为P 。 （3-1） 说明：⑴P 是矢量，方向与v 相同 ⑵P 是瞬时量 ⑶P 是相对量 ⑷坐标和动量是描述物体状态的参量 2、冲量 牛顿第二定律原始形式 )(v m dt d F = 由此有)(v m d dt F = 积分： 1221 21p p P d dt F p p t t -==?? （3-2） 定义：?21 t t dt F 称为在21t t -时间内力F 对质点的冲量。 记为 （3-3） 说明：⑴I 是矢量 ⑵I 是过程量 ⑶I 是力对时间的积累效应 ⑷I 的分量式 ??? ????===???2 12121t t z z t t y y t t x x dt F I dt F I dt F I
∵ ??? ? ???=-=-=-???2 121 21)()()(12121 2t t z z t t y y t t x x dt F t t F dt F t t F dt F t t F （3-4） ∴分量式（3—4）可写成 ??? ??-=-=-=) ()()(121212t t F I t t F I t t F I z z y y x x （3-5） x F 、y F 、z F 是在21t t -时间内x F 、y F 、z F 平均值。 3、质点的动量定理 由上知 12p p I -= （3-6） 结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。 说明：⑴I 与12p p -同方向 ⑵分量式??? ??-=-=-=z 1z 2z y 1y 2y x 1x 2x p p I p p I p p I （3-7） ⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化 ⑷成立条件：惯性系 ⑸动量原理对碰撞问题很有用 二、质点系的动量定理 概念：系统：指一组质点 内力：系统内质点间作用力 外力：系统外物体对系统内质点作用力 设系统含n 个质点，第i 个质点的质量和速度分别为i m 、i v ，对于第i 个质点受合内 力为内i F ，受合外力为外i F ，由牛顿第二定律有 dt v m d F F i i i i ) ( =+内外 对上式求和，有 ∑∑∑∑======+n 1 i i i n 1i i i n 1i i n 1i i )v m (dt d dt )v m (d F F 内 外 因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故0=合内力F ， 有 P dt d F =合外力 （3-8） 结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。 式（3-8）可表示如下
动H和能H综合例析 例1、如图，两滑块A、B的质量分别为m i和m2, 皇8 . 置丁光滑的水平■面上，A、B问用一劲度系数7 77 // [/ 为K的弹簧相连。开始时两滑块静止，弹簧为原长。一质量为m的子弹以速度V 0沿弹簧长度方向射入滑块A并留在其中。试 求：（1）弹簧的最大压缩长度；（已知弹性势能公式E P=（1/2）KX2,其中K为劲度系数、X为弹簧的形变量）；（2）滑块B相对丁地面的最大速度和最小速度。 【解】（1 ）设子弹射入后A的速度为V】，有： V1 = — m V o= ( m + m i) Vi (1) 得：此时两滑块具有的相同速度为V,依前文中提到的解题策略有: )V (2) (m + m 1) Vi = (m + m i + m 2 十= -^(m + mj + 十 (2) mVo= (m + m 1) V2 + m?V3 ：(皿*m])V技 +!也￥^ 由（1）、（4）、（5）式得:
V3 [ (m + m i+ m 2) V 3 — 2mV 0]=0 解得：V 3=0 (最小速度) 例2、如图，光滑水平面上有A 、B 两辆小车，C 球用0 .5 m 长的细线悬挂在A 车的 支架上，已知mA =m B =1kg , m c =0.5kg 。开始时B 车静止，A 车以V 。=4 m/s 的速度驶向B 车并与 其正碰后粘在一起。若碰撞时间极短且不计空气阻力， g 取10m/s 2 ,求C 球摆起的 最大高度。 【解】由丁 A 、B 碰撞过程极短，C 球尚未开始摆动， B A 1 _ ~~i I 1 ., “一橙一、厂 / / / / / / / / / / / / / / / 故对该过程依前文解题策略有： m A V °=(m A +m B )V I (1) -m A VQ 3 --C m A +m —)W E 内= 」 ⑵ B 、 C 有共同速度，该状态为终了状态，这个过程同样依解题策略处理有: (m A +mC )V 0=(m A +m B +m C )V 2 (3) 由上述方程分别所求出A 、B 刚粘合在一起的速度V 1=2 m / s, E 内=4 J, 系统最后的共同速度V 2= 2 .4 m/s,最后求得小球C 摆起的最大高度 h=0.16m 。 例3、质量为m 的木块在质量为 M 的长木板中央，木块与长木板间的动摩擦因数为 ，木 块和长木板一起放在光滑水平面上，并以速度 v 向右运动。为了使长木板能停在水平面上， 可以在木块上作用一时间极短的冲量。试求： (1) 要使木块和长木板都停下来，作用在木块上水平冲量的大小和方向如何？ (2) 木块受到冲量后，瞬间获得的速度为多大？方向如何？ (3) 长木板的长度要满足什么条件才行？ 2mV 0 (最大速度) 对A 、B 、C 组成的系统，图示状态为初始状态, C 球摆起有最大高度时，A 、
动量与能量结合综合题1．如图所示，水平放置的两根金属导轨位于方向垂直于导轨平面并指向纸里的匀强磁场中．导轨上有两根小金属导体杆ab和cd，其质量均为m，能沿导轨无摩擦地滑动．金属杆ab和cd与导轨及它们间的接触等所有电阻可忽略不计．开始时ab和cd都是静止的，现突然让cd杆以初速度v向右开始运动，如果两根导轨足够长，则（） A．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，并将追上cd B．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，但追不上cd C．开始时cd做减速运动，ab做加速运动，最终两杆以相同速度做匀速运动 D．磁场力对两金属杆做功的大小相等 h，如图所示。2．一轻弹簧的下端固定在水平面上，上端连接质量为m的木板处于静止状态，此时弹簧的压缩量为 3h的A处自由落下，打在木板上并与木板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点一物块从木板正上方距离为 后又向上运动。若物块质量也为m时，它们恰能回到O点；若物块质量为2m时，它们到达最低点后又向上运动，在通过O点时它们仍然具有向上的速度，求： 1，质量为m时物块与木板碰撞后的速度； 2，质量为2m时物块向上运动到O的速度。 3．如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度0v，若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热Q最多是多少？ （2）当ab棒的速度变为初速度的4/3时，cd棒的加速度a是多少？
2021届高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练 专题20 动量与能量综合问题 【专题导航】 目录 热点题型一 应用动量能量观点解决“子弹打木块”模型 ..................................................................................... 1 热点题型二 应用动量能量观点解决“弹簧碰撞”模型 ......................................................................................... 4 热点题型三 应用动量能量观点解决“板块”模型 ............................................................................................... 9 热点题型四 应用动量能量观点解决斜劈碰撞现象 ............................................................................................. 13 【题型演练】 (16) 【题型归纳】 热点题型一 应用动量能量观点解决“子弹打木块”模型 子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。 设质量为m 的子弹以初速度0v 射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。 要点诠释：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。 从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：()v m M mv +=0……① 从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为1s 、2s ，如图所示，显然有d s s =-21 对子弹用动能定理：20212 121mv mv s f -=?- ……① 对木块用动能定理：222 1 Mv s f =? ……① ①相减得：()() 2 22022121v m M Mm v m M mv d f +=+-= ? ……① 对子弹用动量定理：0 -mv mv t f -=? ……① s 2 d s 1 v 0
第三章动量守恒定律和能量守恒定律问题解答 3-1如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A运动到点B，（2）地球从点A运动到点C，（3）地球从点A出发绕行一周又返回点A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？ 解由 2 2 Mm mv G R R =可得，地球绕太阳作圆周 运动的速率为v= （1）地球从A到B，动量增量的大小为 AB AB P m v ?=?== 方向与B点速度方向成45o角。 在运动过程中，地球只受到引力作用，由动量定理可知，地球所受的冲量等于动量的增量，即 AB AB I P =?= 方向与B点速度方向成45o角。 （2）同理，地球从A运动到C，动量增量大小为 22 AC AC P m v mv ?=?==，方向与C点速度方向相同。 此过程中地球所受的冲量为2 AC AC I P =?=C点速度方向相同。 （3）当地球绕行一周回到A时，动量增量为零，地球所受到的冲量也为零。 3-2假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其它可以利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖岸呢？ 解可以将身上所带的物品往后扔，由于动量守恒，人自身会向前进。 3-3质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，另一部分质点的速率一定会变小？ A C B A C
解 不一定，因为动量是矢量，既有大小也有方向。例如炸弹爆炸，产生的碎片获得的速率相对爆炸前都增大，但方向不一。 3-4 一人在帆船上用电动鼓风机正对帆鼓风，帆船是前进，还是后退？为什么？ 解 帆船仍然静止，鼓风机所鼓的风对帆及其自身都有作用力，对于整个帆船来看，风对帆和鼓风机的力属于内力，动量守恒。 3-5 在大气中，打开充气气球下方的塞子，让空气从球中冲出，气球可在大气中上升。如果在真空中打开气球的塞子，气球也会上升吗？说明其道理。 解 气球会上升，由动量守恒，从气球中乡下冲出的空气会给气球一个向上的冲力。 3-6 在水平光滑的平面上放一长为L 、质量为m '的小车，车的一端站有质量为m 的人，人和车都是静止不动的。人以速率v 相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距 离？ 解 如图所示，取人与车为系统，在水平 方向系统不受外力，满足动量守恒。设小车沿地面的速率为v '，所以有 mv m v ''= 将上式两边乘以dt ，并对时间积分 t t m vdt m v dt ''=?? （1） 设t 时刻，人刚好走到小车另一端，此时人相对于地面运动的距离为s ，小车相对于地面运动的距离为s '，所以0 t s vdt = ? ，0 t s v dt ''=?，代入（1）式有 ms m s ''= （2） 又由图示可知 s s l '+= （3） 由（2）（3）可得 人对地面移动的距离为m s l m m ' =' + 小车对地面移动的距离为m s l m m '= '+ 3-7 人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？ 解 船与河岸的距离一定，人要能跳上岸，则他相对于地面的速率必须要达到一定的值，假设这个所需的速率为1v ，设人的质量为1m ，船的质量为2m ，并且当起跳时人相对船的速率为u ，由相对运动可知，此时船相对地面运动的速率为 'v
第3章 动量守恒定律和能量守恒定律 问题与习题解答 问题：3-1、3-3、3-7、3-10、3-14、3-19 3-1 如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A 运动到点B ,（2）地球从点A 运动到点C ，（3）地球从点A 出发绕行一周又返回点A ，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？ 答： 选太阳处为坐标原点O ，且O →C 方向为X 轴正方向，O →B 方向 为Y 轴正方向，设地球和太阳的质量分别为,m M ，两者间的距离为r ，地球沿反时针方向作匀速圆周运动的速率为v ，故根据万有引力定律，有： 2 2 v m M m G r r =，即 v = （1）地球从点A 运动到点B 的动量增量为： ()())A B B A P m v v m vi vj i j ?=-=-=- 根据质点的动量定理，地球所受的冲量为： )A B A B I P m i j =?=- （2）地球从点A 运动到点C 的动量增量和所受的冲量为： ()()2A C A C C A P I m v v m vj vj m j ?==-=--=- （3）同理，地球从点A 出发绕行一周回到A 点的动量增量和所受的冲量为： ()0A A A A A A P I m v v ?==-= 3-3 在上升气球下方悬挂一梯子，梯子站一人。问人站在梯子上不动或以加速度向上攀升，气球的加速度有无变化？ 答： （1）人不动，则气球的加速度不变。 （2）以气球及梯子（总质量为M ）与人（质量为m ）为系统，地面为参照系，且设人相对 梯子上爬的速度为v 、气球相对地面的速度为V ，人相对地面的速度为v ' ，则有 v v V '=+ 如果设气球及梯子与人初始为匀速率0v 竖直上升，则可应用动量守恒定律，得 0()m v M V m M v '+=+ 所以， 0()V v m v m M =-+
高考第2轮总复习首选资料 动量的综合运用 1．（20XX 年重庆卷理科综合能力测试试题卷，T25 ，19分） 某兴趣小组用如题25所示的装置进行实验研究。他们在水平桌面上固定一内径为d 的圆柱形玻璃杯，杯口上放置一直径为 2 3 d,质量为m 的匀质薄原板，板上放一质量为2m 的小物体。板中心、物块均在杯的轴线上，物块与板间动摩擦因数为μ，不计板与杯口之间的摩擦力，重力加速度为g ，不考虑板翻转。 （1）对板施加指向圆心的水平外力F ，设物块与板 间最大静摩擦力为max f ，若物块能在板上滑动，求F 应满足的条件。 （2）如果对板施加的指向圆心的水平外力是作用时间极短的较大冲击力，冲量为I ， ①I 应满足什么条件才能使物块从板上掉下？ ②物块从开始运动到掉下时的位移s 为多少？ ③根据s 与I 的关系式说明要使s 更小，冲量应如何改变。 答案： （1）设圆板与物块相对静止时，它们之间的静摩擦力为f ，共同加速度为a 由牛顿运动定律，有 对物块 f ＝2ma 对圆板 F －f ＝ma 两物相对静止，有 f ≤f max 得 F≤ 32 f max 相对滑动的条件 m a x 3 2 F f > （2）设冲击刚结束的圆板获得的速度大小为0v ，物块掉下时，圆板和物块速度大小分别为1v 和2v 由动量定理，有0I mv = 由动能定理，有 对圆板2210311 2()422mg s d mv mv μ-+=- 对物块221 2(2)02 mgs m v μ-=- 由动量守恒定律，有 0122mv mv mv =+ 要使物块落下，必须12v v > 由以上各式得
3 2 I > s ＝ 2 12g μ ? ?? ? 分子有理化得 s ＝2 3 12md g μ?? ? 根据上式结果知：I 越大，s 越小． 2．（20XX 年湛江市一模理综） 如图所示，光滑水平面上有一长板车，车的上表面0A 段是一长为己的水平粗 糙轨道，A 的右侧光滑，水平轨道左侧是一光滑斜面轨道，斜面轨道与水平轨道在O 点平 滑连接。车右端固定一个处于锁定状态的压缩轻弹簧，其弹性势能为Ep ，一质量为m 的小物体(可视为质点)紧靠弹簧，小物体与粗糙水平轨道间的动摩擦因数为μ，整个装置处于静止状态。现将轻弹簧解除锁定，小物体被弹出后滑上水平粗糙轨道。车的质量为 2m ，斜面轨道的长度足够长，忽略小物体运动经过O 点处产生的机械能损失，不计空气阻力。求： (1)解除锁定结束后小物体获得的最大动能； (2)当∥满足什么条件小物体能滑到斜面轨道上，满足此条件时小物体能上升的最 大高度为多少? 解析：(1)设解锁弹开后小物体的最大速度饷大小为v 1，小物体的最大动啦为E k ,此时长板车的速度大小为v 2，研究解锁弹开过程小物体和车组成的系统，根据动量守恒和机械能守恒，有 ①(2分) ②(3分) ③(1分) 联立①②③式解得 ④(2分) (2)小物体相对车静止时，二者有共同的速度设为V 共 ，长板车和小物体组成的系统水平方向动量守恒 ⑤(2分) 所以v 共=0 ⑥(1分) 120mv mv -=221211 .222p E mv mv = +2111 2 k E mv =12 3k p E E =(2)0m m v +=共
高中物理专题练习：动量与能量问题综合应用 时间：60分钟满分：100分 一、选择题(本题共6小题,每小题8分,共48分.其中 1～4为单选,5～6为多选) 1．如图所示,在光滑水平面上的两小车中间连接有一根处于压缩状态的轻弹簧,两手分别 按住小车,使它们静止,对两车及弹簧组成的系统,下列说法中错误的是( ) A．两手同时放开后,系统总动量始终为零 B．先放开左手,再放开右手之后动量不守恒 C．先放开左手,后放开右手,总动量向左 D．无论何时放手,在两手放开后、弹簧恢复原长的过程中,系统总动量都保持不变,但系统 的总动量不一定为零 答案 B 解析当两手同时放开时,系统所受的合外力为零,所以系统的动量守恒,又因开始时总动 量为零,故两手同时放开后系统总动量始终为零,A正确；先放开左手,左边的物体向左运动,再 放开右手后,系统所受合外力为零,故系统在两手都放开后动量守恒,且总动量方向向左,故B 错误,C、D正确. 2.(湖南六校联考)如图所示,质量为m的均匀木块静止在光滑水平面上,木块左右两侧各 有一位拿着完全相同步枪和子弹的射手.首先左侧射手开枪,子弹水平射入木块的最大深度为 d ,然后右侧射手开枪,子弹水平射入木块的最大深度为d2.设子弹均未射穿木块,且两颗子弹1 与木块之间的作用力大小均相同.当两颗子弹均相对于木块静止时,下列判断正确的是( ) A．木块静止,d1＝d2B．木块向右运动,d1 可得：m 弹v 弹＋0－m 弹v 弹＝(2m 弹＋m )v 共,解得v 共＝0.开枪前后系统损失的机械能等于子弹射入木块时克服阻力所做的功,左侧射手开枪后,右侧射手开枪前,把左侧射手开枪打出的子弹和木块看做一个系统,设子弹射入木块时受到的平均阻力大小为f ,则由动量守恒定律有：m 弹v 弹 ＋0＝(m 弹＋m )v 共′,则v 共′＝ m 弹m 弹＋m v 弹,左侧射手射出的子弹射入木块中时,该子弹和木块组 成的系统损失的机械能ΔE 1＝12m 弹v 2 弹－12(m 弹＋m )v 共′2＝fd 1,右侧射手开枪打出的子弹射入木 块时,则有－m 弹v 弹＋(m 弹＋m )v 共′＝(2m 弹＋m )v 共,系统损失的机械能ΔE 2＝12m 弹v 2弹 ＋1 2 (m 弹＋m )v 共′2－0＝fd 2,ΔE 1<ΔE 2,故d 1 1．一个物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下，设三面的高h 和水平距离l 都分别相等，三面与物体的摩擦因数μ也相等，则该物体分别从三个面滑到地面速度具有最大值的面为( ) (A) 斜面(B) 凸面 (C) 凹面(D) 三面相等 2．对功的概念有以下几种说法 (1)保守力作正功时、系统内相应的势能增加. (2)质点经一闭合路径运动一周, 保守力对质点作功为零. (3)作用力和反作用力大小相等、方向相反, 所以两者所作功的代数和必为零. 在上述说法中正确的是（） (A) (1) (2); (B) (2) (3); (C) (2) ; (D) (3). 3．质量相等的两个物体A和B, v0相同，在μ不同的水平面上同时开始滑动，A先停，B 后停，且B走过的路程也较长，问摩擦力对这两个物体所作的功是否相同? 。 4．一子弹水平地射穿两个前后并排放在光滑水平桌面上的木块，木块质量分别为m1和m2，测得子弹穿过两木块的时间分别为Δt1和Δt2，已知子弹在木块中受的阻力为恒力F，则子弹穿过后两木块的速度v1= m·s-1，v2=_____m·s-1 . 5．一质量为2kg的小球, 沿x方向运动, 其运动方程为x=5t2-2m, 则在时间t1=1s 到t2=3s 内, 求(1)合外力对小球作的功; (2)合外力对小球作用的冲量大小． 6．有一劲度系数为k的轻质弹簧竖直放置，其下端挂有一质量为m的物体，初始时刻弹簧处于原长，而物体置于水平地面上。然后将弹簧上端缓慢地提起，至物体距地面为h时，在此过程中外力做功为多少？ 7．人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？ v 1 用β粒子检验相对论的动量-能量关系 智多星 XX?学物理学院2014级5班学号：1400XXXXXX? (?期：2017年3?25?) 摘要 该实验?β磁谱仪测出?射的?速β在真空的静磁场中的运动半径,以及该运动半径下的粒?的动量,并以NaI(T I)闪烁体探测器直接测出这些不同动量的β粒?的各?对应的动能.由此可以得到β的动能-动量关系图.然后将得到的β粒?动量-动能关系与相对论性的动能动量关系,以及经典的?相对论下的动量-动能关系相?较.即可以验证狭义相对论在粒??速运动下对其动能-动量关系的正确性.该实验说明了在?速运动下,经典?学不再适?,需要?狭义相对论来描述粒?的运动规律. 关键词：β粒?衰变,动量,相对论,能量 ?1400XXXXXX@https://www.doczj.com/doc/5417499635.html,(86)XXXXXXXXXXX 1 I.引言 19世纪，迈克尔逊——莫雷实验没有观测到地球相对于以太的运动，否定了以太的存在；麦克斯韦?程组在伽利略变换下不是不变的，说明了电磁定律不满??顿?学中的伽利略相对性原理。在此基础上，爱因斯坦在1905年提出了狭义相对论，其基于以下两个假设；1、所有物理定律在所有惯性参考系中均有完全相同的形式——爱因斯坦相对性原理；2、在所有惯性参考系中光在真空中的速度恒定为c,与光源和参考系的运动?关——光速不变原理。由此得到了洛伦兹变换，继?建?了狭义相对论。狭义相对论已经被?量实验所证实，并且在物理学，尤其是粒?物理学等领域得到了?泛地应?。它是设计所有粒?加速器的基础.本实验将通过测量近真空中速度接近光速的电?的动能量关系来证明狭义相对论的正确性.该?法要求同学熟练地掌握β磁谱仪的使?原理,其他粒?物理实验也有很?的借鉴作?. II.实验 在此部分需要将实验条件交待清楚到别?能重复你的实验结果的程度.此外,还需表明你已尽了最?努?来提?实验精度和结果的可靠性.简单的不确定度估计可以在此节给出，复杂?些的可以放到分析讨论部分. 实验条件不仅是指直接影响实验结果的实验参量，?且还包括影响实验质量和可靠性的因素，如室温、空?湿度、基真空、原材料纯度等. 作为教学实验报告，此节写详细?点没有坏处. 如有必要，各节下都可以再分节，如： A.实验原理 1.相对论性的质量、动量和能量 四维时空中，四维动量的时间分量为 P4=iγm0c=i c m0c2 √ 1?β2 = i c mc2(1) 动量和能量综合试题 1.如图，两滑块Ａ、Ｂ的质量分别为m1和m2， 置于光滑的水平面上，Ａ、Ｂ间用一劲度系数 为K的弹簧相连。开始时两滑块静止，弹簧为 原长。一质量为ｍ的子弹以速度Ｖ0沿弹簧长度方向射入滑块Ａ并留在其中。 试求：（１）弹簧的最大压缩长度；(已知弹性势能公式E P=(1/2)KX2，其中K为劲度系数、X为弹簧的形变量)；（２）滑块Ｂ相对于地面的最大速度和最小速度。 2.如图，光滑水平面上有Ａ、Ｂ两辆小车，Ｃ球用０.５m长的细线悬挂在Ａ车的支架上，已知mA=m B=1kg，m C=0.5kg。开始时B车静止，Ａ车以Ｖ0＝４m/s的速度驶向Ｂ车并与其正碰后粘在一起。若碰撞时间极短且不计空气阻力，g取10m/s2，求C球摆起的最大高度。 3、质量为m的木块在质量为M的长木板中央，木块与长木板间的动摩擦因数为μ，木块和长木板一起放在光滑水平面上，并以速度v向右运动。为了使长木板能停在水平面上，可以在木块上作用一时间极短的冲量。试求： （1）要使木块和长木板都停下来，作用在木块上水平冲量的大小和方向如何？ （2）木块受到冲量后，瞬间获得的速度为多大？方向如何？ （3）长木板的长度要满足什么条件才行？ 4、如图所示，光滑水平面上有一质量M=4.0kg的平板车，车的上表面右侧是一段长L=1.0m的水平轨道，水平轨道左侧是一半径R=0.25m的1/4光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在O′点相切。车右端固定一个尺寸可以忽略，处于锁定状态的压缩轻弹 簧，一质量m=1.0kg的小物体（可视为质点）紧靠弹簧，小物 体与水平轨道间的动摩擦因数0.5 μ=。整个装置处于静止状 态。现将轻弹簧解除锁定，小物体被弹出，恰能到达圆弧轨道 的最高点A。不考虑小物体与轻弹簧碰撞时的能量损失，不计 空气阻力。g取10m/s2，求： （1）解除锁定前轻弹簧的弹性势能； （2）小物体第二次经过O′点时的速度大小； （3）最终小物体与车相对静止时距O′点的距离。 5、质量m=1kg的小车左端放有质量M=3kg的铁块，两者以v0=4m/s的共同速度沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙的碰撞时间极短，无动能损失。铁块与车间的动摩擦因数为μ=1/3，车足够长，铁块不会到达车的右端。从小车第一次与墙相碰开始计时，取水 平向右为正方向，g=10m/s2，求：当小车和铁块再次具有共同速度 时，小车右端离墙多远？ 6、如图所示，轻质弹簧将质量为m的小物块连接在质量为M(M=3m) 的光滑框架内。小物块位于框架中心位置时弹簧处于自由长度．现 v沿光滑水平面向左匀速滑动. 设框架与小物块以共同速度 （1）若框架与墙壁发生碰撞后速度为零，但与墙壁不粘连，求框架脱离墙壁后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值. 2020年高考物理一轮复习考点综合提升训练卷---动量与能量综合题 1.如图所示，一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋千绳处于水平位置)，从A 点由静止出发绕O 点下摆，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A .已知男演员质量为2m 和女演员质量为m ，秋千的质量不计，秋千的摆长为R ，C 点比O 点低5R .不计空气阻力，求： (1)摆到最低点B ，女演员未推男演员时秋千绳的拉力； (2)推开过程中，女演员对男演员做的功； (3)男演员落地点C 与O 点的水平距离s . 【答案】 (1)9mg (2)6mgR (3)8R 【解析】 (1)第一个过程：两杂技演员从A 点下摆到B 点，只有重力做功，机械能守恒．设 二者到达B 点的速度大小为v 0，则由机械能守恒定律有：(m ＋2m )gR ＝12 (m ＋2m )v 02. 女演员未推男演员时，秋千绳的拉力设为F T ，由两杂技演员受力分析有： F T －(2m ＋m )g ＝(m ＋2m )v 02R 所以F T ＝9mg (2)第二个过程：两演员相互作用，沿水平方向动量守恒． 设作用后女、男演员的速度大小分别为v 1、v 2， 所以有(m ＋2m )v 0＝2mv 2－mv 1. 第三个过程：女演员上摆到A 点过程中机械能守恒，因此有mgR ＝12 mv 12. 女演员推开男演员时对男演员做的功为W ＝12×2mv 22－12 ×2mv 02 联立得：v 2＝22gR ，W ＝6mgR (3)第四个过程：男演员自B 点平抛，有：s ＝v 2t . 运动时间t 可由竖直方向的自由落体运动得出4R ＝12 gt 2， 联立可解得s ＝8R . 2.如图所示，光滑水平面上放着质量都为m 的物块A 和B ，A 紧靠着固定的竖直挡板，A 、B 间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与A 、B 均不拴接)，用手挡住B 不动，此时弹簧弹性势能为92 mv 20，在A 、B 间系一轻质细绳，细绳的长略大于弹簧的自然长度。放手后绳在短暂时间内被拉断，之后B 继续向右运动，一段时间后与向左匀速运动、速度为v 0的物块C 发生碰撞，碰后B 、C 立刻形成粘合体并停止运动，C 的质量为2m 。求： (1)B 、C 相撞前一瞬间B 的速度大小； (2)绳被拉断过程中，绳对A 所做的W 。 【答案】 (1)2v 0 (2)12mv 20 【解析】 (1)B 与C 碰撞过程中动量守恒 mv B ＝2mv 0 解得：v B ＝2v 0 (2)弹簧恢复原长时，弹性势能全部转化为物块B 的动能，则E p ＝12mv 2B 0 解得：v B 0＝3v 0 绳子拉断过程，A 、B 系统动量守恒 mv B 0＝mv B ＋mv A 解得：v A ＝v 0 动量和能量的综合 一、大纲解读 动量、能量思想是贯穿整个物理学的基本思想，应用动量和能量的观点求解的问题，是力学三条主线中的两条主线的结合部，是中学物理中涉及面最广，灵活性最大，综合性最强，内容最丰富的部分，以两大定律与两大定理为核心构筑了力学体系，能够渗透到中学物理大部分章节与知识点中。将各章节知识不断分化，再与动量能量问题进行高层次组合，就会形成综合型考查问题，全面考查知识掌握程度与应用物理解决问题能力，是历年高考热点考查内容，而且命题方式多样，题型全，分量重，小到选择题，填空题，大到压轴题，都可能在此出题．考查内容涉及中学物理的各个版块，因此综合性强．主要综合考查动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、动量定理和动量守恒定律的运用等．相关试题可能通过以弹簧模型、滑动类模型、碰撞模型、反冲等为构件的综合题形式出现，也有可能综合到带电粒子的运动及电磁感应之中加以考查． 二、重点剖析 1．独立理清两条线：一是力的时间积累——冲量——动量定理——动量守恒；二是力的空间移位积累——功——动能定理——机械能守恒——能的转化与守恒．把握这两条主线的结合部：系统．． 。即两个或两个以上物体组成相互作用的物体系统。动量和能量的综合问题通常是以物体系统为研究对象的，这是因为动量守恒定律只对相互作用的系统才具有意义。 2．解题时要抓特征扣条件，认真分析研究对象的过程特征，若只有重力、系统内弹力 做功就看是否要应用机械能守恒定律；若涉及其他力做功，要考虑能否应用动能定理或能的转化关系建立方程；若过程满足合外力为零，或者内力远大于外力，判断是否要应用动量守恒；若合外力不为零，或冲量涉及瞬时作用状态，则应该考虑应用动量定理还是牛顿定律． 3．应注意分析过程的转折点，如运动规律中的碰撞、爆炸等相互作用，它是不同物理过程的交汇点，也是物理量的联系点，一般涉及能量变化过程，例如碰撞中动能可能不变，也可能有动能损失，而爆炸时系统动能会增加． 三、考点透视 考点1、碰撞作用 碰撞类问题应注意：⑴由于碰撞时间极短，作用力很大，因此动量守恒；⑵动能不增加，碰后系统总动能小于或等于碰前总动能，即1212k k k k E '+E 'E +E ≤；⑶速度要符合物理情景：如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度一定大于前面物体的速度，即v v 后前＞，碰撞后，原来在前面的物体速度一定增大，且≥v v 后前；如果两物体碰前是相向运动，则碰撞后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。 例1A 、B 两球在光滑水平面上沿同一直线运动，A 球动量为p A =5kg·m/s ，B 球动量为 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 3-1 力)SI (12i F t =作用在质量kg 2=m 的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量应为： （A ）m/s kg 54?-i （B ）m/s kg 54?i （C ）m/s kg 27?-i （D ）m/s kg 27?i [B] 解：以该物体为研究对象，由质点动量定理 ?? =? ??? ??==-=?3 0300354d 12d i i F p p p t t t 又00=p 故() -1 3s m kg 54??=i p 3-2 一个质点同时在几个力作用下的位移为： )SI (654k j i r +-=? 其中一个力为恒力)SI (953k j i F +--=，则此力在该位移过程中所作的功为 （A ）67J （B ）91J （C ）17J （D ）-67J [A] 解：()()k j i k j i r F 654953+-?+--=??=A (J) 675425-12=++= 3-3 对质点组有以下几种说法： ①质点组总动量的改变与内力无关 ②质点组总动能的改变与内力无关 ③质点组机械能的改变与保守内力无关 在上述说法中： （A ）只有①是正确的 （B ）①、③是正确的 （C ）①、②是正确的 （D ）②、③是正确的 [B] 解：由于质点组内力冲量的矢量和为零，所以质点组总动量的改变与内力无关。 由于质点组内力功的代数和不一定为零，由动能定理K E A A ?=+内外，质点组总动能的改变可能与内力相关。，由功能原理E A A ?=+非保内外，质点系机械能的改变与保守内力无关。 3-4 质点系的内力可以改变 （A ）系统的总质量（B ）系统的总动量 班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第3-1 动量定理 一．填空题： 1．物体所受到一维的冲力F ，其与时间的关系如图所示，则该曲线与横坐标t 所围成的面积表示物体在?t = t 2 - t 1时间所受的 冲量的大小。 2．质量为m 的物体以初速度v 0，倾角α 斜向抛出，不计空气阻力，抛出点与落地点在同一水平面，则整个过程中，物体所受重力的冲量大小为αsin 20?mv ，方向为竖直向下。 3．设有三个质量完全相同的物体，在某时刻t 它们的速度分别为123 , , v v v ，并且 123ννν==，1v 与2v 方向相反，3v 与1v 相垂直，设它们的质量全为m ，则该时刻三物体 组成的系统的总动量为3v m 。 4．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动方程为j t b i t a r )sin()cos(ωω+=，请问 从 0t =到t π ω =这段时间内质点所受到的冲量是2mb j ω- 。 5．高空作业时系安全带是非常必要的，假如一质量为51.0kg 的人，在操作过程中不慎从空竖直跌落下来。由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为 2.0m 。安全带弹性缓冲作用时间为0.5s ，求安全带对人的平均冲力N 31014.1?。 二．计算题： 6．一个质量m=0.14 kg 的垒球沿水平方向以v 1=50 m/s 的速率投来，经棒打出后，沿仰角α＝45?的方向向回飞出，速率变为v 2=80 m/s 。求棒给球的冲量大小和方向；如果球与棒接触时间t ?=0.02 s ，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重力的几倍？ 解 设垒球飞来之正方向为x 轴正方向，则棒对球冲量大小为： 1 1 )(616)/()(845' 2152cos sin 180: ) /(9.16cos 2212212 22112倍此力为垒球本身重的棒对球平均冲力角给出方向由==?= =+-==++=-=m g F N t I F m v m v m v avctg S N v v v v m v m v m I αα θθα 动量和能量综合测试卷 第一卷（选择题共40分） 一、本题共10小题；每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确．全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分． 1．在高速公路上发生一起交通事故，一辆质量为1500kg向南行驶的长途客车迎面撞上了一质量为3000kg向北行驶的卡车，碰后两车接在一起，并向南滑行了一小段距离后停止，根据测速仪的测定，长途客车碰前以20m/s的速率行驶，由此可判断卡车碰前的行驶速率( ) A. 小于10m/s B. 大于10m/s小于20m/s C . 大于20m/s小于30m/s D . 大于30m/s小于40m/s 2．如图所示，光滑水平面上，质量为m=3kg的薄木板和质量为m=1kg的物块，都以v=4m/s 的初速度朝相反方向运动，它们之间有摩擦，薄板足够长，当薄板的速度为2.4m/s时，物块的运动情况是（） A.做加速运动 B.做减速运动 C.做匀速运动 D.上述都有可能 3. 一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力 所做的功等于() A．物体势能的增加量 B．物体动能的增加量 C．物体动能的增加量加上物体势能的增加量 D．物体动能的增加量加上克服重力所做的功 4．测定运动员体能一种装置如图所示，运动员质量为m1，绳 拴在腰间沿水平方向跨过滑轮（不计滑轮质量及摩擦）， 下悬一质量为m2的重物，人用力蹬传送带而人的重心不 动，使传送带以速率v匀速向右运动。下面是人对传送带 做功的四种说法，其中正确的是（） A．人对传送带做功B．人对传送带不做功 C．人对传送带做功的功率为m2gv D．人对传送带做功的功率为(m1+m2)gv 5．在光滑水平面上，动能为E0、动量的大小为p0的小钢球1与静止小钢球2发生碰撞，碰撞前后球1的运动方向相反．将碰撞后球1的动能和动量的大小分别记为E1、p1，球2的动能和动量的大小分别记为E2、p2，则必有（） A．E1＜E0 B．p1＜p0 C．E2＞E0 D．p2＞p0 6．如图所示，两物体A、B之间用轻质弹簧相连接，放在光滑的水平面上，物体A紧靠竖直墙壁，现向左推物体B使弹簧压缩，然后由静止释放，则（） A．弹簧第一次恢复原长后，物体A开始加速运动 B．弹簧第一次伸长到最大长度时，A、B的速度一定相同C．弹簧第二次恢复原长后，两物体速度一定为零第三章 动量守恒和能量守恒定律习题
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