直线与圆位置关系知识点与经典例题

直线与圆的位置关系经典例题一、点与圆的位置关系结合图形认识直线与圆的位置关系，比较OA 与r 的大小关系若点A 在⊙O 内OA r 若点A 在⊙O 上OA r 若点A 在⊙O 外OA r小练习：1.在△ABC 中，90C ∠=︒,AC=2,BC=4,如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（）（A）D 在圆外（B）D 在圆上（C）D 在圆内（D）无法确定二、直线与圆的位置关系（1）实验创境：用移动的观点认识如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，太阳和海平面就有图中的几种位置关系。

（可让学生用硬币自己操作演示）根据直线与圆公共点的个数可以得到三种位置关系：、、。

（2）用数量关系判断从以上的一个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：若要判断圆与直线的位置关系，可以将______与_____进行比较大小，由比较的结果得出结论。

典型例题：例1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线MN 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米。

分别说出直线MN 与圆的位置关系以及直线MN 和圆分别有几个公共点？例2.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，r 为半径作圆，当3,4.2,2===r r r 时，⊙C 与直线AB 分别是怎样的位置关系？★①直线l 和⊙O 相交d r ②直线l 和⊙O 相切d r ③直线l 和⊙O 相离d r1、如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系是2、已知：⊙A 的直径为6，点A 的坐标为)4,3(--，则⊙A 与x 轴的位置关系是；⊙A 与y 轴的位置关系是。

三、切线的判定实验探究：在练习纸上画⊙O ，在⊙O 上任取一点A ，连结OA ，过A 点作直线l ⊥OA ，判断直线l 是否与⊙O 相切？为什么？当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线；那么，直接从直线和圆的位置上观察，具备什么条件的直线也是圆的切线呢？两个条件缺一不可（1）经过半径外端（2）垂直于这条半径切线判定定理：经过直径外端并且于这条直径的直线是圆的切线。

《直线与圆的位置关系》典型例题例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=1cm；（2）r=cm；（3）r=2.5cm．例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD？例4如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切.例5已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.参考答案例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．解：过C点作CD⊥AB于D，在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，∴AC=2，∴AB·CD=AC·BC，∴，（1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系．例2 解：过C点作CD⊥AB于D，在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，∴AC=2，∴AB·CD=AC·BC，∴，（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r<CD，即0<r<；（2）∵直线AB与⊙C相切，∴r =CD，即r=；（3）∵直线AB与⊙C相交，∴r>CD，即r>．说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径．例3 分析：若R t△PBC∽R t△APD，则∠APD+∠BPC=90°，可知∠APB=90°，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，所以存在一点P，使R t△PBC∽R t△APD．解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则：OP为直角梯形ABCD的中位线，∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3，∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°，∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴R t△PBC∽R t△APD．因此，DC上存在点P，使R t△PBC∽R t△APD．说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O 相交、相离．例4 分析：要证以为直径的圆与相切，只需证明的中点到的距离等于.证明：过点作于，同理可证：为的中点，即：以为直径的圆与相切.说明：在判定直线是圆的切线时，若条件没有告诉它们有公共点，常用的方法就是“距离判定”法，即先由圆心到该直线作垂线，证明圆心到该直线的距离恰好等于半径，从而得出直线是圆的切线的结论.例5 分析：欲证直线和⊙相离，只需计算点到的距离的长，若，则判定与⊙相离（如图）证明于，是圆心到的距离∽.又⊙的半径为，故与⊙相离.学习要有三心:一信心；二决心；三恒心.知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时间=成绩. 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.。

直线与圆1.本单元知识点本单元的学习重点包括：直线的斜率、直线的方程、直线与直线的位置关系，圆的方程、圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直线与圆的距离问题，其中直线与圆的位置关系是高考热点.2.典型例题选讲例1. 过点M （0,1）作直线，使它被两直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l 所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程.说明：直线方程有三种基本形式：点斜式、两点式、一般式，求直线方程时应根据题目条件灵活选择，并注意不同形式的适用范围. 如采用点斜式，需要注意讨论斜率不存在的情况. 例2.已知圆0822:221=-+++y x y x C 与圆024102:222=-+-+y x y x C 交于A,B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程.说明：应用两圆相减求两圆公共弦的方法，可避免通过求两个交点再求公共弦方程. 另外，在求解与圆有关的问题时，应注意多利用圆的相关几何性质，这样利于简化解题步骤.例3.若过点A （4,0）的直线l 与曲线1)2(22=+-y x 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围. （一题多解）说明：直线与圆的位置关系问题，可以从几何和代数两方面入手. 相切问题应抓住角度问题求斜率；相交问题应抓住半径r 、弦心距d 、半弦长2l 构造的直角三角形使问题简化. 例4.设定点M （－3,4），动点N 在圆422=+y x 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.说明：轨迹方程在必修2第122页有例题，求动点的轨迹方程要特别注意考虑轨迹与方程间的等价性，有时求得方程后还要添上或去掉某些点.3.自测题选择题：1.过点A （1，-1）且与线段)11(0323≤≤-=--x y x 相交的直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. ]2,4[ππ B. ],2[ππ C. ],2[]4,0(πππ D.),2[]4,0[πππ2.若直线02)1(2=-++ay x a 与直线012=++y ax 垂直，则=a （ ）A.-2B.0C.-1或0D.222±3.若P （2,1）为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB.032=-+y xC.03=-+y xD.052=--y x4.已知圆1)3()2(:221=-+-y x C ，圆9)4()3(:222=-+-y x C ，M ，N 分别是圆上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为（ ）A. 425-B.117-C.226-D.175.已知)3,0(),0,3(B A -，若点P 在0222=-+x y x 上运动，则PAB ∆面积的最小值为（ ）A.6B. 26C. 2236+D.2236-6.曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. )125,0(B.),125(+∞C. ]43,31(D.]43,125(填空题：7.圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦长为32，则圆C 的标准方程为______________8.若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ax y x 的公共弦长为32，则=a _______9.设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3,1),则直线AB 的方程为_____________10.已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA 、PB 是圆012222=+--+y x y x 的两切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 的面积的最小值为__________解答题：11. 在ABC ∆中，)1,3(-A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为059106=-+y x ，B ∠的平分线BT 的方程为0104=+-y x .(1)求顶点B 的坐标； (2)求直线BC 的方程.12.已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x C ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B.(1)求过P 、A 、B 三点的圆的方程；(2)求直线AB 的方程.。

直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

圆与直线的基本性质一、定义[例1]在ABCRt∆中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm。

[例2]在ABC∆中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？[变式题]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【】A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交二、性质例1：如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A．40°B．50°C．60°D．70°变式1：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=【】A．30B．45C．60D．67.5例3：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【】A．80° B．110°C．120° D．140°变式2：如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC ＝°．1 / 4例5：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．变式3：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为cm2．例7：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．变式4：如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF 于点H，交⊙O于点C，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．2 / 4三、切线的判定定理：例1：如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BC=3，求AB的长．例2：如图，已知AB=AC，∠BAC=120º，在BC上取一点O，以O 为圆心OB为半径作圆，①且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，求证：（1）AC是⊙O的切线；（2）四边形BOAD是菱形。

直线与圆、圆与圆位置关系【考纲说明】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【知识梳理】一、直线与圆的位置关系1、 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式24b ac ∆=-0∆>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点0∆=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点0∆<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点2、圆的切线方程若圆的方程为222x y r +=，点P 00(,)x y 在圆上，则过P 点且与圆222x y r +=相切的切线方程为2o o x x y y r +=.经过圆22()()x a y b r -+-=上一点P 00(,)x y 的切线方程为222()()22o o x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有2224l r d =+，即l =二、圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。

2、判断圆与圆的位置关系常用方法（1）几何法：设两圆圆心分别为12,O O ，半径为1212,()r r r r ≠，则1212OO r r >+⇔圆1O与圆2O 相离⇔有4条公切线 1212OO r r =+⇔圆1O与圆2O 外切⇔有3条公切线 121212||r r OO r r -<<+⇔圆1O与圆2O 相交⇔有2条公切线 1212||OO r r =-⇔圆1O与圆2O 内切⇔有1条公切线 1212||OO r r <-⇔圆1O与圆2O 内含⇔有0条公切线. （2）代数法：方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩ 有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆相切；无实数解⇔两圆外离或内含。

29.2 直线与圆的位置关系一、知识点1、直线与圆有三种位置关系：（1）当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交；（2）当直线与圆有且只有一个公共点时，我们称直线与圆相切，这个公共点叫做切点；（3）当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离。

2、若圆心O 到直线l 距离为d ，⊙O 的半径为r ，则依据直线与圆位置关系的定义得到：（1）直线l 与⊙O 相交⇔r d ＜；（2）直线l 与⊙O 相切⇔r d =；（3）直线l 与⊙O 相离⇔r d ＞；二、试题训练：1、已知⊙O 的半径r =2 cm ，直线l 与⊙O 的圆心距离d =2 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定2、直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，则r 的取值范围是（ ） A. r ＜6 B.r ＝6 C.r ＞6 D.r ≥63、如图，已知∠AOB=30°，P 为边OA 上一点，且OP=5cm ，若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为（ ）A.5 cmB.235cmC.25cm D.335cm 4、在△ABC 中，AB=AC=2，∠A=150。

，那么半径为1的⊙B 和直线AC 的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.无法确定5、在平面直角坐标系xoy 中，以点（-3,4）为圆心，4为半径的圆（ ）A.与x 轴相交，与y 轴相切B.与x 轴相离，与y 轴相交B.与x 轴相切，与y 轴相交 D.与x 轴相切，与y 轴相离6、在直角坐标系中，⊙O 的半径1，则直线2+-=x y 与⊙O 的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况都有可能7、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 有交点，则d 与r 的关系是（ ）A.d ＝rB.d ＜rC.d ＞rD.d ≤r8、已知ABC 的面积为12，BC=8 cm ，则以A 为圆心，2 cm 为半径的圆与BC 的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.无法确定9、已知OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任意一点（点O 除外），若以点P 为圆心的⊙P 与OC 相离，则⊙P 与OB 的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.相切D.相交或相切 10、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径是______11、⊙O 的半径为6 cm ，弦AB 的长为6 cm ，以O 为圆心，3 cm 长为半径，与弦AB 有_______个公共 点。

（完整版）直线与圆知识点及经典例题（含答案）圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。

王新敞说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()22D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆 224D E F+-,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零；（2）没有xy 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

圆与直线的位置关系知识点总结及练习例1：设圆C :225x y +=，试判断圆C 和下列直线的相交情形。

(1)1:10L x y -+= (2)2:250L x y --= (3)3:34150L x y +-=。

【练习题】设圆C 和直线L 1、 L 2、 L 3的方程式如下: 试判断它们的相交情形。

C :22(1)8x y ++=，1:3L x y +=-， 2:0L x y +=，3:3L x y +=例2：已知圆C 和直线L 的方程式如下: 22:5C x y +=、:10L x y -+=试问圆C 和直线L 是否相交？若相交, 求出它们的交点。

【练习题】设圆C ：22(1)8x y ++=，直线:3L x y +=，试问圆C 和直线L 是否相交？若相交, 求出它们的交点例3：试就实数k 的范围，讨论直线L :y x k =+ 和圆22:2C x y += 的相交情形。

【练习题】就实数m 的范围讨论直线L :2y mx =+和圆22:1C x y +=的相交情形。

例4：求通过圆x 2＋y 2＝5上一点P (1, 2)的切线方程式。

例5：求通过圆(x -1)2＋(y+2)2＝25上一点P (4, 2)且与圆相切的直线方程式。

【练习题】(1)求通过P (1, -2)且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线方程式。

(2)求通过P (1, 4)且与圆x 2＋y 2-2x +2y -23＝0相切的直线方程式。

例6：设圆C :(x -3)2＋(y -2)2＝8，求通过圆外一点P (-1, 2)且与圆C 相切的直线方程式。

例7：求过点P (5, 15)且与圆C : x 2＋y 2＝25相切的直线方程式。

【练习题】(1)求过(2,4)-P 且与圆2210x y +=相切的直线方程式。

(2)求过(4,3)P 且与圆22(2)4x y -+=相切的直线方程式.例8：有一半径60公尺的圆形碉堡,甲站在碉堡的正北方与碉堡中心距离100公尺的A处,乙从碉堡中心向东走,要走多少公尺才会看到甲？【练习题】有一圆形碉堡,甲站在碉堡的正北方与碉堡中心距离40公尺的A处,乙从碉堡中心向西走,要走30公尺才刚好看到甲,碉堡的半径为多少公尺？。

1.直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系相离相切相交图形方程观点Δ0 Δ0 Δ0 量化几何观点d r d r d r2.圆与圆的位置关系设圆O1,O2的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示: 位置关系外离外切相交内切内含图形数量的关系例1已知直线l:(m2+m+1)x+(3-2m)y-2m2-5=0,圆C:x2+y2-2x=0,则直线l与圆C的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定例2已知直线l过点A(a,0)且斜率为1,若圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则实数a 的值为()A.3√2B.±3√2C.±2D.±√2例3设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为.总结反思判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离d,则用几何法,利用d与半径r的大小关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.例4 已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切例5已知直线y=mx与曲线y=√-x2+8x-12+1有两个交点,则实数m的取值范围为()A.[12,1)B.[12,45)C.(√13-26,12]D.[12,2+√136)例6 “-√2<b<√2”是“圆C:x2+y2=9上有四个不同的点到直线l:y=x-b的距离等于1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件。

圆与直线的位置关系练习题圆与直线是几何学中常见的图形，它们之间的位置关系有着多种情况。

本文将通过一些练习题来深入探讨圆与直线的位置关系，帮助读者更好地理解和运用相关知识。

练习题一：圆内一点到圆的位置关系设有一个圆C，圆心为O，半径为r。

点P在圆C内部，距离圆心O的距离为d。

现在要画一条直线l通过点P，使得直线l与圆C相交于点A、B两个不同的点。

请问，在给定的条件下，直线l与圆C的位置关系有哪些可能性，并给出相应的解释。

解析：根据给定的条件，直线l必然与圆C相交于两个不同的点。

具体的位置关系取决于点P与圆心O之间的距离d与圆的半径r之间的关系。

以下是三种可能的情况：1. d > r：此时，点P与圆心O的距离大于圆的半径，直线l将穿过圆C的内部，与圆C相交于两个不同的点A、B。

2. d = r：此时，点P与圆心O的距离等于圆的半径，直线l刚好与圆C相切于点P。

3. d < r：此时，点P与圆心O的距离小于圆的半径，直线l将不会与圆C相交，即没有解。

练习题二：圆外一点到圆的位置关系现在考虑一个不同的情况，点P位于圆C的外部，距离圆心O的距离为d。

同样地，画一条直线l通过点P，使得直线l与圆C相交于点A、B两个不同的点。

请问，在给定的条件下，直线l与圆C的位置关系有哪些可能性，并给出相应的解释。

解析：与练习题一类似，直线l与圆C的位置关系取决于点P与圆心O之间的距离d与圆的半径r之间的关系。

以下是三种可能的情况：1. d > r：此时，点P与圆心O的距离大于圆的半径，直线l将与圆C相交于两个不同的点A、B。

2. d = r：此时，点P与圆心O的距离等于圆的半径，直线l将切割圆C并与圆相切于点P。

3. d < r：此时，点P与圆心O的距离小于圆的半径，直线l将穿过圆C的外部，无法与圆C相交。

练习题三：圆与平行直线的位置关系给定一条平行于$x$轴的直线$l$，圆C的圆心为O，半径为r。

直线与圆位置关系知识点与经典例题直线与圆位置关系⼀. 课标要求1. 能根据给定直线、圆的⽅程，判断直线与圆的位置关系；2. 能⽤直线和圆的⽅程解决⼀些简单的问题；3. 在平⾯解析⼏何初步的学习过程中，体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想。

⼆. 知识框架〔相切f 代数法'求切线的⽅法J［⼏何法［过圆上⼀点的切线⽅程圆的切线⽅程\' ［过圆外⼀点的切线⽅程｛三. 直线与圆的位置关系及其判定⽅法1. 利⽤圆⼼O （a,b ）到直线Ax + By + C = 0的距离d = P 1 严"+Q 与半径r 的⼤⼩来判ylA 2 + B 2 定。

（1） d 直线与圆相交（2） d = rO 直线与圆相切（3）直线与圆相离2. 联⽴直线与圆的⽅程组成⽅程组，消去其中⼀个未知量，得到关于另外⼀个未知量的⼀元⼆次⽅程，通过解的个数来判定。

（1）有两个公共解（交点），即⼛〉。

直线与圆相交（2）有且仅有⼀个解（交点），也称之为有两个相同实根，即A = 0O 直线与圆相切（3）⽆解（交点），即AvOO 直线与圆相离3. 等价关系相交od 0 相切 <=> J = rOA = 0 相离 Od > rO A <0 练习（位置关系）1.已知动直线l.y = kx+5和圆c ：（x-l ）2 + r = 1,试问R 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？（位置关系）2.已知点在圆OiF + y —l 外，则直线ax+by = 1与圆0的位置关'相离（⼏何法弦长｛直线与圆的位置关系｛相交｛ I 代数法.切割线定理切点弦⽅程直线与圆圆的切线⽅程系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定（最值问题）3.已知实数兀、y 满⾜⽅程x 2 + r-4x+l = 0, （1）求2的最⼈值和最⼩值；x （2）求x-y 的最⼤值和最⼩值；（3）求x 2 + r 的最⼤值和最⼩值。

K 分析』考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题⽬条件将其转化为对应的⼏何问题求解，运⽤数形结合的⽅法，直观的理解。

4.2 直线、圆的位置关系(2)基础知识梳理1. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种①设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，若d ＜r ，直线与圆相交；若r d =，直线与圆相切；若d ＞r ，直线与圆相离。

②直线与圆的方程组成方程组，若方程组有两个解，则直线与圆相交；若只有一个解，则直线与圆相切；若无解，则直线与圆相离.2.判断圆与圆的位置关系有两种方法，一是代数法，两圆的方程组成的方程组若有两解，则两圆相交；若有一解，则两圆相切，但不能判断是内切还是外切；若无解则两圆相离，但不能判断是外离还是内含。

二是设两圆的半径分别为21,r r ，两圆的圆心距为d ，则21r r d +>时，两圆外离；21r r d +=时，两圆外切；2121r r d r r +<<-时，两圆相交；21r r d -=时，两圆内切；21r r d -<时，两圆内含.习题巩固一、选择题1.点2(,5)P m 与圆2224x y +=的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定2.以点(5,4)A -为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A ．22(5)(4)16x y ++-=B ．22(5)(4)16x y -++=C ．22(5)(4)25x y ++-=D ．22(5)(4)25x y -++=3.方程2||11(1)x y -=--所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆4.若圆心坐标为(2,1)-的圆被直线10x y --=截得的弦长为22，则圆的方程为( )A ．22(2)(1)4x y -++=B ．22(2)(1)2x y -++=C ．22(2)(1)8x y -++=D ．22(2)(1)16x y -++=5．两圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4和(x －3)2＋(y ＋6)2＝64的位置关系是( )A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离6．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝08．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( )A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定9．实数x ，y 满足方程x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1210．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．都有可能11．如果实数满足(x ＋2)2＋y 2＝3，则y x的最大值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．33 D ．－3312．一辆卡车宽2．7米，要经过一个半径为4．5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A ．1．4米B ．3．0米C ．3．6米D ．4．5米二、填空题13．两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为________．14．两圆交于A (1,3)及B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋n ＝0上，则m ＋n 的值为________．15．两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为____________．16．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．17.两圆222x y +=与22240x y x y +--=的公共弦所在直线方程为____________．18.两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的公切线有 条.19.若直线340x y k ++=与圆22650x y x +-+=相切，则k =____________．三、解答题20．求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．21．点M 在圆心为C 1的方程x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上，点N 在圆心为C 2的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0上，求|MN |的最大值．22．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．。