一、 知识梳理
1.因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式→几个整式的积
例：111()333ax bx x a b +=
+
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：
（1）提公因式法：
①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
?????
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂
例：33323422
1286a b c a b c a b c -+的公因式是 ．
解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约
数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232
a b c .
②提公因式的步骤
第一步：找出公因式；
第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是
提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项
有负号的，要先提取符号。
例1：把2233121824a b ab a b --分解因式.
解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab ，故公因式为6ab 。
解：2233
121824a b ab a b -- 226(234)ab a b a b =--
例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式
解析：由于4(4)x x -=--，多项式3(4)(4)x x x -+-可以变形为3(4)(4)x x x ---,我
们可以发现多项式各项都含有公因式（4x -）,所以我们可以提取公因式（4x -）后,再将多项式写成积的形式.
解：3(4)(4)x x x -+-
=3(4)(4)x x x ---
=(3)(4)x x --
例3：把多项式2
2x x -+分解因式
解：22x x -+=2(2)(2)x x x x --=-- （2）运用公式法
定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
22222
33223322.()()
.2().()().()()
a a
b a b a b b ab b a b
c a b a b a ab b
d a b a b a ab b -=+-±+=±+=+-+-=-++逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a 逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展）
注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若
多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
例1：因式分解21449a a -+
解：21449a a -+=2
(7)a -
例2：因式分解222()()a a b c b c ++++
解：222()()a a b c b c ++++=2()a b c ++
（3）分组分解法（拓展）
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；
例：把多项式1ab a b -+-分解因式
解：1ab a b -+-=()(1)ab a b -+-=(1)(1)(1)(1)a b b a b -+-=+-
②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.
例：将多项式2221a ab b --+因式分解
解：22
21a ab b --+
=222(2)1()1(1)(1)a ab b a b a b a b -+-=--=-+--
（4）十字相乘法（形如2()()()x p q x pq x p x q +++=++形式的多项式，可以考虑运用此种方法）
方法：常数项拆成两个因数p q 和，这两数的和p q +为一次项系数
2()x p q x pq +++
2()()()x p q x pq x p x q +++=++
例：分解因式230x x -- 分解因式2
52100x x ++
补充点详解 补充点详解
我们可以将-30分解成p ×q 的形式， 我们可以将100分解成p ×q 的形式， 使p+q=-1, p ×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p ×q=100,我们就有p=2, q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。
所以将多项式2()x p q x pq +++可以分 所以将多项式2()x p q x pq +++可以分
解为()()x p x q ++
解为()()x p x q ++ x 5
x 2
x -6 x 50
230x x --(6)(5)x x =-+
252100x x ++(50)(2)x x =++
3.因式分解的一般步骤： 如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，
若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
二、 例题解析
提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.
确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.
【例 1】 分解因式：
⑴()()2121510n n
a a
b ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)
【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.
【例 2】 先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12
y =． 【巩固】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23
x =-. 【例 3】 已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333
a a
b
c b c a b c b c a --+-+++-的值. 【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.
公式法
平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.
完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+
2222()a ab b a b -+=-
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++
33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-
电梯常用计算简介
1曳引电动机客容量校核：
)(102 v K)(1 Q kW N η
-= 式中：
N —电动机功率（kW ）； K —电梯平衡系数；
Q —额定载重量（kg ）； V —额定速度（m/s ）；．
η—机械传动总效率；
（教材（3-6）的V 应该为曳引轮节经线速度，或把公式中的 i 去掉，否则计算会出错） 根据功率的定义和换算关系，
102k g f .m /s =1k W
102?101.972?1000kgf/g n (重力加速度)
102
v K)(1 Q - 电梯满载上升工作时理论功率 电机的功率应折算电梯机械传动总效率η，对蜗轮蜗杆曳引机电梯η=0.5-0.65, 对无齿轮曳引机电梯η=0.8-0.85,
η
102 v K)(1 Q - 电机的功率 例
设电梯额定载重量Q=2000kg ，额定速度v=0.5m/s,钢丝绳曳引比i=2，平衡系数k=0.5，曳引轮直径D=640mm ，盘车手轮直径d=400mm ，减速器减速比为I=32，机械传动总效率η=0.68。请校核曳引电动机功率N ；
解： kW Qv K N 2.768
.01025.02000)5.01(102)1(=???-=-=η
电动机的校核还应包括曳引机过载能力校核、起制动时间验算；电动机热容量验算。
2 曳引机输出扭矩M 1
()Nm n 9500Ni ηΜ1
1=， 式中，N 1—电动机功率；( kW)
1n —电梯额定转速,r/min ；
η一曳引机总效率，由曳引机厂提供；或根据蜗杆头数Z 1及减速箱速比i 来估算，
Z 1=1，η=0.75～0.70； Z 1＝2，η=0.82～0.75； Z 1＝3，η=0.87～0.82；
Z 1=41，η=0.92～0.87。
（i 数值大效率低）