本章小结
学习目标
1.通过引导学生画出本章知识结构图,让学生从整体上把握本章的知识结构;
2.通过典型例题进一步提升学生数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.
自主预习
自主复习平面向量一章,试着画出本章的知识结构图.
课堂探究
一、体系构建结构完善
进一步完善本章知识结构图
二、题型分类典例精讲
题型一平面向量的线性运算
例1如图,在△ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于F,MH∥AF交BC于H.求证:HF
????? =BH?????? =FC????? .
变式训练如图,在平行四边形ABCD中,点M在AB的延长线上,且BM=1
2AB,点N在BC上,且BN=1
3
BC,求
证:M,N,D三点共线.
题型二向量的坐标运算
例2已知向量AB
????? =(4,3),AD????? =(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足PB????? =-λBD?????? (λ∈R),求y与λ的值.
变式训练 设向量OA ????? =(k ,12),OB ????? =(4,5),OC ????? =(10,k ),求当k 为何值时,A ,B ,C 三点共线?
题型三 平面向量的应用
例3 已知正方形ABCD ,E ,F 分别是CD ,AD 的中点,BE ,CF 交于点P.求证:AP=AB.
变式训练 在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ,水流速度的大小是每分钟20 m ,如果一小船从岸边O 处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?
核心素养专练
(一)基础过关
1.已知两点A (1,2),B (4,-2),则与向量AB ????? 共线的单位向量e=( )
A.(3,-4)
B.(3,-4),(-3,4)
C.(35,-4
5)
D.(35,-45),(-35,45
) 2.已知e 1,e 2是不共线向量,AB ????? =2e 1+e 2,BC ????? =-e 1+3e 2,CD ????? =λe 1-e 2,且A ,B ,D 三点共线,则实数λ等于 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6 3.在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC ????? =λAM ?????? +μBN ?????? ,则λ+μ=( ) A.2 B.83
C.65
D.85
4.(多选)下列说法中正确的是( ) A.若|a|=|b|,则a ∥b
B.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c
C.互为相反向量的两个向量模相等
D.NQ ?????? +QP ????? +MN ??????? -MP ?????? =0
5.已知a=(2,1),b=(k ,3),若(a+2b )∥(2a-b ),则k= .
6.
如图,在平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,若AB ????? =λAM ?????? +μDB ?????? ,则λμ= .
7.如图,已知在△OAB 中,点D 在线段OB 上,且OD=2DB ,延长BA 到C ,使BA=AC.设OA ????? =a ,OB ????? =b.
(1)用a ,b 表示向量OC ????? ,DC ????? ;
(2)若向量OC ????? 与OA ????? +k DC ????? 共线,求k 的值.
(二)能力提升 1.设D 为△ABC 所在平面内一点,AD ????? =-13AB ????? +43
AC ????? ,若BC ????? =λDC ????? (λ∈R ),则λ=( )
A.2
B.3
C.-2
D.-3
2.O 为△ABC 内一点,且2OA
????? +OB ????? +OC ????? =0,AD ????? =t AC ????? ,若B ,O ,D 三点共线,则t 的值为( ) A.14
B.13
C.12
D.23
3.(多选)若点O 是线段BC 外一点,点P 是平面上任意一点,且OP ????? =λOB ????? +μOC ????? (λ,μ∈R ),则下列说法正确的有( ) A.若λ+μ=1且λ>0,则点P 在线段BC 的延长线上 B.若λ+μ=1且λ<0,则点P 在线段BC 的延长线上 C.若λ+μ>1,则点P 在△OBC 外
D.若λ+μ<1,则点P 在△OBC 内
4.(多选)如图,已知△OAB ,由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区(不含边界).已知下列四个向量中对于点M 1,M 2,M 3,M 4,落在阴影区域内(不含边界)的有( )
A.OM 1???????? =OA ????? +2OB ?????
B.OM 2???????? =34OA ????? +13
OB ????? C.OM 3???????? =12OA ????? +13OB ????? D.OM 4???????? =34OA ????? +1
5
OB ?????
5.如图,在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是CD 和BC 的中点,若AE ????? =x AB ????? +y AD ????? (x ,y ∈R ),则2x+y= ;若AC ????? =λAE ????? +μAF
????? (λ,μ∈R ),则3λ+3μ= .
参考答案
自主预习 略
课堂探究
一、
二、
例1 证明:设BM ?????? =a ,MH
??????? =b ,则BH ?????? =a+b , HF ????? =HB ?????? +BA ????? +AF ????? =-BH ?????? +2BM ?????? +2MH
??????? =-a-b+2a+2b=a+b , FC ????? =FE ????? +EC ????? =12HM ??????? +ME ?????? =-12MH ??????? +MA ?????? +AE ????? =-12
b+BM ?????? +AF ????? -EF ????? =-12b+a+2MH
??????? -12MH ??????? =-12b+a+2b-1
2
b=a+b. 综上,HF ????? =BH ?????? =FC
????? . 变式训练:证明:设AB ????? =a ,AD ????? =b ,则BC ????? =AD ????? =b , ∵BN ?????? =1
3BC ????? =1
3b ,BM ?????? =1
2AB ????? =1
2a ,
∴MN
??????? =BN ?????? -BM ?????? =1
3b-1
2a , 又MD ?????? =AD ????? -AM ?????? =b-32a=3(13
b -1
2
a)=3MN
??????? , ∴向量MN ??????? 与MD ?????? 共线,
又M 是向量MN ??????? 与MD ?????? 的公共点,故M ,N ,D 三点共线. 例2 解:(1)设点B 的坐标为(x 1,y 1).
∵AB ????? =(4,3),A (-1,-2),∴(x 1+1,y 1+2)=(4,3), ∴{x 1+1=4,y 1+2=3,∴{x 1=3,y 1=1,
∴B (3,1).同理可得D (-4,-3).
设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2,y 2),
则x 2=
3-42=-12,y 2=1-32=-1, ∴M (-1
2,-1).
(2)由已知得PB ????? =(3,1)-(2,y )=(1,1-y ), BD
?????? =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 又PB
????? =-λBD ?????? ,∴(1,1-y )=λ(-7,-4), 则{1=-7λ,1-y =-4λ,∴{λ=-1
7,y =37.
变式训练:
解:方法一:若A ,B ,C 三点共线,则AB
????? 与AC ????? 共线,则存在实数λ,使得AB ????? =λAC ????? ,
因为AB ????? =OB ????? -OA ????? =(4-k ,-7), AC ????? =OC ????? -OA ????? =(10-k ,k-12),
所以(4-k ,-7)=λ(10-k ,k-12), 即{4-k =λ(10-k),-7=λ(k -12),
解得k=-2或k=11. 所以当k=-2或11时,A ,B ,C 三点共线.
方法二:由题意得,AB ????? 与AC ????? 共线, 因为AB ????? =OB ????? -OA ????? =(4-k ,-7), AC ????? =OC ????? -OA ????? =(10-k ,k-12),
所以(4-k )(k-12)+7(10-k )=0,
即k 2-9k-22=0,解得k=-2或k=11. 所以当k=-2或11时,A ,B ,C 三点共线.
例3 证明:如图建立直角坐标系,其中A 为原点,不妨设AB=2,则A (0,0),B (2,0),C (2,2),E (1,2),F (0,1).
设P (x ,y ),则FP ????? =(x ,y-1),CF ????? =(-2,-1), ∵FP ????? ∥CF ????? ,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2, 同理由BP ????? ∥BE ????? ,得y=-2x+4,代入x=2y-2, 解得x=65
,∴y=85
,即P (65,85
). ∴|AP
????? |=√(65)2
+(85
)2
=2. ∴AP=AB.
变式训练:解:如图所示,设向量OA ????? 的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量OB ????? 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA ????? ,OB ????? 为邻边作平行四边形OACB ,连接OC.
依题意OC ⊥OA ,BC=OA=20,OB=40,
∴∠BOC=30°.
故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进. 核心素养专练 (一)基础过关
1.D
2.C
3.D
4.CD
5.6
6.2
9
7.解:(1)∵A 为BC 的中点,
∴OA ????? =1
2
(OB ????? +OC ????? ), 可得OC ????? =2OA ????? -OB ????? =2a-b , 而DC
????? =OC ????? -OD ?????? =OC ????? -23
OB ????? =2a-53
b. (2)由(1),得OA ????? +k DC ????? =(2k+1)a-53
kb ,
∵OC ????? 与OA ????? +k DC ????? 共线, 设OC ????? =λ(OA ????? +k DC ????? ),
即2a-b =λ(2k+1)a+(-5
3
λkb),
根据平面向量基本定理,得{2=λ(2k +1),
-1=-5
3
λk,
解得
k=34.
(二)能力提升
1.D
2.B
3.BC
4.AB
5.2 4
学习目标
能够从多种角度理解向量概念和运算法则,掌握向量基本定理;能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题,知道数学运算与逻辑推理的关系.
自主预习
基础知识回顾
讲授新课
1.基础知识回顾
平面向量—
课堂探究
任务一:平面向量的有关概念 例1 给出下列命题:
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a 与向量b 平行,则a 与b 的方向相同或相反; ③向量AB ????? 与向量CD ????? 共线,则A ,B ,C ,D 四点共线; ④如果a ∥b ,b ∥c ,那么a ∥c. 其中正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0 任务二:平面向量基本定理
例2 如图所示,在△ABC 中,AN
?????? =13
NC ????? ,P 是BN 上的一点,若AP ????? =m AB ????? +211
AC ????? ,则实数m 的值为 .
例3 已知a ,b 是两个不共线的非零向量,且a 与b 起点相同,若a ,tb ,1
3
(a+b )三向量的终点在同一条直线上,则
t= .
例4 如图,在△AOB 中,D 是边OB 的中点,C 是边OA 上靠近O 的三等分点,AD 与BC 交于M 点.设OA ????? =a ,OB ????? =b.
(1)用a ,b 表示OM ?????? ; (2)过点M 的直线与边OA ,OB 分别交于E ,F.设OE ????? =p OA ????? ,OF ????? =q OB
????? , 求1p +2
q
的值.
任务三:平面向量坐标运算
例5 已知向量AB
????? =(4,3),AD ????? =(-3,-1),点A (-1,-2). (1)求线段BD 的中点M 的坐标;
(2)若点P (2,y )满足PB ????? =λBD ?????? (λ∈R ),求y 与λ的值.
任务四:平面向量的应用
例6 在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ,水流速度的大小是每分钟20 m ,如果一小船从岸边O 处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?
核心素养专练
1.设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ????? +FC ????? =( ) A.AD ?????
B.12
AD ????? C.BC ????? D.12
BC ?????
2.如图所示,下列结论正确的是
( )
①PQ ????? =32
a+32
b ;②PT ????? =32
a-b ;③PS ???? =32
a-1
2
b ;④PR
????? =32
a+b.
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
3.设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a|=b
|b|
成立的条件是( ) A.|a|=|b|且a ∥b B.a=-b
C.a ∥b
D.a=2b
4.设向量OA ????? =(k ,12),OB ????? =(4,5),OC ????? =(10,k ),求当k 为何值时,A ,B ,C 三点共线.
参考答案
自主预习
课堂探究 2:3
11
例3:12
例4:
【解】 (1)设OM ?????? =xa+yb ,
则AM ?????? =OM ?????? -OA ????? =(x-1)OA ????? +y OB ????? =(x-1)a+yb ,AD ????? =OD ?????? -OA ????? =-a+12
b ;
因为A ,M ,D
三点共线,所以AM
?????? ,AD ????? 共线,从而12
(x-1)=-y①,
又C ,M ,B 三点共线,所以BM ?????? ,BC
????? 共线,同理可得13
(y-1)=-x②, 联立①②,解得{x =15
,y =25,
故OM ?????? =15a+25
b. (2)因为EM ?????? =OM ?????? -OE ????? =15a+25b-pa=(15-p)a+2
5
b.
EF ????? =OF ????? -OE ????? =qb-pa. 因为EM ?????? ,EF ????? 共线,所以(15
-p)q=-25
p ,整理得1p +2q
=5. 例5:
【解】(1)设点B 的坐标为(x 1,y 1).
∵AB ????? =(4,3),A (-1,-2),∴(x 1+1,y 1+2)=(4,3), ∴{x 1+1=4,y 1+2=3,∴{x 1=3,y 1=1,
∴B (3,1).同理可得D (-4,-3).
设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2,y 2),
则x 2=
3-42=-12,y 2=1-32=-1, ∴M (-1
2,-1).
(2)由已知得PB ????? =(3,1)-(2,y )=(1,1-y ), BD
?????? =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 又PB ????? =λBD ?????? ,∴(1,1-y )=λ(-7,-4), 则{1=-7λ,1-y =-4λ,∴{λ=-1
7,y =37.
例6:
【解】如图所示,设向量OA
????? 的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量OB ????? 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA ????? ,OB ????? 为邻边作平行四边形OACB ,连接OC.
依题意OC ⊥OA ,BC=OA=20,OB=40,
∴∠BOC=30°.
故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进. 核心素养专练 . . .4.【解】若A ,B ,C 三点共线,则AB ????? ,AC ????? 共线,则存在实数λ,使得AB ????? =λAC ????? , 因为AB
????? =OB ????? -OA ????? =(4-k ,-7), AC ????? =OC ????? -OA ????? =(10-k ,k-12),
所以(4-k ,-7)=λ(10-k ,k-12),
即{4-k =λ(10-k),-7=λ(k -12),
解得k=-2或k=11. 所以当k=-2或11时,A ,B ,C 三点共线.