2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习课时作业：第1部分第2讲分类讨论、转化与化归思想

参考答案与解析专题1集合与常用逻辑用语1．解析：选D。

由题意得，A＝{x｜1＜x＜3},B＝错误!，则A∩B ＝错误!。

选D。

2．解析：选C.由已知可得B＝{x｜（x＋1)（x－2）＜0，x∈Z｝＝｛x｜－1＜x＜2，x∈Z}＝｛0，1｝,所以A∪B＝{0，1,2，3｝,故选C.3．解析：选D。

集合S＝（－∞，2］∪[3,＋∞)，结合数轴,可得S∩T＝(0，2］∪［3，＋∞)．4．解析:选C.法一：(通性通法)集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝(0,＋∞）．由x2－1＜0,得－1＜x＜1,故B＝（－1，1）．所以A∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.法二：(光速解法)由函数y＝2x的值域可知，选项A，B不正确；由02－1＜0可知，0∈B，故0∈A∪B，故排除选项D，选C.5．解析:选D。

根据含有量词的命题的否定的概念可知．6．解析:选D.取a＝－b≠0,则|a｜＝｜b|≠0，｜a＋b|＝｜0｜＝0,｜a－b|＝｜2a|≠0,所以|a＋b|≠|a－b｜，故由｜a｜＝｜b｜推不出|a＋b|＝|a－b｜.由|a＋b｜＝｜a－b|, 得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2,整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出｜a｜＝｜b｜, 故由|a＋b|＝｜a－b|推不出｜a｜＝|b|.故“|a｜＝｜b|"是“|a＋b|＝|a －b｜"的既不充分也不必要条件．故选D.专题2函数1．解析：选C。

对于选项A，考虑幂函数y＝x c，因为c＞0，所以y＝x c为增函数，又a＞b＞1，所以a c＞b c，A错．对于选项B，ab c＜ba c⇔错误!错误!＜错误!，又y＝错误!错误!是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.2．解析：选B.因为f（x）＋f（－x)＝2，y＝错误!＝1＋错误!，所以函数y＝f(x)与y＝错误!的图像都关于点（0,1）对称,所以错误!x i=0，错误! y i＝错误!×2＝m，故选B。

课时作业1．(2016·重庆第一次适应性测试)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( )A. 2 B ．2 C. 5D ．5C [解析] 依题意，(a ＋1)＋(1－a )i ＝3＋b i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝31－a ＝b ，解得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋（－1）2＝5，选C.2．等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3⎠⎛03x 2d x ，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12C [解析] 因为⎠⎛03x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 330＝9，所以S 3＝3×9＝27， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝9S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝27，解得q ＝1或q ＝－12. 3．(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p＝4，所以选B.4．(2016·河北“五校联盟”质量检测)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2B [解析] 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.5．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 B [解析] 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，所以－34<k ≤0.6．(2016·沈阳市教学质量监测(一))已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜2f (x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)D [解析] 根据题意，设函数g (x )＝f （x ）x 2(x ≠0)，当x ＞0时，g ′(x )＝f ′（x ）·x －2·f （x ）x 3＜0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数．又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1，0)∪(0，1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1，0)∪(0，1)上的函数值大于零．7．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．[解析] 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.[答案] 18．(2016·高考北京卷)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．[解析] 设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.所以(43－y )min ＝43－14＝29. [答案] ①16 ②299．(2016·湖北七市(州)协作体联考)函数f (x )＝3－x＋x 2－4的零点个数是________．[解析] 令f (x )＝0，则x 2－4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，分别作出函数g (x )＝x 2－4，h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.[答案] 210．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3，则nS n 的最小值为________．[解析] 由已知得，a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以公差d ＝a 6－a 5＝1.又S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2，即nS n ＝n 3－5n 22，令f (x )＝x 3－5x 22(x >0)，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )>0，得x >103，令f ′(x )<0，得0<x <103.又n 为正整数，所以当n ＝3时，nS n ＝n 3－5n22取得最小值，即nS n的最小值为－9.[答案] －911．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．[解] 由c ＝2得a 2＋1＝4， 所以a 2＝3.所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3.所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．12．(2016·云南第一次统一检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n.[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3， 所以q ≠1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝26S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝728，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3.所以a n ＝2×3n －1.(2)证明：由(1)可得S n ＝2×（1－3n）1－3＝3n－1.所以S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1.所以S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n.13．已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB . (1)求证：直线l 与x 轴交点的横坐标为2p ； (2)若OD ⊥AB ，交AB 于点D (2，1)，求p 的值． [解] (1)证明：如图所示，设直线l 的方程为x ＝ty ＋m (显然l 斜率不为0)，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px x ＝ty ＋m⇒y 2－2pty －2pm ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2pt ，①y 1y 2＝－2pm ，②又因为A 、B 在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ty 1＋m ，x 2＝ty 2＋m .又因为OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝0， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(ty 1＋m )(ty 2＋m )＋y 1y 2＝0， 所以(1＋t 2)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋m 2＝0，③ 将①②代入③得(1＋t 2)(－2pm )＋2pmt 2＋m 2＝0， 所以m ＝2p ，所以直线l 与x 轴交点的横坐标为2p . (2)由题意得，k OD ＝12，所以k AB ＝－2，所以l AB ：y ＝－2x ＋5，由(1)可知直线l AB 与x 轴交点的横坐标2p ＝52，所以p ＝54.14．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R )． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0，3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1，2]上的最小值． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)由题知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，－x 2＋ax ＋1，x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，2]上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a ；②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1； ③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0， 所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.综上可知，当0<a ≤1时，f (x )min ＝2－a ； 当1<a ≤2时，f (x )min ＝1； 当2<a <3时，f (x )min ＝2a －3.。

第1讲 坐标系与参数方程极坐标方程及其应用 共研典例 类题通法1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a ，π2)，半径为a ：ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．极坐标与直角坐标的互化方法(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.(1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．(2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．[题组通关]1．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．(2016·唐山模拟)在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．[解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．3．(1)(2015·高考广东卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．(2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．[解] (1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．参数方程及其应用 共研典例 类题通法几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α.其中α是参数．当圆心为(0，0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.其中α是参数．(2)椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ.其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ.其中φ是参数． (3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α其中t 为参数．(2016·长沙模拟)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． 【解】 (1)曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝3＋12t y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[题组通关]1．(2016·呼和浩特模拟)过点P (－1，0)作倾斜角为α的直线，与曲线x 23＋y 22＝1相交于M ，N 两点．(1)写出直线MN 的参数方程； (2)求|PM |·|PN |的最小值．[解] (1)因为直线MN 过点P (－1，0)，且倾斜角为α，所以直线MN 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．(2)将直线MN 的参数方程代入曲线x 23＋y 22＝1中得，2(－1＋t cos α)2＋3(t sin α)2＝6，整理得， (3－cos 2α)t 2－4cos α·t －4＝0，Δ＝16 cos 2α－4×(－4)×(3－cos 2α)＝48＞0.设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝43－cos 2α，所以当cos α＝0时，|PM |·|PN |取得最小值43.2．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)， P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．3．(2016·洛阳统考)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点M 是曲线C 1上任意一点，点N 是曲线C 2上任意一点，求|MN |的取值范围． [解] (1)由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ， 将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入上面方程， 得x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1.(2)|MC 2|min －1≤|MN |≤|MC 2|max ＋1.|MC 2|2＝(4cos φ－1)2＋9sin 2φ＝7cos 2φ－8cos φ＋10，当cos φ＝－1时，|MC 2|2max ＝25，|MC 2|max ＝5；当cos φ＝47时，|MC 2|2min ＝547，|MC 2|min ＝3427. 所以3427－1≤|MN |≤5＋1，即|MN |的取值范围是⎣⎡⎦⎤3427－1，6.极坐标方程与参数方程的综合应用共研典例 类题通法对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解，这样思路会更加清晰．(2016·河南六市联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． 【解】 (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62， 因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件． [题组通关]1．(2016·郑州市第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋32t y ＝12t(t 为参数)．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中， 得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0， 所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或m ＝1＋2或m ＝1－ 2.2．(2016·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin(θ－π4)＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.3．(2016·郑州质检)在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin α，y ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)．(1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．[解] (1)由x ＝3cos α＋sin α得x 2＝(3cos α＋sin α)2 ＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1，所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2，2]，由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ， 所以曲线N 可化为x ＋y ＝t .(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2，3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1， 得x 2＋x －1－t ＝0， 由Δ＝1＋4(1＋t )＝0， 解得t ＝－54.综上可求得t 的取值范围是－54≤t ≤5.课时作业1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos αy ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a cos(θ－3π4)(a >0)．(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．[解] (1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝4(舍去)，故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为(2，π4)．(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)． 由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1.2．(2016·山西高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)C 1：ρsin(θ＋π6)＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ.(2)因为M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝⎛⎭⎫32，12，所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.3．(2016·贵阳市监测考试)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．[解] (1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4，则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |. (2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3、⎝⎛⎭⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.4．将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程；(2)求|AC |－|BD |.[解] (1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t y ＝12t (t 为参数)． (2)将⎩⎨⎧x ＝1＋32t y ＝12t 代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435， 且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2，又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 5．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－3t 2，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． [解] (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ. 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t ， 又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．6．(2016·兰州诊断考试)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝ 3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)设圆上任意一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4， 整理得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2－2x －2y －1＝0.将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2－2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0，设t 1，t 2为该方程的两根，所以t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8＋4sin 2α，因为α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， 所以2α∈⎣⎡⎭⎫0，π2， 所以|AB |∈[22，23)．。

第2讲数列求和及其综合应用分组转化求和共研典例类题通法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．（2016·高考北京卷）已知｛a n｝是等差数列，{b n｝是等比数列，且b2＝3,b3＝9，a1＝b1，a14＝b4。

（1）求｛a n｝的通项公式；(2）设c n＝a n＋b n，求数列{c n｝的前n项和．【解】（1)等比数列{b n｝的公比q＝b3b2＝错误!＝3，所以b1＝错误!＝1，b4＝b3q＝27。

设等差数列｛a n｝的公差为d。

因为a1＝b1＝1,a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以a n＝2n－1（n＝1，2,3，…)．(2）由(1)知，a n＝2n－1，b n＝3n－1。

因此c n＝a n＋b n＝2n－1＋3n－1.从而数列｛c n}的前n项和S n＝1＋3＋…＋（2n－1）＋1＋3＋…＋3n－1＝错误!＋错误!＝n2＋错误!。

(1)分组求和的常见方法①根据等差、等比数列分组．②根据正号、负号分组．③根据数列的周期性分组．（2）分组求和利用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列,清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．[跟踪训练]设数列｛a n｝的前n项和为S n(n∈N*），数列｛a2n－1}是首项为1的等差数列，数列{a2n}是首项为2的等比数列，且满足S3＝a4，a3＋a5＝a4＋2。

（1）求数列{a n}的通项公式；(2)求S2n。

[解］（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q,则a1＝1,a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q，a5＝1＋2d，所以错误!解得d＝2，q＝3.所以a n＝错误!（k∈N*)．（2)S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1）＋(a2＋a4＋…＋a2n）＝（1＋3＋5＋…＋2n－1）＋(2×30＋2×31＋…＋2×3n－1）＝（1＋2n－1）n2＋错误!＝n2－1＋3n.裂项相消求和共研典例类题通法裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后,某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于错误!或错误!(其中｛a n}为等差数列）等形式的数列求和．(2016·重庆适应性测试（二））在等比数列{a n}中,a1＝2,公比q＞0，其中－8a1，a2，a3成等差数列．（1)求数列{a n｝的通项公式;（2)设b n＝log2a n，求数列错误!的前n项和T n。

课时作业1．(2016·高考全国卷甲)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8D [解析] 由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23C [解析] 由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa ＋b 与c 共线，所以－2(λ＋2)－2λ＝0，所以λ＝－1.3．(2016·山西省第二次四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3B [解析] 因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝22，所以〈a ，b 〉＝π4. 4．(2016·唐山市统一考试)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → B [解析] 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 5．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →C [解析] 因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.6．在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( ) A ．－94B.94C.274D ．－274B [解析] 依题意得|CD →|＝32，CD →·AB →＝0，CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB →＝CD →·CA →＝|CA →|·|CD →|·cos 60°＝3×32×12＝94，故选B.7.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B.32 C ．－4D ．－2C [解析] 通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C [解析] 在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.9．(2016·海口市调研测试)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [解析] 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫12BC →－BA →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λBA →＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，选B.10．(2016·石家庄市第一次模考)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1，0)B [解析] 由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．11．已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么OA →·OB →的取值范围是( )A ．[－2，4)B ．(－2，4)C ．(－4，2)D ．(－4，2]A [解析] 依题意，(OA →＋OB →)2≥13(OB →－OA →)2，化简得OA →·OB →≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得|OA →|－|OB →|<|AB →|＝|OB →－OA →|，两边平方可得(|OA →|－|OB →|)2<(OB →－OA →)2，化简可得OA →·OB →<4，所以－2≤OA →·OB →<4.12．称d(a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )B [解析] 由于d(a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．13．(2016·南昌市第一次模拟测试)已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，则|c |等于________．[解析] 因为向量a ＝(1，3)，所以向量|a |＝2，又向量a ，c 的夹角是π3，a·c ＝2，所以|c |＝a·c|a |cos π3＝22×12＝2.[答案] 214．(2016·合肥市第一次教学质量检测)已知等边△ABC 的边长为2，若BC →＝3BE →，AD →＝DC →，则BD →·AE →＝________．[解析] 如图所示，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝⎛⎭⎫12AC→－AB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. [答案] －215．已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．[解析] 因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. [答案] 316．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________． [解析] 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos 5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝⎝⎛⎭⎫32e 1－12e 2·⎝⎛⎭⎫12e 1－32e 2＝32－e 1·e 2＝0， 所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.[答案] π2。

B ，则集合()U A B 中的元素}{1x x 〉 }0 =4,cot β=13,则711 (C) 713（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种（8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（A ）150° （B ）120° （C ）60° （D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）(A)4(B) 4(C) 4(D) 34 (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π （11）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+ ( )（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。

若3FA FB =,则AF =（ ）(A) (B) 2(C) (D) 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.（13）10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于_____________.（14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

第1讲 函数与方程、数形结合思想一 函数与方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决,方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系(2016·高考山东卷) 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．【解析】 如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，所以2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2，并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 【答案】 2[名师点评] 本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a ，b ，c 的关系式，求值试题就是建立关于a ，b ，c 的等式，求取值范围问题就是建立关于a ，b ，c 的不等式．[变式训练]1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98.(2016·高考全国卷丙)设函数f (x )＝ln x －x ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x ＜x ；(3)设c ＞1，证明当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x ＞c x .【解】 (1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． (2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，ln 1x ＜1x －1，即1＜x －1ln x＜x .(3)证明：由题设c ＞1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，则g ′(x )＝c －1－c x ln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln cln c.当x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减． 由(2)知1＜c －1ln c ＜c ，故0＜x 0＜1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0＜x ＜1时，g (x )＞0.所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x ＞c x .[名师点评] 本题第(3)问证明的关键是构造函数g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，利用导数判定g (x )的单调性，从而证明不等式成立．[变式训练]2．已知正四棱锥S -ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1 B.3 C ．2 D ．3C [解析] 设正四棱锥S -ABCD 的底面边长为a (a ＞0)，则高h ＝SA 2－⎝⎛⎭⎫2a 22＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6(a ＞0)，则y ′＝48a 3－3a 5.令y ′＞0，得0＜a ＜4；令y ′＜0，得a ＞4.故函数y 在(0，4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝ 12－a 22＝2，故选C.二 数形结合思想借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想,借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合(2016·高考山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m－m 2，其顶点为(m ，4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x ＝m 的交点为Q (m ，m )．①当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，4m －m 2≥m ，即0＜m ≤3时，函数f (x )的图象如图1所示，易得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当⎩⎪⎨⎪⎧4m －m 2＜m ，m ＞0，即m ＞3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2＜b ≤m ，使得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，符合题意，综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．【答案】 (3，＋∞)[名师点评] 利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．[变式训练]3．(2016·山西第二次四校联考)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3，5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8A [解析] 画出y 1＝f (x )，y 2＝12log 2|x |的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.(2016·高考四川卷)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334【解析】 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝⎛⎭⎫x 0－322＋⎝⎛⎭⎫y 0－322＝14， 所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14，它表示以⎝⎛⎭⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝⎛⎭⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max＝494. 【答案】B[名师点评] (1)本题利用数形结合思想，把|BM →|2的值转化为点B 到圆⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14的距离的平方． (2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．[变式训练]4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.22C [解析] 因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC →＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ，CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，即AC →⊥BC →.又OA →⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.课时作业1．(2016·重庆第一次适应性测试)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( )A.2 B ．2 C. 5D ．5C [解析] 依题意，(a ＋1)＋(1－a )i ＝3＋b i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝31－a ＝b ，解得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋（－1）2＝5，选C.2．等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3⎠⎛03x 2d x ，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12C [解析] 因为⎠⎛03x 2dx ＝⎪⎪13x 330＝9，所以S 3＝3×9＝27，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝9S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝27，解得q ＝1或q ＝－12. 3．(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4，所以选B.4．(2016·河北“五校联盟”质量检测)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2B [解析] 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.5．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－34，0 C.⎝⎛⎭⎫0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 B [解析] 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，所以－34<k ≤0.6．(2016·沈阳市教学质量监测(一))已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜2f (x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)D [解析] 根据题意，设函数g (x )＝f （x ）x 2(x ≠0)，当x ＞0时，g ′(x )＝f ′（x ）·x －2·f （x ）x 3＜0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数．又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1，0)∪(0，1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1，0)∪(0，1)上的函数值大于零．7．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．[解析] 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.[答案] 18．(2016·高考北京卷)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．[解析] 设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)． 由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.所以(43－y )min ＝43－14＝29. [答案] ①16 ②299．(2016·湖北七市(州)协作体联考)函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________．[解析] 令f (x )＝0，则x 2－4＝－⎝⎛⎭⎫13x ，分别作出函数g (x )＝x 2－4，h (x )＝－⎝⎛⎭⎫13x的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.[答案] 210．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3，则nS n 的最小值为________．[解析] 由已知得，a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以公差d ＝a 6－a 5＝1.又S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2，即nS n ＝n 3－5n 22，令f (x )＝x 3－5x 22(x >0)，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )>0，得x >103，令f ′(x )<0，得0<x <103.又n 为正整数，所以当n ＝3时，nS n ＝n 3－5n 22取得最小值，即nS n 的最小值为－9.[答案] －911．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．[解] 由c ＝2得a 2＋1＝4， 所以a 2＝3.所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y ) ＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增． g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3.所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．12．(2016·云南第一次统一检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n .[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3， 所以q ≠1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝26S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝728，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3.所以a n ＝2×3n －1.(2)证明：由(1)可得S n ＝2×（1－3n ）1－3＝3n－1.所以S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1.所以S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n.13．已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB . (1)求证：直线l 与x 轴交点的横坐标为2p ； (2)若OD ⊥AB ，交AB 于点D (2，1)，求p 的值．[解] (1)证明：如图所示，设直线l 的方程为x ＝ty ＋m (显然l 斜率不为0)，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px x ＝ty ＋m⇒y 2－2pty －2pm ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2pt ，①y 1y 2＝－2pm ，②又因为A 、B 在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ty 1＋m ，x 2＝ty 2＋m .又因为OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝0， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(ty 1＋m )(ty 2＋m )＋y 1y 2＝0， 所以(1＋t 2)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋m 2＝0，③ 将①②代入③得(1＋t 2)(－2pm )＋2pmt 2＋m 2＝0， 所以m ＝2p ，所以直线l 与x 轴交点的横坐标为2p . (2)由题意得，k OD ＝12，所以k AB ＝－2，所以l AB ：y ＝－2x ＋5，由(1)可知直线l AB 与x 轴交点的横坐标2p ＝52，所以p ＝54.14．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R )． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0，3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1，2]上的最小值． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x |x －1|＋1＝x ， 所以x ＝－1或x ＝1.(2)由题知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，－x 2＋ax ＋1，x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x＝a 2≤12<1， 所以函数y ＝f (x )在区间[1，2]上递增， f (x )min ＝f (1)＝2－a ；②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1； ③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1， 对称轴是x ＝a2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3. 因为(2a －3)－a ＝a －3<0， 所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.综上可知，当0<a ≤1时，f (x )min ＝2－a ； 当1<a ≤2时，f (x )min ＝1； 当2<a <3时，f (x )min ＝2a －3.。

第2讲 函数图象与性质函数及其表示 自主练透 夯实双基 1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[题组通关]1．函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 A [解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，所以－13＜x ＜1. 2．(2016·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． [解析] 由题意可得f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110， 则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.[答案] －253．(2016·高考浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1.已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝__________，b ＝__________．[解析] 因为f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2，(x －b )·(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－2a －b a 2＋2ab ＝0－a 3－3a 2＝－a 2b，解得a ＝－2，b ＝1.[答案] －2 1(1)求函数定义域的三种类型①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．②抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)求函数值时应注意的两个问题①形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．②对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，此类问题多利用分类讨论思想．函数的图象及应用数学思想活学活用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<1(2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．【解析】(1)由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1，0<c<1.(2)因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.【答案】(1)D(2)(－1，3)(1)识图、用图的方法技巧①识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围，变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．②用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．(2)数学思想①本例(2)利用数形结合的思想，根据已知条件画出函数图象，通过图象与x 轴的位置关系求出不等式的解集．②利用数形结合思想还可以解决本专题中函数的零点、最值、方程根的个数等问题． [题组通关]1．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( )D [解析] 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A 、B.f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，所以选D.2．(2015·高考安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．[解析] 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.[答案] －12函数性质的综合应用 共研典例 类题通法 1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．(1)(2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x(2)(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2(3)(2016·湖南东部六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (2)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1100，1 B.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫1100，100 D ．(0，1)∪(100，＋∞)【解析】 (1)函数y ＝11－x ，y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上都是增函数，函数y ＝cos x 在(－1，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数，而函数y ＝2－x ＝(12)x 在(－1，1)上是减函数，故选D.(2)由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x ＞12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.(3)法一：不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0lg x <2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x <0－lg x <2， 解得1≤x <100或1100<x <1，所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1100，100. 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )>f (2)可化为|lg x |<2，即－2<lg x <2，解得1100<x <100，故选C.【答案】 (1)D (2)D (3)C(1)四招破解函数的单调性①对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；②对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题来解决；③对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法； ④对于抽象函数一般用定义法. (2)判断函数奇偶性的三个技巧①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. ②确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称. ③对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |). [题组通关]1．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1，1)．又因为f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．当x ∈(0，1)时，h 1(x )＝ln(1＋x )为增函数，h 2(x )＝ln(1－x )为减函数，又因为f (x )＝h 1(x )－h 2(x )，故f (x )在(0，1)上为增函数．2．(2016·高考天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，12)∪(32，＋∞)C ．(12，32)D ．(32，＋∞)C [解析] 由f (x )是偶函数得f (－2)＝f (2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以由2|a －1|＜2，得|a －1|＜12，即12＜a ＜32.3．(2016·高考四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝__________． [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以f (0)＝0，f (x ＋2)＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋0＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2. [答案] －2课时作业 [基础达标]1．已知f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3A [解析] 因为f (x )＝x ＋1x －1，所以f (a )＝a ＋1a －1＝2，所以a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a－1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4，故选A. 2．(2016·石家庄教学质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |B [解析] A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．(2016·湖北七市(州)协作体联考)T 为常数，定义f T (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥TT ，f （x ）<T ，若f (x )＝x －ln x ，则f 3[f 2(e)]的值为( )A ．e －1B ．eC ．3D ．e ＋1C [解析] 由题意得，f (e)＝e －1<2，所以f 2(e)＝2，又f (2)＝2－ln 2<3，所以f 3[f 2(e)]＝3，故选C.4．函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )A [解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B.当x ∈(0，1)时，x －1＜0，ln x ＜0，所以(x －1)ln x ＞0，可排除D ；当x ∈(1，＋∞)时，x －1＞0，ln x ＞0，所以(x －1)ln x ＞0，可排除C.选A.5．设函数f (x )＝log 2(3x －1)，则使得2f (x )>f (x ＋2)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－53，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ A [解析] 因为f (x )＝log 2(3x －1)，2f (x )>f (x ＋2)，所以2log 2(3x －1)>log 2(3x ＋5)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧（3x －1）2>3x ＋53x －1>03x ＋5>0，解得x >43，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0lg （－x ），x <0，那么f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( ) A ．2 016 B.14 C ．4D.12 016C [解析] 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 984)＝f (2 016－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝4，故选C. 7．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则( )A ．f (－2)<f (1)<f (3)B ．f (3)<f (－2)<f (1)C ．f (3)<f (1)<f (－2)D ．f (1)<f (－2)<f (3)B [解析] 因为∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，所以f (x )在[0，＋∞)上为减函数，因为f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，故f (3)<f (－2)<f (1)，故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |x >－1且x ≠0} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x ≤0或x >12D [解析] 因为x >0时， f (x )＝log 2x ＋a ， 所以f (4)＝2＋a ＝3， 所以a ＝1.所以不等式f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 2x ＋1>0，即x >12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋1>0，即－1<x ≤0，所以f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或－1<x ≤0.9．已知函数f (x )＝e |ln x |－|x －1x|，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )A [解析] 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x （0<x ≤1），eln x－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x（x >1），作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．10．(2016·重庆第一次适应性测试)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1C [解析] 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)．当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )；当0≤x <2时，f (x )＝2x －1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为( )A ．630B ．1 260C ．2 520D ．3 780B [解析] 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )的周期为4. 当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )； 当0≤x <2时，f (x )＝2x －1.所以f (1)＝20＝1，f (2)＝f (－2)＝log 22＝1， f (3)＝f (－1)＝log 21＝0，f (4)＝f (0)＝2－1＝12.所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋1＋0＋12＝52，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504×52＝1 260，故选B.12．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值C [解析] 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|<g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值．13．(2016·西安第一次质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． [解析] 由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. [答案]10914．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．[解析] 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12.[答案] ⎣⎡⎭⎫－1，12 16．函数y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0<b <－a ，已知y ＝f (x )无零点，设函数F (x )＝f 2(x )＋f 2(－x )，则对于F (x )有如下四个说法：①定义域是[－b ，b ]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．其中正确的是________．[解析] 由题意可知，f 2(x )的定义域为[a ，b ]，f 2(－x )的定义域为[－b ，－a ]，所以F (x )的定义域为[－b ，b ]，①正确；又F (－x )＝F (x )，②正确；因为y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的增函数且无零点，所以f 2(x )>0，f 2(－x )>0，所以F (x )>0，③错误；因②正确，所以F (x )在定义域内不可能单调递增，④错误． [答案] ①②[能力提升]1．(2016·东北四市联考(二))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若|f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x |2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)C [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以|f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x |2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<ln x <1，解得1e<x <e. 2.将边长为2的等边△P AB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，关于函数y ＝f (x )有下列说法：①f (x )的值域为[0，2]；②f (x )是周期函数；③f (－1.9)<f (π)<f (2 019)．其中正确的说法个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [解析] 根据题意画出顶点P (x ，y )的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，①f (x )的值域为[0，2]，正确；②f (x )是周期函数，周期为6，②正确；③由于f (－1.9)＝f (4.1)，f (2 019)＝f (3)；而f (3)<f (π)<f (4.1)，所以f (－1.9)>f (π)>f (2 019)；故③不正确．3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．[解析] 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2. 当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.[答案] 14．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．[解析] 因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4. 易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)，所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2， 解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．[答案] (－2，0)∪(0，2)。

第3讲 平面向量平面向量的概念与线性运算 自主练透 夯实双基 1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[题组通关]1．(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →A [解析] AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.2．已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时，λ的取值不可能为( )A ．1B ．0C ．－1D ．2B [解析] 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得，AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1，故λ≠0.3．(2016·广州综合测试(一))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A ．－3B ．－13C.13D ．3A [解析] 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD→＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3.4．(2016·广州综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34B [解析] 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．平面向量的数量积 共研典例 类题通法 1．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(1)(2016·合肥第二次质量检测)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2，且a ⊥(a－2b )，则|b |＝( )A.2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2016·高考天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18C.14D.118【解析】 (1)由a ⊥(a －2b )得，a·(a －2b )＝|a|2－2a·b ＝0，则|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a·b ＋|b|2＝|b |＝2，选项B 正确．(2)法一：如图，建立平面直角坐标系，则A (0，32)，B (－12，0)，C (12，0)，E (0，0)，D (－14，34)，由DE →＝2EF →，得F (18，－38)，则AF →＝(18，－538)，BC →＝(1，0)，所以AF →·BC→＝18.法二：AF →·BC →＝(AD →＋32DE →)·BC →＝(12AB →＋34AC →)·BC →＝12AB →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.【答案】 (1)B (2)B(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路 ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．[题组通关]1．(2016·重庆适应性测试(二))设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3 C. 3D.332A [解析] 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos2π3＝－12，|a |＝（e 1＋2e 2）2＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3，a ·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－923＝－332，选A.2．(2016·福建省毕业班质量检测)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，AC ＝3，CM →＝2MB →，则AM →·BC →＝( )A ．－113B ．－43C.43D.113C [解析] 因为AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋23CB →＝AC →＋23(AB →－AC →)＝13AC →＋23AB →，所以AM →·BC→＝⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →·(AC →－AB →)＝13×32－23×22＋13AB →·AC →＝13＋13×3×2cos π3＝43，故选C.平面向量与三角函数的综合问题 共研典例 类题通法已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cosA ，sinB )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．【解】 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ， 即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.破解平面向量与“三角”交汇题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形．[跟踪训练](2016·合肥市第二次质量检测)已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解] (1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos x ＝0， 展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋34， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时， f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. 课时作业1．(2016·高考全国卷甲)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8D [解析] 由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m－2)＝0，解得m ＝8，故选D.2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23C [解析] 由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa ＋b 与c 共线，所以－2(λ＋2)－2λ＝0，所以λ＝－1.3．(2016·山西省第二次四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3B [解析] 因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝22，所以〈a ，b 〉＝π4. 4．(2016·唐山市统一考试)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → B [解析] 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 5．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →C [解析] 因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.6．在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( ) A ．－94B.94C.274 D ．－274B [解析] 依题意得|CD →|＝32，CD →·AB →＝0，CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB→＝CD →·CA →＝|CA →|·|CD →|·cos 60°＝3×32×12＝94，故选B.7.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( ) A ．－52B.32 C ．－4D ．－2C [解析] 通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－t BC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C [解析] 在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－t BC →|≥|AC →|，得BA →2－2t BA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.9．(2016·海口市调研测试)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [解析] 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫12BC →－BA →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λBA →＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，选B.10．(2016·石家庄市第一次模考)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1，0)B [解析] 由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．11．已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么OA →·OB →的取值范围是( )A ．[－2，4)B ．(－2，4)C ．(－4，2)D ．(－4，2]A [解析] 依题意，(OA →＋OB →)2≥13(OB →－OA →)2，化简得OA →·OB →≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得|OA →|－|OB →|<|AB →|＝|OB →－OA →|，两边平方可得(|OA →|－|OB →|)2<(OB →－OA →)2，化简可得OA →·OB →<4，所以－2≤OA →·OB →<4.12．称d(a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )B [解析] 由于d(a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．13．(2016·南昌市第一次模拟测试)已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，则|c |等于________．[解析] 因为向量a ＝(1，3)，所以向量|a |＝2，又向量a ，c 的夹角是π3，a·c ＝2，所以|c |＝a·c|a |cos π3＝22×12＝2.[答案] 214．(2016·合肥市第一次教学质量检测)已知等边△ABC 的边长为2，若BC →＝3BE →，AD →＝DC →，则BD →·AE →＝________．[解析] 如图所示，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝⎛⎭⎫12AC→－AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. [答案] －215．已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．[解析] 因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. [答案] 316．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________． [解析] 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos 5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝⎝⎛⎭⎫32e 1－12e 2·⎝⎛⎭⎫12e 1－32e 2＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.[答案] π2。

课时作业 [基础达标]1．已知f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3A [解析] 因为f (x )＝x ＋1x －1，所以f (a )＝a ＋1a －1＝2，所以a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a－1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4，故选A. 2．(2016·石家庄教学质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |B [解析] A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．(2016·湖北七市(州)协作体联考)T 为常数，定义f T (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥TT ，f （x ）<T ，若f (x )＝x －ln x ，则f 3[f 2(e)]的值为( )A ．e －1B ．eC ．3D ．e ＋1C [解析] 由题意得，f (e)＝e －1<2，所以f 2(e)＝2，又f (2)＝2－ln 2<3，所以f 3[f 2(e)]＝3，故选C.4．函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )A [解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B.当x ∈(0，1)时，x －1＜0，ln x ＜0，所以(x －1)ln x ＞0，可排除D ；当x ∈(1，＋∞)时，x －1＞0，ln x ＞0，所以(x －1)ln x ＞0，可排除C.选A.5．设函数f (x )＝log 2(3x －1)，则使得2f (x )>f (x ＋2)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－53，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ A [解析] 因为f (x )＝log 2(3x －1)，2f (x )>f (x ＋2)，所以2log 2(3x －1)>log 2(3x ＋5)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧（3x －1）2>3x ＋53x －1>03x ＋5>0，解得x >43，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0lg （－x ），x <0，那么f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( ) A ．2 016 B.14 C ．4D.12 016C [解析] 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 984)＝f (2 016－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝4，故选C. 7．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则( )A ．f (－2)<f (1)<f (3)B ．f (3)<f (－2)<f (1)C ．f (3)<f (1)<f (－2)D ．f (1)<f (－2)<f (3)B [解析] 因为∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，所以f (x )在[0，＋∞)上为减函数，因为f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，故f (3)<f (－2)<f (1)，故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |x >－1且x ≠0} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x ≤0或x >12D [解析] 因为x >0时， f (x )＝log 2x ＋a ， 所以f (4)＝2＋a ＝3， 所以a ＝1.所以不等式f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 2x ＋1>0，即x >12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋1>0，即－1<x ≤0，所以f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或－1<x ≤0.9．已知函数f (x )＝e |ln x |－|x －1x|，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )A [解析] 据已知关系式可得 f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x （0<x ≤1），e ln x －⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x （x >1），作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．10．(2016·重庆第一次适应性测试)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1C [解析] 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)．当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )；当0≤x <2时，f (x )＝2x －1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为( )A ．630B ．1 260C ．2 520D ．3 780B [解析] 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )的周期为4. 当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )； 当0≤x <2时，f (x )＝2x －1.所以f (1)＝20＝1，f (2)＝f (－2)＝log 22＝1， f (3)＝f (－1)＝log 21＝0，f (4)＝f (0)＝2－1＝12.所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋1＋0＋12＝52，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504×52＝1 260，故选B.12．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值C [解析] 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|<g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值．13．(2016·西安第一次质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． [解析] 由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. [答案]10914．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x－(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．[解析] 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12.[答案] ⎣⎡⎭⎫－1，12 16．函数y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0<b <－a ，已知y ＝f (x )无零点，设函数F (x )＝f 2(x )＋f 2(－x )，则对于F (x )有如下四个说法：①定义域是[－b ，b ]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．其中正确的是________．[解析] 由题意可知，f 2(x )的定义域为[a ，b ]，f 2(－x )的定义域为[－b ，－a ]，所以F (x )的定义域为[－b ，b ]，①正确；又F (－x )＝F (x )，②正确；因为y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的增函数且无零点，所以f 2(x )>0，f 2(－x )>0，所以F (x )>0，③错误；因②正确，所以F (x )在定义域内不可能单调递增，④错误． [答案] ①②[能力提升]1．(2016·东北四市联考(二))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若|f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x |2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)C [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以|f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x |2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<ln x <1，解得1e<x <e.2.将边长为2的等边△P AB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，关于函数y ＝f (x )有下列说法：①f (x )的值域为[0，2]； ②f (x )是周期函数； ③f (－1.9)<f (π)<f (2 019)． 其中正确的说法个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [解析] 根据题意画出顶点P (x ，y )的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，①f (x )的值域为[0，2]，正确；②f (x )是周期函数，周期为6，②正确； ③由于f (－1.9)＝f (4.1)， f (2 019)＝f (3)； 而f (3)<f (π)<f (4.1)，所以f (－1.9)>f (π)>f (2 019)；故③不正确．3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．[解析] 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数； 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. [答案] 14．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．[解析] 因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数， 且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)． [答案] (－2，0)∪(0，2)。

课时作业1．(2016·广州市五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2xA [解析] y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12B ．1 C.12D ．－32A [解析] 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12. 3．(2016·福建省毕业班质量检测)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425D [解析] 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin α·cos α＝－2425，选项D 正确．4．(2016·沈阳市教学质量监测(一))某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5C [解析] 不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]A [解析] 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.6．(2016·山西考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.22C.32D ．1C [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，所以2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 7．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则sin α－cos α＝________．[解析] sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－75.[答案] －758．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．[解析] 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.[答案] π69．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3. [答案] [3，＋∞)10．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为________． [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)可得f (x ＋2π)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.由f (0)＝12得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，因为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，且0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，因此g (x )max ＝ 3. [答案] 311．已知a ＝(sin 2x ，2cos 2x －1)，b ＝(sin θ，cos θ)(0<θ<π)，函数f (x )＝a ·b 的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，1.(1)求θ及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，求f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝a ·b ＝sin 2x sin θ＋cos 2x cos θ＝cos(2x －θ)，所以f (x )的最小正周期为T ＝π. 因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，1， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝1. 因为0<θ<π，所以θ＝π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为－π6≤x ≤π4，所以－2π3≤2x －π3≤π6.故当2x －π3＝0，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x －π3＝－2π3，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－12.12．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1＋a ， 则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .13．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝22， 即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象． 由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z .由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称， 令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．[解] (1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2.(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2.综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，M a ＝π； 当a ＝－22时，M a ＝3π4； 当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。

小题强化练(二) 综合提能练(2)1．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x ＞－1}C ．{x |x ＜－1}D ．{x |x ≤－2}2．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．23．若点P (1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝04．命题p ：∃x ∈N ，x 3＜x 2；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2，0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.πa 36B ．πa 33C.2πa 33D ．πa 3第5题图 第6题图6．执行如图所示的程序框图，则输出的A 是( ) A.2912 B ．7029C.2970D ．169707．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．31B ．36C ．42D ．488.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中||φ＜π2，ω＞0的图象如图所示，为了得到y ＝sin ωx 的图象，只需把y ＝f (x )的图象上所有点( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度9.设k 是一个正整数，⎝⎛⎫1＋x k k的展开式中第四项的系数为116，记函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的阴影部分为S ，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y )恰好落在阴影区域内的概率为( )A.1796 B ．532C.16D ．74810．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x11.如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )12．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，3)13．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x 图象的切线，则实数a ________．14．已知点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________．15.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x ＞1，若方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．参考答案与解析1．A因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}＝{x |－2＜x ＜－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N＝[－2，＋∞)，故选A.2．Bz 2－2zz －1＝（1＋i ）2－2（1＋i ）i ＝－2i ＝2i ，故选B.3．[导学号：30812276] D圆心C (3，0)，kCP ＝－12，所以k MN ＝2，所以弦MN 所在的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 4．A因为x 3＜x 2，所以x 2(x －1)＜0，所以x ＜0或0＜x ＜1，在这个范围内没有自然数，命题p 为假命题．因为f (x )的图象过点(2，0)，所以log a 1＝0，对∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q 为真命题．5．A由三视图可知该几何体为一个圆锥的14，其中圆锥的底面圆的半径为a ，高为2a ，所以该几何体的体积V ＝13×πa 2×2a ×14＝πa 36.故选A.6．Bi ＝0，A ＝2；A ＝2＋12＝52，i ＝1；A ＝2＋25＝125，i ＝2；A ＝2＋512＝2912，i ＝3；A ＝2＋1229＝7029，i ＝4，输出A ，故输出的A ＝7029.7．[导学号：30812277] A由等比数列的性质，得a3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n ＞0，q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.8．A由图象知：T4＝7π12－π3，所以T ＝π.又π＝2πω，所以ω＝2.由f ⎝⎛⎭⎫π3＝0得：2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－2π3(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x ＋π6，故选A.9．C由题意得C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.阴影部分的面积S 1＝⎠⎛04(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪2x 2－⎭⎫13x 340＝323，(x ，y )所围成的区域面积为S 2＝4×16＝64，所以所求概率P ＝S 1S 2＝16，故选C .10．C由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线方程为x ＝my ＋p2，得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2·⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .故选C.11．[导学号：30812278] B 取AP 的中点M ，则P A ＝2AM ＝2OA ·sin ∠AOM ＝2sin x2，PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x2，所以y ＝f (x )＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，故选B.12．A由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b2＝1.得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋c 2c ，b 2c ，同理得M (a ，b )，又F 1(－c ，0)，则kMF 1＝b a ＋c ，k ON ＝b 2a b 2＋c 2，因为MF 1∥ON ，所以b a ＋c ＝b 2a b 2＋c 2，所以a b 2＋c 2＝(a ＋c )b ，化简得2a 2c －c 3＝2ac 2－2a 3，即2e －e 3＝2e 2－2，设f (e )＝e 3＋2e 2－2e －2，易知f (1)＝1＋2－2－2＜0，f (2)＝22＋4－22－2＞0，所以1＜e 0＜ 2.故选A.13.设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，所以e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，所以x 0＝2，所以a ＝e 2.e 214.由题意得a ＞0，b ＞0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，由基本不等式得6≥2ab ＋4ab ，即(ab )2＋2ab －3≤0，解得ab ≤1，则0＜ab ≤1，所以ab 的最大值为1.115.由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin ∠AOB ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝513，故3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝513.51316．[导学号：30812279]在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图，而函数y ＝mx －12恒过定点⎝⎛⎭⎫0，－12，设过点⎝⎛⎭⎫0，－12与函数y ＝ln x 的图象相切的直线为l 1，切点坐标为(x 0，ln x 0)．因为y ＝ln x 的导函数y ′＝1x，所以图中y ＝ln x 的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，则1x 0＝ln x 0＋12x 0－0，解得x 0＝e ，所以k ＝1e .又图中l 2的斜率为12，故当方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根时，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，ee .⎝⎛⎭⎫12，e e。

第3讲高考客观题的解法1．在“限时"的高考考试中，解答选择题不但要“准”，更要“快"，只有“快”，才能为后面的解答题留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过程，依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围;初选后要认真检验，确保准确．2．数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数）最简．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准"“巧”“快"上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．技法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．(1)（2016·高考全国卷丙)若z＝1＋2i，则错误!＝（)A．1 B．－1C．i D．－i(2）（2016·高考全国卷甲）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c，若cos A＝错误!，cos C＝错误!，a＝1,则b＝________．【解析】（1）错误!＝错误!＝i。

(2）因为cos A＝错误!，cos C＝错误!，所以sin A＝错误!，sin C＝错误!,从而sin B＝sin(A＋C）＝sin A cos C＋cos A sin C＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

高考仿真模拟练 高考仿真模拟练(一) (时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．{－1} B ．{0} C ．{－1，0}D ．{0，1}2．若复数1＋a i2－i (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．12C ．－12D ．－23．“a ≤0”是“函数f (x )＝2x ＋a 有零点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某公司有30名男职员和20名女职员，公司进行了一次全员参与的职业能力测试，现随机询问了该公司5名男职员和5名女职员在测试中的成绩(满分为30分)，可知这5名男职员的测试成绩分别为16，24，18，22，20，5名女职员的测试成绩分别为18，23，23，18，23，则下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是分层抽样B ．这种抽样方法是系统抽样C ．这5名男职员的测试成绩的方差大于这5名女职员的测试成绩的方差D ．该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数 5．已知某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为13，则该几何体的俯视图可以是( )6．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 5的等比中项，则a 7＝( ) A ．1 B ．1或13C ．13D ．1或157．执行如图所示的程序框图，若输出的x 的值是8，则实数M 的最大值为( )A ．39B ．40C ．41D ．1218．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，Q 是抛物线上一点，线段FQ 的延长线交抛物线的准线于点P ，若FQ →＝13QP →，则|QF |＝( )A ．1 B.32 C.54D.749．已知函数f (x )＝2cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ<π2的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值与最小值之和为( )A ．－ 3B ．－1C ．0D ． 310.如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )11．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴端点分别为A 1，A 2，记双曲线的其中一个焦点为F ，一个虚轴端点为B ，若在线段BF 上(不含端点)有且仅有两个不同的点P i (i ＝1，2)，使得∠A 1P i A 2＝π2，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6＋12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5＋12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫5＋12，＋∞12．已知函数f (x )＝x 3－x ，设g (x )是定义在R 上的偶函数，若当x >0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，则不等式f (x )g (x )>0的解集是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若二项式⎝⎛⎭⎫x ＋mx 2n展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为________．14．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________．15.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 满足OD →＝2OA →，点P 为△BCD 内(含边界)的动点，设OP →＝αOA →＋βOC →(α，β∈R )，则当α＋2β取得最大值时，OP →在CD →方向上的投影为________．16．已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且a n ＋1＝2S n ＋2n ＋2(n ∈N *)，则S n ＝________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 2A ＋3cos(B ＋C )＝0.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，a ＝21，求sin B ＋sin C 的值．18．(本小题满分12分)如图，一块正方体木料的上底面有一点E ，若点E 在线段C 1A 1上，且C 1E ＝14C 1A 1.(1)请经过点E 在上底面画一条直线与CE 垂直，并说明理由； (2)求直线CE 与平面BDE 所成角的余弦值．19．(本小题满分12分)某中学不断深化教育改革，办学质量逐年提高．该校记录了从2007年到2016年10年间每年考入“985”院校的人数．为方便计算，2007年编号为1，2008年编号为2，…，2016年编号为10.数据如下：(1)从这10年中的后6年随机抽取2年，求考入“985”院校的人数至少有1年多于20人的概率；(2)根据前5年的数据，以年份编号为横坐标，当年考入“985”院校的人数为纵坐标建立平面直角坐标系，由所给数据描点作图；(3)在(2)的前提下，利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y ＝b ^x ＋a ^，并计算2014年的估计值和实际值之间的差的绝对值．附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为20．(本小题满分12分)已知焦距为23的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1、上顶点为D ，直线DF 1与椭圆C 的另一个交点为H ，且|DF 1|＝7|F 1H |.(1)求椭圆的方程；(2)点A 是椭圆C 的右顶点，过点B (1，0)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k ′，求证：k ·k ′为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x1－x ，φ(x )＝(x －1)2·f ′(x )．(1)若函数φ(x )在区间⎝⎛⎭⎫3m ，m ＋12上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若对任意的x ∈(0，1)，恒有(1＋x )·f (x )＋2a <0(a >0)，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1，0)，且倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，取与直角坐标系xOy 相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； (2)求直线l 1：x －3y ＝0被曲线C 所截得的弦长． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－λ，λ∈R ，且f (x －1)≤0的解集是[－1，1]． (1)求λ的值；(2)若r ，s ∈R ，且r >0，s >0，1r ＋12s ＝λ，求r ＋2s 的最小值．参考答案与解析1．C依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z }＝{－1，0}，选C.2．A法一：由题意得1＋a i2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－a ＋（1＋2a ）i 5＝2－a5＋1＋2a 5i 为纯虚数，则2－a 5＝0，且1＋2a5≠0，解得a ＝2.故选A.法二：由题意，令1＋a i2－i ＝t i(t ≠0)，则1＋a i ＝t ＋2t i ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝t ，a ＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝2.3．[导学号：30812292] B由a ≤0推不出f (x )＝2x ＋a 有零点，但由f (x )＝2x ＋a有零点可以推出a <0，进而推出a ≤0，故选B.4．C根据抽样方法的特点，可知这种抽样既不是分层抽样，也不是系统抽样，故A ，B 是错误的，从这5名男职员和5名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平均数，故D 是错误的，根据公式，可以求得这5名男职员的测试成绩的方差为s 21＝8，5名女职员的测试成绩的方差为s 22＝6，所以C 正确，故选C.5．B 法一：若选项为A ，C ，则该几何体为底面是等腰直角三角形的棱锥，体积为16，不合题意；若选项为B ，则该几何体为底面是正方形的棱锥，体积为13，符合题意；若选项为D ，该几何体为四分之一个圆锥，体积为π12，不合题意．故选B.法二：由题意知该几何体为锥体，体积为13，故其底面面积应为1，故选B.6．B设等差数列{an }的公差为d ，则a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d .因为a 2是a 1和a 5的等比中项，所以a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，所以d (d －2)＝0，所以d ＝0或d ＝2，故a n ＝1或a n ＝2n －1，从而a 7＝1或a 7＝13.故选B.7．[导学号：30812293] B执行程序框图可知，S ＝1，k ＝1；S ＝1＋31＝4，k ＝2；S ＝1＋31＋32＝13，k ＝3；S ＝1＋31＋32＋33＝40，k ＝4.要使输出的x 的值是8，则恰好k ＝4时退出循环，所以13<M ≤40，M 的最大值为40.故选B.8.B由题意得抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F (0，1)，准线l 的方程为y ＝－1，过点Q 作QQ ′⊥l 于点Q ′，因为FQ →＝13QP →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4.又焦点F 到准线l 的距离|FF ′|＝2，|PQ ||PF |＝|QQ ′||FF ′|，所以|QF |＝|QQ ′|＝32.故选B.9．Bf (x )＝2cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ<π2的图象向右平移π6个单位长度后，得到g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3的图象，其关于y 轴对称，则φ－π3＝k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π3≤2x ＋π3≤4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为1，最小值为－2，其和为－1.故选B.10.D 法一：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3，4)，故选D.法二：在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π4∈(2，3)，故选D.11．[导学号：30812294] A在线段BF 上(不含端点)有且仅有两个不同的点Pi (i＝1，2)，使得∠A 1P i A 2＝π2，说明以A 1A 2为直径的圆与BF 有两个交点．首先要满足a <b ，即e >2，另外还要满足原点到直线BF ：x b ＋yc ＝1(不妨取F 为双曲线的上焦点，B 为右端点)的距离小于半径a ，因为原点到直线BF 的距离为bc b 2＋c 2，则bc b 2＋c2<a ，整理得b 4<a 2c 2，即e 4－3e 2＋1<0，解得e 2<3＋52.综上可知2<e <5＋12.故选A.12．A令F (x )＝f (x )g (x )，由题意知，F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数，且F (0)＝F (1)＝F (－1)＝0.又当x >0时，F ′(x )＝f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，综合F (x )的性质可知，F (x )＝f (x )g (x )>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选A.13. 因为二项式⎝⎛⎭⎫x ＋mx 2n展开式的二项式系数之和为32，所以2n ＝32，所以n ＝5，因为T r ＋1＝C r 5(x )5－r⎝⎛⎭⎫m x 2r＝C r 5m r x 52－52r ，令52－52r ＝0，得r ＝1，所以常数项为C 15m ＝10，所以m ＝2.214.由于圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，2a (a >0)，又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d 等于圆的半径r .由a >0得到，d ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号，所以圆心为(1，2)，半径r ＝5，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(x －1)2＋(y －2)2＝515.以O 为原点，分别以边OA ，OC 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则OC →＝(0，1)，OA →＝(1，0)，OD→＝(2，0)，设P (x ，y )，OP →＝(x ，y )，所以(x ，y )＝α(1，0)＋β(0，1)＝(α，β)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β，所以α＋2β＝x ＋2y .设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，所以z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，由图形可以看出，当该直线经过点B (1，1)时，它在y 轴上的截距最大，所以α＋2β取得最大值，此时P 的坐标为(1，1)，又CD →＝(2，－1)，所以OP →在CD →方向上的投影为OP →·CD →|CD →|＝2－15＝55.5516．[导学号：30812295]法一：由an ＋1＝2S n ＋2n ＋2(n ∈N *)可知，当n ＝1时，a 2＝2S 1＋4＝8，当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋2(n －1)＋2，两式相减得，a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．又a 1＋1＝3，a 2＋1＝9，a 2＋1＝3(a 1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，故a n ＋1＝3n ，所以a n ＝3n －1，所以S n ＝a n ＋1－（2n ＋2）2＝12×3n ＋1－n －32.法二：由a n ＋1＝2S n ＋2n ＋2(n ∈N *)可知，S n ＋1－S n ＝2S n ＋2n ＋2，所以S n ＋1＋(n ＋1)＋32＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋n ＋32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋n ＋32是以S 1＋1＋32＝92为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋n ＋32＝92×3n －1＝3n ＋12，所以S n ＝3n ＋12－n －32.12×3n ＋1－n －3217. (1)由2sin 2A ＋3cos(B ＋C )＝0， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π， 所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝34bc ＝53，得bc ＝20.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝21， 所以b ＋c ＝9.由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝b a sin A ＋c a sin A ＝sin A a ×(b ＋c )＝3221×9＝9714.18. (1)在上底面过点E 作MN ⊥C 1E (M 在C 1D 1上，N 在B 1C 1上)，则MN ⊥CE . 证明如下：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 而MN ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥MN . 又MN ⊥C 1E ，且C 1E ∩CC 1＝C 1， 所以MN ⊥平面CC 1E ，而CE ⊂平面CC 1E ，所以MN ⊥CE .(2)法一：连接B1E ，设正方体的棱长为4，则B 1E ＝10， 所以BE ＝DE ＝42＋（10）2＝26， 所以S △BDE ＝12BD ·26－（22）2＝12，设点C 到平面BDE 的距离为h ，由V E ­BCD ＝V C ­BDE ，得12h ＝8×4，所以h ＝83.设直线CE 与平面BDE 所成的角为θ，又CE ＝32，则sin θ＝h CE ＝429，所以直线CE 与平面BDE 所成角的余弦值为79.法二：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D ­xyz ，不妨设正方体的棱长为a (a >0)，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，D (0，0，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．因为点E 在线段C 1A 1上，且C 1E ＝14C 1A 1，所以E ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a ， CE →＝⎝⎛⎭⎫a 4，－a 4，a . DB →＝(a ，a ，0)，DE →＝⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a ，设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n ＝ax ＋ay ＝0，DE →·n ＝a 4x ＋34ay ＋az ＝0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝－12y ，不妨取y ＝－2，则n ＝(2，－2，1)为平面BDE 的一个法向量．cos 〈CE →，n 〉＝CE →·n |CE →|·|n |＝a 4×2－a4×（－2）＋a ⎝⎛⎭⎫a 42＋⎝⎛⎭⎫－a 42＋a 2·22＋（－2）2＋12 ＝2a 324a ×3＝429，所以直线CE 与平面BDE 所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 19. (1)设“考入‘985’院校的人数至少有1年多于20人”为事件A ， 则P (A )＝1－C 23C 26＝45.(2)根据数据，描点如图：(3)由前5年的数据得x －＝3，y －＝8，＝1＋4＋9＋16＋25＝55，a ^＝y －－b ^x －＝8－2.6×3＝0.2，所以y 关于x 的回归方程为y ＝2.6x ＋0.2. 所以2014年的估计值为2.6×8＋0.2＝21，则2014年的估计值与实际值之间的差的绝对值为|21－22|＝1.20. (1)因为椭圆C 的焦距为23，所以F 1(－3，0)，又D (0，b )，|DF 1|＝7|F 1H |，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－837，－b 7，则64×349a 2＋149＝1，解得a 2＝4，则b 2＝a 2－3＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：根据已知可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋4y 2－4＝0，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.直线AE ，AF 的方程分别为y ＝y 1x 1－2(x －2)，y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝3，则M ⎝⎛⎭⎫3，y 1x 1－2，N ⎝⎛⎭⎫3，y 2x 2－2，所以P ⎝⎛⎭⎫3，12⎝⎛⎭⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2.所以k ·k ′＝k 4×k （x 1－1）（x 2－2）＋k （x 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2） ＝k 24×2x 1x 2－3（x 1＋x 2）＋4x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4 ＝k 24×8k 2－8－24k 2＋16k 2＋44k 2＋14k 2－4－16k 2＋16k 2＋44k 2＋1 ＝k 24×－44k 2＝－14. 21. (1)因为f (x )＝ln x1－x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1x －1（1－x ）2，所以φ(x )＝ln x ＋1x －1(x >0，且x ≠1)，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.当φ′(x )<0时，0<x <1，此时φ(x )单调递减，若函数φ(x )在区间⎝⎛⎭⎫3m ，m ＋12上单调递减，则⎝⎛⎭⎫3m ，m ＋12⊆(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥0，m ＋12≤1，3m <m ＋12，所以0≤m <14，所以实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，14. (2)对任意的x ∈(0，1)，恒有(1＋x )·f (x )＋2a <0，即(1＋x )·ln x1－x ＋2a <0，(*)因为x ∈(0，1)，所以1－x1＋x >0，所以(*)式可变为ln x ＋2a （1－x ）1＋x <0.设h (x )＝ln x ＋2a （1－x ）1＋x，则要使对任意的x ∈(0，1)，ln x ＋2a （1－x ）1＋x <0恒成立，只需h (x )max <0.h ′(x )＝x 2＋（2－4a ）x ＋1x （1＋x ）2，设t (x )＝x 2＋(2－4a )x ＋1，Δ＝(2－4a )2－4＝16a (a －1)． ①当0<a ≤1时，Δ≤0，此时t (x )≥0，h ′(x )≥0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，又h (1)＝0， 所以h (x )<h (1)＝0，所以0<a ≤1符合条件．②当a >1时，Δ>0，注意到t (0)＝1>0，t (1)＝4(1－a )<0，所以存在x 0∈(0，1)，使得t (x 0)＝0，于是对任意的x ∈(x 0，1)，t (x )<0，h ′(x )<0，则h (x )在(x 0，1)上单调递减，又h (1)＝0，所以当x ∈(x 0，1)时，h (x )>0，不符合要求．综合①②可得0<a ≤1.22. 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ， 所以曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即圆C ：(x －1)2＋y 2＝1. 法一：(1)直线l 经过点P (－1，0)，且倾斜角为α，当α＝π2时，直线l 的方程为x ＝－1，与曲线C 没有公共点；当α≠π2时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，因为直线l 与曲线C 有公共点， 所以圆心到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1≤1， 所以k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33.又k ＝tan α，α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.(2)曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，设直线l 1：x －3y ＝0被曲线C 所截得的弦为AB ，由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＝0，x －3y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32或A ⎝⎛⎭⎫32，32，B (0，0)，故|AB |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3， 即直线l 1：x －3y ＝0被曲线C 所截得的弦长为 3.法二：(1)如图所示，过点P 作直线PQ 、PR 与圆C 分别相切于点Q 、R ，连接QC ，CR ， 易得|PC |＝2，|QC |＝1，所以∠QPC ＝π6，同理，∠RPC ＝π6.因此，α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.(2)如图所示，直线l 1与圆C 交于点O ，S ，连接SC ，在△OCS 中，∠SOC ＝π6，OC ＝SC ＝1，所以∠OSC ＝π6，∠OCS ＝2π3，由余弦定理得OS ＝3，即直线l 1被曲线C 所截得的弦长为 3. 23. (1)因为f (x )＝|x ＋1|－λ，所以f (x －1)＝|x |－λ. 而f (x －1)≤0，即|x |≤λ的解集是[－1，1]， 所以λ＝1.(2)由(1)可得1r ＋12s＝1.法一：因为s ，r ∈R ，且r >0，s >0，所以1＝1r ＋12s≥21r ·12s⎝⎛⎭⎫当且仅当1r ＝12s 时等号成立，由此可得2rs ≥2，当且仅当r ＝2s ＝2时等号成立． 所以r ＋2s ≥2r ·2s ≥4，当且仅当r ＝2s ＝2时等号成立． 所以r ＋2s 的最小值为4.法二：因为s ，r ∈R ，且r >0，s >0，所以r ＋2s ＝(r ＋2s )·⎝⎛⎭⎫1r ＋12s ＝2＋2s r ＋r 2s≥2＋22s r ·r 2s ＝4，当且仅当2s r ＝r2s ，即r ＝2，s ＝1时等号成立． 所以r ＋2s 的最小值为4.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足()11z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）A.12 1 C. 1D. 12【答案】A2. 设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-【答案】B 【解析】试题分析：因为α为锐角，且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3sin()65πα+==，所以3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B. 3. 下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥【答案】D【解析】若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少一个为真命题，因此p q ∧不一定为真命题，所以选项A 错误；“0a >，0b >”时“2b a a b +≥=”，充分性成立，而2()2200b a b a a b a b a b ab-+≥⇒+-≥⇒≥ 0ab ⇒>，即“0a >，0b >”不一定成立，即必要性不成立，所以选项B 错误；命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，所以选项C 错误； 命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥，所以选项D 正确.故选D.4.2015年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是豆沙馅”，则(|)P B A =（ ）A ．34 B ．14 C ．110 D ．310【答案】A5. 已知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅=，则P 到x 轴的距离为（ ）A ．．2 D 【答案】C【解析】因为222246c a b =+=+=，所以c =()1F ，)2F ，不妨设l 的方程为y =，设()00x P ，则()100F ,x P =，)200F ,x P =，因为12F F 0P ⋅P =，所以()20020x x x +=，解得0x =P 到x 02=，故选C.6. 如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D上．当三棱锥Q -BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q -BMN 的正视图面积等于（ ）A ．212aB ．214aC 2D 2【答案】B【解析】由俯视图知点M 为1D A 的中点、N 与C 重合、Q 与1D 重合，所以三棱锥Q -BMN 的正视图为1CD ∆P ，其中点P 为1DD 的中点，所以三棱锥Q -BMN 的正视图面积为211224a a a ⨯⨯=，故选B.7. 若6nx⎛⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C8. 将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个 区间单调递增（ ）A ．,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 的图象，当222262k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），即36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）时，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 单调递增，所以函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），当0=k 时，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故选A.9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1007B ．2015C ．2016D ．3024【答案】D10. O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以C B 为底边的等腰三角形C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以C B 为斜边的直角三角形 【答案】B【解析】设C B 的中点为D ，则C 2D OB+O =O，∵()()C C 20OB -O ⋅OB +O -OA = ，∴()C 2D 20B⋅O -OA =，即C 2D 0B⋅A = ，∴C D B ⊥A，故C ∆AB 是以C B 为底边的等腰三角形，故选 B ．11. 点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，C A ，D A 两两垂直，且1AB =，C 2A =，3AD =，则该球的表面积为（ ）A ．7πB ．14πC ．72πD ．3【答案】B【解析】三棱锥CD A -B 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，所以长方体的对角线长是=2414ππ⨯=⎝⎭．故选B ．12. 设点P 在曲线2x y e =上，点Q 在曲线2ln ln -=x y 上，则Q P 的最小值为（ ）A ．1ln 2-B )1ln 2-C ．()21ln 2+D )1ln 2+ 【答案】D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. (121x dx -=⎰.【答案】232π+【解析】试题分析：12311112|33x dx x --==⎰，而根据定积分的定义可知1-⎰表示圆心在原点的单位圆上半部分半圆的面积，∴11222112(32x dx x dx π---=+=+⎰⎰⎰. 14. 点(,)M x y是不等式组03x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥总成立，则m 的取值范围是 . 【答案】[)3,+∞【解析】若20x y m -+≥总成立2m y x ⇔≥-总成立即可，设2z y x =-，即求出z 的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图四边形C OAB 内部（含边界），由2z y x =-得2y x z =+，平移直线2y x z =+，当其过点()C 0,3时，直线的截距最大，此时z 最大，此时3203z =-⨯=，∴3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．15. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P Q 、 两点，若=PQ a ，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为 .16. 已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.【答案】【解析】设x AC =，在ABC ∆中，由余弦定理有：B B x cos 1620cos 42242222-=⨯⨯-+=，同理，在ADC ∆中，由余弦定理有：D D x cos 3034cos 53253222-=⨯⨯-+=，即7cos 8cos 15=-B D ①，四边形ABCD 面积为)sin 15sin 8(21sin 5321sin 4221D B D B S +=⨯⨯+⨯⨯=，即8sin 15sin B D +2S =②，①②平方相加得264225240(sin sin cos cos )494240cos()B D B D S B D ++-=+-+24240S =-，当π=+D B 时，S 取最大值302.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比 数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．18.（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =-； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到 最大值？（保留两位小数）【答案】（1）ˆ8.69 1.23y x =-；（2）2.72吨．【解析】解：(1)()11234535x =++++=，()17.0 6.5 5.5 3.8 2.255y =++++=…………………2分 5117.02 6.53 5.54 3.85 2.262.7i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑错误！未找到引用源。

一创新型问题新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着新课程改革的深入和推进,高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小,求解此类问题，要求学生有临场阅读,提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．“新定义”问题新定义问题是指在特定情景下,用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．(1)(2016·高考全国卷丙）定义“规范01数列”{a n｝如下：｛a n}共有2m项，其中m项为0,m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2,…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4,则不同的“规范01数列”共有(）A．18个B．16个C．14个D．12个(2）已知函数y＝f（x）（x∈R）,对函数y＝g(x）(x∈I）,定义g（x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)（x∈I），y＝h（x)满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x)），(x，g（x)）关于点(x,f（x））对称．若h（x)是g(x）＝错误!关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h（x)>g（x)恒成立,则实数b的取值范围是________．【解析】（1）法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列"有00001111，00010111，00011011，00011101,00100111，00101011，00101101,00110011,00110101,01000111，01001011，01001101，01010011,01010101,共14个．法二：设a1，a2，a3,…,a k中0的个数为t,则1的个数为k－t,由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0,则错误!。

2017年高考数学（理科）冲刺（二）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（ B ）A．{﹣1，0} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}2．设复数z满足=i，则z的虚部为（ C ）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．13．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ C ）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（ C ）A．﹣ B． C．2 D．﹣25．设函数f（x）=，若f（a）＞1，则a的取值范围是（ D ）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ D ）A． B．32 C． D．7．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，则点C与坐标原点的距离为（ A ）A．B．5 C．13 D．258．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y，k分别为1，2，3，则输出的N=（ B ）A． B． C． D．9．已知M是球O的直径CD上的一点，CM=MD，CD⊥平面α，M为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（ C ）A．3π B．9π C． D．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ C ）A． B． C． D．11．设，是夹角为60°的两个单位向量，若=+λ与=2﹣3垂直，则λ= ．12．若，则目标函数z=x+2y的取值范围是[2，6] ．13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为5，则a= ﹣．14．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．（2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=×2×2×=，故△ABC的面积的最大值为：．15．随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 2 0.10（30，35] 4 0.20（35，40] 5 0.25（40，45] m f m（45，50] n f n（1）确定样本频率分布表中m，n，f m和f n的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．解：（1）∵20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．∴（40，50]区间内的频数m=6，（45，50]区间内的频数n=3，∴f m==0.3，f n==0.15．（2）由频率分布直方图，画出频率分布列如下图：（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35]的频率为0.2，设所取的3人中，日加工零件数落在区间（30，35]的人数为ξ，则ξ～B（3，0.2），P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣0.2）3=0.488．∴至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为0.488．16．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N．（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值．解：（1）∵M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N，∴N是SC中点，即取SC中点N，连结MN，DN，AM，则作出截面MADN．理由如下：∵M是SB中点，N是SC中点，∴MN∥BC，且MN=BC，∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，∴AD∥BC，且AD=，∴MN AD，∴M、A、D、N四点共线，∴截面MADN是平行四边形．（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，C（2，2，0），D（1，0，0），B（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），A（0，0，0），=（﹣1，﹣2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），设平面MADN的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），设直线CD与平面MADN所成角为θ，则sinθ===．∴直线CD与平面MADN所成角的正弦值为．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y﹣=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）．（1）求C的方程；（2）在C上是否存在点P，使S△PAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知直线方程求得c值，再由“点差法”结合已知得到a2=2b2，结合隐含条件求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）求出过F1与直线x+y﹣=0平行的直线方程，与椭圆方程联立求得使S△PAB=S的点P的坐标，在验证直线x+y﹣=0的右上侧椭圆上不存在满足条件的P得答案．【解答】解：（1）由直线x+y﹣=0过F2，取y=0，得x=，即c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差可得：，化为，则，联立，解得a2=6，b2=3．∴椭圆C的方程为：；（2）如图，由（1）可得，F1（），过F1且与直线x+y﹣=0平行的直线方程为y=﹣1×（x+），即y=﹣x﹣，联立，解得或．∴椭圆上的两点P（0，﹣）、（）满足S△PAB=S；再设与直线x+y﹣=0平行的直线方程为x+y=m，联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0，由△=16m2﹣12（2m2﹣6）=72﹣8m2=0，解得m=±3，当m=3时，直线x+y=3与直线x+y﹣=0的距离为，而直线x+y+与直线x+y﹣=0的距离为，，∴直线x+y﹣=0的右上侧，椭圆上不存在点P，满足S△PAB=S．综上，椭圆上的两点P（0，﹣）、（）满足S△PAB=S．18．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣2时故函数在（1，+∞）上是增函数．（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．所以此时有最值．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知曲线C：ρ=2cosθ，直线l：（t是参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：ρ=2cosθ，化为普通方程，然后转化为参数方程，消去参数可得直线l的普通方程．（2）（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d．则|PA|=，其中φ为锐角，且tan α=．利用正弦函数的单调性即可得出最值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ，可得ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1，曲线C的参数方程，，θ为参数．直线l：（t是参数）．消去参数t，可得：3x+4y﹣12=0．（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ﹣9|．则|PA|==|sin（θ+φ）﹣|，其中φ为锐角，且tan φ=．当sin（θ+φ）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+φ）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．。