2012届高中数学基础训练测试题参考答案(下)
51．直观图与平面的性质
1．4； 2．①②； 3．①②③；
4．AC ；
5．①；
6．3；
7．OD BD AB OB <<=；
8．2π或4π
；
9
2
；10．①③④⑤；11
．棱的落差为x
，则三角形的腰长为
，斜边长为，由勾股定理得
222(4)44x x +=+，解得22x =，
斜边长为12．提示：两组相对侧面分别平行；
一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等中任取两个． 13．（1）
（2）证明：,P AB AB ∈?平面ABC ，P ∴∈平面ABC ，
,R AC AC ∈?平面ABC ，R ∴∈平面ABC ，
又,P R αα∈∈，由公理2得，平面ABC PR α=， ,Q BC BC ∈?平面ABC ，Q ∴∈平面ABC ，
又Q α∈，∴点Q 在平面ABC 与平面α的交线上，即Q PR ∈， ,,P Q R ∴三点共线．
52．空间两条直线的位置关系
1．1或3个； 2．异面或相交； 3．梯形； 4．③④； 5．③⑤； 6．正方； 7．②； 8．③④；
9．5；提示：根据异面直线的判定定理判断符合要求的棱为：BC 、CD 、C 1D 1、BB 1、AA 1共5条． 10．20；
11．无数；提示：过11A D 任作一个平面与直线EF CD 、相交，连结这两个交点的直线必与三条直线都相交．
12．④；提示：放在正方体中研究,显然，线段OO 1、EF 、FG 、GH 、HE 的中点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离都相等，所以排除①②③，
选④；亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离相等；
13．（1）∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF //AC ，且EF =
2
1
AC ． 同理HG //AC ，且HG =
2
1
AC ．∴EF 与HG 平行且相等， ∴EFGH 是平行四边形．又∵F ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴FG //BD ． ∴∠EFG 是异面直线AC 与BD 所成的角． ∵AC ⊥BD ，∴∠EFG =90o ，∴EFGH 是矩形．
（2）①取BD 中点I ，连结EI ，GI ，EG ，所以()1
2EG EI GI AD BC <+=+；
②∵,E G 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EI AD GI BC
且12EI AD ==
12GI BC =，∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EI GI 所成的角， 在EGI ?中，222EG GI EI =+，∴90EIG ∠=?，异面直线,AD BC 所成的角为90?． ∴异面直线,AD BC 垂直．
53． 直线与平面的位置关系（一）
1．平行、异面或相交； 2．3； 3．①②③； 4．①④；
5．①②③； 6．①②③④； 7．①②④；
8．②④；
9．平行；提示：////a a a c c αβαβ??
?
???=?
，同理//b c ，所以//a b ．
10．③；对于①、②、④均可能出现l ∥β，而对于③是正确的．
11．垂；提示：如图，由,PA PB PA PC ⊥⊥得PA PBC ⊥平面，从而PA BC ⊥．由PH ABC ⊥平面得PH BC ⊥，所以BC PAH ⊥平面，即BC AH ⊥．同理AB CH ⊥，所以H 是ABC ?垂心．
12
．,0x x y x ??
?=????
≤≤；提示：设11AA CC 、的中点为E F 、，在菱形1BED F
中利用相似形处理．
B A
C
D E F G
H B A C D
F E
G
13．证明：（1）取PD 的中点Q ，连AQ 、NQ ．M 、N 是AB 、PC 的中点，
////QN DC AM ∴，1
2
QN DC AM ==，∴四边形AMNQ 为平行四边形，//MN AQ ∴．
,MN PAD AQ PAD ??平面平面，∴//MN PAD 平面． （2）PA ABCD ⊥平面，PA CD ∴⊥．,CD AD PA AD A ⊥=，CD PAD ∴⊥平面，
CD AQ ∴⊥．//MN AQ ，MN CD ∴⊥．
（3）在R t P A D ?中，45PDA ∠=，AQ PD ∴⊥．
,AQ CD PD
CD D ⊥=，
AQ PCD ∴⊥平面．//MN AQ ，MN PCD ∴⊥平面．
54． 直线与平面的位置关系（二）
1．平行或相交； 2．异面垂直（或写成垂直但不相交）； 3．①③； 4
5．④； 6．8； 7．3； 8．②；
9．平行； 10
；提示：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作
l 的垂线.垂足为D ，连结AD ，有三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60°，又由已知，∠ABD ＝30°连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角，设AD ＝2，则AC
CD ＝1，AB ＝
sin 30
AD
＝4， ∴sin ∠ABC
＝AC AB = 11．③；由PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故①正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故②正确； 异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故④正确；综上③是错误的．
12．（0
；提示：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图12-1，此时a 可以取最大值，可知AD
SD
，则有
228a <+=，即有a
；
α
?
A
B
?β
C D
第11题图 第13题图 S
C A
B D 2 2 2
2 a
a
图12-1
图12-2
S
A
B C
a
2 2 2
2
(2)构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图12-2所示，此时a >0；
综上分析可知a ∈（0）． 13．证明：（1）连结11A C ，设11
111AC B D O =连结1AO ， 1111ABCD A B C D -是正方体，11A ACC ∴是平行四边形，11AC AC ∴∥且11AC AC =
又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，11O C AO ∴∥且11O C AO =，11AOC O ∴是平行四边形， 111,C O AO AO ∴?∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ，∴1C O ∥面11AB D ；
（2）1CC ⊥面1111A B C D ，11!CC B D ∴⊥，又1111AC B D ⊥，1111B D AC C ∴⊥面，
111AC B D ⊥即， 同理可证11AC AB ⊥，又1111D B AB B =，∴1A C ⊥面11AB D ．
55．平面与平面的位置关系
1．平行或异面； 2．④； 3．③； 4．④； 5．平行或相交； 6．②④；
7．5；平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面
PCD ⊥ 平面PAD ，平面PBC ⊥平面PAB ． 8．(i) ③⑤，(ii) ②⑤；
9．必要不充分；提示由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则αβ⊥，反过来则不一定．所以“αβ⊥”是“m ⊥β”的必要不充分条件．10．③； 11．MD PC ⊥，或M B P C ⊥；提示：要使平面MDB ⊥平面PCD ，只要PC ⊥平面MDB ．
12．112?? ???
，，提示： 此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，t
＝1，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ，对于
CD ＝2，BC ＝1，BD ∴=，又AD ＝1，AB ＝2，因此有AD ⊥BD ，则有1
2
t =，因此t
的取值范围是112?? ???
，． 13．（1）证明：,,PC BC PC AB AB BC B ⊥⊥=，PC ABC ∴⊥平面，
PC PAC ?平面，∴平面PAC ⊥平面ABC ．
（2）解：平面//PEF 平面AMB ，PEF 平面平面PMBC PE =，
ABM 平面平面PMBC BM =，//PE MB ∴， 2,1BC PM ==，//PM BC ，E ∴是BC 中点． 同理可证//EF AB ，F ∴是AC 中点．
56．柱、锥、台、球的表面积与体积
1．96； 2．1：8； 3．24； 4．；
5； 6．4π； 7．4； 8；
9．2：1； 10．π
16
-； 11．④； 12．② ④．
6．提示：由已知，球O 的直径为2R ＝SC ＝2，∴表面积为24π4πR =；
7．提示：设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224
ππ8π63
r r r r ?+?=?，解得r =4；
8．提示：由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底
同高同棱长的正四棱锥），所有棱长均为1，故正八面
体的体积为212=213V V =??正四棱锥． 9．提示：由于G 是PB 的中点,故P －GAC 的体积等于B －GAC 的体积．在底面正六边
形ABCDER 中BH ＝AB tan30°，而BD 故DH ＝2BH 于是V D －GAC ＝2V B －GAC
＝2V P －GAC ．
11．可证AC ⊥平面D 1DBB 1，从而AC ⊥BE ，故①正确，由B 1D 1∥平面ABCD ，可知EF ∥平面ABCD ，②也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A －BEF 的高，
111
=1=224
BEF S ??△，
三棱锥A －BEF 的体积为1134?为定值，③正确；故④错误． 12．提示：容器内水的体积等于正四棱锥体积的2倍． 13．（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由∠BCD =900，得CD ⊥BC ，又PD DC =D ，PD 、DC ?平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． （2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、
DF ，则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍．
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，因为PD =DC ，PF =FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥
平面PBC 于F ．易知DF ，故点A 到平面PBC 的距
（方法二）体积法：连结AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ．因为AB ∥DC ，∠BCD =900，所以∠ABC =900． 从而AB =2，BC =1，得△ABC 的面积=1ABC S △．
由PD ⊥平面ABCD 及PD =1，得三棱锥P -ABC 的体积1133
ABC V S PD ?=
?=． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．
又PD =DC =1，所以PC =．
由PC ⊥BC ，BC =1，得△PBC 的面积PBC S △
由=A PBC P ABC V V --，11
==33
PBC S h V ?△，得h A 到平面PBC ．
57．空间直角坐标系
1．c ；
2．(0,2,0)P 或(0,8,0)P ； 3．(1,2,3)--； 4．(3,4,5)-；
5．(1,1,2)-；
6 7．直角三角形；
8．4；
9； 10．(0，－1，0)； 11．
2
12
8．提示：设所求点的坐标为(,0,0)x ，0,2x x ==或，同理可求y z
、轴上的点，但原点只能算一次．
9．提示：AB =
10．提示：M (0,y ,0)，由222141(3)1y y ++=+--+可得y ＝－1，故M (0,－1,0)．
11．提示：该点坐标为． 13．解（1）取AC 中点O ，连OB OP 、．ABC ?是以B
为直角顶点的等腰直角三角形，AB BC ==，
2,OA OB OC OB AC ∴===⊥且．PA PB PC ==，P ∴在底面ABC 上的射影是ABC ?的外心，即PO ABC ⊥平面，
且PO =以O 为坐标原点，OB OC OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴建立如图所示的坐标系，可得
(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0),A B C P -．（2）AB PC 、的中
点(1,1,0)M N -、，
所以52MN =．
58． 立体几何综合训练
1．正六边形； 2．必要不充分； 3．②； 4．相交； 5．M ∈FH ； 6．36π； 7．7； 8．7； 9．①②③； 10．③④； 11．25π； 12．83；
1．提示：边长是正方体棱长的2
2
倍的正六边形．
2． 提示：由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．
3．提示：不相交的直线a 、b 的位置有两种：平行或异面．当a 、b 异面时，不存在平面α满足①、③；又只有当a ⊥b 时④才成立．
4．提示：直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ?平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．
6．提示：四面体A －B 1CD 1的外接球即为正方体的外接球，所以2r ＝3×(23)2.∴r ＝3，
V 球＝43πr 3＝4
3
π×27＝36π.
8．提示：π(3)84π,7S r r l r =+==侧面积．
11．提示：四面体ABCD 外接球一定是以AC 为直径的球，与四面体ABCD 的体积无关．
12．提示：设AC ＝a ，CC 1＝b ，则由BC 12＝BC 2＋CC 12，BC 12 ＝DC 12＋DB 2
，即得
(a 2＋14b 2)×2＝a 2＋b 2，得b 2＝2a 2，又12×32a 2＝6，∴a 2＝8，∴V ＝34
×8×4＝83．
13．证明：(1)法一：取A 1B 1的中点为F 1，连结FF 1，C 1F 1．
由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1．
因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1． 连结A 1D ，F 1C ，由于A 1F 1=∥D 1C 1=∥CD ，
所以四边形A 1DCF 1为平行四边形， 因此A 1D ∥F 1C ．又EE 1∥A 1D ， 得EE 1∥F 1C ．
而EE 1?平面FCC 1，F 1C ?平面FCC 1， 故EE 1∥平面FCC 1．
法二：因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD =∥AF ， 因此四边形AFCD 为平行四边形，所以AD ∥FC ．
又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ?平面FCC 1，CC 1?平面FCC 1，AD ∩DD 1＝D ，AD ?平面ADD 1A 1，DD 1?平面ADD 1A 1． 所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1．
又EE 1?平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面FCC 1． (2)连结AC ，在△FBC 中，FC ＝BC ＝FB ， 又F 为AB 的中点，所以AF ＝FC ＝FB ． 因此∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC ． 又AC ⊥CC 1，且CC 1∩BC ＝C ， 所以AC ⊥平面BB 1C 1C ． 而AC ?平面D 1AC ，
故平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C ．
(3) 59．统计(一) 1．15；
2．8,16,10,6； 3．8；
4．25，17，8；
5．5.7%； 6．10； 7．乙； 8．nm
N
；
9．12； 10．50
1003； 11．40； 12．am m n p ++、an m n p ++、ap m n p ++．
提示：1．青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为
7
157/15
=
2．因为
40180020=，故各层中依次抽取的人数是160820
=，
3201620=，2001020=，120
620=； 5．该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：5070
9900010005700990100
?+?=户，
所以所占比例的合理估计是5700100000 5.7%÷=．
13．解（1）当X =8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为8891035
;44
x +++=
=
方差为2222135353511
[(8)(9)(10)].444416
s =-+-+-=
（2）记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4）， （A 3，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 3），（A 1，B 4）， （A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4，B 3），（A 4，B 4），
用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：（A 1，B 4），（A 2，B 4），（A 3，B 2），（A 4，B 2），故所求概率为41
().164
P C =
=
60．统计(二)
1．92，2.8； 2．8,0.125； 3．40； 4．60；
5．0.030，3； 6．37，20； 7．ax by cz dw
a b c d
++++++； 8．30；
9．13
； 10．25； 11．4； 12．④．
4．提示：设第一组至第六组数据的频率分别为2,3,4,6,4,x x x x x x ，
则234641x x x x x x +++++=，解得1
20
x =，所以前三组数据的频率分别是
234,,202020，故前三组数据的频数之和等于234202020n n n
++
=27，解得n =60．
6．提示：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．40岁以下年龄段的职
工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40
10020200
?=人．
8．提示：100×（0.001+0.001+0.004）×5=30．
10．提示： 考查统计中的平均值与方差的运算．甲班的方差较小，数据的平均值为7，
故方差222222
(67)00(87)0255
s -+++-+==．
12．提示：根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项①中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项③中也有可能；选项②中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项④中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选④． 13．
图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．
61．随机事件的概率
1．①④； 2．[]0,1； 3．②、③； 4．2000； 5．1
5
；
6．1
3
；
7. 7
10
； 8．120； 9．
12
；
10．14；
11．38；
12．
49
． 6．解析：题中三张卡片随机地排成一行，共三种情况：,,BEE EBE EEB ，∴概率为1
3
．
8．解: 设总体中的个体数为x ，则
101
12012
x x =?=． 11．基本事件4×3×2×1＝24种，不拿自己写的那张有3×3×1=9种，概率为3
8
．
12．提示：基本事件6×6＝36个，“心有灵犀”包含相等的6个，差±1的10个，
故P （A ）＝16436
9
=．
13．解：(Ⅰ)先后掷一枚形状为正方体的骰子出现点数向上有36种等可能事件，
向上的点数不相等的情况有： （1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）（1，6）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、 （2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、 （4，5）、（4，6）、（5，1），（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，6）（6，1），（6，2）、 （6，3）、（6，4）、（6，5），共30个基本事件．
?A
????
?B C
D
E F 故所求概率为1P ＝3036
＝56． (Ⅱ)满足x y +＜6的情况有(1，1)、(1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、 （2，3）、（3，1）、（3，2）、（4，1），共10个基本事件．
故所求概率为2P ＝1036＝5
18
．
62．古典概型 1．
15
； 2．2次都不中靶； 3．3
5；
4．35；
5．0.2；
6．0.7；
7．518；
8．0.75；
9．0.24，0.76； 10．0.03；
11．
1121
；
12．（文科）1
3；（理科）475
．
3．解析：设该队员每次罚球命中的概率为p ，则由216125p -=得3
5
p =．
5．提示： 考查等可能事件的概率知识．从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件 总数为10，它们的长度恰好相差0．3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和 2.9，所求概率为0.2． 7．解析：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件．两
条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以
概率等于
518
． 8．提示：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、
4、5，故3433
0.754
P C ===．
9．提示：三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标
为1-0.24=0.76． 11．提示：所有事件数为
987
8432
??=?，和为偶数的事件有：3个 全是偶数，2个奇数1个偶数共有4＋40＝44．
12．（文科）1
3
；（理科）提示：如图，甲从这6个点中任意选两
个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有22
661515225
C C ?=?=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有
//,//,/A C D B A D C B A E
B F //,//,/A F B E
C E F
D C F
E D
共12对，所以所求概率为
124
22575
p =
=
． 13．基本事件总数为25，①要此函数为一次函数，则a 只能取0，b 共有4种取值（0b ≠），故2y ax bx c =++为一次函数的概率为
4
25
．②要此函数为二次函数，则a 有4种取值，b 共有5种取值，故有5420?=种取法，则2y ax bx c =++为二次函数的概率为4.5
63． 几何概型 1．12； 2．1
8；
3．
34
； 4．1200； 5．23
；
6．
2
3
； 7．π
14
-
； 8．
4π
4-；
9
10．13；
11．19
；
12．
π16
． 6．提示：如图可设AB ＝1，则根据几何概率可知其整体事件是其
周长3，则其概率是
2
3
．w ． 7．提示：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形
内部的部分(半圆)面积为π
2
．因此取到的点到O 的距离小于1 的概率为
π2÷2＝π4．取到的点到O 的距离大于1的概率为π14
-． 9．提示：区域D 为圆面，区域d 为直线1x =-与直线1x =之间的部分即由矩形与两
个弓形构成．
10．提示：在区间[－1，1]上随机取一个数x ，即[]1,1x ∈-时，要使πcos
2
x
的值介于0 到
12之间，需使πππ223x --≤≤或πππ322x ≤≤，213x ∴--≤≤或2
13
x ∴≤≤， 区间长度为
23，由几何概型知πcos 2
x 的值介于0到12之间的概率为2/31
23=． 11．提示：硬币的圆心落在连长为1的正方形内．
13．点（m ,n ）所在的区域D 为边长为1的正方形，关于x 的一元二次方程20x m +=
有实数根的条件是40n m -≥，所以在区域D 内且满足条件的点（m ,n ）所在的面
积为18，则所求的概率是18
．
64． 统计概率综合运用
1．
13
； 2．0.254； 3．60； 4．0.4；
5．0.5,0.8；
6
7．（文科）15
，（理科）117； 8．2
3；
9．5，16； 10．512； 11．1
5
； 12．839．
4．解析：由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9x y x y +++=+?+?+?=
联合解得0.4y =．
5．0.5(10.6)(10.5)0.6P =?-+-?0.20.30.5=+=，1(10.5)(10.6)0.8P =---=； 7．理科解析：“抽出的2张均为红桃”的概率为2132521
17
C C =．
10．解析：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，
则P (A )=P (A 1)+ P (A 2)=21135
343412
?+?=．
13．解：（I ）由频率分布表得0.20.451,0.35a b c a b c ++++=++=即，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以3
0.15,20
b =
= 等级系数为5的恰有2件，所以2
0.120
c =
=， 从而0.350.1a b c =--=，所以0.1,0.15,0.1.a b c === （II ）从日用品1212,,,x x y y 中任取两件，所有可能的结果为：
12131112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y ，
设事件A 表示“从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个，又基本事件的总数为10， 故所求的概率4
()0.4.10
P A ==
65． 合情推理与演绎推理
1．42,41,123；2．如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或
互补．（答案不唯一）假命题；3．2
()2(1)
n f n n +=+；
4．四面体的三个侧面互相垂直，且与底面所成的角分别是,,αβγ，则222
c o s c o s c o s 1
αβγ+
+
=；
5．大前提是错误的；6．3，51
,21()2
5,2()
2
n n n k k S n n k k ++
-?=-∈??=??=∈??N N ；7
8．答案:4n ，
方法一：1131351,16,81,S S S S S S =+=++=猜想41321n S S S n -+++=．
方法二：先求出221(21)(221)n S n n n -=--+，然后求和（对文科生要求较高，不必介绍） 9．
00221x x y y
a b
-=，提示：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，000(,)P x y ， 则过P 1、P 2的切线方程分别是11221x x y y a b -=，222
21x x y y
a b
-=．因为000(,)P x y 在这两条切线上，故有1010221x x y y a b -=，2020221x x y y
a b
-=，这说明111(,)P x y ，222(,)P x y 在直线
00221x x y y a b -=上，故切点弦P 1P 2
的直线方程是00221x x y y
a b -=； 10．sin α； 11． 4
13()i
i V
iH k
==∑；
12．
101
,(1)(2)36
n n -+，提示：当n =3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，
即由条件知1212121,,,a b c x x a b y y b c z z c a ++=+=++=++=+
1212121221122()2,2x x y y z z a b c g x y x z y z +++++=++==+=+=+ 12121262()2g x x y y z z a b c =+++++=++=，
即12121211110(3)13233
g f a b c x x y y z z g =
=+++++++++=++=而 进一步可求得(4)5f =．由上知(1)f 中有三个数，(2)f 中有6个数，(3)f 中共有10
个数相加 ，(4)f 中有15个数相加….，若(1)f n -中有1(1)n a n ->个数相加，可得()
f n
中有1(1)n a n -++个数相加，且由
363331045
(1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3), (3333333)
f f f f f f f +=====+==+==+
可得1
()(1),3n f n f n +=-+
所以11113
()(1)(2)...(1)3333333
n n n n n n f n f n f n f +++-=-+=-++==++++
=113211(1)(2)3333336
n n n n n +-+++++=++
13．猜想：22003
sin cos (30)sin cos(30)4
αααα++++=
．证明： 000
2
2
1cos21cos(602)sin(302)sin30sin cos (30)sin cos(30)222
ααααααα-+++-++++=++
00cos(602)cos211
1[sin(302)]
222
ααα+-=+++-0002sin(302)sin3011
1[sin(302)]222
αα-+=+++-
003113sin(302)sin(302)4224αα=-+++=．
66．直接证明与间接证明
1．三个方程中都没有两个相异实根；2．假设三内角都大于60度；3．18；4．3或4； 5．0； 6．35； 7．答案不唯一，如;2
,3
-==x y x y
8．5，1
(2)(1)2
n n -+；
9．<；
10．5；
11．9-；
12．①对②错．
4．解析：x =
2=±因为x 是整数，即2为整数，且4n …，又因为n ∈+N ，取1,2,3,4
n =，验证可知3,4n =符合题意；反之3,4
n =时，可推出一元二次方程240x x n -+=有整数．．
根． 9．提示：平方作差；11． 提示：{}n a 有连续四项在集合{－54,－24,18,36,81}，四项
－24，36，－54，81成等比数列，公比为3
,692q q =-=-．
13．1ax by +证明：要证≤，()2
1ax by +只需证≤，
222221a x abxy b y ++只需证≤，222222222()()a x abxy b y a b x y ++++只需证≤， ()2
0bx ay -只需证≥，()2
0bx ay -因为≥成立，1ax by +所以≤成立．
67． 复数的概念及运算
1．1－i ； 2．1i +； 3．一；
4．34i --；
5．
6．34
；
7．)+∞；
8；
9 10．z ＝－
2
1±23i ； 11．1z << 12．x ＝1，y ＝2．
2．提示：对于2222
(1i)1i 2i 1i 1i
z z +=++=-+=++； 3．解析：
i i(1i)11i 1i 222-==++，所以点11(,)22
位于第一象限； 4．解析：2
2
23i (3i)(1i)(12i)34i 1i 2---????
==-=-- ???+????
． 7．提示：若t ∈R ，t ≠－1，t ≠0时，复数z =
1i 1t t
t t
+++的模为|z |，
则|z |2=22
1()()21t t t t
+++≥，故z 的模的取值范围是)+∞．
8．提示：若a ≥0，且z |z |＋az ＋i ＝0，则z (|z |+a )+i=0，|z |+a >0，故z 为纯虚数，设z = y i(y )∈R ，
则(|y |+a )y i+i=0故y 2
－y －1=0，y ，z ．
9．提示：设z =log 2(m 2－3m －3)＋i log 2(m －3) (m ∈R )，若z 对应点在直线x －2y ＋1=0
上，则log 2(m 2－3m －3)－2 log 2(m －3)＋1＝0，故2（m 2－3m －3）＝(m －3)2．
∴m ＝15或m ＝－15（不适合）．
10．提示：原方程化简为2
()i 1i z z z ++=-，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程得
x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，∴x 2＋y 2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－
2
1
且y ＝±23，∴原方程
的解是z ＝－
1
2i ．
11．提示：z 02a <<，即2115a <+<，1z ∴<<．
12．解析：可采用展开计算的方法，得2(i )(1)i x x y -+-=，没有虚部，x ＝1，y ＝2．
13．解：由题意得 z 1＝
15i
1i
-++＝2＋3i ，于是12z z -＝42i a -+