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高中数学必修五不等式讲义

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高中数学必修五不等式讲义

高中数学必修五不等式

讲义

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

不等式讲义

目录

一、不等式的基本性质...................................................... 错误!未定义书签。

二、重要不等式............................................................ 错误!未定义书签。

三、例题展示.............................................................. 错误!未定义书签。

比较法 .............................................................. 错误!未定义书签。

分析法 .............................................................. 错误!未定义书签。

1. 凑项.......................................................... 错误!未定义书签。

2. 凑系数........................................................ 错误!未定义书签。

3. 凑完全平方式.................................................. 错误!未定义书签。

4. 分离.......................................................... 错误!未定义书签。

代换................................................................ 错误!未定义书签。

1. 消元.......................................................... 错误!未定义书签。

2. 整体代换(“1”的代换)....................................... 错误!未定义书签。

3. 判别式法(万能K法).......................................... 错误!未定义书签。

4. 局部代换(换元).............................................. 错误!未定义书签。

5. 三角代换...................................................... 错误!未定义书签。

6. 均值代换、比值代换............................................ 错误!未定义书签。

构造................................................................ 错误!未定义书签。

1. 形式构造...................................................... 错误!未定义书签。

2. 对偶式构造.................................................... 错误!未定义书签。

3. 函数构造...................................................... 错误!未定义书签。

4. 数形结合...................................................... 错误!未定义书签。

待定系数法 .......................................................... 错误!未定义书签。

1. 均值不等式添加参数............................................ 错误!未定义书签。

2. 柯西不等式添加参数............................................ 错误!未定义书签。

切割线放缩 .......................................................... 错误!未定义书签。

导数................................................................ 错误!未定义书签。

四、综合练习.............................................................. 错误!未定义书签。

五、练习题................................................................ 错误!未定义书签。

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一、不等式的基本性质

(1)对称性:a >a ?a

(2)传递性:a >a ,a >a ?a >a ;

(3)可加性:a >a ,a ∈a ?a +a >a +a ;

(4)加法法则:a >a ,a >a ?a +a >a +a ;

(5)可乘性:a >a ,a >0?aa >aa ;a >a,a <0?aa

(6)乘法法则:a >a >0,a >a >0?aa >aa ;

(7)乘方法则:a >a >0?a a >a a (a ∈a ?,且a >1);

(8)开方法则:a >a >0?√a a >√a a

(a ∈a ?,且a >1); (9)倒数法则:110a b a b

>>?<; (10)有关分数的性质:若 a >a >0,a >0,则 ①真分数的性质:b b m a a m +<+;b b m a a m

->-; ②假分数的性质:

a a m

b b m +>+;a a m b b m -<-; (11)**不等式的对称性(了解)

设a (a 1,a 2,???,a a )是一个n 元函数. 若将a 1,a 2,???,a a 中任意的两个变元互相交换位置,得到的a 与原式是恒等的,则称 a (a 1,a 2,???,a a )是完全对称的.

如aa +aa +aa ,a b c b c c a a b

+++++等. 设a (a 1,a 2,???,a a )是一个a 元函数. 若作置换 a 1→a 2,a 2→a 3,???,a a ?1→a a ,a a →a 1,得到的a 与原式是恒等的,则称a (a 1,a 2,???,a a )是轮换对称的. 如a 3a +a 3a +a 3a ,a b c a b b c c a

+++++等. 显然,完全对称的一定是轮换对称的.

二、重要不等式

1.无理式化为有理式,分式化为整式

(1

2()0()0() ()0()()

g x g x g x f x f x g x <≥??>???≥>?? 或

2()0()()0()()g x g x f x f x g x >???≥??

()0(0()0 ()0

g x f x g x f x >?≥?=?≥?或 (2)()()()00()

f x f x

g x g x >??> ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ?≥?≥??≠?

. 含有绝对值的不等式

(1)()()()() ()()f x g x f x g x f x g x ≥?≥≤-或;

(2)|()|()()()()f x g x g x f x g x ≤?-≤≤;

(3)对形如|a ?a |+|a ?a |≤(≥)a 的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.

(4)含有绝对值的不等式的性质

|a |?|a |≤|a ±a |≤|a |+|a |.

取等条件:

不等式|a |?|a |≤|a +a |≤|a |+|a |,右侧“=”成立的条件是aa ≥0,左侧“=”成立的条件是aa ≤0,且|a |≥|a |;

不等式|a |?|a |≤|a ?a |≤|a |+|a |,右侧“=”成立的条件是aa ≤0,左侧“=”成立的条件是aa ≥0,且|a |≥|a |.

. 一元二次不等式

aa 2+aa +a >0(a ≠0)的解 (设 a =a 2?4aa )

对于a

<0的情况,先移项将系数变为正然后求解.

.基本不等式

(1)设a ,a ∈a ,则a 2+a 2≥2aa ,当且仅当a =a 时,等号成立.

(2)若 a ,a

>0,则2

a b +≥,当且仅当a =a 时,等号成立. (3)若 a ,a >0

,则2112a b

a b

+≤≤≤+,当且仅当a =a 时,等号成立. 其中,2

11a b +称为几何平均数,2a b +称为平方平均数

. 柯西不等式

(1)柯西不等式简单形式:,,,a b x y R ∈,

()()22222()a

b x y ax by ++≥+,()()22222()ax by a b x y -≥--

证: ()()()22222

22222222222222222()22()0

a b x y ax by a x b y a y b x a x axby b y a y b x axby ay bx ++-+=+++-++=+-=-≥

()()

()()2222222222222222222222()22()0

ax by a b x y a x axby b y a x a y b x b y a y b x axby ay bx ----=-+---+=+-=-≥

得证. 当ay bx =时取等号.

(2)柯西不等式向量形式:|a ???? ?a ???? |≤|a ???? |?|a ???? |

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