参考答案
第二十四章 相似三角形 24.1放缩与相似形
1.形状相同的两个
2.长度成比例相等
3.不一定
4.略
5.有一组角对应相等
6.20
7.C
8.B
9.B 10.2(102)210(05)S x x x x x =-=-+<< 11.（1）不相似.A B = 30，28A B ''=BC = 20，18B C ''=而
28183020≠ （2）由题意，得3022023020
x --=. 解方程，得x = 1.5，或
30220
x
-. 解方程，得x = 9 12.不一定相似。因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等。梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能
24.2（1）比例的性质
2
217351
1.
2. 7.5
3.
4.13
5. 3 i.
63
6.2
7.
8.9.15
14
6x a b y a b +=--13
10.
15 11.12:1312.±厘米14.D 15.1207
厘米 16.11 17.（1）5:4:1(2)
17 18. 89
17
19三、四 20 x = 2，24.2（2）面积比与线段比的相互转化、黄金分割
1.0.5
2. 2
2
33
3.2
4.21
5.12.36厘米69-7.3:21008.C 9.B 10.C 1.D
12.
∵
AD
∥
B
∥
CF ,,,DME
WD
DHF
CHD
QE FBE CHB
S S
S
S
S S S
??===∴,2FHE DEF
BEF
S S
S
?=∴=
13. 111
1,,,,222
AB AC x BD ED AD x ====∴=+在Rt △ABD 中，由勾股
定
理
，
得
2
2
22
211111,1,12244x x x x x ????+=+∴++=+∴=- ? ?????
221(1),x x AC AB BC
∴=?-∴=?AC BC
AB AC
=，即点C 是线段AB 的一个黄金分
割点。在21x x =-中，整理，得2110,2
x x x -±+-=∴=
AC 为线段长，只能
取正，AC 10.618,0.6182AC
x AB
-+=
≈∴≈黄金比约为0.618 24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）
1.3
2.5
3.4米∴..25.2厘米 6.5:17.A 8.0.5，解略9.∴EF ∥DC →AEBC =
AF :DF ,DE ∥BC →AD :BD = AE :BC ，∴AF :FD = AD :DB 10.提示：PQ PR PS PI ==PB
PD 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AO :OC = OD :O B.又CE ∥AB ，则BO :OEAO :OC ，∴BO :OE = AO :CC = OD :OB ，即OD :OB = BO :O .又OB = 6，OD = 4，即4：6 = 6：OE ，解得OE = 9.又OD = 4，∴DE
24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质） 1.重心 2.这个顶点对边中点距离 3.404.45.4.56(1)
14
11
（2）207.88.3:59.1:210.211.①③④12.C 13.B 14.（1）∵AD ∥BC ，∴DE FD
BC FC
=FD = 2
，
112
,. 6.624(2)//,33ED DE FE
FC DC AD BC BC FC BC FB
=∴=∴=∴=-=∴
=AE EG
BC GB
∴
=E 是AD 中点，∴AE = DE FE EG
FB GB
=EF ·GB = C ·BF 15.EF mn
m n
=
+16.略17.（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ,AD ∥BC ，,DE DM AF AM
EC BC FC BC
∴==∵点E 为边DC 的中点，DM = B C.∵BC = 2AD ，∴DM =
2AD
，
∴
AM
=
AD +DM
=
3AD
33
3(2)///,, 1.22
2AF AD FM AM EM DE BM
AD BC FC AD BF BC BE EC BF
∴
==∴
====∴=5251
,,,2144
BM BE EF BE BF BF =∴=∴= 24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论 1.平行
AD AE
BD CE
= 2.1:43.5:34.不一定平行5.2:36.67.A 8.B 9.略10.略11.略12.（1）∵AB ⊥AC ,EE ⊥AC ,PD ⊥AB ，∴PE ∥AB ,PD ∥AC ，
EN
BN
∴
=,.,,//(2)EP EM EC EN EM
PE EC DB DP NM BC PNM BD PM DP
BN PM
===∴
=∴∠=
PMM ，∴PN = PM = 213.（1）如图（a ），延长AC 至点E ，使CE = CA ，连接BE .∵C 为OB 中点，∴△BCE ≌△OC A.∴E = OA ，∠E = ∠OA C.∴B ∥OA
AP AD
EP EB
∴
=又D 为OA 中点，OA =
OB 12AP AD EP AO ∴
==1.222AP AP AP
EP PC AP PC
∴==∴=+（2）如图（b ）延长AC 至点H ，使CH = CA ，连接BH .∵∴C 为OB 中点，∴△BCH ≌△CCA ，∠CBH = ∠O = 90°，BH = OA AD AO =1
4
，设AD = t ,OD = 3t ，则BH = OA = OB = 4t .在
Rt △BOD
中
，
5BD t
=4//,4BP BH t
OA BH DP AD t
∴
===
1.:1:15
PD BP AD DP ∴=∴=(3) :BC BP n =
24.3（4）平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理 1.
48112.真3.5:34.510
20335. (1) 8
3
(2)
16
3
6.D
7.A
8.B
9.（1）AB = 4，
BC = 10（2）BE = 910.（1）略（2）∵AD ∥BC ，DG AD
BG BE
∴
=四边形ACED 是平行四边形，CF ∥DE ,AD = CE DF CE DG DF
BD BE BG BD
∴
=?∴=11.过A 作FK ∥BC 交CE ,BD 的延长线于点F ,K ，,DA AK EA AF
CD BC EB BC
∴
==两式相加，得到AD AE FK CD BE BC +=，再证KF = 2MN = ,1AD AE
BC CD BE +=12.（1）略(2) 23
3(04)4
y x x x =-<<
阶段训练1
1.10:111:10
2.
4786
2055
3. 4.
23
5. 1) 2
6. 81
3
7. 23
a 8. 8 9. 110.211.6:112.D 13.B 14.A 15.B 16.略17.略18.
略
19.
（1）证明略(2)
2211555
10210(2)1022222
PEF
S
EF DH t t t t t ??=
?=-?=-+=--+ ???∴当t = 2秒时，PEF
S
存在最大值，最大值为10，此时BP = 3 = 6厘米（3）存在理由如下：①若
点E 为直角顶点，如图（a ）所示，此时FE ∥AD ,PE = DH = 2，BP = 3.…∴FE ∥AD PF BP AD BD ∴
=2385
t t
=此比例式不成立，故此种情形不存在②若点F 为直角顶点，如图（b ）所示，此时PE ∥AD ,PF = DH = 2t ,BP = 3，CP 10-3t .∵FF ∥AD PF CP AD CD ∴
=210385
t t
-=③若点P 为直角顶点，如图（c ）所示。过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N 则EM = FN = DH = 2，EM ∥FN ∥AD
∵
EM
∥
AD
，
EM BM AD BD ∴
=285t BM =557.3444
BM t PM BP BM t t t =∴=-=-=在Rt △EMP
中，由
勾股定理得
2
22222
7113(2)416PE EM PM t t t
??=+=+= ???
//,FN FN AD AD ∴
CN CD =
285
t CN
=5517
.10310444CN t PN BC BP CN t t t =∴=--=--=-中，由勾股定理得
2
2222217353(2)1085100416PF FN PN t t t t ?
?==+=+-=-+ ???在Rt △PEF 中，由勾股
定理得2
2
2
,EF PE PF =+ hil 2
225113353108510021616t t t t ??????
-=+-+ ? ? ???????
化简得
21833508t t -=，解得 = 0（舍去）280183t ∴=综上所述，当4017t =秒或280
183t =秒时，△PEF 为直角三角形
24.4（1）相似三角形的判定（相似的传递性、预备定理、判定定理1）
1.2
2.3:2
3.
3625 4. 16
25
5. ACE
6.
2
7. 8.
9. D 10 .B
11.（1）略（2）AE = 6
12.BM =
厘米，解略13.提示：连接CP 证明P = （P ，△FE ∽△PFC 24.4（2）相似三角形的判定定理（2）
1
1.5
2.3
3.
4.
5.8
6.
7.
8.
9.2B C D A B 10.提示：延长MN ,BC
交于点E
11.（1）∵∠ADC = ∠B +∠BAD ，∠AC = ∠ADE +∠（DE ，∴∠B +∠BAD = ∠ADE +∠ODE .
又∠EDC = ∠BAD ，∴∠B = ∠ADE .∵BA = BC ,DA = DE ，$\therefore \quad \frac {B A }{D A } = \frac {B C }{D E }$又B ∠ADE ，∴△ABC △ADE （2）∵△ABC ∽△ADE AB AC
AD AE
∴
=∠BAC = ∠DAE .又∠BAD +∠DAC = ∠BAC ，∠CAE +∠
DAC = ∠DAE ，∴∠BAD = ∠CAE .又
AB AC
AD AE
=△ABD ∽△ACE .∴∠B = ∠ACE .又∵∠B = ∠ADE ，∴∠ADE = ∠ACE .∵∠AE ∠ACE ，∠AOD = ∠BC ，∴△AOD ∽△FOC DA OD
CE OC ∴=∴DA ·CC = OD ·CE 12.（1）（M = 26（2）在Rt △AEP 与
Rt △ABC
中
，
∠
EAP
=
∠
BAC
，
∴
Rt △AEP
∽
Rt △AB C.EP AP
∴
BC AC =
303
404
EP EP x x =?∴=3
125
4,,516
x
EP MP x PN BN AB AP MP MP ==∴===---521
5050(032)1616
PN x x x x =--
=-<<（3）①当E 在线段AC 上时，由（2）知1312EM EP =334
EM
x 1313511
.?12161616
EM x EN XAM AP MP x x x =?===-=-=由题设△AME ∽△ENB ，AM EN ∴111316161321501616x x
ME NB x x =?=
-，解得x = 22 = AP .②当E 在线段BC 上时，由题设△AME ∽△ENB ，∴∠AEM = ∠EBN .由外角定理，∠AEC =
∠
EAB +
∠
EBN
=
∠
EAB +
∠
AEM
=
∠
EMP
，
Rt Rt AC EP ACE EPM CE PM ∴??=3
4050453
16
x CE CE x =?=设AP = z , PB
= 50由
505
Rt Rt (50),30303
BE BA BEP BAC BE z CE BC BE PB BC ω?
=?=?=-∴=-=-5(50).3z - H 503
530(50)
3CE CE z ?=????=--??
解50530(50)33z =--，得z = 42 = AP 24.4（3）相似三角形的判定定理（3）
7.不一定8.略9.
15412
5
10.90°，解略11.（1）略（2）∵∴△AEC ∽△BED ，,DE BE DE CE
DEC BEA DECO
CE AE BE AE ∴
=∴=∠=∠∴
,DE BE DE CE
DEC BEA DECO
CE AE BE AE
∴=∴=?∠=∠∴.DC DE
BEA AB BE
∴
=BE ·DC = AB ·DE 12.（1）△AOD ∽△ODE ，△AOD △BEO ，
△ODEC △BEO (2) 2
(12)y x x
=
1或2 24.4（4）直角三角形相似的判断 8.作FG ⊥BD 于G ，证明
2BG
FG
=9.（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADB = ∠DB C.∴∠ADC +∠C = 180°，∠AEB +∠AED = 180°，又∵∠AEB = ∠ADC ，∴∠C = ∠AE D.∴△ADE ∽△DBC （2）∵△ADE ∽△DBC ，
22,,AD DB
AD BC DB DE CD AD BC CD DB DE CDB
DE BC
∴
=?∴?=?=?∴=??
∠ = ∠CDE ，∴△CDE ∽△BD C.∴∠DCE = ∠DB C.∵∠ADB = ∠DBC ，∴∠DCE ADB
24.4（5）相似三角形的判定（5）
1.C
2.C
3.B
4.B
5.△ACD △ABC 4
6.86.4
7.6
8.2
9.
7
2
10.111.C D = 8厘米，解略12.提示：证明△BPN ∽△CPD ，△BPC ∽△MBC
阶段训练2 1.4厘米 2.410.2或
2311.2,6或247
12.813.C 14D 15.（1）略（2）略16.
2a
BD b
=b 时两三角形相似17.（1）DE = 4厘米，CD =（2）略18.（1）2,AE EC
AE EF EC EF AE
=?∴
=∴∠AEF = ∠CEA ，∴△AEF ∽
△CE A.∴∠EAF = ∠EC A.∵AD = AC ，∴∠ADC = ∠AC D.∴∠ADC = ∠ACD = ∠DCE +∠ECA = ∠DCE +∠EAF （2）：△AEF ∽△CEA ，AFE = ∠CA B.∵∴DA = DB
，
∴
∠
EAF
=
∠
B.
∴
△
EAF
∽
△
CBA AF EF
BA AC
∴
=,,AF EF
AC AD AF AD AB EF BA AD
=∴
=∴?=?∴DN = AB = 8，BN = AD = 4.∴CN = 6，CD = 10，DM = 4，CM = 6.B C = CD = 10.∴∠ADB = ∠DBC = ∠BD C.∴△ADB ≌△MDB ∴∠DMB = ∠A = 90°，BM = AB = 8.
∴
BM
⊥
DC
（
2
）
∠
C
=
90,90,MBA MBC CMF BME FMB CMF BME
??∠=-∠∠=∠=-∠∴?CF CM BE BM ∴
=1063
,4(08)884y y x x x -=∴=+-（3）AE = 0或16或 24.5（1）相似三角形的性质（性质定理1） 1.2:32.63.24厘米 4.125.①③④6.
12
7
或27.略8.（1）∴AB = AC ,AD = 11
,22AC AE AB =∴AD = AE .∵∠BAD = ∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE .∴∠ABD = ∠ACE .∵DF ⊥AC ,AD = CD ，∴AF = CF .∴∠GAD = ∠ACE .∴∠GAD = ∠ABD ∠GDA
=
∠
ADB
，
∴
△
GDA
∽
△
ADB 2(2)AD DG
AD
AD DG BD DB AD DB
∴
=∴=?∴∠CDG = ∠BDC ，∴△DC △DB C.∴∠DBC = ∠DCG ∵AB = AC ，∴∠ABC = ∠AC B.∵∠ABD = ∠ACE ，∴∠ECB = ∠DBC = ∠DCG 9.（1）△AMF ∽△BGM ，△DMGo △DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）。以下证明△AMF ∽△BGM ：∵∴∠AFM = ∠DME +∠E = ∠A +∠E = ∠BMG ，∠A = ∠B ，∴△AMF ∽△BGM ,,DG CD DG
AD CD AD DB CD
=
=∴=（2）当a = 45°时，可得AC ⊥BC 且AC =
BC 8
33
AM BM BG AF ?=
==又AC = BC =
84454,4,43 1.33CG CF FG ?
=∴=-==-=∴===
5
3
24.5（2）相似三角形的性质（性质定理2,3）
1.D
2.B
3.B
4.D
5.D
6.D
7.A
8.B
9.（1）略（2）△ABH ∽△BCM
（3）EM
210.(1)(2,33
OB ==（2）①当0 < t ≤4时
2
12S OP QD =
?=②当4≤t ≤8时，12S OP QE =?=③当8≤t < 12时，
2
S =+当t = 8时，S 最大（3）①当△OM ∽△OAB 时，41a t
=+t 的取值范围是0 < t ≤8；②当△OPM ∽△OBA 时，2
1a t
=-t 的取值范围是6≤t ≤8
24.5（3）相似三角形的性质应用（1）
1.B
2.C
3.C
4.A
5.∠C = ∠ADE 6,21:27.①③④8.
1
29. 53.810?提示：5
2.410AB -=?千米，又△OAB ∽
△
OCD
，
35
2.610 2.410
3500AB OE CD --??∴==53.810OE =?千米10. ( 1) 9
(2)2
11.略12.
( 1)52(2)
14
,145
-+3）不存在 24.5（4）相似三角形的性质应用（2） 1.4
平
方
厘
米
24
2.
3.25
4.3:4
5.50
6.1:3:8.59.1:210.605
?1l .（1）直线AB 的表达式为y = x +7（2）在□ABCD 中，AB ∥CD ，设CD 的表达式为y = x +c ，
222222(0,),(,0),
,,(52)(25),C c D c CD AB CD AB c c c -=∴=∴+=-++-∴=
22(0,),(,0),
,,C c D c CD AB CD AB ∴-=∴=∴3.∴点C ,D 的坐标分别是
0）（3）设二次函数的解析式为23y ax bx =+-{5423,
0933,
:
2
a b a b a =--??
=+-=-?∴二
次函数的解析式为223y x x =--作EF ⊥y 轴，BG ⊥y 轴，垂足分别为F ,G OC = OD , BG =
CG .
45.BCG OCD ODC BCD ?
∴∠=∠=∠=∴∠
=
590.,,3BC
DCE BDO ECF BDC CD ?
∠=∠∴∠=∠==设CF = 3t
则EF = 5，OF = 3-3，∴点E 坐标为（5t ，3t -3）。
213325103,0t t t t ∴-=--=（舍去），21325t =
点E 坐标为1336,5
25??
- ???
阶段训练3
60
3. 60
4.4:9
5.
,811
1.
2.
126.
7.1:98.4厘米9.B 0.B 11.C 12.B 13.（1）△ADF ∽△DEC ，△AEF ∽△DEA （2）414.略15.
6037120
49
16.（1）提示：设AE = k ，则BE = 3k ，延长BA ,CD 交于点F ，△BCF
为等边三角形，60B ?∠=设3BCE
S S =vuit 2HFABD S S =过点C 作CF ∥AB 交AD 的
延
长
线
于点
F ，连
接AC ，则DF = 2A D.设ND
S
2,2KE
OF
S
S x S x =-=ABC
S
S CF =得
3S +25-x
=
x +2x
，
54
x S ∴=
332.417.(1)
,344
LE KE
LE
S BE S S
S x S CE CD DCE AE S S ??∴=-=
∴===⊥∴∠=
90.
,.EC BC
BCA EDC A EDC BAC DCE BCA
DC AC
?
∠=∠=∠∴?∴
=?∠=∠DCE BCD BCA BCD ∴∠-∠=∠-∠，即∠BCE = ∠DCA
EC BC
DC AC
=∴△BCE
∽△ACD BC AC
BE AD
∴
=，即AC ·BE = BC ·AD （2）∵△BCE ∽△ACD ，∴∠CBE = ∠A.∴∠BCA
904AC ∴==∠ABC +∠A = 90.∴∠CBE +∠ABC = 90°
，
即
∠
DBE
=
I 90B
??
343
,,4BC AC BE x BE AD BE x ==∴=2
113153,(5)2248
BDE
x x S
BD BE x x -==?=-?
=2
21,16
GDE VC S DE DE CDE CAB x S AB ????
∴==?∴== ?
??22
11312
1.436,652285MC
CDE x S
BC AC S x x ?-+=
?=??=∴=-+即S =
S △BDE +
21
6(05)40
CDE
S
x x =-
<<（
3
）
由
14
HDE
MC
S
S =2121531
6,1,484
x x x x -=?∴==过点D 作DF ⊥AC 于点F 90.
///.DF AD AF
DFA BCA DF BC BC AB AC
?
∴∠=∠=∴∴==x = 1时
3416,,555DF AF CF AC AF ===-=在Rt △
DFC 中90,DFC CD ?∠==当x 4
时，
得12164,,,555DF AF CF AC AF CD =
==-==综上
所述，
410CD k =
24.6（1）实数与向量相乘（运算的含义）
1. 52b a =-
2.西北方向6，菱形7.2||8AB 8.A 9.C 10.略11. 1()3
b a -12.
略13. ( 1)2
3
(2) 3,3x y ==-
24.6（2）实数与向量相乘（运算率）
1323
1.B
2. D
3.C
4. B
5.17
6.
7.
8. (1) AE (2)02272
b a b
c b a -
-=-9. 411
2177
x a b c =
-+10.略11.能 24.6（3）实数与向量相乘（平行向量定理）
8.平行。提示：1
2a b
=- 9. 1
(1)2
a +（2）略2b
24.7（1）平面向量的分解（线性运算的含义、向量的线性组合）（1）
281
1
731
1
o 2. (1) i (2) a i 3. , 4. 34
2
644
3
a x y OP -
--
-
=-=-
=
22
(2) 5. (2),(2)
33
a b AB d c AD c d +=-=- 6.-87.
略
8.
11
,63FE b a AF =-=
11
33
a b +9.
略
10.
35
88
a b -+ 11.
1(1)2(2)2DE DB BE BA BC DB =+=-+=1
()2
CB CA -（3）略
24.7（2）平面向量的分解（线性运算的含义、向量的线性组合）（2） 1.分解分向量 2.
11
33
a b + 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 8.A 9.C 10. 1(1)2MN a =1
2
b -
本章复习题
1.A
2.A
3.C
4.B
5.C
6.D
7.B
8.B
9.A 10.D 11.30米12.65或115°13.2.41:517.4
1
'
is 114. 1. 05 $15 .$ 6418.2,2a -??
??
?19.△ABC 为等腰直角三角形，∠CAB = ∠CBA = 45°，∠E +∠F = 45°，∠E +∠ECA = ∠CAB = 45°，
∠F +∠BCF = ∠CBA = 45，221,,,
,3,2EA CB ECA F E BCF ECA CFB y CA x CA BF ω∴∠=∠∠=∠∴=== lill
216
y x =20.由题意易
证
△AFH
∽
△
CFK 8 1.6
,512 1.6
FH AH FH FK CK FH -∴
=∴=+-8 1.6
,,8512 1.6
FH AH FH FH FK CK FH -∴
=∴=∴=+-即当他与左边较低的树的距离小于8米，就看不到右边较高的树的顶端点C 21.（1）略（2）∠ADC = 2∠HD 22.（1）如图（a ），作AH ⊥BC 于点H .∵∠B = ∠BCD = 45°，
AD
3,9,3, 6.BC BH AH AB CH AC =∴====∴=//,.,AD BC DAP ACB APE B ADP ω
∴∠=∠?∠=∠∴.,AD AP
CAB AC BC
∴
=
All ,
9AP AP =∴=(2)
,,DAP ACB APE B APE CBA
∠=∠∠=∠∴?
,,3
9
3AE AP x y x AC BC ∴
=∴=∴=-，
<（3）①如图（b ），当点G 在线段CD 上时，作DM ∥EP 交AC 35x 于点M ，由（1）得
AM CM DG CD =
∴===
,CP CP AB CG PM DG MP =∴==∴= th ,AD AM
DE MP
=, 2
,3AE =∴=211
333+=②当点G 在CD 的延长线上时，同①可得
227
,3333
DE AE =∴=-=第二十五章锐角三角比
25.1（1）锐角三角比的意义
4314
4
1. 2. 4. 5. 6.07.88.89.010.cos 5
425
5
b A
c =
=1
1.（1）点B 坐标为（4,3）(2) cos 5
AH BAO AB ∠==13.提示：过点A 作AD ⊥BC
于
点
D
，
则
△ADC
是直角三角
形，
4
cot 3
B =
1
sin ,sin sin .2
ABC
AD
C A
D AC C b C X S BC AD AC
∴=
∴=?==
?1
sin 2
NC
S
ab C ∴= 25.1（2）特殊锐角三角比
1.6045
2.0
3.207.A 8.09.B 10.C 110(2)45?
?
?
?
?
1
(3)45(4)5012.213.1
14.615.14
??-
25.1（3）四个三角比之间的特殊关系
1
3
1. 45
2.
30 3.
4. 5.13 6.cos 20sin 207.
8. D 9.C 10.3
8
?
????>-
11. 12
(2)
7
12.454
θ?=13.当0 < a < 45°时，值为cos a -sin a ；当a = 0时，值为0；当45° < a < 90°时，值为sin a -cos a 14. 1
cos 2
α=
15. 222(sin cos )sin cos 2sin cos αααααα-=+-=
131,sin cos 045,sin cos 0,sin cos 44ααααααα?-
=∴-=<<∴-<∴-=
1. 34
2.
23.
3
<> 4. 105
5.
6.60
7.45 at 60
8.5
13
?
??9.
1
3
4
2
10.14a 18. tan 4
α=
=
19.
sin cos 11
22,sin cos ,cos sin sin cos 2
αααααααα+=?=∴?=∴sin cos αα
∴+
== 20. (1)6(2)sin 41
CD B ==21.解略，
120sin ,cos 169A A ∠=
∠119120119
,tan ,cot 169119120
A A =∠=∠= 25.2（1）解直角三角形（1）
39
45 2.1 3.60 4.5 5.
6.7.C 8. B 9.(1)2,4,6016
A AC A
B A ?
?
?
==∠=
30(2)30,60,10(3)30,B A B c A BC AB ?
???∠=∠=∠==∠===10.
(1)15,75D DBC ??
∠=∠=(3)
tan 22.5?=(2)
tan 2tan 2D DBC =-∠=+11. 2,1AC BC ==12.解略，BC =
13.
45,6ADC AC DC ?∠=∴==3
sin ,105
AC B AB AB =
=∴=根据
勾股定理，得8BC =从而BD = 2.过点D 作DE ⊥AB 于点E 在Rt △BDE
中
，
3
sin ,sin 1.2.5
DE B DE BD B BE BD =
=∴=?=∴=
1.21
1.6,8.4.tan 8.47
DE AE AB BE BAD AE ==-=∴∠=== 25.2（2）解直角三角形（2）
916
2. 8
3. s. 2 6. 3
7. A
8. C
9. D 10. (1) 30,2
3
A AC ?∠==
2,4(2)30,60BC AB AC AB B A ??===
=∠=∠= (3)
60,ABC A ?∠=∠=30,AB AC ?== 11.
35 at 12. 45
, $13 .(1)A
D = \frac {\sqrt {42}}{3} \quad (2)\#$ ERt ABC
th
tan ,,AC
ABC ABC AC BC BC
α∠=
∠=∴= tan
α.
,tan ,AC
ERt ADC ADC ADC DC
∠??∠=
∠,tan ,tan tan .2,tan 2tan AC DC BC DC X
BC DC ββαββα=∴=∴==∴=
25.2（3）仰角俯角
1.∠2∠FBD 仰∠CAB 仰∠3
2. tan 1.5cos a a α
α
? 5.10米
6.D
7.D
8.C
9.塔高AB 为15)米10.C D = CE -DE =
23 2.953≈≈11. 20(2CD =+米12.由an 2,2CF
CDF CF DF
∠=
==米，∴DF = 1米。过点C 作CG ∥BD ，交AB 于点G .∵BG = 2米，BD = 14米，∴
BF = （C = 15米。由tan 30AG ?=
∴=155 1.7328.6603?=≈?=米），∴AB = 8.660+2 = 10.66（米），BE = BD -ED = 12（米）∴BE > AB ，∴不需要封人行道
25.2（4）方向角
1. 千米/时 3.1004. 0,4?+ ? 5.90°6.8.27.B 8.C 9.D 10.（1）过点B 作BD ∥AE ，交AC 于点D.∵AB = 36×0.5 = 18（海里），∠ADB = 60°，∠DBC = 30°，∴∠AB = 30.又∠CAB = 30°，∴BC = AB ，即BC = AB = 18 > 16.∴点B 在暗礁区域外（2）过点C 作CH ⊥AB ，令BH = x ，则CH = √3x .∵AH = AB +BH ，3x = 18+x .解方程，得x = 9.∵CH = 93 < 16，所以船继续向东航行有触礁的危险11.（1）B ,D 之间的距离为2千米（2）过点B 作BO ⊥DC 延长线于点
O ，CD DO CO =-==12.（1）AB = 10)米（2）过点A
作
AE ⊥BC
于点E .在Rt △ABE 中，∠B = 30°，
10
AB =
1sin 3010) 5.75,30,45.7ERt 2AB CAD B C CAE
????
=?==∠=∠=∴∠∠
=,sin 45,5)AE
AC AC
?=
∴==H 25.2（5）坡度坡比坡角 1. h l 坡角tan a 2,63.1:24.50米5.33毫米6. 2
37.B 8.D 9.C 10.A 1.过点A 和点
B
分别作
AE ⊥CD ,BF ⊥CD ，交
CD
于点
E
，
CD CF EF DE =++=
36(9+=+米）cot 0.6C ∠=12.过点A 作AM
⊥CD ，垂足为M .∵坡度为1:1，渠道深为0.8米，∴DM = 0.8米，CD = 1.2+2×0.8
= 2.8（米）。即挖渠道共挖出的1
()2AB CD AM +??1600 = 2560（立方米）13.（1）
作BG ⊥AB 于点G ，作HH ⊥AB 于点H .∵CD ∥AB ，∴EH = DG = 5米
1
,61.2DG AG AG =∴=1
,71.4
EH FH FH =∴=米，∴F A = FH +GH -AG = 7+1-6 = 2（米）。WH,H,MBEF 11
()(12)57.5e 22S ED AF EH ∴=+?=+?=平方米），V =
7.5×4000 = 30000（立方米）（2）设甲队原计划每天完成x 立方米，乙队原计划
每天完成y 立方米。根据题意得20()30000
15[(130%)(140%)]30000x y x y +=??
+++=?1000
500
x y =??
=?所以甲工程队原计划每天完成1000立方米，乙工程队原计划每天完成500立方米
阶段训练
5
4371. 2.60 5.8.
9.010.C 11.B
5
2
2
5
?
12. A 13.AC =
14.乙船的航行速度为（约等于19.7）海里
/时15.
BC =≈152.2米
16. sin ACE ∠=
过点C 作直线AB 的垂线，垂足
为 D.设拖拉机行驶路线CF 与AD 交于点
E 300CD AD ===170DE =≈（米）∴BE = 300-36170 = 94（米）过点B 作BH ⊥C
F ，垂足为H ，则∠EBH = 30°，米）。∵80 < 100B 栋教室受到拖拉机噪声影响。以点B 为圆心、100为半径作弧，交CF 于M ,N 两点，则MN
= 80BH =≈260120=?=（米）。所以B 栋教室受噪声影响的时间为120÷8 = 15（秒）。作AH '⊥CF H '为垂足，则30EAH '?∠=又AE = 36+94
= 130（米）cos30130AH AE '?∴=?=≈111（米）。∵111 > 100，所以A 栋教室不受拖拉机噪声影响
本章复习题 10.
boot
θ 11.
10? 1.B 2.C 3.B 4D 5.B 6.B 7608.19.1sin α
?-1.B 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.608.19.1sin 10.0cot 11.1011.10αθ?
?
?
-
12.大15,5米13.12030?
?16. 5)17. 61
18.2
-
19.
1
2
-20. 21. 60α?= 22. (1)5(2)BE = tan 3
5
CE CDE DE ∠=
=
23. BE =
24.我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置25.（1）∠CAE = 1800-67°-38° = 75°（2）AB AC +CD = 2√6+23+2≈10（米），所以这棵大树折断前约高10米
第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念
2 1.
3 H. 1 2. 0 3.
4 4. 61 5. 204020 6. m m ny y x x y x
≠≠---=++=144x -+7. 2 8. 2(4)y x =+ 9. 2100100200
y x x =-++ 10. D 11. C
$11 .$ C $12 .(1)y = 3 x ^{2}-\frac {1}{2}$，是二次函数，二次项系数是3，一次项
系数是0，常数项是1
2-（2）由原式得y = 10x -12，不是二次函数（3）是二次函
数，二次项系数是5，一次项系数是1，常数项是1（4）不是二次函数13.
214y x =-+9(09)4x x <<14. 2
21(1)416C S C ??
== ???（2）当S = 1时，由
21S 16C =
21
116
C =得C = 4或C = -4（舍去），∴C = 4.此时正方形边长为1厘米15.（1）AB 边长为（18-3x ）米，根据题意，得36 = x ·（18-3x ）·1.5.解方程，得
x = 2或4(2) 29
(183)1.5272
V x x x x =?-?=-+x 的取值范围是0 < x < 6
26.2（1）二次函数
1.2
2.下y 轴（0,0）
3.-1
4.（0,0）x 轴
5.±2
6.42
7.（0,0）和11,33??
-- ???
8.1或-19.
①③②10.911.D 12.D 13. 212y x =-14. 2(1)2y x =（2）点B 的坐标为（2,8）
1
48162
OMB
S
=??=15.A （1,2），C （2,1），设过点A 的抛物线解析式21y a x =过点C 的抛物线解析式为22y a x =则a 2≤a ≤a 1，把A （1,2），C （2,1）分别代入，可求得a 1 = 2，214a =
物线用，所以a 的取值范围是
1
24
a 26.2（2）二次函数2y ax c =+
1.B
2.C
3.B
4.D
5.C
6.A
7.向下（0,3）y 轴最大值3y 随x 的增大而增大向上（0，-1）y 轴最小值-1y 随x 的增大而减小
8.-1
9.210. 233y x =-11.
y =222
3112.113.114.815.216.3517.34
x y x y x ---±=-+=
-18.抛物线的表达式为211000250y x =-
+当y = 0时，2
110000250
x -+=解方程，得x 1 = 500，x 2 = -500（舍去），O = 500米19.（1）A （-1,0），B （1,0），C （0，-1）（2）∠P AC = ∠ACB = 90°，四边形ACBP 是直角梯形.P 的坐标为（2,3）
2H Wa J H CBP 4i S ∴=
26.2（3）二次函数2()y a x m =+ 1.
左
42.0
1
3.(2,3)3
-
- 4.
2
21
1
(2)2
2
y x y x =-+=--2 5.22
<->- 6. A 7. D
8. C
29 10.
C
11. (1)2y x =-8x +10（2）另一个交点坐标为35,22??
???
12.
22
(5)9
y x =--22(1)y x =--13.根据题意可知抛物线2(2)y x =-的顶点C 的坐标
为（2,0），由224(2)y x y x =+??=-?1104x y =??=?226
16x y =??=?所以A 的坐标为（6,16），B 的坐标为（0,4）。如图所示，过A
作
AD ⊥x
轴，垂足为
D
wEABOO 11
()22
ABC
YDC BDC
S
S S
S OB AD OD OC OB ?=--=+?-?1111
(416)624416242222
CD AD -?=+?-??-??= 26.2（4）二次函数2()y a x m k =++ 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 22(2)3
y x =+- 7. 1
8.
1
(1)3
a b =-??
=?（2）顶点坐标为（3，3) 21
9.(1)(2)22y x =+-（2）抛物线向右平移4个单位10.（1）
y 2的解析式为22(1)2y x =--+顶点坐标为（1,2）（2）y 的解析式可用顶点式表示为23(1)2y x =+-11.（1）O （0,0），A （6,0），M （3,3）（2）设抛物线的关系式为
2(3)3
y a x =-+因为抛物线过点（0，
20),0(03)3a ∴=-+22111
,(3)32333
a y x x x =-∴=--+=-+要使木板堆放最
温馨提示: 此套题为炯撞匡％W 动鼠标滚轴 趨节合 适的观看比例，答案解+析附后。关闭Word 文档返回原板块。 标准仿真模拟练（一） 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的） 7 < % + y < 41 CO < % < 11 i ?条件甲：（0<<3 h 条件乙：12<3/<3）,则甲是乙的 （） A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 选C.乙可以得到甲，甲得不到乙. 1 - 2i 2.在复平面内，复数2 + i 对应的点的坐标为（） 1 - 2f (1 - 20 ( 2 - 0 - 5i 选 A.复数 2 + i = (2 + i)(2 - 0 - 5 二_j. 它在复平面内的对应点为（0,-1）. 3?从集合A 二｛-3,-2,-1, 1,2｝中随机选取一个数记为a,从集合 B 二｛-2, -1, 2｝中随机选取一个数记为b,则直线ypx+b 不经过第三象 （120分钟 150 分) A. (0,-1) B. (0, 1)
限的概率为() 4 3 A. 5 B. 5 21 C. 5 D. 5 选D.根据分步计数原理可知，试验包含的所有事件共有5X3=15种 结果，而满足条件的事件是a二-3, b二2, a二-2, b二2, a二T, b二2共 三种结 3 1 果.由古典概型公式可得P二15二&. 1 4.函数f(x)=log2x-^的零点所在的区间为 () I)冷】) C. (1,2) D. (2,3) 选C.函数f(X)的定义域为(0,+oo),且函数f(X)在(0,+oo)上为增函数. 1 1 1 ,f (1) = 1 og21-!=0-1 <0, f ⑵二I og22-2=1-2= 2>0,f ⑶二 1 1 2 1 log23-3>1-3=3>0,即f⑴-f (2)<0,所以函数f (x)二10盼-尤的零点在区间(1,2)内. 5.执行所示框图，若输入n二6, m二4,则输出的p等于()
温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 高考大题专攻练 12.函数与导数(B组) 大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 1.已知函数f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)，其中a∈R. 世纪金榜导学号92494448 (1)求f(x)的单调区间. (2)是否存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1) =ln. 设g(x)=，g′(x)=-. ①当a=0时，f(x)无意义，所以a≠0. ②当a>0时，f(x)的定义域为. 令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)与g′(x)的情况如表：
-(-a)=>0，所以>-a. -=-<0，所以<. 故f(x)的单调递增区间是； 单调递减区间是. ③当a<0时，f(x)的定义域为.令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)与g′(x)的情况如表： -(-a)=<0，所以<-a. -=->0，所以>. 所以f(x)的单调递增区间是；
单调递减区间是. (2)①当a>0时，由(1)可知，f(x)在上单调递增，在 上单调递减，所以f(x)在[0，+∞)上存在最大值f=lna2. 下面研究最小值： 由于f(x)的定义域为. (ⅰ)若≥0，即0
课时分层作业三十二 等比数列及其前n项和 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2018·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3=14,a3=8,则a6= ( ) A.16 B.32 C.64 D.128 【解析】选 C.由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则 解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C. 2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d), d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24. 3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯世纪金榜导学号12560576 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,
由=381可得x=3. 4.(2018·临沂模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n-1+,则a的值为 ( ) A.- B. C.- D. 【解析】选A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{a n}是等比数列,所以a+=,所以a=-. 5.在公比为的等比数列{a n}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是( ) A.- B. C. D. 【解析】选B.由等比数列的通项公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1- 2sin2(a1a4)=1-2×=. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2017·北京高考)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则 =______. 【解析】设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由题意得-1+3d= -q3=8?d=3,q=-2?==1. 答案:1
高考小题标准练(二十) 满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设A={x∈N|y=ln(2-x)}，B={x|2x(x-2)≤1}，则A∩B=( ) A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{1} D.{0，1} 【解析】选D.因为y=ln(2-x)的定义域为x<2，又因为x∈N，所以A={1，0}， 因为2x(x-2)≤1， 所以x(x-2)≤0，解得0≤x≤2，即B=[0，2]， 所以A∩B={0，1}. 2.复数z=(i是虚数单位)在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选A.z==2-=2-=2+i，所以对应的点的坐标为(2，1)，在第一象限. 3.一个口袋中装有质地均匀且大小相同的2个红球和3个白球，从中任取2个球，则取到的两球同色的概率为( ) A. B. C. D.
【解析】选B.所有的取法有=10种，取出的两球都是红色的概率为 ，取出的两球都是白色的概率为，故两球同色的概率为 +==. 4.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线与双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个面积为1的等腰直角三角形，则p=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.由题意知S△=··p=1，所以p=2. 5.已知sinα=，则cos2=( ) A. B.- C. D. 【解析】选 A.因为sinα=，所以 cos2====. 6.已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，1)，D(3，4)，则向量在 方向上的投影为( ) A.- B.-
2019年江苏省盐城市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1．（3分）如图，数轴上点A 表示的数是( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 选C ． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ． 选B ． 3．（3分）使2x -有意义的x 的取值范围是( ) A ．2x > B ．2x <- C ．2x D ．2x 选D ． 4．（3分）如图，点D 、E 分别是ABC ?边BA 、BC 的中点，3AC =，则DE 的长为( ) A ．2 B ． 4 3 C ．3 D ． 32 选D ． 5．（3分）如图是由6个小正方体搭成的物体，该所示物体的主视图是( ) A ． B ． C ． D ．
选：C ． 6．（3分）下列运算正确的是( ) A ．5210a a a = B ．32a a a ÷= C ．222a a a += D ．235()a a = 【解析】A 、527a a a =，故选项A 不合题意； B 、32a a a ÷=，故选项B 符合题意； C 、23a a a +=，故选项C 不合题意； D 、236()a a =，故选项D 不合题意． 选B ． 7．（3分）正在建设中的北京大兴国际机场规划建设面积约1400000平方米的航站楼，数据1400000用科学记数法应表示为( ) A ．80.1410? B ．71.410? C ．61.410? D ．51410? 选：C ． 8．（3分）关于x 的一元二次方程220(x kx k +-=为实数）根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不能确定 【解析】由根的判别式得，△22480b ac k =-=+>，有两个不相等的实数根 选A ． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9．（3分）如图，直线//a b ，150∠=?，那么2∠= 50 ?． 【解析】//a b ，150∠=?， 1250∴∠=∠=?， 答案：50． 10．（3分）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．
模块评估检测 (120分钟150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α= ( A ) A.- B.- C. D. 2.(2018·日照高一检测)已知sin=,则cos2的值为 ( D ) A. B. C. D. 3.(2018·三明高一检测)已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则 |a+b|= ( B ) A. B. C. D.5 4.sin 18°sin78°-cos 162°cos78°=( A ) A. B.- C. D.- 5.已知角θ的始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ= ( D ) A.- B. C. D.- 6.已知=-2,则t a n x的值为( A )
A. B.- C. D.- 7.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( C ) A. B. C. D. 8.已知函数f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间 上有最小值,无最大值,则ω的值为( C ) A. B. C. D. 9.(2018·广州高一检测)已知向量与的夹角为120°,且 =2,=3,若=λ+,且⊥,则实数λ的值为 ( D ) A. B.13 C.6 D. 10.已知a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则 sin等于( A ) A.- B.- C. D. 11.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则实数m 的值为( A )
A. B.± C.- D. 12.(2018·江西九校联考)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,t a n α+ t a n β+t a n αt a n β=,则α,β的大小关系是( B ) A.α<<β B.β<<α C.<α<β D.<β<α 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.已知某扇形所在圆的半径为R,且该扇形的面积为R2,那么这个扇形的圆心角的弧度数α(0<α<2π)是2. 14.已知向量a=(cos 5°,sin5°),b=(cos 65°,sin65°),则 |a+2b|=. 15.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=,BC=2,点E为AB 的中点,若·=-2,则向量在向量上的投影为-. 16.已知函数f(x)是R上的奇函数,当x>0 时,f(x)=(-<α<),若 对实数x∈R,都有f(x-3)≤f(x)恒成立,则实数α的取值范围是 .
课时提能演练(四十一) (45分钟 100分) 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.利用数学归纳法证明“1+a+a 2 +…+a n+1 =n 2 1a 1a +--(a ≠1,n ∈N *)”时，在验证 n=1成立时，左边应该是( ) （A ）1 （B ）1+a （C ）1+a+a 2 （D ）1+a+a 2+a 3 2.（2012·济南模拟）用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2 =42 n n 2 +，则当n=k+1 时，左端应在n=k 的基础上加上( ) （A ）k 2+1 （B ）(k+1)2 （C ）42 k 1k 12 +++（）（） （D ）（k 2+1）+（k 2+2）+…+（k+1）2 3.下列代数式(k ∈N *)能被9整除的是( ) （A ）6+6×7k （B ）2+6×7k-1 （C ）2(2+2×7k+1) （D ）3(2+7k ) 4.某个命题与正整数n 有关，如果当n=k(k ∈N *)时命题成立，那么可推得
当n=k+1时命题也成立.现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得( ) （A）当n=6时该命题不成立 （B）当n=6时该命题成立 （C）当n=8时该命题不成立 （D）当n=8时该命题成立 5.（2012·济宁模拟）若S k=1+2+3+…+(2k+1)，则S k+1=( ) （A）S k+(2k+2) （B）S k+(2k+3) （C）S k+（2k+2）+(2k+3) （D）S k+（2k+2）+(2k+3)+(2k+4) 6.（易错题）已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为( ) （A）a=1 2,b=c=1 4 （B）a=b=c=1 4 （C）a=0,b=c=1 4 （D）不存在这样的a、b、c 二、填空题（每小题6分，共18分） 7.（2012·福州模拟）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n+y n能被x+y整除”，当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时，进而需证n=_______时，命题亦真.