河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考试题 数学(理)【含解析】

河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考试题

数学（理）

一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知复数1i i

z （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）

A. 1

B. -1

C. i

D. i -

【答案】A 【解析】 【分析】

先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】2

1i i (1)1z i i i i ，1z i =+，其虚部为1．

故选：A ．

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题． 2.已知集合1|01x A x x -??

=≥??+??

，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B =（ ） A. (,1)[2,)-∞-+∞

B. (,1)[1,)-∞-+∞

C. []1,2-

D. (]1,2-

【答案】D 【解析】 【分析】

解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算． 【详解】由题意

101x

x -≥+(1)(1)010x x x -+≥???+≠?(1)(1)01x x x -+≤???≠-?

11x ?-<≤，(1,1]A =-，

11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，

∴(1,2]A

B =-．

故选：D.

【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0．

3.函数()2

e e x x

f x x

--=的图像大致为 ( ) A. B.

C. D.

【答案】B 【解析】

分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：2

0,()()()x x

e e x

f x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;

243

()()2(2)(2)()2,()0x x x x x x

e e x e e x x e x e

f x x f x x x

---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A. 12 B. 24

C. 36

D. 72

【答案】C 【解析】 【分析】

4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得．

【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为23

4336C A =．

故选：C ．

【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法．

5.若双曲线22

22:1(0,0)y x C a b a b

-=>>3C 的渐近线方程为（ ）

A. 12

y x =±

B. 2y x =±

C. 2y x =±

D. 22

y x =±

【答案】D 【解析】 【分析】 由离心率得

3c

a

=,a b 的关系即得． 【详解】由题意3c a =222223c a b a a +==，22

2b a =，2

a b =， ∴渐近线方程为：2

2

y x =±． 故选：D.

【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b 的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式．

6.若0

3sin m xdx π

=?，则二项式2m

x x ?

?

的展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 60 D. 120

【答案】C 【解析】 【分析】

先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项． 【详解】0

3

sin m xdx π

=?

03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，

6

22m

x x x x =??

+ ??

，其展开式通项公式

3666216

6(2)

2r r

r

r r r

r T C x C x x

---+==，

令3

602

r -

=，4r =，∴常数项为2456260T C ==． 故选：C ．

【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础．

7.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )

A. e 1

B. e 2

C. e 1

D. e 2

【答案】C 【解析】

【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e 1＜e 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e 4＜e 3 ∴可得到e 1＜e 2＜e 4＜e 34, 故选C ．

8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（ ） A.

45

B. 45

9

-

C. 19

-

D.

19

【答案】A 【解析】 【分析】

以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．

【详解】

如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，

(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,1)M ，(2,2,1)N ，

所以(2,2,1)CM =-，1(2,2,1)D N =-，

1111

cos ,999

CM D N CM D N CM D N

?<>=

=

=-?．

21145

sin ,1()99

CM D N <>=--=

， ∴异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为45

． 故选：A ．

【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解．

9.函数()sin()||2f x x πω???

?=+< ??

?的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ω?=-的图象，只需把函

数()y f x =的图象（ ）

A. 向右平移3π

个长度单位 B. 向左平移

3π

个长度单位 C. 向右平移23

π

个长度单位

D. 向左平移23

π

个长度单位

【答案】A 【解析】 【分析】

先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论．

【详解】由题意74(

)123T πππ=?-=，∴22πωπ

==， 又7322,122k k Z ππ?π?

+=+∈，而2

π?<，∴3π?=，

∴()sin(2)3

f x x π

=+，

sin(2)sin[2()]333

y x x πππ

=-=-+，因此只要向右平移3π

个单位就满足题意．

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式．解题关键是掌握“五点法”．掌握三角函数的图象变换的概念．

10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31x

f x =-，则使不等式()

8

39

x x f e e

--<成立的x 的取值范围是（ ） A. (ln3,)+∞ B. (0,ln 3)

C. (),ln3-∞

D. ()1,3-

【答案】C 【解析】 【分析】

由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．

【详解】当0x <时，()31x

f x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，

则()00f =满足

()31x f x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，

所以函数()f x 在R 上是增函数，

8(2)9f -=-，∴8

(2)(2)9f f =--=

()8

3(2)9

x x f e e f --<

=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >．

11.己知函数1

()2x f x e x -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，

且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）

A. 7,3

??

+∞????

B. 72,3

??????

C. [2,)+∞

D. [2,3]

【答案】D 【解析】 【分析】

首先确定11x =，根据题意问题转化为2

()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．再用分离参数法转化为

求函数值域．

【详解】易知1()2x f x e x -=+-是R 上的增函数，且(1)0f =，∴()f x 只有一个零点1，即11x =， ∴问题变为2

()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．

由2

()30g x x mx m =--+=得23

1

x m x +=+，令1t x =+，

当[0,2]x ∈时，1[1,3]t x =+∈，2(1)34

2t m t t t

-+==+-，

由双勾函数的单调性可知，当[1,2]t ∈时，42m t t =+-递减，当[2,3]t ∈时，4

2m t t

=+-递增， ∴4

2m t t

=+-的最小值是2，最大值是3．即[2,3]m ∈． 故选：D.

【点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力．题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围．然后再转化为求函数值域．

12.已知数列{}n a 满足112

a =，*

11,2n n a n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：

①*

0N n ?∈，使得01n a >；

②*n ?∈N ，都有121n a a a n

<

； ③使得

2

1

0.999n

i

i a i

=≤∑成立一个充分不必要条件为99n ≤；

④设函数2()ln 2

x

f x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()

2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<

≥∈?有无穷多个解.

其中所有正确结论编号为（ ）

A. ②④

B. ②③

C. ②③④

D. ①③④

【答案】B 【解析】 【分析】

由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项．

【详解】∵*

11,2n n

a n a +=∈-N ，∴12111

1111112n n n n n a a a a a +-===+-----，1121a =-， ∴数列1{}1n

a -是首项为2，公差为1的等差数列，∴

11

11n a =+-， 1

n n

a n =

+， 显然对任意*n N ∈，1n a <，①错；

*n ?∈N ，12

12123

111n a a a n n

n n =??

?

=++<，②正确； 2111

1111()10.999(1)111n

n n

i i i i a n i i i i i n n =====-=-=≤++++∑∑∑，999≤n ，③正确； 2()ln 2

x f x =

，则()2x

f x '=，不等式21(1)()1n n n f n a a --'-恒成立，证明如下： (i)5n =时，52232255=>=，命题成立， (ii)假设n k =(5k ≥)时，命题成立，即22k k >， 则1n k =+时，1

22222

222(1)(1)1(1)k k k k k k +=?>=++-->+，命题也成立，

综上，对任意的正整数n ，5n ≥时，22n n >恒成立． 所以22n n <有无穷多个解，是错误的．④错误． 只有②③正确． 故选：B.

【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式．解题关键是求出数列通项公式．本题中第4个命题有一些难度．题中证明是用数学归纳法给出的．当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不

显得有难度．

二.填空题（每题5分，共20分） 13.抛物线2

4y x =的准线方程为______. 【答案】116

y =- 【解析】

试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是

考点：抛物线方程

14.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n

a n

的最小值为__________. 【答案】

212

【解析】 【分析】

先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以

331n a n n n =+-，设f （n ）33

1n n

=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到

n

a n

的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2

﹣n +33

且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2

﹣n +33．

从而33

1n a n n n

=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）233

10n

-=+＞， 则f （n ）在

)

33+∞，上是单调递增，在(033，上是递减的，

因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．

又因为

55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162

a =

故答案为 21

2

点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．

15.若实数x，y满足约束条件

2

x y

x

y

->

?

?

≤

?

?≥

?

，则

1

1

x

y

-

+

的取值范围为______________.

【答案】(]

1,1

-

【解析】

【分析】

作出可行域，利用

1

1

y

x

+

-

的几何意义求解．

【详解】作出可行域，如图OAB

?内部（不含虚线边界，含实线边界），

令

1

1

x

z

y

-

=

+

，1

x=时，0

z=，

1

x≠时，

11

1

y

z x

+

=

-

表示可行域内点(,)

Q x y与点(1,1)

P-连线的斜率，

1

1

1

PO

k

-

==-，

1

1

12

PA

k

-

==

-

，

由图可知

1

1

z

<-或

1

1

z

≥，所以10

z

-<<或01

z

<≤，

综上11

z

-<≤．

故答案为：(]

1,1

-．

【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题．解题关键是理解目标函数的意义．由几何意义求解是解题的基本方法．

16.在平行四边形ABCD中，0

AB BD

?=，沿BD将四边形折起成直二面角A BD C

--，且2|2

BD

+=，则三棱锥A BCD

-的外接球的表面积为________________.

【答案】4π

【分析】

由0AB BD ?=得AB BD ⊥，结合直二面角A BD C --，可证AB ⊥平面BCD ，从而有AB BC ⊥，因此AC 中点O 就是外接球球心．由此可求得表面积．

【详解】由0AB BD ?=得AB BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，∴AB ⊥平面BDC ，∴AB BC ⊥，同理CD AD ⊥，取AC 中点O ，则O 到四顶点的距离相等，即为三棱锥A BCD -的外接球的球心．

222222222AC CD AD CD BD AB AB BD =+=++=+，

∵|2|2AB BD +=，

∴2

2

2|2|222AB BD AB AB BD BD +=+?+2224AB BD =+=， ∴24AC =，2AC =， ∴2

24()42

S ππ=?=． 故答案为：4π．

【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线． 三.解答题（共70分） （一）必考题（共60分）

17.在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥. （1）求角B 的大小；

（2）若13b =，4a c +=，求ABC 的面积. 【答案】(1) 23B π=

(2) 33

4

【分析】

（1）由m n ⊥，得0m n ?=，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．

（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．

【详解】（1）∵m n ⊥，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ?=++=，即2cos cos cos 0a B c B b C ++= 由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=

即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+= ∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-

，∴23

B π

= （2）由余弦定理，2

2

2

2

2cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ ∵13b =4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac = 则ABC 的面积133

sin 2S ac B =

=

【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题． 18.已知数列{}n a 满足125

a =

，且*

113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2n

n n

b c a =

，12n n S c c c =+++，求证：1

01n

S <

<. 【答案】(1) 2

,N*32

n a n n =∈+，1*2,N n n b n -=∈ (2) 证明见解析 【解析】 【分析】

（1）变形已知等式得数列2n a ??

????

为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；

（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立．

【详解】（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴

*122

3,n

n

n N a a +-=∈ ∴2n a ??

????

为等差数列，首项为1

25a =，公差为3

∴

2

53(1)32n n n a =+-=+，2,N*32

n a n n =∈+ ∵{}n b 为正项等比数列，设公比为()0q q >，则121(1)3b b b q +=+=，2

314b b q ==

整理得2

3440q q --=，解得2q ，11b =，∴1*2,N n n b n -=∈

（2）12(32)2n n

n n

b c n a -=

=+? 21582112(32)2n n S n -=+?+?+++?①

2125282(31)2(32)2n n n S n n -=?+?+

+-?++?②

①-②得2

15323232(32)2n n n S n --=+?+?++?-+?53(22)(32)2n n n =+--+?,

∴(31)21n

n S n =-?+

∵*

N n ∈，∴1n S >，∴1

01n

S <

<，得证. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法．

19.如图，已知四棱锥 P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.

（1）求证：AE PD ⊥；

（2）若直线PB 与平面PAD 10

E A

F C --的余弦值.

【答案】(1)证明见解析 (2) 155

【解析】 【分析】

（1）在底面菱形中可得AE BC ⊥，AE AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，得PA AE ⊥.从而有线面垂直，因此线线垂直；

（2）由于图中有AE ，AD ，

AP 两两垂直，因此以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，AP a =，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a ，再求解二面角．

【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=?，可得ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，且PA AD A ?=， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ?平面PAD .所以AE PD ⊥.

（2）由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图，设2AB =，

AP a =，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)A B C -，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)D P a E ，31,,222a F ?? ? ???

所以(3,1,)PB a =--，且(

)

3,0,0AE =

为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为

θ，由10

cos θ=

，则有2||6sin |cos ,|4||||43

PB AE PB AE PB AE a θ?=<>===?+?

解得2a =

所以(3,0,0)AE =，31,12??

= ? ???

AF

设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =，则00

m AE m AF ??=?

?=?，

因此11113031

02x x y z ?=??++=?

取11z =-， 则(0,2,1)m =-

因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量

又(3,3,0)BD =- 所以c |os 1,5

512

|m BD m BD

m BD

=>=

??因为二面角E AF C --15

【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角．本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求．

20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3

2

，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆

E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △的面积为

3

2

. （1）求椭圆E 的方程；

（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若2

2OM ON

b k k a

?=-，求证：OMN 的面积为定值.

【答案】(1) 2

214

x y += (2)证明见解析

【解析】 【分析】

（1）离心率提供一个等式32c a =，PQ

是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ?的面积又提供一个

等式2123

22

b c a ??=

，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．

（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由221

4

OM ON

b k k a ?=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设

直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得(

)2

2

2148440k

x

kmx m +++-=.应

用韦达定理得1212,x x x x +，代入 12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意>0?，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ?的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ?的面积和刚才一样，即得结论． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则

3c a =

过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2

b

y a

=±，

所以22||b PQ a =，所以2123

22

b c a ??=

② 把①代入②，解得21b =

又22222

3

4

c a b a a -==，解得24a = 所以E 的方程为：2214

x y +=

（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =， 所以221

4

OM ON

b k k a ?=-=-，即121214y y x x ?=-，

即12124x x y y =-

（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得

()2

2

2148440k x

kmx m +++-=.

则122814km x x k +=-+，2122

44

14m x x k -=+

()()()22222(8)414441614km k m k m ?=-+-=+-③

()()()22

2

2

121212122

414k m y y kx m kx m k x x km x x m k

-+=++=+++=+

所以222

22

44441414m k m k k --+=-?++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ?=> ()

()222

2

212121614||141k m MN k x x x x k +-=++-=+

O 到直线MN 的距离2

1d k

=

+，

所以()22

222

OMN

2161411214||1||221k m k m S

MN d k m k

?+-+-=?=+=+ 222

22||

||||1m m m m m m

-==?=，即OMN 的面积为定值1 （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为

1

2

且点M 在第一象限，此时OM 的方程为1

2y x =，代入椭圆方程，解得22,2M ????，此时OMN 的面积为1222122??= ?

?. 综上可知，OMN 的面积为定值1

【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代 入OM ON k k ?得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形． 21.已知函数2

1()sin cos 2

f x x x x ax =++

，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，讨论()f x 的零点个数； 【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π??-????，,2ππ??

????

；单调递增区间为：,2ππ??--????，0,2π??????；（2）当2

2

0a π

<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当2

2

a π

>

时，()f x 在[,]-ππ上无零点.

【解析】 【分析】

（1）先判断()f x 为偶函数，再利用导数研究[0,]x π∈上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.

（2）先求出导函数，然后对a 按照1a ≥，01a <<，进行分类讨论，当1a ≥，得到()f x 在[0,]x π∈单调递增，结合()01f =，判断出此时无零点，当01a <<，得到()f x 单调性，结合()0f ，()f π的值，

以及偶函数的性质，得到零点个数.

【详解】解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数， 只需先研究[0,]x π∈

()sin cos f x x x x =+

()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=

当0,

2x π??∈????

，()0f x '≥，当,2x ππ??∈????，()0f x '

≤， 所以()f x 在0,

2x π??∈????

单调递增，在,2x ππ??

∈????，单调递减 所以根据偶函数图像关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ?

?

∈--

???

?

单调递增，在,02x ??

∈-

????

π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π??-

????，,2ππ??

????；单调递增区间为：,2ππ??--???

?，0,2π??????

（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+

①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增 又(0)1f =，所以()

f x [,]x ππ∈-上无零点

②01a <<时，0(0,)x π?∈，

使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，

所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<

所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，

又(0)1f =，2

1()12

f a ππ=- （i ）21102

a π->，即22

1a π<<时

()f x 在[0,]π上无零点，

又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点 （ii ）

21102a π-≤，即22

0a π

<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，

又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点 综上所述，当2

2

0a π

<≤

时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当2

2

a π

>

时，()f x 在[,]-ππ上无零点.

【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.

（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系xOy 中，曲线3:sin x C y αα

?=??=??（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点42,4M π?

? ??

?.

（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.

【答案】（1）曲线2

2:13

x C y +=，直线:80l x y +-=；

（2）最小值是32N 31(,)22． 【解析】 【分析】

（1）由2

2

cos sin 1αα+=消元后可得曲线Ｃ的普通方程，由公式cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

可得直线的直角坐标方程；

（2）(3,sin )N αα，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标．

【详解】（1）由由2

2

cos sin 1αα+=得2

213

x y +=，此为C 的普通方程，

直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点42,

4M π??

??

?

，则42(cos

sin )844

m π

π

+==， ∴直线l 的直角坐标方程为8x y +=，即80x y +-=．

（2）设3,sin )N αα，[0,2)απ∈，则3cos sin 8

2d αα+-=

2sin()8

3

2

π

α+-=

， 当sin()13

π

α+

=，即6

π

α=

时，min 32d =N 点坐标为31(,)22

．

【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式

cos sin x y ρθ

ρθ=??

=?

是解题基础． 23.已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；

（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足11

22m a b a b

+=++，求a b +的最小值. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）49

． 【解析】 【分析】

（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；

（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ． 【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解， 综上，原不等式的解集为[1,)+∞． （2）由（1）3m =，∴

11

322a b a b

+=++，