高考数学《常用逻辑用语》解答题专题训练 (21)
1. 命题p ：“方程x 2k?3+y 2k+3=1表示双曲线”(k ∈R)；命题q ：y =log 2(kx 2+kx +1)定义域为R ，若命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数k 的取值范围．
2. 已知p ：|1+x?13|≤2，q ：x 2+2x +1?m 2≤0(m >0)，若?p 是?q 的必要不充分条件，求实
数m 的取值范围．
3. 已知a >0且a ≠1，设p ：函数y =a x 在R 上单调递增，q ：设函数y ={2x ?2a,(x ≥2a)2a,(x <2a)
，函数y ≥1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围．
4. 设命题p ：函数f(x)=x 2?2ax ?1在区间[?1,1]内不单调；命题q ：当x ∈(0,+∞)时，不等式
x 2?ax +1>0恒成立．如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．
5.设命题p：函数f(x)=lg(ax2?x+1
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a)的定义域是R；命题q：不等式3x?9x 数x均成立． (1)如果p是真命题，求实数a的取值范围； (2)如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围． 6.已知p：x2?6x?27≤0，q：|x?1|≤m(m>0)，若q是p的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 7.已知函数f(x)是(?∞,+∞)上的增函数，a，b∈R． (Ⅰ)若a+b≥0，求证：f(a)+f(b)≥f(?a)+f(?b)； (Ⅱ)判断(Ⅰ)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． 8.已知命题p：函数f(x)=x2+ax?2在[?1,1]内有且仅有一个零点．命题q：x2+3(a+1)x+2≤ 0在区间[1 2,3 2 ]内恒成立．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围． ≥0，q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的取值． 9.已知命题p：x+2 x?3 10.设命题p：“方程x2+mx+1=0有两个实数根”，命题q：“方程4x2+4(m?2)x+1=0无 实根”，若p∧q为假，￢q为假，求实数m的取值范围． 11.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0． 12.给定两个命题，P：对任意实数x都有x2+ax+4>0恒成立；Q：函数f(x)=x2?2ax+3在 区间(1,+∞)上单调递增．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围． 13.已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4(m?2)x+1>0的 解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围． 14.已知命题p：m2+2m?3≤0成立．命题q：方程x2?2mx+1=0有实数根．若￢p为假命题， p∧q为假命题，求实数m的取值范围． 15.已知命题p：方程a2x2+ax?2=0在[?1,1]上有且仅有一解．命题q：只有一个实数x满足不 等式x2+2ax+2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围． 16.设有两个命题： 命题p：不等式|x?1|+|x?3|>a对一切实数x都成立； 命题q：已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(?1,2)处的切线恰好与直线2x+y=1平行，且f(x)在[a,a+1]上单调递减． 若命题“p或q“为真，求实数a的取值范围． 17.已知关于x的方程(1?a)x2+(a+2)x?4=0，a∈R，求： (Ⅰ)方程有两个正根的充要条件 (Ⅱ)方程至少有一个正根的充要条件． 18.已知函数f(x)=|x?2|+|x+a|． (1)若a=1，求不等式f(x)≤4x的解集； (2)若“?x∈R，f(x)>|2a?3|”为假命题，求a的取值范围． 19.设a，b，c分别是?ABC的三条边，且a?b?c.我们知道，如果?ABC为直角三角形，那么a2+ b2=c2(勾股定理).反过来，如果a2+b2=c2，那么?ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，?ABC为直角三角形的充要条件是a2+b2=c2.请利用边长a，b，c分别给出?ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明． 20.写出下列命题的否定并判断真假． (1)不论m取何实数，方程x2+x+m=0必有实数根． (2)所有末位数是0或5的整数都能被5整除． (3)某些梯形的对角线互相平分． (4)被8整除的数能被4整除． 21.设集合A={x|x2?3x+2=0}，B={x|ax=1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件， 试求满足条件的实数a组成的集合． 22.(1)已知集合A={1,2,4,a2},B={1,√a}，且A∩B=B，求实数a的取值范围； (2)已知p:x?2>0,q:ax?4>0，其中a∈R，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值 范围． 23.已知集合A={x|a?1≤x≤2a+3}，B={x|?2?x?4}，全集U=R． (1)当a=2时，求A∩B，(?U B)∩(?U A)； (2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 24.已知全集U=R，非空集合A={x|2 若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 25.命题p：关于x的不等式a x>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：关于x的不等式ax2? x+a>0的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围． )x是R上的减函数．q：函数g(x)=x2?4x+3在[0,a]上的值域26.设条件p：函数f(x)=(a?3 2 为[?1,3]，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围． -------- 答案与解析 -------- 1.答案：解：p ：由(k ?3)(k +3)<0得：?3 q ：令t =kx 2+kx +1，由t >0对x ∈R 恒成立． (1)当k =0时，1>0，∴k =0符合题意． (2)当k ≠0时，{k >0△<0 ， 由△=k 2?4×k ×1<0得k(k ?4)<0，解得：0 综上得：q ：0≤k <4． 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以命题p ，q 一个为真，一个为假． ∴{?3 ； ∴?3 解析：先对命题p ，q 化简，再由命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知命题p ，q 一个为真，一个为假．从而解出实数k 的取值范围． 本题考查了命题的化简及复合命题真假性的判断，注意分类讨论的标准． 2.答案：解：由：|1+x?13|≤2，解得?8≤x ≤4，…(3分) 记A ={x|p}={x|?8≤x ≤4}． 由x 2+2x +1?m 2≤0(m >0)，得?1?m ≤x ≤?1+m.…(6分) 记B ={x|?1?m ≤x ≤?1+m,m >0}， ∵?p 是?q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，即p ?q ，且q 不能推出p ，∴A ?B.…(8分) 要使A ?B ，又m >0，则只需{?1+m ≥4 ?1?m ≤?8m >0 ，…(11分) ∴m ≥7， 故所求实数m 的取值范围是[7,+∞)． 解析：由命题p 成立求得x 的范围为A ，由命题q 成立求得x 的范围为B ，由题意可得A ?B ，可得{?1+m ≥4?1?m ≤?8m >0 ，由此求得实数m 的取值范围． 本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 3.答案：解：若p 是真命题，则a >1 若q是真命题，则函数y≥1恒成立，即函数y的最小值大于或等于1，而y min=2a 只需2a≥1， ∴a≥1 2 ， ∴q为真命题时a≥1 2 且a≠1， 又∵p∨q为真，p∧q为假， ∴p与q一真一假． 若p真q假，则实数a不存在； 若p假q真， 则1 2 ≤a<1． 故实数a的取值范围为1 2 ≤a<1． 解析：先求出命题p、q是真命题的a的范围，据复合命题的真假分类讨论转化成p q的真假情况，列出不等式求出a的范围． 本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系；考查不等式恒成立等价转化成求函数最值． 4.答案：解：∵命题p：函数f(x)=x2?2ax?1在区间[?1,1]内不单调 ∴当p为真，a的取值范围：对称轴x=a∈(?1,1) ∴?1 又∵命题q：当x∈(0,+∞)时，不等式x2?ax+1>0恒成立． ∴当q为真，a x =x+1 x ，x∈(0,+∞)恒成立， 即a<2 ∵如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题 ∴p、q一真一假 ①p真q假，那么a的取值范围：? ②p假q真，那么a的取值范围：a≤?1或1≤a<2 故a≤?1或1≤a<2． 解析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定． 先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．5.答案：解：(1)由题意，若p是真命题， 则ax2?x+1 16 a>0对任意实数都成立， 若a=0，显然不成立； 若a≠0，解得a>2 故如果p 是真命题时， 实数a 的取值范围是(2,+∞) (2)若命题q 为真命题时， 则3x ?9x 3x ?9x =?(3x ?12)2+14 ∵x >0 ∴3x >1 ∴3x ?9x ∈(?∞,0) 所以如果q 是真命题时，a ≥0． 又p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题 所以命题p 与q 一真一假 ∴{a >2a <0或{a ≤2a ≥0 解得0≤a ≤2综上所述，实数a 的取值范围是[0,2] 解析：本题考查命题的真假判断和应用，考查了学生的分析与计算能力，解题时要注意公式的灵活运用，属中档题． (1)由题意，若p 是真命题，则ax 2?x +116a >0对任意实数都成立，由此能够求出p 是真命题时，实数a 的取值范围． (2)若命题q 为真命题时，则3x ?9x 知q 是真命题时，a ≥0.再由p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，知{ a >2a <0或{a ≤2a ≥0，能求出实数a 的取值范围． 6.答案：解：由p 得?3≤x ≤9 由q 得1?m ≤x ≤1+m ∵q 是p 的必要而不充分条件 ∴{1?m ≤?31+m ≥9 ，得m ≥8 又因为m =8时命题成立． ∴实数m 的取值范围是m ≥8 解析：根据q 是p 的必要而不充分条件得出{1?m ≤?31+m ≥9 求解即可． 本题考查了充分必要条件的定义，不等式的求解，属于简单的题目． 7.答案：证明：(Ⅰ)因为a +b ≥0，所以a ≥?b ． 由于函数f(x)是(?∞,+∞)上的增函数， 所以f(a)≥f(?b)． 同理，f(b)≥f(?a)． 两式相加，得f(a)+f(b)≥f(?a)+f(?b).…(6分) (Ⅱ)逆命题： 若f(a)+f(b)≥f(?a)+f(?b)，则a +b ≥0． 用反证法证明 假设a +b <0，那么{a +b <0?a 所以f(a)+f(b) 这与f(a)+f(b)≥f(?a)+f(?b)矛盾．故只有a +b ≥0，逆命题得证． …(12分) 解析：(I)由已知中函数f(x)是(?∞,+∞)上的增函数，根据a +b ≥0，易得a ≥?b ，且b ≥?a ，进而根据单调性的性质和不等式的性质，即可得到答案． (II)(I)中命题的逆命题为若f(a)+f(b)≥f(?a)+f(?b)，则a +b ≥0，根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假． 本题考查的知识点是函数单调性的性质，命题的真假判断与应用，其中(1)的关键是将a +b ≥0，变形为a ≥?b ，且b ≥?a ，(2)的关键是根据正“难”则“反”的原则，选用反证法进行论证． 8.答案：解：在命题p 中，若a =0，则不合题意， ∴{a ≠0f(?1)?f(1)=(1?a ?2)(1+a ?2)≤0 ， 解得{a |a ≤?1或a ≥1}． 在命题q 中，∵x ∈[12,32]，∴3(a +1)≤?(x +2x )在[12,32]上恒成立． ∴(x +2x )max =92，故只需3(a +1)≤?92即可，解得a ≤?52 ． ∵命题“p 且q ”是假命题， ∴p 真q 假，或p 假q 真，或p 、q 均为假命题， 当p 真q 假时，?52 当p 假q 真时，a ∈?． 当p 、q 均为假命题时，有?1 故实数a 的取值范围{a|a >?52}. 解析：由命题p ，得a ≤?1，或a ≥1.由命题q 得a ≤?52.由命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假，或p 假q 真．由此能求出实数a 的取值范围． 本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的灵活运用． 9.答案：解：由x+2x?3≥0，得x >3或x ≤?2， 由复合命题真值表知，p 且q 为假， ∴p 、q 至少有一命题为假命题． 又“非q ”为假，∴q 为真，从而可知p 为假． 由p 为假命题且q 为真命题， 则{?2 得x 的取值为?1、0、1、2、3． 故x 的取值为?1、0、1、2、3． 解析：通过解分式不等式求得命题p 为真时x 的范围，根据复合命题真值表知，p 且q 为假，命题p 、 q 至少有一命题为假命题．又“非q ”为假，故q 为真p 为假，由此求出答案． 本题考查了复合命题的真假判断，考查了分式不等式的解法，解题的关键是熟练运用复合命题真值表． 10.答案：解：若方程x 2+mx +1=0有两个实根，则△1=m 2?4≥0， 解得m ≤?2或 m ≥2，即p ：m ≤?2或 m ≥2； 若方程4x 2+4(m ?2)x +1=0无实根，则△2=16(m ?2)2?16<0， 解得1 由于若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；又?q 为假，则q 真．所以p 为假， 即p 假q 真，从而有{?2 解得 1 解析：先根据一元二次方程的实根与判别式之间的关系，求出m 的取值范围，即求出命题p 与q ，再根据条件p ∧q 为假，￢q 为假，判断出p 与q 真假，进而就可求出m 的取值范围． 本题考查了方程的与判别式之间的关系、复合命题的真假判断，理解复合命题真假判断方法及准确计算是解决问题的关键． 11.答案：证明：(1)必要性，即“若x =1是方程ax 2+bx +c =0的根，则a +b +c =0”． ∵x =1是方程的根，将x =1代入方程，得a ?12+b ?1+c =0，即a +b +c =0． (2)充分性，即“若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的根”． 把x =1代入方程的左边，得a ?12+b ?1+c =a +b +c ． ∵a +b +c =0， ∴x =1是方程的根． 综合(1)(2)知命题成立． 解析：我们先假设，x =1是方程ax 2+bx +c =0的根再证明a +b +c =0成立，即命题的必要性，再假设a +b +c =0再证明x =1时，方程ax 2+bx +c =0成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一根为1的充分必要条件是a +b +c =0． 本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论． 12.答案：解：由对任意实数x 都有x 2+ax +4>0恒成立，得△=a 2?16<0??4 由函数f(x)=x 2?2ax +3在区间(1,+∞)上单调递增，得a ≤1， ∴命题Q 为真命题时，a ≤1， 由复合命题真值表知，如果P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，则命题P 、Q 一真一假， 如果P 真Q 假，则有{?41 ?1 ?a ≤?4； 综上实数a 的取值范围为(?∞,?4]∪(1，4)． 解析：先求出组成复合命题的简单命题的为真时，a 的取值范围，由复合命题真值表知，若“p 且q ” 为假，“p 或q ”为真，则命题p 、q 一真一假， 分别求出当p 真q 假时和当q 真p 假时a 的取值范围，再求并集可得答案． 本题考查了复合命题的真假判断，考查了一元二次不等式的恒成立问题及一元二次函数的单调区间，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题为真时a 的取值范围． 13.答案：解：∵方程x 2+mx +1=0有两个不相等的实根， ∴△1=m 2?4>0，∴m >2或m 又∵不等式4x 2+4(m ?2)x +1>0的解集为R ， ∴△2=16(m ?2)2?16<0，∴1 ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 与q 为一真一假， (1)当p 为真q 为假时，{m >2或m ，解得m ?1 解析：利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p ，再利用不等式4x 2+4(m ?2)x +1>0的解集为R 与判别式的关系即可得出q ； 由p 或q 为真，p 且q 为假，可得p 与q 为一真一假，进而得出答案． 熟练掌握“三个二次”与判别式的关系及其“或”“且”命题的真假的判定是解题的关键． 14.答案：解：∵￢p 为假命题，p ∧q 为假命题， ∴命题p 为真命题，命题q 为假命题． 对于命题p ：m 2+2m ?3≤0成立，可得m ∈[?3,1]， 对于命题q ：方程x 2?2mx +1=0有实数根，可得△=4m 2?4≥0，解得m ≥1或m ≤?1． 由于q 为假，则m ∈(?1,1)． 综上可得：{?3≤m ≤1?1 ，解得?1 解析：由于￢p 为假命题，p ∧q 为假命题，可得：命题p 为真命题，命题q 为假命题．对于命题p ：m 2+2m ?3≤0成立，利用一元二次不等式的解法可得m 范围．对于命题q ：方程x 2?2mx +1=0有实数根，可得△≥0，解得m 范围，即可得出． 本题考查了复合命题真假的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、一元二次方程由实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.答案：解：由a 2x 2+ax ?2=0，得(ax +2)(ax ?1)=0，显然a ≠0， ∴x =?2a 或x =1a ， ∵方程a 2x 2+ax ?2=0在[?1,1]上有且仅有一解， 故{|2a |≤1|1a |>1或{|1a |≤1|2a |>1 ∴?2 只有一个实数x 满足不等式x 2+2ax +2a ≤0， ∴△=4a 2?8a =0，解得a =0或a =2． ∵命题“p 或q ”是假命题， ∴命题p 和命题q 都是假命题， ∴a 的取值范围为{a|a ≤?2或?12}． 解析：若命题p 真，即方程a 2x 2+ax ?2=0在[?1,1]上有且仅有一解，可求得?2 命题p 和命题q 都是假命题，从而可求得a 的取值范围． 本题考查复合命题的真假，求得命题p 真与命题q 真中a 的取值范围是关键，考查分析，理解与运算能力，属于中档题． 16.答案：解：令f(x)=|x ?1|+|x ?3|，
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