解三角形中的最值问题
1、在ABC ?中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，求cos C 的最小值。
【解析】由余弦定理知2
14242)
(21
2cos 2222222
2
2
=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，
2、在ABC ?中，60,3B AC ==o
，求2AB BC +的最大值。
3、在ABC ?中，已知角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ，且,sin 32sin a b A A B ≥+=。 （1）求角C 的大小；（2）求
a b
c
+的最大值。 解析：（1）由sin 32sin A A B +=得2sin 2sin 3A B π??
+
= ??
?，则sin sin 3A B π?
?+= ???
，因为,a b ≥则A B ≥，所以3
A B π
π+
=-，故2,33
A B C ππ+=
=。 （2）由正弦定理及（1）得sin sin =sin sin 3cos 2sin sin 363a b A B A A A A A c C ππ++????
?=+++=+ ? ???????
所以当3
A π
=
时，
a b
c
+取得最大值2. 4、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
【答案】
5、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 解：
6、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足2)a c BA BC cCB CA -?=?u u u r u u u r u u u r u u u r 。
（1）求角B 的大小；（2）若||6BA BC -=u u u r u u u r
，求ABC ?面积的最大值。
答案：（1）2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin )cos sin cos ,A C B B C -=
cos sin()A B C B =+cos sin A B A =，所以cos B =，即4
B π=。
（2）因为||BA BC -=u u u r u u u r ||CA =u u u r
b =
2
2
2
2(2b a c ac ac =+≥-=-，即3(2ac ≤+
1sin 2S ac B =
=≤
7、已知()
()2cos ,1,,cos a x x b y x =+=r r
，且a r ?b r 。（1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最
小正周期；（2）记()f x 的最大值为M ，,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 对应的边长，若2A f M ??
= ???
，且2a =，求bc 的最大值。
答案：（1）由a r ?b r
得2
2cos cos 0,x x x y +-=即
2
2cos cos cos 2212sin 216y x x x x x x π?
?=+=+=++ ??
?
所以()2sin 216f x x π?
?
=+
+ ??
?
，所以函数()f x 的最小正周期为π。 （2）由（1）易得3M =，于是有3,2A f M ??==
???即2sin 136A π??++= ???，所以sin 16A π?
?+= ???
，故3A π=。 由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-得2
2
42b c bc bc bc bc =+-≥-=解得4bc ≤
8、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，不等式2
cos 4sin 60x C x C ++≥对于一切实数x 恒成立。
（1）求角C 的最大值；（2）当角C 取得最大值时，若2a b +=，求c 的最大值。
答案：（1）因为max
2
cos 01cos ,16sin 24cos 0
23
C C C
C C π
>??≥∴=
??=-≤?
（2）2
2
2
2cos ,c a b ab C =+-Q 由（1）得2
2
2
()34312a b c a b ab +??
=+-≥-= ???
Q ，所以c 的最小值为1.