全国中学数学教学展评活动说课案
教材：九年义务教育三年制新教材（华东师大版）
课题: 八年级（下）§《解直角三角形》
§解直角三角形
一、教材分析：
数学是一门来源于生活，又应用于生活的学科。生活实际中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。华东师大版新教材将解直角三角形的学习安排在了八年级下册第十九章中。首先从测量入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的：如测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度的计算等问题。在呈现方式上更突出了实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际。同时还有利于数形结合，即把图形语言、文字语言与数学符号语言有机地结合起来。
而解直角三角形是继锐角三角函数后本章的第四节，一共4个课时。主要
研究了如何利用解直角三角形的有关知识解决与直角三角形有关的实际问题。
比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。从这些问题中，我们要理解
解直角三角形的方法，了解方向角、仰角、俯角、坡度等相关名词的意义，掌
握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实
际问题的最终目的。
二、教学目标：
由于本课为第一课时，主要使学生理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形，同时解决与之相关的实际问题。所以三维目标的知识与技能目标主要体现在：
〈一〉知识与技能目标：
1、弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股
定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题。本课着重解决方向角
问题。
3、通过变成题的训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用
数学的乐趣。
〈二〉过程与方法目标：
作为一名数学教师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想，数学意识，所以在过程与方法目标上，体现在让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，要求学生善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识。
〈三〉情感目标：
通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选式的诀窍，可简便计算，从而体会探索，发现科学的奥秘和意义。
〈四〉教学重点：
使学生学会将简单的实际问题转化为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式解决，提高他们分析和解决实际问题的能力是本课的重点。
〈五〉教学难点：
而将实际问题抽象为数学问题，以及有关名词概念：如“方向角”的理解是
难点。
〈六〉教学设备或教辅工具：
多媒体、CAI课件。
三、说教法、学法：
〈一〉教法：
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，什么样的教法必带来相应的学法。一节课不能是单一的教法，因此，在讲授本节课时，我将采用以下方法进行教学：（1）视觉图象法：播放电脑制作的动画，让学生在视听结合的环境中激发学习热情，加深体验，同时也为即将提出的问题作好铺垫。
（2）情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易回答的问题为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入新课的学习。
（3）启发性教学法：启发性原则是永恒的。在教师的启发下，让学生成为课堂上行为的主体。
〈二〉学法：
我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人。”因而教师要特别注重对学生学法方式的指导。由于学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——总结”的主线进行学习。
四、教学程序：
五、教学设计说明：
新课程改革提出的要求是：让学生通过交流、合作、讨论的方式，积极探索，改进
学习方法，提高学习质量，逐步形成正确地数学价值观。本着这一基本理念，在本课的教学中，我严格遵循由感性到理性，由抽象到具体的认识过程，启发学生审清题意，明确题中的名词，术语的含义，将解直角三角形的知识始终与现实生活中学生熟悉的实际问题相结合，不断提高他们运用数学方法分析、解决实际问题的能力。在重视课本例题的基础上，适当对题目进行延伸，使例题的作用更加突出。同时根据新课程标准的评价理念，我在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题。同时利用尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心。
六、板书设计：
1、解直角三角形的类型：
2、解直角三角形的应用
?
?
?
???
???????一锐角、一斜边一锐角、一直角边一边一角一斜边、一直角边两直角边两边已知
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １.把§1、3例4改为关于下确界的相应命题,并加以证明. 证 设数集S 有下确界,且S S ?=ξinf ,试证: （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使; （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使. 证明如下: （１） 据假设,ξ>∈?a S a 有,;且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0.现依 次取,,2,1,1 ==εn n n 相应地S a n ∈?,使得 ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n . 因)(0∞→→εn n ,由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim 、 （２） 为使上面得到的}{n a 就是严格递减的,只要从2=n 起,改取 ,3,2,,1min 1=? ?????+ξ=ε-n a n n n , 就能保证 ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n . □ ２.证明§1、3例６的(ⅱ). 证 设B A ,为非空有界数集,B A S ?=,试证: {}B A S inf ,inf m in inf =. 现证明如下. 由假设,B A S ?=显然也就是非空有界数集,因而它的下确界存在.故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,,由此推知B x A x inf inf ≥≥或,从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥. 另一方面,对任何,A x ∈ 有S x ∈,于就是有
S A S x inf inf inf ≥?≥; 同理又有S B inf inf ≥.由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤. 综上,证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立. □ ３.设B A ,为有界数集,且?≠?B A .证明: (１){}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?; (２){}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?. 并举出等号不成立的例子. 证 这里只证(２),类似地可证(１). 设B A inf ,inf =β=α.则应满足: β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有. 于就是,B A z ?∈?,必有 {}βα≥?? ??β≥α≥,max z z z , 这说明{}βα,max 就是B A ?的一个下界.由于B A ?亦为有界数集,故其下确界存在,且因下确界为其最大下界,从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立. 上式中等号不成立的例子确实就是存在的.例如:设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则, 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而,故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?. □ ４.设B A ,为非空有界数集.定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,, 证明: (１)B A B A sup sup )sup(+=+; (２)B A B A inf inf )(inf +=+.
第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：
三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：14学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ>对 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; . 即当时区间长度趋于零. ⅱ> 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2.Cantor区间套定理: 是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 Th 3 设 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列. 例1验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴ . ⑵ . 解⑴ ; ，为使，易见只要 . 对 于是取 ⑵ . 当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71 第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌 握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什 么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数 的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第 六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/5413652980.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参 阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) P 47 1.按定义证明： （1）65lim 6;x x x →+∞+= (2)2 2 lim (610)2;x x x →-+= (3) 2 2 5lim 1;1 x x x →∞ -=- (4)2 lim 0;x - →= (5)0 0lim cos cos .x x x x →= 证: （1） 不妨设0,x >则 6556.x x x +-= 0,ε?>取5 ,M ε = 则当x M >时， 有6556, x x x ε+-= <故65lim 6.x x x →+∞ += (2)22|(610)2||68||4||2|.x x x x x x -+-=-+=--限制|2|1,x -<则 |4||(2)2||2|23,x x x -=--≤-+< 进而有 2 |(610)2|3|2|.x x x -+-<- 0,m in{1,},:0|2|3 x x ε εδδ?>?=?<-<有2 |(610)2|.x x ε-+-<故得证. (3)2 2 22 2 2 54488 ||2, 1| |.1 1 || 2 x x x x x x x x ->-= <= < --- 当时8 0,m ax{2,},||M x M εε?>?=>当时有 2 2 51,1 x x ε--<-故得证. (4) 当021x <-<时有12,x <<进而 20(2)(2)4(2),x x x == ≤+-<- 对于0,ε?>取,4 ε δ= 当02x δ<-<时，有 0,ε< 所以2 lim 0.x - →= (5) 001|cos cos |sin sin ||,22 2 x x x x x x x x +--=- ≤- (1) 数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ， 1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O §6 重积分的应用 (一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． (二) 教学内容： 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式 和引力的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． ________________________________________ 一 曲面的大面积 设D 为可求面积的平面有界区域函数在D 上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 D y x y x f z ∈=),(,),( 所确定的曲面S 的面积i σ? ==i i i i 1 1当 0||||→T 时，可用和式∑=?n i i A 1的极限作为S 的面积 首先计算i A ?的面积，由于切平面的法线向量就是曲面S 在),,(i i i i M ζηξ处的法线向量，记它与z 轴的夹角为i γ，则 ),(),(11 cos 22 i i y i i x i f f ηξηξγ++= i i i y i i x i i i f f A σηξηξγσ?++=?= ?),(),(1cos 22 ∑∑==?++=?n i i i i y i i x n i i f f A 1 221),(),(1σηξηξ 是连续函数),(),(122i i y i i x f f ηξηξ++在有界闭域上的积分和，所以当0||||→T 时，就得 到 ∑=→?++=?n i i i i y i i x T f f S 1220||||),(),(1lim σηξηξ dxdy y x f y x f D i i y i i x ??++=),(),(122 或 ∑??=→=?=?n i D i i T z n dxdy S 10|||||),cos(||)cos |lim γσ 例 1 求圆锥 22y x z += 在圆柱体 x y x ≤+22内那一部分的面积 解 dxdy y x z y x z S D i i y i i x ??++= ?),(),(122 x y x D ≤+22: 所求曲面方程为 ?+= 22y x z 2222,y x y z y x x z y x +=+= 2020年数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版 第五章导数和微分 教学目的： 1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分； 2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算； 3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 § 1 导数的概念（4学时） 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。 教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数 的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。 教学重点：导数的概念。 教学难点：导数的概念。 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。 一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度. 二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求 例2 设函数在点可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3考查在点的可导情况. 3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1- 10章 第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 32 sin、实数定义等问题引入. 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算 研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration) 两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函 数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是 连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三 世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、 成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 第十一章重积分 § 1二重积分的概念 1?把重积分. .xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】0,1】,并用直线D 「i j 网x= ,y= (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为n n 其界点? 2?证明：若函数f在矩形式域上D可积，则f在D上有界? 3?证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续，则f在D上可积? 4?设D为矩形区域，试证明二重积分性质2、4和7. 性质2若f、g都在D上可积，则f+g在D上也可积，且° f g = f °g ? 性质4若f、g在D上可积，且f _ g ,则岂D g , 性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数，则存在, D，使得 D f =f , D 5. 设D o、D1和D2均为矩形区域，且 D o = D1 D 2, intD j int D j = ?一，试证二重积分性质 3. 性质3(区域可加性)若D o =D1 D2且int D1int D j —一，则f在D o上可积的充 要条件是f在D2上都可积，且 6. 设f在可求面积的区域D上连续，证明： (1) 若在D 上f x,y - 0,f x,y - 0则D f 0 ； (2) 若在D内任一子区域D D上都有 D f 二0,则在D 上f x,y . = 0。 7?证明：若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号，则存在一点 , D，使得 f x,y g x,y dxdy=f , gx,y dxdy. D D 8.应用中值定理估计积分 r r dxdy 2 2- 凶砒o1OO cos x cos y 的值 § 2二重积分的计算 1.计算下列二重积分： ⑴y -2x dxdy,其中D= 3,5】1,2】； D ⑵xy2dxdy,其中(i )D= 0,2〕0,3 1( ii )D= 0,3】0,2】； D 2.设f(x,y)= f l x f2 y为定义在D= a i, bj ^2, bj上的函数若f l在la i,b」上可积,f2在a2,b21上可积，则f在D上可积,且 3. 设f在区域D上连续试将二重积分 f x,y dxdy化为不同顺序的累次积分 D (1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域 ⑶!! cosx y dxdy,其中D= D ⑷.. D x 1 xy dxdy，其中D= 0,1 0,11.数学分析教案(华东师大版)第七章实数的完备性
华东师大数学分析答案
数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用
数学分析(华东师大版)第三章习题详解
数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
数学分析教案华东师大第三版
最新数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版
【精品】数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章(20200511214824)
相关主题
文本预览