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二次函数知识点总结和分类试题[精华篇]

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。 4.

()2

y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的

平移

1. 平移步骤：

方

法一：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成c m x b m x a y ++++=)()(2

（或

c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -??=++

?，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及

顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，

关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a =-时，y 有最小值244ac b a -．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．当2b

x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线

与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b

<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab 的符号的判定：对称轴a

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式

已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠

的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以

0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：

图像参考：

y=-2x 2

y=3(x+4)2

y=3x

y=-2(x-3)2

十一、函数的应用

二次函数应用??

???

刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

2-3

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x 为自变量的二次函数2)2(2

--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的

图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12

-+=bx kx y 的图像大致是（）

y y y y

1 1

0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D

3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综

合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3

x ，求这条抛物线的解析式。 4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－3

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a

c b M 在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1

2)的下方．下列结论：①aO；③4a+cO ，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2

+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2

+bx+c 的对称轴是直线x=2，则

抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2)

答案：C

度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.

例5、已知抛物线y=

12x 2+x-52

．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例6.已知：二次函数y=ax 2

-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4，10)，交x 轴于)0,(1x A ，)0,(2x B 两点)(21x x <，交y

轴负半轴于C 点，且满足3AO=OB ．

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角∠MCO>∠A CO?若存在，请你求出M 点的横坐标的取值围；若不存在，请你说明理由．

(1)解：如图∵抛物线交x 轴于点A(x 1，0)，B(x2，O)，则x 1·x 2=3<0，又∵x 1

∴x 2>O ，x 1

∴x 1·x 2=-3x 12=-3．∴x 12

=1. x 1<0，∴x 1=-1．∴．x 2=3．

∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3

∴．二次函数的解析式为y-2x 2

-4x-6． (2)存在点M 使∠MC0<∠ACO ．

(2)解：点A 关于y 轴的对称点A ’(1，O)，

∴直线A ，C 解析式为y=6x-6直线A'C 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x 的围为-1

当点M 的横坐标满足-1∠ACO ．例7、 “已知函数c bx x y ++=

1的图象经过点A （c ，－2）

，

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c ，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据c bx x y ++=

1的图象经过点A （c ，－2），图象的对称轴是x=3，得

???

???=?

--=++,3212,

2212

b c bc c 解得??

?=-=.2,3c b 所以所求二次函数解析式为.232

+-=

x x y 图象如图所示。

（2）在解析式中令y=0，得

0232

=+-x x ，解得.53,5321-=+=x x 所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3+)0,5”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是).0,53(- 令x=3代入解析式，得,2

-=y 所以抛物线232

12+-=

x x y 的顶点坐标为),25,3(-

所以也可以填抛物线的顶点坐标为)2

,3(-等等。

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10y （件）之间的关系如下表：

x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …

若日销售量y 是销售价x （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？

【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b ．则1525,

220k b k b +=??+=?

解得k=-1，b=40，?即一次函数表达式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元

w=（x-10）（40-x ）=-x 2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙

两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( )

A ．1．5 m

B ．1．625 m

C ．1．66 m

D ．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用答案：B

分类试题

二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .

①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2

+4x ； ④y=－3x ；

⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2

+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2

+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2

+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值围为。

4、若函数y=(m －2)x m －2

+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为。 6、已知函数y=(m －1)x

m2 +1

+5x －3是二次函数，求m 的值。

二次函数的对称轴、顶点、最值

（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2

+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝ .

3．抛物线y ＝x 2

＋3x 的顶点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4．若抛物线y ＝ax 2

－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴

6．已知抛物线y ＝x 2

＋(m －1)x －14

的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .

7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是。

8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝。

9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n

＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝。

函数y=ax 2

+bx+c 的图象和性质

1．抛物线y=x 2

+4x+9的对称轴是。

2．抛物线y=2x 2

－12x+25的开口方向是，顶点坐标是。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=12 x 2－2x+1 ；（2）y=－3x 2

+8x －2；（3）y=－14

x 2+x －4

5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2

－3x+5，试求b 、c 的值。

6．把抛物线y=－2x 2

+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

函数y=a(x －h)2

的图象与性质

1．填表：

2．已知函数y=2x 2

,y=2(x －（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2

？

3．试写出抛物线y=3x 2

经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2

个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数y=12

(x －3)2

的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

5．二次函数y=a(x －h)2

的图象如图：已知a=12

，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

二次函数的增减性

1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而；当x<1时，y 随x 的增大而；当x=1时，函数有最值是。

2.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为。

3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值围是 .

4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+5

的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3

为 .

二次函数的平移

技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2

+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减

6.抛物线y= －3

x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为。

7.抛物线y= 2x 2，，可以得到y=2(x+4}2－3。 8.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

9.如果将抛物线y=2x 2

－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。 10.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝，b ＝，c ＝ .

11.将抛物线y ＝ax 2

向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

函数的交点

11.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。 12.直线y=7x+1与抛物线y=x 2+3x+5的图象有个交点。

函数的的对称

13.抛物线y=2x 2－4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为。 14.抛物线y=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的抛物线为y=2x 2－4x+3，则 a= b= c=

函数的图象特征与a 、b 、c 的关系

1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a C ．a-b+c> 0 D ．c< 0

3.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论：

①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2

-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（）

A ．①②

B ．①④

C ．①②③

D ．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系的图象可能是（）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c

四个代数式中，值为正数的有( )

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

7.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= c

A B C D

8.反比例函数y= k

的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大致为图中的（）

A B C D

9.反比例函数y= k

中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的（）

A B C D

10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：

①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x的值只能取0；其

中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1.如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝（写一个即可）

2.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为

3.抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点

D.有三个交点

4.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为( )

A.6

B.4

C.3

D.1

A.－2

B.12

C.24

D.48

6. 若二次函数y ＝(m+5)x 2

+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值围是

7. 已知抛物线y ＝x 2

-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2

+bx+c ，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x －h)2

+k 求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x －x 1)(x －x 2)。 5．二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。

7．抛物线y=2x 2

+bx+c 与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

8．若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，3），且与y=2x 2

的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。

9．抛物线y=2x 2

+bx+c 与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b ＝，c ＝ . 10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y 轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式。 11．根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式（1）当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）

（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3

（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3

（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

11．当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= －3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

12．已知二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

13．知二次函数图象顶点坐标（－3，12 ）且图象过点（2，11

），求二次函数解析式及图象与y 轴的交点坐标。

14．已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)， (－1,0)与y 轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

15．若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x= 1

对称，那么图象还必定经过哪一点？

16．y= －x 2+2(k －1)x+2k －k 2，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。

17．抛物线y= (k 2－2)x 2+m －4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － 1

x +2上，求函数解析式。

二次函数应用

(一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X 的一次函数. (1)试求y 与x 的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

(1)求Y与X之间的函数关系式；

(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0