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补偿练5 三角函数与三角恒等变换
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知cos(π2＋α)＝35，且α∈(π2，3π
2)，则tan α＝( )． A.43 B ．34 C ．－34
D ．±
34
解析 因为cos(π2＋α)＝35，所以sin α＝－3
5，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34. 答案 B
2．已知α是第四象限的角，若cos α＝3
5，则tan 2α＝( )． A.157 B ．167 C.207
D ．247
解析 由cos α＝35，α在第四象限得tan α＝－43，从而tan 2α＝
2tan α
1－tan 2 α＝
2×(－43)
1－(－43)2＝247.
答案 D
3．若函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4个单位得到y ＝f (x )的图象，则( )．
A ．f (x )＝cos 2x
B ．f (x )＝sin 2x
C ．f (x )＝－cos 2x
D ．f (x )＝－sin 2x
解析 y ＝sin 2x ――→图象上所有
点向左移π4个单位
y ＝sin2? ??
??
x ＋π4
＝sin ? ?
???2x ＋π2＝cos 2x .
答案 A
4．已知sin 2α＝13，则cos 2? ?
???α－π4＝( )．
A ．－1
3 B ．－2
3 C.13
D ．23
解析 ∵cos 2? ????α－π4＝1＋cos ? ?
???2α－π22 ＝
1＋sin 2α2，∴cos
2? ????α－π4＝23
. 答案 D
5．函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 图象的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π
12 B ．x ＝π
3 C ．x ＝5π
12
D ．x ＝2π
3
解析 f (x )＝2(32sin 2x ＋12cos 2x )＝2sin ? ?
???2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，
得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，令k ＝1，得x ＝2π
3. 答案 D
6．将函数f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x 的图象向右平移π
4个单位得到函数g (x )的图象，则g ? ????
π4＝( )．
A.62 B ．－1 C. 2
D ．2
解析 由于f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x ＝2sin ? ?
???2x ＋π3，
其图象向右平移π4个单位后得到g (x )＝2sin ???
2? ??
??
x －π4
?
??
＋π3的图象， ∴g ? ????
π4＝2sin ??????2? ????π4－π4＋π3＝2sin π3＝
62. 答案 A
7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)? ?
???ω＞0，－π2<φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值
分别是( )．
A ．2，－π
3 B ．2，－π
6 C ．4，－π
6 D ．4，π
3
解析 由图知34T ＝5π12－(－π3)＝3π4，T ＝π，则ω＝2πT ＝2.注意到函数f (x )在x ＝5π
12时取到最大值，则有2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，而－π2＜φ＜π2，故φ＝－π
3. 答案 A
8．若sin ? ????π3－α＝14，则cos ? ????
π3＋2α＝( )．
A ．－78
B ．－14 C.14
D ．78
解析 由sin ? ????π3－α＝1
4，得sin ??????π2－? ????π6＋α＝14，即cos(π6＋α)＝14，∴cos(π3＋2α)＝cos[2(π6＋α)]＝2cos 2(π6＋α)－1＝2×(14)2－1＝－7
8. 答案 A
9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，若其图象向右平移π
3个单位后关于y 轴对称，则( )． A ．ω＝2，φ＝π
3 B ．ω＝2，φ＝π
6 C ．ω＝4，φ＝π
6
D ．ω＝2，φ＝－π
6
解析 由2πω＝π，得ω＝2，因为将f (x )的图象向右平移π
3个单位后得g (x )＝sin(2x －2π3＋φ)的图象，又g (x )为偶函数，所以－2π3＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )，又|φ|＜π2，取k ＝－1，得φ＝π
6. 答案 B
10．已知函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f (1
6)＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移1
3个单位后所得图象的函数解析式为( )． A ．y ＝2sin(πx ＋π
3) B ．y ＝12sin(πx －π
3) C ．y ＝2sin(πx ＋1
3)
D ．y ＝12sin(πx －1
3)
解析 由最小正周期为2，得2π
ω＝2，则ω＝π，又
f ? ??
??
16＝1，所以A sin π6＝1，A ＝2，所以f (x )＝2sin πx ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移1
3个单位后得到y ＝2sin ??????π? ????x ＋13＝2sin ? ?
???πx ＋π3的图象．
答案 A
11．设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)? ?
???|φ|＜π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )．
A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π
2)上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π
2)上为减函数
C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π
4)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π
4)上为减函数
解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ? ????
2x ＋π6＋φ，∵图象关于x ＝0对
称，∴π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π
3，f (x )＝2cos 2x .其最小正周期T ＝2π2＝π，且在? ?
???0，π2上单调递减．
答案 B
12．关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的四个结论： P 1：最大值为2；
P 2：把函数f (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π
4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象；
P 3：单调递增区间为???
?
??k π＋7π8，k π＋ 11π8(k ∈Z )；
P 4：图象的对称中心为? ????
k 2π＋π8，－1(k ∈Z )．其中正确的结论有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析 因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ? ?
???2x －π4－1.
所以最大值为2－1，故P 1错误．
将f (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π4个单位后得到f (x )＝2sin 2? ????
x －π4－1＝
2sin ? ?
?
??2x －π2－1的图象，故P 2错误． 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，得－π8＋k π≤x ≤3π
8＋k π，k ∈Z ，即增区间为??????
－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )，故P 3正确．由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π8，k
∈Z ，所以函数的对称中心为? ??
??
k π2＋π8，－1，k ∈Z ，故P 4正确．
答案 B 二、填空题
13．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点? ????
－12，32，
2α∈[0,2π)，则tan α＝________. 解析 由三角函数定义可知
sin 2α＝32，cos 2α＝－12，∴tan 2α＝sin 2α
cos 2α＝－ 3. 又2α∈[0,2π)，∴2α＝
2π3
， ∴α＝π
3，∴tan α＝ 3. 答案
3
14．函数y ＝tan ωx (ω＞0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是__________．
解析 由函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝2sin ? ????
x －π6.由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k
∈Z )．
答案 [2k π－π3，2k π＋2π
3](k ∈Z )
15．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－1
3，则tan(β－2α)＝________. 解析 由1－cos 2αsin αcos α＝2sin 2α
sin αcos α＝2tan α＝1， 得tan α＝1
2，∴tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝ tan (β－α)－tan α
1＋tan (β－α)tan α＝
－13－12
1－16
＝－56
56
＝－1. 答案 －1
16．设函数f (x )＝3sin (ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π
3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______．(填序号)
①f (x )的图象过点? ?
???0，32；
②f (x )在??????
π12，2π3上是减函数；
③f (x )的一个对称中心是? ??
??
5π12，0；
④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 解析 ∵周期为π，∴2π
ω＝π?ω＝2， ∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f ? ????23π＝3sin ? ????
4π3＋φ，
则sin ? ????
4π3＋φ＝1或－1，
∵φ∈? ??
??－π2，π2，
∴4π3＋φ∈? ????
5π6，116π，∴4π3＋φ＝3π2?φ＝π6，
∴f (x )＝3sin ? ?
?
??2x ＋π6.
①：令x ＝0?f (x )＝3
2
，正确．
②：令2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋3π2，k ∈Z ?k π＋π6＜x ＜k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0?π
6＜x ＜2π3，
即f (x )在? ????π6，23π上单调递减，而在? ????
π12，π6上单调递增，错误．
③：令x ＝5π
12?f (x )＝3sin π＝0，正确． ④：应平移π
12个单位，错误． 答案 ①③
2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5． 考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：求出A∪B，再明确元素个数 解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}； 所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6． 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：直接求解数据的平均数即可． 解答：解：数据4，6，5，8，7，6， 那么这组数据的平均数为：=6． 故答案为：6． 点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为． 考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 解答：解：复数z满足z2=3+4i， 可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=． 故答案为：． 点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．
考点：伪代码． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 故答案为：7． 点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2 只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则 一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种； 所以所求的概率是P=． 故答案为：． 点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m， n∈R），则m﹣n的值为﹣3． 考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用．
高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有 （ ） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（ ） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =， 则6b 的值 （ ） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面， 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要 条件是 （ ） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的 值 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（ ） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于 （ ） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色， 则共有涂色方法 （ ） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值 （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
数列 20．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413< （1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率； （2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 （2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分） ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=，所求期望值为5． (12) 20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2． ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得：b 1=a 1=3， 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n b n+1=（n+1）a n+1一na n ． ∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3， 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 政治试题 一、单项选择题：本大题共33小题，每小题2分，共计66分。在每题给出的四个选项中， 只有一个选项是最符合题意的。 1．中国人民抗日战争的胜利，谱写了中华民族不屈不挠抵抗外来侵略的壮丽史诗，彻底洗刷了近代以后中国屡遭外来侵略的民族耻辱，极大地增强了中华民族的自信心和自豪感。 今年是中国人民抗日战争胜利 A．60周年B．65周年C．70周年D．75周年 2．2014年6月，在第三十八届世界遗产大会上，21项文化遗产获准列入世界遗产名录，其中有中国与哈萨克斯坦、吉尔吉斯斯坦联合申报的“丝绸之路”和中国的 A．苏州园林B．南京明孝陵C．扬州瘦西湖D．大运河 3．2014年被称为我国“全面深化改革元年”，经济社会发展迈出了坚实步伐。下列选项中，能体现激发市场活力的是 A．南水北调中线一期工程正式通水，沿线约6000万人直接受益 B．国务院公布《事业单位人事管理条例》，系统规范事业单位人事管理 C．国务院常务会议决定，在粤、津、闽特定区域再设三个自由贸易园区 D．国务院印发《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，推进考试招生制度改革4．2014年1 1月，亚太经合组织第22次领导人非正式会议在北京举行。此次峰会的主题是 A，共建面向未来的亚太伙伴关系B．共建面向未来的亚太命运共同体 C．共建面向未来的亚太战略伙伴关系D．共建面向未来的亚太经贸合作关系 5．某科技公司凭借互联网思维、扁平灵活的管理架构和独特的供应链能力，成为互联网时代的新宠，仅用5年时间跃升为世界第三大智能手机生产商。材料表明 A．互联网应用是企业发展的根本原因B．满足市场需求是企业成功的关键 C．自主创新能促进企业竞争优势形成D．获取利润是企业经营的直接目的 6．据统计，2014年全国居民新增财产性收入40%来白房地产,17%来白银行理财，16%来自存款，12%来自股票，其他来自信托、基金、保险等。对该经济现象的正确解读是 ①体现按生产要素分配②居民投资风险不断降低 ③再分配更加注重公平④居民财产配置趋向多元 A．①②B．①④C．②③D．③④ 7．我国央行白2015年2月5日起全面下调金融机构人民币存款准备金率0．5个百分点。 下列选项中能正确描述该政策对经济影响机制的是 A．货币供应量增加—利率上升—投资减少—总需求减少 B．货币供应量减少—利率降低—投资减少—总需求减少 C．货币供应量减少—利率上升—投资增加—总需求增加 D．货币供应量增加—利率降低—投资增加—总需求增加 8．2015年5月10日起，卷烟批发环节从价税税率由5%提高到11%，并按照每支0．005元加征从量税。此举有利于 ①规范市场秩序，提高经济效率②调节个人收入，实现社会公平 ③减少香烟销售，倡导绿色消费④增加财政收入，优化资源配置 A．①②B．①③C．②④D．③④ 9．2014年以来，国家相关部门对水泥、软件、汽车等行业开展反垄断调查。此举旨在 ①降低企业生产成本②维护市场公平竞争秩序 2015年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ． 考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：求出A∪B，再明确元素个数 解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}； 所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ． 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：直接求解数据的平均数即可． 解答：解：数据4，6，5，8，7，6， 那么这组数据的平均数为：=6． 故答案为：6． 点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为． 考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 解答：解：复数z满足z2=3+4i， 可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=． 故答案为：． 点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ． 考点：伪代码． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 故答案为：7． 点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. 第 9 讲 分类讨论的思想 【开心自测】 已知 4:2 2=+y x C 圆， （1）过点)3,1(-的圆的切线方程为________________. （2）过点)0,3(的圆的切线方程为________________. （3）过点)1,2(-的圆的切线方程为________________. （4）斜率为－1的圆的切线方程为__________________. 【教学重难点】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论 题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 【秒杀方略】 当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”． 1. 分类讨论的思想的本质 分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略． 2. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 ⑴确定讨论对象和确定研究的全域； ⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）； ⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ⑷归纳总结，整合得出结论． 4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有： ⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n 项和公式等等； ⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等； ⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论； ⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； ⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。 【金题精讲】 1.问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论 【例1】设0>a ，函数|1ln |)(2 -+=x a x x f . (1) 当1=a 时,求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈x 时,求函数)(x f 的最小值. 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______. 7.不等式22 4x x -<的解集为________. 8.已知tan 2α=-，()1 tan 7 αβ+= ，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。 11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1 {n a 的前10项和为 。 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12 2 =-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线 01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。 13.已知函数|ln |)(x x f =，? ??>--≤<=1,2|4|1 0,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个 数为 。 14.设向量)12,,2,1,0)(6 cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k π ππ，则 ∑=+?12 1)(k k k a a 的值 为 。 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 英语 第一部分听力(共两节,满分 20 分) 做题时,先将答案标在试卷上。录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。 第一节(共 5 小题;每小题 1 分,满分 5 分) 听下面 5 段对话。每段对话后有一个小题,从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。听完每段对话后,你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。每段对话仅读一遍。 例： How much is the shirt? A. ￡ 19.15 B. ￡ 9.18 C. ￡ 9.15 答案是C。 1. 1. What time is it now? A. 9:10 B. 9:50 C. 10:00 2. What does the woman think of the weather? It’s nice. It’s warm It’s cold. 3. What will the man do? A. Attend a meeting. B. Give a lecture C. Leave his office. 4. What is the woman’s opinion about the course? A. Too hard B. Worth taking. C. Very easy. 5. What does the woman want the man to do? A. Speak louder B. Apologize to her. C. Turn off the radio. 专题训练（一） （每个专题时间：35分钟，满分：60分） 1 ．函数y = 的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2 3(,)+∞ C ．2 3[,1] D ．23(,1] 2．函数221 ()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35 D ．3 5- 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ） A ．2 B C ．1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是 （ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．sin163 sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．12 C ． D 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ） ① ////m m αββα? ???? ② //////m n n m ββ? ??? ③ ,m m n n αβ?? ???? 异面 ④ //m m αββα⊥? ?⊥?? 其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 10．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此 双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮 使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ） A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．7120 12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形 孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 常见分类讨论类型 一、分类讨论思想在立体几何中的应用 1 ．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够 焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是 （ ） A ． B ．(1,) C ． D ．(0,) 【答案】【答案】 A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力. 【解析】根据条件,四根长为 2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况 :(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图, 此时a 可以取最大值,可 知 AD= ,SD= ,则有 <2+ ,即 , 即有 (2) 构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示 ,此时a>0; 综上分析可知a ∈【编号】45690 【难度】较难 2 ．共点的三条直线可以确定几个平面_______________ 【答案】1个或3个 【编号】41766 【难度】简单 二、分类讨论思想在集合中的应用 3 ．已知集合 22{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++=，若B A ?，求实数a 的取值 范围。 【答案】解：{0,4}A =- ①B =Φ时，2 40a a ?=-<，即04a << 4分 ②B ≠Φ时，即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =- 当{0}B =时，0a =满足题意； 当{4}B =-，{4,0}B =-时，不满足题意 10分 综上所述：a 的取值范围是04a ≤< 12分 【编号】36832 【难度】较难 228a <+= 4 ．已知集合2 {|230,}A x mx x m R =-+=∈，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范 围。 【答案】解:①当0m =时，3 2 x =，满足题意。 4分 ②当m ≠0时，方程2230mx x -+=至多只有一个解， 则0?≤，即4120m -≤，1 3 m ∴≥ 10分 综上所述，m 的取值范围是0m =或1 3 m ≥ 12分 【编号】36828 【难度】一般 5 ．已知集合2 {|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，若{|0}A x R x ∈>=? ，求实数a 的取值范围。 【答案】解：当A ≠?时，由{|0}A x R x ∈>=? 知A 的元素为非正数， 即方程2 (2)10x a x +++=没有正数根。则由2(2)40 (2)0a a ??=+-≥?-+=? ，此时2(2)40a ?=+-<，解得 40a -<< 综上，的(4,)a ∈-+∞ 【编号】32168 【难度】较难 三、分类讨论思想在函数中的应用 6 ．求函数2 ||1y x x a =+-+的值域。 【答案】解：2 2 1()1x x a y f x x x a ?+-+?==?-++??2213()()24 13()()24 x a x a x a x a ?++-≥??=??-++ 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案
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