第二章 线性规划
本章, 我们介绍三种解决线性规划问题的软件:
第一种: MATLAB 软件中的optimization toolbox 中的若干程序; 第二种: LINDO 软件; 第三种: LINGO 软件.
1. MATLAB 程序说明
程序名: lprogram 执行实例：
1234123412341241234min -2-3-5s.t.24-623-124,,,0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤++≤++≤≥
在命令窗口的程序执行过程和结果如下：
the program is with the linear programming
Please input the constraints number of the linear programming m=7 m =7
Please input the variant number of the linear programming n=4 n =4 Please input cost array of the objective function c(n)_T=[-2,-1,3,-5]' c = -2 -1 3 -5
Please input the coefficient matrix of the constraints A(m,n)=[1,2,4,-1;2,3,-1,1;
1,0,1,1;-1,0,0,0;0,-1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,-1] A = 1 2 4 -1 2 3 -1 1 1 0 1 1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 Please input the resource array of the program b(m)_T=[6,12,4,0,0,0,0]' b = 6 12
4
Optimization terminated successfully.
The optimization solution of the programming is:
x = 0.0000
2.6667
-0.0000
4.0000
The optimization value of the programming is:
opt_value = -22.6667
注: 红色字表示计算机的输出结果.
程序的相关知识:
Solve a linear programming problem
where f, x, b, beq, lb, and ub are vectors and A and Aeq are matrices.
相关的语法:
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval] = linprog(...)
[x,fval,exitflag] = linprog(...)
[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)
解释:
linprog solves linear programming problems.
x = linprog(f,A,b) solves min f'*x such that A*x <= b.
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) solves the problem above while additionally satisfying the equality constraints Aeq*x = beq. Set A=[] and b=[] if no inequalities exist.
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) defines a set of lower and upper bounds on the design variables, x, so that the solution is always in the range lb <= x <= ub. Set Aeq=[] and beq=[] if no equalities exist.
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) sets the starting point to x0. This option is only available with the medium-scale algorithm (the LargeScale option is set to 'off' using optimset). The default large-scale algorithm and the simplex algorithm ignore any starting point.
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) minimizes with the optimization options specified in the structure options. Use optimset to set these options.
[x,fval] = linprog(...) returns the value of the objective function fun at the solution x: fval = f'*x.
[x,lambda,exitflag] = linprog(...) returns a value exitflag that describes the exit condition.
[x,lambda,exitflag,output] = linprog(...) returns a structure output that contains information about the optimization.
[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...) returns a structure lambda whose fields contain the Lagrange multipliers at the solution x.
2．LINDO 程序说明
程序名：linear 执行实例：
max 1015s.t.1012216,0
x y x y x y x y +<<+<>
在命令窗口键入以下内容：
max 10x+15y ！也可以直接解决min 问题 subject to x<10 y<12 x+2y<16
end ！注释符号; 系统默认为自变量>0, 若不要求用free 命令.
！在出来report windows 之前可选择显示对此规划进行灵敏度分析等
按solve 键, 在reports window 中出现以下内容:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 145.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST X 10.000000 0.000000 Y 3.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 2.500000 3) 9.000000 0.000000 4) 0.000000 7.500000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X 10.000000 INFINITY 2.500000 Y 15.000000 5.000000 15.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 10.000000 6.000000 10.000000 3 12.000000 INFINITY 9.000000 4 16.000000 18.000000 6.000000
3．LINGO 程序说明
3.1 程序名: linearp1（求极小问题） linearp1运行实例:
5
,,1 ,0 12 26 .t .s 215min 532143212
1 =≥=-++=-+-+=j x x x x x x x x x x x z j
在model window 中输入以下语句： min=5*x1+21*x3; x1-x2+6*x3-x4=2; x1+x2+2*x3-x5=1;
按运行按钮在solution report 窗口得到以下结果：
Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 7.750000
Variable Value Reduced Cost X1 0.5000000 0.000000 X3 0.2500000 0.000000 X2 0.000000 0.5000000 X4 0.000000 2.750000 X5 0.000000 2.250000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.750000 -1.000000 2 0.000000 -2.750000 3 0.000000 -2.250000
3.2 程序名: linearp2（求极大问题） linearp2运行实例：
max 100150..2160100120,0
x y s t x y x y x y ++≤≤≤≥
在model window 中输入以下语句：
max=100*x+150*y; ! this is a commnent; x<=100; y<=120;
x+2*y<=160;
按运行按钮在solution report 窗口得到以下结果：
Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 14500.00
Variable Value Reduced Cost
X 100.0000 0.000000 Y 30.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 14500.00 1.000000 2 0.000000 25.00000 3 90.00000 0.000000
4 0.000000 75.00000
第三章 整数线性规划
本章, 我们介绍三种解决整数线性规划问题的软件:
第一种: MATLAB 中的optimization toolbox 中的若干程序; 第二种: LINDO 软件; 第二种: LINGO 软件.
1. MATLAB 程序说明
程序名: intprogram, L01p_e, L01p_ie, transdetobi, biprogram
intprogram 是利用分支定界法解决整数规划问题, 是全部的整数规划问题; L01p_e 是利用枚举法解决0-1规划问题, 变量要求全部为0或者1; L01p_ie 是利用隐枚举法解决0-1规划问题, 变量要求全部为0或者1;
Transdetobi 是枚举法和隐枚举法中利用到的将十进制数转化为二进制数的函数; Biprogram 是MATLAB6.5以上版本中有的求解0-1规划的函数的程序.
intprogram 执行实例1：
12121212max 2010s.t.54242513,0, f x x x x x x x x =++≤+≤≥ 且为整数
在命令窗口的程序执行过程和结果如下: >> c=[-20,-10]; %将最大转化为最小;
>> a=[5,4;2,5]; >> b=[24;13];
>> [x,f]=intprogram(c,a,b,[0;0],[inf;inf],[],0,0.0001) % c,a,b 之后
[0;0] is the value of low bound;[inf;inf] is the value of up bound;[] is the initialization;0 is the number of the equation constraints; 0.0001 is the concise rate. x =
4.0000 1.0000 f = -90
intprogram 执行实例2: 书中例题3.3.1
在命令窗口的程序执行过程和结果如下:
>> c=[-1,-1];
>> a=[-4,2;4,2;0,-2]; >> b=[-1;11;-1];
>> [x,f]=intprogram(c,a,b,[0;0],[inf;inf],[],0,0.0001) x =
2 2 1 1 f = -3
L01p_e 和L01p_ie 执行实例:
1231231231223123max 325s.t.22 443 46,,01
f x x x x x x x x x x x x x x x x =-++-≤++≤+≤+≤= － 或
在命令窗口的程序执行过程和结果如下: >> c=[3,-2,5]; %将最大转化为最小; >> a=[1,2,-1;1,4,1;1,1,0;0,4,1]; >> b=[2;4;3;6];
>> x1=L01p_e(c,a,b);x2=L01p_ie(c,a,b); %x1表示利用枚举法解决0-1规划问题，x2表示用隐% 枚举法解决问题, 结果是一样的 >> x1 x1 =
1 0 >> x2
x2 = 0 1 0
biprogram 执行实例:
12341234341324min ()9564s.t.63529 10 0
f x x x x x x x x x x x x x x x =---+++≤+≤+≤-+≤ － -
在命令窗口的程序执行过程和结果如下：
the program is with the binary linear programming
Please input the constraints number of the programming m=4 m = 4
Please input the variant number of the programming n=4 n = 4
Please input cost array of the objective function c(n)_T=[-9,-5,-6,-4]' c = -9 -5 -6 -4
Please input the coefficient matrix of the constraints A(m,n)=[6,3,5,2;0,0,1,1; -1,0,1,0;0,-1,0,1]
6 3 5 2
0 0 1 1
-1 0 1 0
0 -1 0 1
Please input the resource array of the program b(m)_T=[9,1,0,0]'
b =
9
1
Optimization terminated successfully.
x =
1
1
程序的相关知识:
Solve binary integer programming problems of the form
where f, b, and beq are vectors, A and Aeq are matrices, and the solution x is required to be a binary integer vector -- that is, its entries can only take on the values 0 or 1.
语法如下:
x = bintprog(f)
x = bintprog(f, A, b)
x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq)
x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq, x0)
x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq, x0, options)
[x, fval] = bintprog(...)
[x,fval, exitflag] = bintprog(...)
[x, fval, exitflag, output] = bintprog(...)
解释:
x = bintprog(f) solves the binary integer programming problem
x = bintprog(f, A, b) solves the binary integer programming problem
x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq) solves the preceding problem with the
additional equality constraint.
x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq, x0) sets the starting point for the algorithm to x0. If x0 is not in the feasible region, bintprog uses the default initial point. x = bintprog(f, A, b, Aeq, Beq, x0, options) minimizes with the default optimization options replaced by values in the structure options, which you can create using the function optimset.
[x, fval] = bintprog(...) returns fval, the value of the objective function at x.
[x,fval, exitflag] = bintprog(...) returns exitflag that describes the exit condition of bintprog. See Output Arguments. [x, fval, exitflag, output] = bintprog(...) returns a structure output that contains information about the optimization. See Output Arguments.
2．LINDO 程序说明
LINDO 也提供了解决全整数规划、混合整数规划以及0-1规划的方法.
2.1 解决全整数规划问题 程序名: intlpall intlpall 执行实例:
min 1110s.t.212 31 ,0, x y x y x y x y ++<->> 且为整数
在命令窗口键入以下内容:
max 11x+10y
st
2x+y<12
x-3y>1
end
gin x ! the general integer statement – GIN 将变量约束为整数
gin y ! the general integer statement – GIN 将变量约束为整数
按solve键在reports window出现:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7
OBJECTIVE VALUE = 72.4285736
NEW INTEGER SOLUTION OF 66.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT 12
BOUND ON OPTIMUM: 66.00000
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 12
LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND
RE-INSTALLING BEST SOLUTION...
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 66.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X 6.000000 -11.000000
Y 0.000000 -10.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 5.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 12
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0]
2.2 解决混合整数规划问题： 程序名：intlpsec intlpsec 执行实例：
min 1110s.t.212 31 ,0, x y x y x y x y x ++<->> 且为整数
在命令窗口键入以下内容: max 11x+10y
st
2x+y<12 x-3y>1 end
gin x ！only the general integer statement – GIN 只将变量x 约束为整数
按solve 键在reports windows 中出现以下内容:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE VALUE = 72.4285736
SET X TO >= 6 AT 1, BND= 66.00 TWIN= 68.33 16
NEW INTEGER SOLUTION OF 66.0000000 AT BRANCH 1 PIVOT 16
BOUND ON OPTIMUM: 68.33334
FLIP X TO <= 5 AT 1 WITH BND= 68.333336
NEW INTEGER SOLUTION OF 68.3333359 AT BRANCH 1 PIVOT 16
BOUND ON OPTIMUM: 68.33334 DELETE X AT LEVEL 1
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 1 PIVOTS= 16
LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 68.33334
VARIABLE VALUE REDUCED COST X 5.000000 -14.333333 Y 1.333333 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.666667 0.000000 3) 0.000000 -3.333333
NO. ITERATIONS= 17
BRANCHES= 1 DETERM.= 1.000E 0
2.3 解决0-1整数规划问题： 程序名：intlp01 intlp01执行实例：
max 1002012s.t.100 11
7
,0 01
x y z y x y z z y z x -++-<+<<>= 或 在命令窗口键入以下内容: max -100x+20y+12z
st
y-10x<0 y+z<11 z<7 end
int x ！约束x 为0-1变量
按solve 键在reports windows 中出现以下内容:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 124.000000
SET X TO >= 1 AT 1, BND= 112.0 TWIN= 84.00 9
NEW INTEGER SOLUTION OF 112.000000 AT BRANCH 1 PIVOT 9
BOUND ON OPTIMUM: 112.0000
DELETE X AT LEVEL 1
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 1 PIVOTS= 9
LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 112.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST X 1.000000 20.000000 Y 10.000000 0.000000 Z 1.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 8.000000 3) 0.000000 12.000000 4) 6.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 10
BRANCHES= 1 DETERM.= 1.000E 0
3. LINGO 程序说明
除了特别说明, LINGO 默认变量是非负的以及连续的, 但是可用以下命令使得变量满足要求:
@GIN restricts a variable to being an integer value, @BIN makes a variable binary (i.e., 0 or 1),
@FREE allows a variable to assume any real value, positive or negative @BND limits a variable to fall within a finite range 等.
程序名: intlp (该程序主要是解决整数线性规划问题的, 用上述命令赋予变量属性.) intlp 执行实例:
max 100150s.t.2160 100 120
,0, x y x y x y x y ++<≤≤> 且为整数
在模型命令窗口键入以下内容: max =100*x+150*y;
x<=100; y<=120;
x+2*y<=160;
@gin (x);@gin (y);！若要只限制x,只要限制x 即可.
按运行按钮在solution report 窗口得到以下结果:
Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 14500.00
Variable Value Reduced Cost X 100.0000 -100.0000 Y 30.00000 -150.0000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 14500.00 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 90.00000 0.000000 4 0.000000 0.000000
程序名: bilp bilp 的执行实例:
1231231231223123max 325..2244346,,01
f x x x s t x x x x x x x x x x x x x or =-+-+-≤++≤+≤+≤=
在模型命令窗口键入以下内容: max =-3*x1+2*x2+5*x3;
x1+2*x2-x3<=2; x1+4*x2+x3<=4; x1+x2<=3; 4*x2+x3<=6;
@bin (x1);@bin (x2);@bin (x3);
按运行按钮在solution report 窗口得到以下结果:
Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 5.000000
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 3.000000 X2 0.000000 -2.000000 X3 1.000000 -5.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 5.000000 1.000000 2 3.000000 0.000000 3 3.000000 0.000000 4 3.000000 0.000000 5 5.000000 0.000000
第四章 非线性规划
本章, 我们介绍两种解决非线性规划问题的软件:
第一种: MATLAB 中的optimization toolbox 中的若干程序; 第二种: LINGO 软件.
1．MATLAB 程序说明
1.1 无约束问题
程序名: unpfun1函数, unpfun2函数 unpfun1 实例:
Minimize the function 22
1122()32f x x x x x =++
在命令窗口输入以下信息:
>> x0=[1,1]; % Then call fminunc to find a minimum of unpfun1 near [1,1]
>> [x,fval]=fminunc(@unpfun1,x0)
输出以下信息:
Optimization terminated successfully:
Search direction less than 2*options.TolX x =
1.0e-008 *
-0.7591 0.2665
fval =
1.3953e-016
unpfun2实例：将上述的实例用梯度法做
在命令窗口输入以下信息:
>> options = optimset('GradObj','on'); % To minimize this function with the gradient provided
>> x0 = [1,1];
>> [x,fval] = fminunc(@unpfun2,x0,options)
输出以下信息:
Optimization terminated successfully:
First-order optimality less than OPTIONS.TolFun, and no negative/zero curvature detected
x =
1.0e-015 *
0.1110 -0.8882
fval =
6.2862e-031
程序的相关知识：
第一种: fminsearch
Find a minimum of an unconstrained multivariable function
where x is a vector and f(x) is a function that returns a scalar.
语法如下:
x = fminsearch(fun,x0)
x = fminsearch(fun,x0,options)
[x,fval] = fminsearch(...)
[x,fval,exitflag] = fminsearch(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(...)
解释:
fminsearch attempts to find a minimum of a scalar function of several variables, starting at an initial estimate. This is generally referred to as unconstrained nonlinear optimization.
x = fminsearch(fun,x0) starts at the point x0 and attempts to find a local minimum x of the function described in fun. fun is a function
handle for either an M-file function or an anonymous function. x0 can be a scalar, vector, or matrix.
x = fminsearch(fun,x0,options) minimizes with the optimization options specified in the structure options. Use optimset to set these options.
[x,fval] = fminsearch(...) returns in fval the value of the objective function fun at the solution x.
[x,fval,exitflag] = fminsearch(...) returns a value exitflag that describes the exit condition of fminsearch.
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(...) returns a structure output that contains information about the optimization.
Avoiding Global Variables via Anonymous and Nested Functions explains how to parameterize the objective function fun, if necessary.
第二种: fminunc
Find a minimum of an unconstrained multivariable function
where x is a vector and f(x) is a function that returns a scalar.
语法如下：
x = fminunc(fun,x0)
x = fminunc(fun,x0,options)
[x,fval] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(...)
解释：
fminunc attempts to find a minimum of a scalar function of several variables, starting at an initial estimate. This is generally referred to as unconstrained nonlinear optimization.
x = fminunc(fun,x0) starts at the point x0 and attempts to find a local minimum x of the function described in fun. x0 can be a scalar, vector, or matrix.
x = fminunc(fun,x0,options) minimizes with the optimization options specified in the structure options. Use optimset to set these options.
[x,fval] = fminunc(...) returns in fval the value of the objective function fun at the solution x.
[x,fval,exitflag] = fminunc(...) returns a value exitflag that describes the exit condition.
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(...) returns a structure output that contains information about the optimization.
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...) returns in grad the value of the gradient of fun at the solution x.
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(...) returns in hessian the value of the Hessian of the objective function fun at the solution x. See Hessian.
Avoiding Global Variables via Anonymous and Nested Functions explains how to parameterize the objective function fun, if necessary.
1.2 有约束的非线性规划 程序名: cnpfun 函数 cnfun 实例:
123
123min s.t.02272
f x x x x x x =-≤++≤
在命令窗口输入以下信息:
>> A=[-1,-2,-2;1,2,2]; >> b=[0;72];
>> x0 = [10; 10; 10]; % Starting guess at the solution >> [x,fval] = fmincon(@cnpfun,x0,A,b)
输出以下信息:
Optimization terminated successfully:
Magnitude of directional derivative in search direction
less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 2 x =
24.0000
12.0000
12.0000
fval =
-3456
程序的相关知识:
Find a minimum of a constrained nonlinear multivariable function
?subject to
?
where x, b, beq, lb,and ub are vectors, A and Aeq are matrices, c(x) and ceq(x)are functions that return vectors, and f(x)is a function that returns a scalar. f(x), c(x), and ceq(x) can be nonlinear functions.
语法如下：
x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...)
解释：
fmincon attempts to find a constrained minimum of a scalar function of several variables starting at an initial estimate. This is generally referred to as constrained nonlinear optimization or nonlinear programming.
x = fmincon(fun,x0,A,b) starts at x0 and attempts to find a minimum x to the function described in fun subject to the linear inequalities A*x <= b. x0 can be a scalar, vector, or matrix.
第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= + ∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥ 0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
^ 高等教育《运筹学》模拟试题及答案 一、名词解释 运筹学：运筹学主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案。为决策者提供科学的决策依据 线性规划：一般地，如果我们要求出一组变量的值，使之满足一组约束条件，这组约束条件只含有线性不等式或线性方程，同时这组变量的值使某个线性的目标函数取得最优值（最大值或最小值）。这样的数学问题就是线性规划问题 可行解：在线性规划问题的一般模型中，满足约束条件的一组 12,,.........n x x x 值称为此线性规 划问题的可行解， 最优解：在线性规划问题的一般模型中，使目标函数f 达到最优值的可行解称为线性规划问题的最优解。 运输问题：将一批物资从若干仓库（简称为发点）运往若干目的地（简称为收点），通过组织运输，使花费的费用最少，这类问题就是运输问题 闭回路：如果在某一平衡表上已求得一个调运方案，从一个空格出发，沿水平方向或垂直方向前进，遇到某个适当的填有调运量的格子就转向前进。如此继续下去，经过若干次，就一定能回到原来出发的空格。这样就形成了一个由水平线段和垂直线段所组成的封闭折线，我们称之为闭回路 二、单项选择 1、最早运用运筹学理论的是（ A ） A 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 2、下列哪些不是运筹学的研究范围（ D ） A 质量控制 B 动态规划 C 排队论 D 系统设计 3、对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ） A 线性规划问题可能没有可行解 B 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域 C 线性规划问题如果有最优解，则最优解可以在可行解区域的顶点上到达 D 上述说法都正确 4、下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（ C ） A 所有的变量必须是非负的 B 所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式 C 添加新变量时，可以不考虑变量的正负性 D 求目标函数的最小值 5、在求解运输问题的过程中运用到下列哪些方法（ D ） A 西北角法 B 位势法 C 闭回路法 D 以上都是
《运筹学》模拟试题及参考答案 一、判断题(在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“√”，错误者写“×”。) 1. 图解法提供了求解线性规划问题的通用方法。( ) 2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j ≥0，则问题达到最优。( ) 3. 在单纯形表中，基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。( ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为基本可行解。( ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非基变量的个数是固定的。( ) 6. 对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。( ) 7. 原问题与对偶问题是一一对应的。( ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数一定遵循m＋n－1的规则。( ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。( ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( ) 11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( ) 12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往不相等。( ) 13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。( ) 14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是一致的。( ) 15. 动态规划中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。 ( ) 三、填空题 1. 图的组成要素；。 2. 求最小树的方法有、。 3. 线性规划解的情形有、、、。 4. 求解指派问题的方法是。 5. 按决策环境分类，将决策问题分为、、。 6. 树连通，但不存在。 1
(一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？ 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1 +x 2 与 约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
最全的运筹学复习题及 答案78213
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的 钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相 当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
参考书 1.《运筹学》（科学版精品课程立体化教材·管理学系列）(第2版)，张伯生等编著，科学出版社，2012年； 2.《数据、模型与决策》(第13版)，戴维·R·安德森/丹尼斯·J·斯威尼编著，于淼译，机械出版社，2012年； 3、《运筹学》（新体系经济管理系列教材），李成标，刘新卫主编，清华大学出版社，2012年； 4．《运筹学——优化模型与算法》，（美）拉丁（Rardin，R.L.) 著，电子工业出版社，2007年 5.《Introduction to Operations Research》（第6 版）（外原版经典教材）， F. S. Hillier and G. J. Lieberman 著，McGraw-Hill 出版社； 6. 《运筹学》，党耀国，李帮义等编著，科学出版社，2009年； 7. 《物流运筹学》，刘蓉主编，电子工业出版社，2012年； 8. 《运筹学导论》（第9版）（美国麦格劳-希尔教育出版公司工商管理最新教材（英文版）），（美）希利尔，（美）利伯曼著，清华大学出版社，2010年； 9. 《运筹学》（第4版）（面向21世纪课程教材（信息管理与信息系统专业教材系列），《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社，2012年； 10.《运筹学：应用与解决方法》（第4版）（美国商学院原版教材精选系列），（美）温斯顿著，清华大学出版社，2011年； 11.《管理运筹学》（高等学校经济与工商管理系列教材），茹少峰，申卯兴编著，清华大学出版社，2008年； 12.《运筹学》（第3版），刁在筠等编，高等教育出版社，2007年；
13.《实用运筹学：模型、方法与计算》，韩中庚主编，清华大学出版社，2007年； 14.《运筹学》（现代信息管理与信息系统系列教材），李红艳，范君晖主编，清华大学出版社，2012 年； 15.《管理运筹学：管理科学方法》（21世纪管理科学与工程系列教材），谢家平著，中国人民大学出版社，2010年； 16.《运筹学与实验》，薛毅，耿美英编著，电子工业出版社，2008年； 17.《实用运筹学——上机实验指导及习题解答》，叶向编，中国人民大学出版社，2007年； 18.《应用运筹学》（第二版），曹勇，周晓光，李宗元编著，经济管理出版社，2008年； 19.《运筹学导论》（第8版），（美）希利尔（Hillier,F.S.），（美）利伯曼（Lieberman,G.J.）著，胡运权等译，清华大学出版社，2007年； 20.《经济管理运筹学习题集》，王玉梅，孙在东，张志耀编著，中国标准出版社，2012年； 21.《运筹学习题集》(第4版),胡运权主编，清华大学出版社，2010年； 22.《运筹学解题指导》，周华任主编，清华大学出版社，2006年； 23.《运筹学概率模型应用范例与解法》（第4版），（美）温斯顿（Winston，W.L.）著，李乃文等译，清华大学出版社，2006年； 24.《运筹学学习辅导与习题解析》(第3版)，戎晓霞，宿洁，刘桂真编，高等教育出版社，2009年； 25.《管理运筹学习题集》(普通高等学校管理科学与工程类学科核心课程教材辅
清华第三版 运筹学 答案[键入文字] [键入文字] [键入文字] 运筹学教程 1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg 维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1所示。 表1 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。 解：设总费用为Z 。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。i x 表示满足动物生长的营养需要时，第i 种饲料所需的数量。则有： ????? ? ?=≥≥++++≥++++≥++++++++=5,4,3,2,1,01008.022.05.0305.022.05.07008623..8.03.04.07.02.0min 54321543215432154321i x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z i 2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班 开始时间向病房报道，试决定： （1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要； （2） 若除22:00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其他班次护士由医院 排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。 表2
6 2:00～6:00 30 解：（1）设x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6 ???????????=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=且为整数 6,5,4,3,2,1,030 2050607060..min 655443 322161 654321i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x Z i 解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4。 ??? ????? ?? ??? ??=≥=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++++++=4 ,3,2,1,1002 1502 16021702 ,160..30 min i 444342414444433422411434 33323133 443333223113242322212244233222211214131211114413312211114321j i y x y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y t s x x x x Z ij 变量，—是，，，第四班约束，，第三班约束，，第二班约束，第一班约束 3. 要在长度为l 的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n 种，分别为j a （j=1,2，…n ）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。 解：设i x 表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n 。
《运筹学》习题答案 一、单选题 1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络 2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理 C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量 3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段 C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C A.降低的 B.不增不减的 C.增加的 D.难以估计的 6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远 B.较远 C.最近 D.较近 7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D A.结点不占用时间也不消耗资源 B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始 C.箭线代表活动 D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间 8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。D A.最短路线—定通过A点 B.最短路线一定通过B点 C.最短路线一定通过C点 D.不能判断最短路线通过哪一点 10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈 B.存在两个圈 C.存在三个圈 D.不含圈 11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C A.大于 B.小于 C.等于 D.不一定等于
运筹学(胡运权)第五版课后答案-运筹作业
47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解 1 2 3 4 5 4 3 2 1 - 1 -6 -5 -4 -3 -2 X2 X1 2x1- -2x1+3x 1 2 3 4 4 3 2 1 X1 2x1+x2=2 3x1+4x2= X
1.2（b） 约束方程的系数矩阵A= 1 2 3 4 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 基 基解 是否可行解目标函数值X1 X2 X3 X4 P1 P2 -4 11/2 0 0 否 P1 P3 2/5 0 11/5 0 是43/5 P1 P4 -1/3 0 0 11/6 否 P2 P3 0 1/2 2 0 是 5 P2 P4 0 -1/2 0 2 否 P3 P4 0 0 1 1 是 5 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x1 3 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为： ( )
用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
答案课后习题运筹学基础] [2002年版新教材 P5 导论第一章区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。、1.——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定性（如果或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析定量——对需要解决的问题没有经验时；用计量过时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，涉及到大量的金钱或复杂的变量组）程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。。举例：免了吧。。？、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些2观察待决策问题所处的环境；. 分析和定义待决策的问题；. 拟定模型；. 选择输入资料；. ；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）实施最优解；. ：3、．运筹学定义其目的是通过定量把复杂功能关系表示成数学 模型，利用计划方法和有关许多学科的要求，分析为决策和揭露新问题提供数量根据P25 预测第二章作业 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使. 1、在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，？是否也带有定性的成分使决策者能够做到心中有数。但单靠定量）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，（1答：调查有些因素难以预料。预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，所以还需要定原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，研究也会有相对局限性，）加权移（2性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。 ，试用指数平滑法，取平滑5 个年度的大米销售量的实际值（见下表）2.、某地区积累了4181.96年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为= 0.9，预测第系数α千公斤） 年度 1 2 3 4 5 大米销售量实际值 （千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。 答： F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1 F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9
《物流运筹学》教案 课程名称：物流运筹学 适用专业：物流管理 规定学时：32学时，2学分 开课学期：三年级上学期 任课教师：王金红 《物流运筹学》教案 一、课程说明 《物流运筹学》运筹学是经管类专业本、专科生的主干课、学位课。通过本书学习要求学生掌握线性规划、整数规划、目标规划、图与网络分析、动态规划、存储论、排队论、决策论、博弈论的基本理论及方法，通过案例分析，要求学生学会建模的方法，能用各类模型的建立解决在经济管理中出现的各类问题。 二、教学内容 《物流运筹学》是物流管理专业的专业方向课程，教材涵盖了线性规划、整数规划、目标规划、图与网络分析、动态规划、存储论、排队论、决策论、博弈论的基本理论及方法，讨论了目标规划、图与网络分析在物流中的主要应用领域，探讨了利用线性规划、整数规划、目标规划、图与网络分析、动态规划、存储论、排队论、决策论、博弈论的基本理论及方法解决物流活动中的问题，并对物流运输路线安排、物资调配等专题进行了剖析。 三、本课程的教案主要包括下列教学活动形式
1、本章的教学目标及基本要求 2、本章各节教学内容 3、教学重点与难点 4、本章教学内容的深化和拓宽 5、本章教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题 6、本章的主要参考书目 7、本章的思考题和习题 8、教学进程 四、课程教学的基本要求 本课程的教学环节包括：课堂讲授、习题课、课外作业。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的学习能力、分析问题解决问题的能力。 （一）课堂讲授 主要教学方法：主要采用教师课堂讲授为主，增加讨论课和习题课，调动学生学习的主观能动性。 （二）习题 习题是本课程的重要教学环节，通过习题巩固讲授过的基本理论知识，培养学生自学能力和分析问题解决问题的能力。 习题课：安排每章后。
《运筹学》试题（答案） 一、单项选择题。下列每题给出的四个答案中只有一个是正确的，将表示正确答案的字母填入题后的括号中。（20分） 1．对一个极大化的线性规划问题用单纯形法求解，若对所有的检验数0 ≤j σ，但对某个 非基变量j x ，有0 =j σ，则该线性规划问题（ B ） A ．有唯一的最优解； B ．有无穷多个最优解； C ．为无界解； D ．无可行解。 2．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数0 ≤j σ，在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（ D ） A ．有唯一的最优解； B ．有无穷多个最优解； C ．为无界解； D ．无可行解。 3．在对偶问题中，若原问题与对偶问题均具有可行解，则（ A ） A ．两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等； B ．两者均具有最优解，原问题最优解的目标函数值小于对偶问题最优解的目标函数值； C ．若原问题有无界解，则对偶问题无最优解； D ．若原问题有无穷多个最优解，则对偶问题只有唯一最优解； 4．在用对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（ D ） A ．b 列元素不小于零； B ．检验数都大于零； C ．检验数都不小于零； D ．检验数都不大于零。 5．在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么解中非零变量的个数（ A ）。 A ．不能大于(m +n -1)；B ．不能小于(m +n -1)；C ．等于(m +n -1)；D ．不确定。 6．在运输问题中，每次迭代时，如果有某非基变量的检验数等于零，则该运输问题（ B ）。 A ．无最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．有唯一最优解；D ．出现退化解。 7．在目标规划中，求解的基本原则是首先满足高级别的目标，但当高级别目标不能满足时（ D ）。 A ．其后的所有低级别目标一定不能被满足； B ．其后的所有低级别目标一定能被满足； C ．其后的某些低级别目标一定不能被满足； D ．其后的某些低级别目标有可能被满足。 8．若一个指派问题的系数矩阵的某行各元素都加上常数k 得到一个新的矩阵，这一新矩阵对应着一个新的指派问题，则（ A ）。 A ．新问题与原问题有相同的最优解； B ．新问题最优目标值大于原问题最优目标函数值； C ．新问题最优解等于原问题最优解加上k ； D ．新问题最优解小于原问题最优解。 9．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值，则相应的偏离变量应满足（ B ）。 A ．0>+d ； B ．0=+d ； C ．0=-d ； D ． .0,0>>+-d d 10．动态规划问题中最优策略具有性质：（ C ） A ．每个阶段的决策都是最优的； B ．当前阶段以前的各阶段决策是最优的； C ．无论初始状态与初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应
47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解
1.2（b） 约束方程的系数矩阵 A= 1 2 3 4 ( ) 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为：
用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 118400.0 VARIABLE VALUE REDUCED COST Z 0.000000 1.000000 X11 3.000000 0.000000
X21 0.000000 2800.000000 X31 8.000000 0.000000 X41 0.000000 1100.000000 X12 0.000000 1700.000000 X22 0.000000 1700.000000 X32 0.000000 0.000000 X13 0.000000 400.000000 X23 0.000000 1500.000000 X14 12.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -2800.000000 3) 2.000000 0.000000 4) 0.000000 -2800.000000 5) 0.000000 -1700.000000 NO. ITERATIONS= 3 答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米，
5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x i 或x ij 的 值（i =1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数 第二章线性规划的基本概念 一、填空题 1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。 5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。 7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。 11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。 14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。 15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。 17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量X j 为自由变量，则应引进两个非负变量X j ′,X j 〞,同时令X j ＝ X j ′－X j 。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑c ij x ij 。 21..(2.1 P5))线性规划一般表达式中，a ij 表示该元素位置在i行j列。 二、单选题 1．如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m 《运筹学教程》第三章习题答案 1.影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。它是一种边际价格， 其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下，资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。又称效率价格。 影子价格是指社会处于某种最优状态下，能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格，是社会对货物真实价值的度量。 只有在完善的市场条件下才会出现，然而这种完善的市场条件是不存在的，因此现成的影子价格也是不存在的。市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格，是由供求关系决定的。 2.证明：当原问题约束条件右端变为b i′时， 原问题变为： maxz=∑C i X j s.t. ∑a ij X i≤b i′(i=1,2,3,……,m) X j≥0 (j=1,2,3,……,n) 对偶问题为： minp=∑b i′y i s.t. ∑a ij y i≥C i y i≥0 (i=1,2,3,……,m) (j=1,2,3,……,n) 设，当b i变为b i′原问题有最优解（X1′X2′X3′……X n-1′X n′）时，对偶问题的最优解为（y1′y2′y3′……y n-1′y n′）,则有： 又因为当原问题有最优解时，对偶问题也有最优解，且相等，则有： 所以 3（1）.minp=6y1 + 2y2 s.t. -y1+2y2≥-3 3y1+3y2≥4 y1,y2≥0 (2)解：令X2=X2′-X2〞，X4= X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0 ，原式化为： maxz=2X1 +2X2′-2X2〞-5X3 +2X4′-2X4〞 s.t. 2X1 -X2′+X2〞+3X3 +3X4′-3X4〞≤-5 -2X1 +X2′-X2〞-3X3 -3X4′+3X4〞≤5 -6X1 -5X2′+5X2〞+X3 -5X4′+5X4〞≤-6 10X1 -9X2′+9X2〞+6X3 +4X4′-4X4〞≤12 X1, X2′，X2〞，X3, X4′，X4〞≥0 则对偶规划为：. minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3 s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2 -y1′+y1〞-5y2 -9y3≥2 y1′-y1〞+5y2 + 9y3≥-2 3y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-5 3y1′-3y1〞-5y2 + 4y3≥2 -3y1′+3y1〞+5y2 -4y3≥-2 即： minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3 47页 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页 无界解 （b） 约束方程的系数矩阵 A= 1 2 3 4 () 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13 +6000x23+7300x14 . x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为： 用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Z X11 X21 X31 X41 X12 X22 X32 X13 X23 X14 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) 5) NO. ITERATIONS= 3 答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米， 50页14题 设a1，a2，a3, a4, a5分别为在A1, A2, B1, B2, B3加工的Ⅰ产品数量，b1，b2，b3分别为在A1, A2, B1加工的Ⅱ产品数量，c1为在A2，B2上加工的Ⅲ产品数量。则目标函数为‘ maxz= a1+a2+a3)+( b3+( (a1+b1)- (a2+b2+c1)- (a3+b3)(a4+c1)-0.05a5 =0. 95a1+0. 97a2+0. 94a3++2.1c-0.11a-0.05a . 5a1+10b1≤6000 7a2+b2+12c1≤10000 运筹学[胡运权]第五版课后 答案,运筹作业 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解 1.2（b） 约束方程的系数矩阵 A= 1 2 3 4 ( ) 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为： 用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 118400.0 VARIABLE VALUE REDUCED COST Z 0.000000 1.000000 X11 3.000000 0.000000 X21 0.000000 2800.000000 X31 8.000000 0.000000 X41 0.000000 1100.000000 X12 0.000000 1700.000000 X22 0.000000 1700.000000 X32 0.000000 0.000000 X13 0.000000 400.000000 X23 0.000000 1500.000000 X14 12.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -2800.000000 3) 2.000000 0.000000 4) 0.000000 -2800.000000 5) 0.000000 -1700.000000 NO. ITERATIONS= 3 答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米， 《运筹学》第五章习题 1．思考题 （1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。（2）动态规划的阶段如何划分？ （3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。 （4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。 （5）试述建立动态规划模型的基本方法。 （6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。 2．判断下列说法是否正确 （1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。 （2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。 （3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。 （4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。 （5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。 （6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加 而引起的。 3．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题 4．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题 5．计算从A 到B、C、D 的最短路线。已知各线段的长度如下图所示。 6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各 城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？ 7．用动态规划求解下列各题 （1）．2 22211295m a x x x x x z -+-=； ?? ?≥≤+0,52 121x x x x ； （2）． 3 3 221m a x x x x z = ?? ?≥≤++0,,6321 321x x x x x x ； 8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过 10千克。物品重量及其价值等数据见下表。试问每种物品装多少件，使整个 背包的价值最大？ 913 千克。物品重量及其价值的关系如表所示。试问如何装这些物品，使整个背包 价值最大？ 10 量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？ 30 30 运筹学教程 1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg 维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1所示。 表1 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。 解：设总费用为Z 。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。i x 表示满足动物生长的营养需要时，第i 种饲料所需的数量。则有： ?????? ?=≥≥++++≥++++≥++++++++=5 ,4,3,2,1,01008.022.05.0305.022.05.07008623..8.03.04.07.02.0min 54321543215432154321i x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z i 2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班开始时间向病房报道，试决定： （1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要； （2） 若除22:00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其他班次护士由医院 排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。 表2 解：（1）设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6 ? ????? ??? ??=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=且为整数 6,5,4,3,2,1,03020 5060 7060 ..min 655 4 43322161654321i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x Z i 解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4。 ??? ????? ????? ??=≥=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++++++=4 ,3,2,1,10021502 1602 1702 ,160..30 min i 444342414444433422411434 33323133 44333322311324232221224 423322221 1214131211114413312211114321j i y x y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y t s x x x x Z ij 变量，—是，，，第四班约束，，第三班约束，，第二班约束 ，第一班约束 3. 要在长度为l 的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n 种，分别为j a （j=1,2，…n ）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。 解：设i x 表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n 。《运筹学教程》第三章习题答案
运筹学[胡运权]第五版课后答案,运筹作业
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《运筹学》 第五章习题及 答案
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