2021年上海市七宝中学高三下第三次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则||z =______． 2．不等式
1
021
x x -≤+的解集是____． 3．函数()y f x =的值域是[1,1]-，则函数2(1)y f x =+的值域为________
4．求值：1220192019
2019
20192019124(2)C C C -+-???+-=________ 5．将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________ 6．若实数集合{31,65}A x y =与{5,403}B xy =仅有一个公共元素，则集合A B 中所
有元素之积的值为________
7．已知函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的反函数为1()f x -，若1
()y f x -=在[0,1]
上的最大值和最小值互为相反数，则a 的值为________
8．一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________
9．已知正方形ABCD 中心为O 且其边长为1，则()()OD OA BA BC -?+的值为________
10．已知数列{}n a 满足：11a =，且1(1)30n n n a na ++--=，若对任意的[2,2]a ∈-，
不等式2
21n a t at ≤+-恒成立，则实数t 的范围为________
11．如图，正方体ABCD EFGH -棱长为1，点M 在正方体的表面EFGH 上，定义每一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径，已知点M 到A 的最短路径长
(,)l M G ，则(,)l M G 的最大值为________
12．已知221
log 2()2
20
x x f x x x
x ?
≤≤?=?
?--≤?，若11
11a b -≤≤??-≤≤?，且方程2[()]()0f x af x b -+=有5
________
二、单选题
13．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
14．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数
D ．()f x 在[,0]π-上是增函数
15．已知点00(,)P x y 是曲线C 上的动点，若抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、
B 满足PA 、PB 的中点均在
C 上，则A 、B 两点的纵坐标是以下方程的解（ ）
A ．22
000280y y y x y -+-=
B ．22
000280y x y x y -+-= C ．22
000280y y y y x -+-=
D ．22
000280y x y x y ++-=
16．已知实数x 、y 满足()2
221x y +-=
，ω=
）
A
．
2??
B ．[]1,2
C ．(]
0,2 D
．2??
? ??
三、解答题
17．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点． （1）求直三棱柱111ABC A B C -的全面积；
（2）求异面直线AE 与1A C 所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；
18．设函数()f x 在[1,)+∞上有定义，实数a 和b 满足1a b ≤<，若()f x 在区间(,]a b 上不存在最小值，则称()f x 在(,]a b 上具有性质P .
（1）当2
()f x x cx =+，且()f x 在区间(1,2]上具有性质P 时，求常数c 的取值范围；
（2）已知(1)()1f x f x +=+（1x ≥），且当12x ≤<时，()1f x x =-，判别()f x 在区间(1,4]上是否具有性质P ，试说明理由.
19．如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即)POQ ∠为
23
π
、半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ．设POS α∠=（单位：弧度）
，假设所有公路的宽度均忽略不计．
（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围： （2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值．
20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1x y C a b
+=（1a b >>）的左右两个焦点分别
是1F 、2F ，P 在椭圆C 上运动.
（1）若对12F PF ∠有最大值为120°，求出a 、b 的关系式；
（2）若点P 是在椭圆上位于第一象限的点，过点1F 作直线1F P 的垂线1l ，过2F 作直线
2F P 的垂线2l ，若直线1l 、2l 的交点Q 在椭圆C 上，求点P 的坐标；
（3）若设22b =，在（2）成立的条件下，试求出P 、Q 两点间距离的函数()f a ，并求出()f a 的值域.
21．已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，212018
1
n n n a a a +++=+（1n ≥）.
（1）已知52a =，61009a =，试求a 、b 的值； （2）若1a =，求证：22017
||2n n n
a a +-≤； （3）求+a
b 的取值范围.
参考答案
1 【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解． 【详解】 解：
()12z i +=，
()()()()2121211112
i i z i i i i --∴=
===-++-，
则z ==
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题． 2．1,12??-
???
【分析】
将分式型不等式转化为二次不等式求解，结合定义域将在分式中无意义的值去除. 【详解】
由题意知：原不等式可化为：()()1210x x -+≤且12
x ??≠- ??
?
.
解得：1
12
x -
<≤. 【点睛】
本题考查分式型不等式的求法，可将分式不等式化为二次不等式求解，但要注意分式不等式与二次不等式的定义域上的区别，注意将无意义的值去除. 3．[2,2]- 【分析】
根据平移的相关知识知，函数()y f x =与函数(1)y f x =+的值域相同，而函数
2(1)y f x =+是由函数(1)y f x =+中的x 值不变，y 值变为原来的2倍得到，即可求出．
【详解】
因为函数()y f x =的值域是[1,1]-，将函数()y f x =图象向左平移一个单位，得到函数
(1)y f x =+，其值域仍是[1,1]-，而函数2(1)y f x =+是由函数(1)y f x =+中的x 值不
变，y 值变为原来的2倍得到，所以其值域为[2,2]-． 故答案为：[2,2]-． 【点睛】
本题主要考查由简单函数的值域求复合函数的值域． 4．1- 【分析】
根据二项式定理展开式配凑，即可求出． 【详解】
1220192019
201920192019124(2)C C C -+-???+-
()()()()
0122019
02019120182201720190201920192019201912121212C C C C =??-+??-+??-++??-
()
2019
121=-=-．
故答案为1-． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．
5．
3
【分析】
设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出r ，由题意得出2l =，再由勾股定理得出h 的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积. 【详解】
设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则2l =，
由题意可知，2l r ππ=，12
l
r ∴=
=，由勾股定理得h ，
因此，该圆锥的体积为22
11
1
33
r h
ππ
=?=
.
【点睛】
本题考查圆锥体积的计算，涉及圆锥的侧面展开图问题，解题时要注意扇形弧长等于圆锥底面圆周长这一条件的应用，考查空间想象能力，属于中等题.
6．0
【分析】
根据两集合仅有一个公共元素,所以有
315
65403
x xy
y
=
?
?
≠
?
或
31403
655
x
y xy
=
?
?
≠
?
或
315
65403
x xy
y
≠
?
?
=
?
或31403
655
x
y xy
≠
?
?
=
?
，解出,x y的值,即可求出集合A B中所有元素之积．
【详解】
依据题意得，
315
65403
x xy
y
=
?
?
≠
?
或
31403
655
x
y xy
=
?
?
≠
?
或
315
65403
x xy
y
≠
?
?
=
?
或
31403
655
x
y xy
≠
?
?
=
?
，解得
403
65
x
y
=
?
?
?
≠
??
或
13
x
y
≠
?
?
=
?
，所以集合A B中所有元素之积的值为0．
故答案为：0．
【点睛】
本题主要考查集合的交集．并集的定义以及其运算．
7
．
6
【分析】
先求出函数1
()2
x
f x a-
=-的反函数1()
f x
-，由单调性即可求出其在[0,1]上的最大值和最小值，列出方程，即可求出．
【详解】
设12
x
y a-
=-，解得()
log21
a
x y
=++，
则()
1()log21
a
f x x
-=++，由于其在[0,1]上单调，所以其最大值和最小值
之和为()()
11
01
f f
--
+，即有()()
11
01log21log310
a a
f f
--
+=+++=，
解得a =
故答案为6
． 【点睛】
本题主要考查反函数以及其最值的求法． 8．0.88 【解析】 【分析】
根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可． 【详解】
＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂， 所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-?=， 故答案为0.88． 【点睛】
本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 9．1 【解析】 【分析】
由平面向量的线性运算以及数量积的运算即可计算得出． 【详解】
2
()()()()1OD OA BA BC AD BA BC BC BA BC BC -?+=?+=?+==．
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积的运算． 10．2t ≥或2t ≤- 【分析】
先求出数列{}n a 的通项公式，再求出其最大值，然后求出2
()21g a at t =+-在[2,2]a ∈-上
的最小值，即可解不等式组求出． 【详解】
由1(1)30n n n a na ++--=得，1(1)3n n n a na ++-=，所以数列{}n na 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以()13132n n n n a =+-=-，即2
33n n
a =-
<， 因为2
()21g a at t =+-在[2,2]a ∈-上单调，所以()(){}
min min 2,2g g g =-，
因此可得()()
2323g g ?-≥?
?≥??即22
22132213t t t t ?-+-≥?+-≥?，解得2t ≥或2t ≤-． 故答案为2t ≥或2t ≤-． 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法、数列最大项的求法，不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．
11【分析】
在表面展开图中利用勾股定理计算MA 的最小值，即可得出(,)l M G 的最大值． 【详解】
作出侧面ADHG 和上底面EFGH 的展开图如图所示：
设M 到直线EF 的距离为x ，M 到EH 的距离为y ，
则MA 的最小值为(),l M G =
01,01x y ≤≤≤≤，
显然当1x y ==时，(,)l M G
【点睛】
本题主要考查几何体的侧面展开图，意在考查学生的直观想象和数学运算能力.
12
． 【分析】
设()t f x =，作出函数()y f x =的图象，由方程()()2
0f x af x b -+=????有5个不同根转
化为二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，并构造函数()2
g t t at b =-+，转
化为二次函数的零点分布，得出()()
00
10g g ?
>??，结合1111a b -≤≤??-≤≤?，可作出关于a 、b 的不等式
组，作出可行域，
视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，结合
图象可得出答案. 【详解】
作出函数()y f x =的图象如下图所示：
设()t f x =，则方程()()2
0f x af x b -+=????有5个不同根转化二次方程2
0t at b -+=的
两根101t <<，20t <，
构造函数()2
g t t at b =-+，可得不等式()()0010g g ???
，即010b a b ?，
结合1111a b -≤≤??
-≤≤?，作出图形如下图所示，不等式组11
11a b -≤≤??-≤≤?
表示的平面区域为边长为2的
正方形ABCD ，不等式组0
101111
b a b a b ?
?-≤≤??-≤≤?表示的区域为下图中的阴影部分（不包括a 轴），
视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，
当点(),a b 与点()1,0E =
=
的取值范围是0,
5???????，故答案为0,5??
????
?. 【点睛】
本题考查复合函数的零点个数问题，涉及二次函数零点分布、线性规划以及点到直线的距离，解题的关键在于将问题转化为二次函数零点的分布，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题. 13．B 【解析】 【分析】
先求出关于x 的实系数方程2
10x px ++=有虚数根的充要条件为：2
40p =-<，即
22p -<<，再由“2p <”与“22p -<<”的关系得解．
【详解】
解：关于x 的实系数方程2
10x px ++=有虚数根的充要条件为：2
40p =-<，
即22p -<<，
又“2p <”不能推出“22p -<<”， “22p -<<”能推出“2p <”，
即“2p <”是“关于x 的实系数方程2
10x px ++=有虚数根”的必要不充分条件，
故选B ． 【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题 14．D 【分析】
根据函数()cos |sin |f x x x =-的性质,逐个判断各选项的真假． 【详解】
对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，
且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；
对于B ，[,0]x π∈-时，
sin 0x ，()cos |sin |cos sin 4f x x x x x x π?
?=-=+=+ ??
?，
且3,444x π
ππ??
+
∈-????，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4
π-，B 正确； 对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；
对于D ，[,0]x π∈-时，()4f x x π?
?=+ ??
?，且3,444x πππ??+∈-????，()f x 在[]
,0π-上先减后增，D 错误． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法． 15．A 【分析】
设出A ，B 的坐标，用中点公式求出PA ，PB 的中点坐标后代入抛物线方程，再由根与方程的关系即可得出． 【详解】
设211,4y A y ，22
2,4
y B y ，
则PA 的中点210014,22y x y y M ??+ ?+ ? ? ???，PB 的中点
2
00224,22y x y y N ??
+ ?+ ? ? ???
， 2
120014422
y x y y ++??∴= ??
?，即22
10100280y y y x y -+-=， 同理得22
20200280y y y x y -+-=，
因此12,y y 是方程22
000280y y y x y -+-=的两根．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查抛物线的性质以及中点公式的应用，意在考查学生的数学运算能力． 16．B 【分析】
设(),P x y 为圆()2
221x y +-=
上的任意一点，将ω=
转化为点P
到直线
0x +=的距离和点P 到原点的距离比值的2倍，利用数形结合法求解.
【详解】 如图所示：
设(),P x y 为圆()2
221x y +-=上的任意一点，
则点P
到直线0x +=
的距离为PM =， 点P
到原点的距离为PO =
所以22sin PM
POM PO
ω=
=
=∠， 设圆()2
221x y +-=与直线y kx =相切，
1=
，解得k =
所以POM ∠的最小值为30，最大值为90，
所以
≤∠≤1
sin 12
POM 所以≤∠≤12sin 2POM ， 故选：B 【点睛】
思路点睛：本题思路是先抽象出ω=
的几何意义，再通过数形结合，转化为过原
点的圆的切线与直线0x +=的夹角的正弦，利用三角函数求解.
17．（1
）（2
）θ=.
【解析】
试题分析：（1）直三棱柱
111
ABC A B C -的全面积为两个底面三角形面积与侧面积之和. 底
面ABC 是等腰直角三角形,其面积为111
11222ABC S AB AC ?=
?=??=,侧面展开图为矩形，
其
面
积
为
1()(11)24S AB BC AC AA =++?=?=+侧，
∴
=2ABC S S S ?+侧全2）求异面直线所成角，关键在于利用平行，将所求角转化为
某一三角形中的内角.因为条件有中点，所以从中位线上找平行. 取
11
B C 的中点
1
E ，连
11
A E ，
则
11//A E AE
，即
11
CA E ∠即为异面直线AE 与
1A C
所成的角θ．分别求出三角形三边，再
利用余弦定理求角.
15AC =，
112
2
E A =
，
1322
CE =
，
222232(
)(5)()
1022cos 10210
25
2θ+-=
==
??，10arccos θ=. 解：（1）
111
11222ABC S AB AC ?=
?=??= （2分）
1()(121)2422
S AB BC AC AA =++?=++?=+侧 （4分）
∴
=2=5+22
ABC S S S ?+侧全 （6分）
（2）取
11
B C 的中点
1
E ，连
11
A E ，则
11//A E AE
，即
11
CA E ∠即为异面直线AE 与
1A C
所
成的角θ． （2分） 连
1E C
.
在
11Rt E C C
?中，由
112
2E C =
，12CC =
知113242A C =
+=
在
11Rt A C C ?中，由
111
AC =，
12
CC =知
15AC =（4分）
在
11A E C
?中，
222
232(
)(5)(1022cos 10210
252θ+-=
==
??
∴
θ= （6分）
考点：三棱柱的全面积，平移求线线角
18．（1）2c ≥-；（2）具有性质P ，理由见解析. 【分析】
（1）分别讨论()f x 图象的对称轴2
c
x =-与1和2的关系，由单调性即可得出()f x 是否存在最小值，从而求出c 的取值范围；
（2）由题目条件可得出()f x 在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(1,2]上取到，
又1,12
()1,2
x x f x x -<
P ．
【详解】 （1）当(1,2)2c
-∈时，2()f x x cx =+在(1,2]上先减后增，存在最小值2c f ??- ???
， 当22c
-
≥时，()f x 在(1,2]上单调递减，存在最小值()2f ； 当12
c
-≤时，()f x 在(1,2]上单调递增，所以不存在最小值．
所以2c ≥-．
（2）()f x 在区间(1,4]上具有性质P ，原因如下： 因为1x 时，(1)()1()f x f x f x +=+>，
所以()f x 在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(1,2]上取到，
另一方面，1,12()1,2
x x f x x -<
=?在区间(1,2]上不存在最小值， 所以()f x 在区间(1,4]上具有性质P ． 【点睛】
本题主要考查学生的应用能力，能够利用所学知识结合题目给出的定义研究函数的性质． 19．（1
）MN 6
2
π
π
α<<
；（2）当3
π
α=
时，MN
长度的最小值为
千米. 【分析】
（1）根据相切关系与直角三角形的边角关系，用公路MN 的长度表示为α的函数，即可求出α的取值范围；
（2）用三角恒等变换化简MN 的解析式，根据三角函数的图象与性质求得MN 的最小值 【详解】
解：（1）因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS MN ⊥． 在RT OSM ?中，因为1OS =，MOS α∠=，所以tan SM α=， 在RT OSN ?中，23
NOS πα∠=
-，所以2tan()3SN π
α=-，
所以2tan tan()3MN παα=+-= 其中
6
2
π
π
α<<
，
（2）因为
6
2
π
π
α<<
10α->，
令10t α=->
，则tan 1)t α=+，
所以4
2)MN t t
++，
由基本不等式得34
(22)MN t t
?+= 当且仅当4
t
t =
即2t =时取“=”此时tan α=62ππα<<，故3
πα=
答：（1）2tan tan()3MN παα=+-=62
ππα<<
（2）当3
π
α=时，MN 长度的最小值为
【点睛】
本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了直角三角形的边角关系和三角恒等变换问题，是中档题．
20．
（1）2a b =
；（2）22P ??
；（3）()2
f a a =>，()f a 的值域为()2,+∞．
【分析】
（1）根据椭圆定义可知122PF PF a +=，再利用余弦定理及基本不等式可得,a b 的关系式；
（2）设出P 点坐标，分别求出直线1l 与直线2l 的方程，结合P 在椭圆上即可求得点P 的坐标；
（3）把,P Q 的坐标用含有a 的代数式表示，由两点间的距离公式可得两点,P Q 间距离的函数()f a ，再换元由单调性求出其值域． 【详解】
（1） 根据椭圆的定义可知，122PF PF a +=，122F F c =，
因为2
122122PF PF PF PF a ?+?≤= ???
所以()
2
2
222
1
2
1211
1211
1212
12
2cos 22PF
PF PF PF F F PF PF F F PF F PF PF PF PF +--+-∠=
=
‖‖‖
2222124421
1122a c b PF PF a -=--=-‖ 224a b ∴=，即2a b =．
（2）设()00,P x y ，()000,0x y >>
当0x c =时，直线2PF 斜率不存在，易知Q 与1F 重合，不满足题意； 当0x c ≠时，则直线2PF 的斜率200PF y k x c =
-，直线2l 的斜率020
x c
k y -=-，
直线2l 的方程00
()x c
y x c y -=-
-，① 直线1PF 的斜率100PF y k x c =
+，则直线1l 的斜率010
x c
k y +=-， 直线1l 的方程00
()x c
y x c y +=-
+，②
联立①②，解得：0
2
200x x x c y y
=-??-?=??
，则220
00
(,)x c Q x y --， 由,P Q 在椭圆上，,P Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则2
2
000x c y y -=，
22200y x c ∴=-，
则22
2
002
20
0221
y x c x y a
b ?=-??+=??，又P 在第一象限，P ∴
的坐标为22P ； （3）若2
2b =
，则2P
，2(Q ，
则)
22
2PQ a
=
>
，2()f a a ∴=
>．
(2)t t =>，则222a t =-，
2244
()()2(2)t f a g t t t t t
-===->，()g t 在(2,)+∞上为增函数，
()g t ∴的值域为(2,)+∞，
即()f a 的值域为(2,)+∞． 【点睛】
本题主要考查椭圆定义及其性质应用，余弦定理、基本不等式的应用，两条直线的交点坐标求法，点与椭圆的位置关系判断，两点间距离公式的应用，以及函数最值的求法，意在考查学生的数学运算能力和综合运用知识的能力．
21．（1）2,1009a b ==；（2）详见解析；（3）{}1011,2019 【分析】
（1）根据递推式赋值逆推，分别求出4321,,,,a a a a 即可求出,a b 的值； （2）根据递推式赋值求出23,a a 的值，即可找出数列{}n a 的规律，由此得证； （3）依据221212018
20181
n n n n n n n a a a a a a a ++++++=
?-=-+，讨论n a 与2n a +的大小关系即可
得出． 【详解】
（1）令4n =得，446520182018
1009121
a a a a ++=
==++，解得41009a =；
令3n =得，3354201820182110091
a a a a ++=
==++，解得32a =；
令2n =得，224320182018
1009121
a a a a ++=
==++，解得21009a =；
令1n =得，113220182018
2110091
a a a a ++=
==++，解得12a =；
所以2,1009a b ==． （2）证明：令1n =得，132220182019
11
a a a a +=
=++，因为数列{}n a 各项为正整数，
2019的正整数约数有1，3，673，2019，因此21a +的值可能为3，673，2019，即 22a =或2672a =或22018a =.
当22a =时，132********
67313
a a a +=
==+，*2
432018202010101674337a a N a +===?+，所以不符题意，应舍去； 当2672a =时，132********
31673
a a a +=
==+，*2
432018672201813451312a a N a ++===?++，所以不符题意，应舍去； 当22018a =时，132********
112019a a a +=
==+，2
43
2018201820182018111a a a ++===++， 354201812018
112019
a a a ++=
==+，4
652018201820182018111a a a ++===++，…… 所以1n ≥，当n 为奇数时，1n a =；当n 为偶数时，2018n a =； 故22017
||02n n n
a a +-=≤
，不等式成立．