第8讲 解一元一次方程
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解一元一次方程一元一次方程的解
解一元一次方程同解方程绝对值方程 知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。 通过合并同类项，含有未知数的项与常数项分别合并为一项。 【典例】
1.对于“”ax b cx d +=+类型的一元一次方程，移项与合并同类项得（ ） A. （a -c ）x=d -b B. （a -c ）x=b -d
C. （a+c ）x=b+d
D. （a -c ）x=b+d
【方法总结】
一般含未知数的项移到等式的左边，不含未知数的项移到等式的右边；移项时要注意变号。 【随堂练习】
1．（2018?城中区模拟）下列变形中： ①由方程
=2去分母，得x ﹣12=10；
②由方程x=两边同除以，得x=1； ③由方程6x ﹣4=x+4移项，得7x=0； ④由方程2﹣
两边同乘以6，得12﹣x ﹣5=3（x+3）．
错误变形的个数是（ ）个． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
2．（2017秋?南岸区期末）解方程﹣3x+4=x ﹣8，下列移项正确的是（ ） A ．﹣3x ﹣x=﹣8﹣4 B ．﹣3x ﹣x=﹣8+4 C ．﹣3x+x=﹣8﹣4 D ．﹣3x+x=﹣8+4
3．（2017秋?甘井子区期末）解一元一次方程3x+7=32﹣2x，移项正确的是（）
A．3x+2x=32﹣7B．3x+2x=32+7C．3x﹣2x=32﹣7D．3x﹣2x=32+7
知识点2 解一元一次方程-去括号
1、去括号法则：
（1）如果括号外是“+”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
（2）如果括号外是“﹣”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
2、解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为x a
=（a为常数）的形式．
【典例】
1.解方程：34113
81 43242
x x
??
??
--=+ ?
??
??
??
【方法总结】
1、去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
2、一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
3、注意不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
【随堂练习】
1．（2018?武汉模拟）解方程：4（x﹣2）﹣1=3（x﹣1）
2．（2017秋?延边州期末）解下列方程：2（x﹣1）﹣3（x+2）=12．
知识点3 解一元一次方程-去分母
去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
【典例】
1.解方程：
（1）111
157 523
x x
+=-
（）（-）
（2）0.30.70.20.3
1
0.60.8
x x
+-
-=
【方法总结】
1、去分母时，不要漏乘没有分母的项；
2、如果分子是一个多项式要把分子作为一个整体，加上括号
3、当分母是小数时，通常利用“等式的性质”或“把分子和分母扩大相同的倍数”，将小数化为整数
【随堂练习】
1．（2018春?新泰市期末）把方程的分母化为整数，以下变形正确的是（）
A．B．
C．D．
2．（2017秋?嘉祥县期末）解方程：
（1）﹣=1
（2）﹣=0.5
3．（2017秋?和平区期末）解下列方程：
（1）x+=6﹣；
（2）﹣=．
知识点4 一元一次方程的解
一元一次方程的解：能够使一元一次方程左右两边相等的未知数的值【典例】
1.下面是一个被墨水污染过的一元一次方程：2x﹣1
2
=
1
2
x﹣，答案显示此方程的解是
5
3
x=，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数为_______
【方法总结】
一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等。
2.已知a为正整数，关于x的方程34
41
25
x a x
-=+的解为整数，则a的最小值为______
【方法总结】对于整数解问题
1、将一元一次方程转化为
b
x
a
=（a b
，为常数，且0
a≠）的形式，
2、根据方程解和字母系数的取值范围，分类讨论方程的解和字母系数的个数
3、检验求出的解和字母系数是否符合要求
4、熟练区分正整数、负整数、非负数、非正数、非负整数、非正整数等。
【随堂练习】
1．（2019春?淮安区期末）已知2是关于x的方程x+a﹣3＝0的解，则a的值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3
2．（2019春?嘉定区期末）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2019有解那么实数a的取值范围是（）
A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3
3．（2019春?朝阳区期中）若x＝1是关于x的方程2x+m＝1的解，则m的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1
4．（2019春?遂宁期末）若x＝﹣1是方程ax+3x＝2的解，则a的值是（）A．﹣1B．5C．1D．﹣5
5．（2019?梧州二模）x＝﹣5是下列哪个方程的解（）
A．x﹣1＝6B．2x﹣5＝2C．2﹣3x＝17D．x2﹣1＝26
6．（2019?古冶区一模）已知x＝7是方程2x﹣7＝ax的解，则a＝（）A．1B．2C．3D．7
7．（2019?嘉定区二模）如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m 的值是（）
A．m＝3B．m＝﹣3C．m＝1D．m＝﹣1
知识点5 同解方程
两个或多个方程的解相同，则可称为同解方程
【典例】
1.若关于x的方程
1
23
6
x
x
-
+=-与方程
222
43
34
kx x
k
+-
-=-的解相同，则k的值为___
【方法总结】
要判断两个方程的解相同，可以先解一下各个方程，然后进行判断．
【随堂练习】
1．（2019春?沙坪坝区校级月考）如果方程2x＝4与方程3x+k＝﹣2的解相同，则k的值为（）
A．﹣8B．﹣4C．4D．8
2．（2018秋?来宾期末）若方程2x+a＝3与方程3x+1＝7的解相同，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（2018秋?李沧区期末）关于x 的方程3x +2＝1与3x +k ＝2的解相同，则k 的值是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．3
4．（2018秋?桐城市期末）关于x 的两个方程5x +4＝3x 与ax ﹣3＝0的解相同，则a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣ D ．
5．（2018秋?市南区期末）方程2x ﹣1＝3与方程1﹣＝0的解相同，则a 的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．
6．（2019春?河南期末）关于y 的方程2m +y ＝m 与3y ﹣3＝2y ﹣1的解相同，则m 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．﹣ D ．﹣2
7．（2018秋?历城区期末）关于y 的方程3y +5＝0与3y +3k ＝1的解完全相同，则k 的值为（ ） A ．﹣2 B ． C ．2 D ．﹣
8．（2019?历下区一模）若与kx ﹣1＝15的解相同，则k 的值为（ ）
A ．8
B ．2
C ．﹣2
D ．6
知识点6 含绝对值符号的一元一次方程
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论。 【典例】
1.关于x 的方程||32||4x x -+=的解为______
【方法总结】
形如()0ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：
① 根据绝对值的非负性可知0cx d +≥；
② 取绝对值，分类讨论，得到：ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③ 分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ④ 将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．
【随堂练习】
1．（2019春?南安市期末）方程|x +1|+|2x ﹣1|＝6的解为： ．
二．解答题（共1小题）
2．（2019春?遂宁期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：|2x |＝1．
解：讨论：①当x ≥0时，原方程可化为2x ＝1，它的解是x ＝． ②当x ＜0时，原方程可化为﹣2x ＝1，它的解是x ＝﹣． ∴原方程的解为x ＝和﹣． 问题（1）：依例题的解法，方程|
的解是 ；
问题（2）：尝试解绝对值方程：2|x ﹣2|＝6；
问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|x ﹣2|+|x ﹣1|＝5．
综合集训
1.下列方程的变形中正确的是________. ① 由x+5=6x ﹣7得x ﹣6x=7﹣5 ② 由﹣2（x ﹣1）=3得﹣2x ﹣2=3
③ 由310.7x -=得1030
107x -= ④ 由13
9322
x x +=--得2x=﹣12
2.研究下面解方程
12313205420
x x x
--+=-
的过程 去分母，得 1+4﹙2x ﹣3﹚=5x ﹣1﹣3x ① 去括号，得 1+8x ﹣12=2x ﹣1 ② 移项，得 8x ﹣2x=﹣1﹣1+12 ③ 合并同类项，得6x=10 ④ 系数化为1，得 5
3x =
⑤ 对于上面的解法，你认为从第_______步出现错误。
3.已知关于x 的方程22mx m x +=（-）的解满足||1
102
x =--，则m 的值是________.
4.解方程：||2315x =--
5.小明星期天在家里做作业，不小心将方程1
432
x x +-=■■--中的数字蘸上墨汁，看不清原来的方程，但他知道这两处的数字是相同的，且这个方程的解与方程 11
32
x x --=
也是相同的．你能够知道被墨汁蘸上的数字是多少吗？
6.当a 为何值时，关于x 的方程()216ax a x =++的解为正整数？
7.解下列一元一次方程
（1）
42
152x x x +--=+； （2）0.10.2130.020.5
x x -+-=．