浅析Matlab模拟静电场三维图
与恒定电流场模拟静电场
摘要：本文利用恒定电流场模拟静电场，通过寻找等势点的方法描绘出点电荷对的电力线和电势面；而后利用Matlab来实现点电荷对在三维空间里的电力线以及等势面的描绘，并且给出其详尽的计算程序以及注释，使Matlab初学者能够轻松的看懂程序；同时对Matlab模拟静电场和恒定电流模拟静电场两种方法描绘点电荷对之间的电力线图以及等势线图进行分析对比。
关键词：Matlab；电力线；等势面；三维
1 引言
对于静电场的描绘有很多方法以及改进。代伟等人对传统的恒定电流法模拟静电场的实验做出了导电介质、等位点观测以及等位点记录等方面做了改进，使实验结果更加精确[1]。而对于Matlab描绘静电场中，王明美利用streamline命令描绘出了一对点电荷的二维电力线和等势线[2]。王静将两点电荷的电荷量改为比值，对Matlab描绘静电场实验进行了优化[3]。周胜利用循环和ode45解微分方程的方法描绘出点电荷的电场[4]。张雅男等人对恒定电流模拟静电场和matlab模拟静电场二维情况下绘制出的图形进行比较，并且通过分析得出两种方法所得的结果相似却并不完全一致[5]。
本文通过比较matlab来模拟描绘电荷对之间的静电场的方法与恒定电流法描绘静电场的方法，对两种实验的原理、过程以及结果进行比较，进而了解两种方法之间的区别、联系以及优缺点。
2 利用恒定电流场模拟静电场
2.1 简介恒定电流场模拟静电场实验原理
带电体在周围空间产生的电场可以用电场强度E或者电势U来描述。由于静电场中不会有电流，不能够用直流电表直接测量。而静电式仪表要用到金属制的探头，当探头伸入静电场中时，静电场会发生显著变化。不能够直接在静电场中绘制等势线。而从静电场和电流场都引入电势U，都遵守高斯定理等相似的地方，所以可以利用恒定电流场来对静电场进行模拟[6]。
2.2 恒定电流场模拟静电场实验
当绘制点电荷对电场时，通过两个电极接到导电介质上，再在电极上加上恒定直流电压，就可以得到了恒定电流场。
导电介质可以选取导电纸、水、导电玻璃等，本文选用的导电介质是导电纸。
实验结果可以利用等臂记录法、复写纸法、放大尺法等方法来记录。本文利用了补偿法电路[6]和复写纸法来寻找等势点并减小误差。并且绘制出了等量异号
点电荷对形成的等势线以及电力线，并且取点在excel 中拟合出图形，如图1。
图1 等量异种点电荷的等势线和电力线
Fig.1 The power line and potential of a pair of diffient
class equivalent point charges
图1显示：等量异种点电荷等势线越靠近电荷越密集。电力线起于正电荷终于负电荷。
3 利用Matlab 模拟静电场
3.1 简介Matlab 部分编程命令
Plot3是画三维曲线的命令，可以描绘出空间中立体电力线。
Surf 是将三维网格连成曲面的命令，可以形成三维空间下的电势面。 Contour 是等高线命令，可以画出平面等势线。
Gradient 是求梯度的命令。由于电场强度是电势的负梯度[7]公式：→??-=n e n
V E ，利用命令[Ex,Ey]=gradient(-U),求出电场在空间各点的x 分量和y 分量。
Ode45是matlab 中一个常用的解微分方程的命令[8]。
3.2 实现Matlab 模拟静电场编程
3.2.1 点电荷对电力线画法
常用的点电荷对电力线画法有两种：第一种叫做切线法，第二种是解微分方程[3]，本文应用第二种方法。
设电荷量为q1、q2的两点电荷在(-1,0,0)处和(1,0,0)处，空间任意一点p （x,y)。由于电场里面任意一点电场线的切线方向就是该点的场强方向，可以得到：dy dx Ey Ex =，引入参变量t ：t Ey
dy Ex dx ==，利用库伦定理和场强叠加原理，则可以
求出两点电荷在p 点的场强分别为：
232211])1[(])1[(y x yj i x q k
E ++++= 232222])1[(])1[(y x yj i x q k E +-+-= 计算其和场强为：
j E i E j y x y q y x y q k i y x x q y x x q k E E E y x +=+-+++++--++++=+=}]
)1[(])1[({}])1[()1(])1[()1({232222322123222232212
1 由此我们可以得到电力线的微分方程：
2
322223221])1[()1(])1[()1(y x x kq y x x kq E dt dx x +--++++==2322223221]
)1[(])1[(y x y kq y x y kq E dt dy y +-+++== 在计算公式中静电力常量229100.9-???=C m N k ，由于我们运用matlab 模拟绘图，可以将k 值取为1，所得出的静电场图形不变[3]。
将此微分方程编成函数文件：
function dxdy=fun1(t,p,flag,q1,q2);
dxdy=[q1*p(1)./(sqrt((p(2)+1).^2+p(1).^2).^3)+q2*p(1)./(sqrt((p(2)-1).^2+p(1).^2).^3);
q1*(p(2)+1)./(sqrt((p(2)+1).^2+p(1).^2).^3)+q2*(p(2)-1)./(sqrt((p(2)-1).^2+p(1).^2).^
3)];
命名为fun1.m 。
接下来利用上面编辑好的微分方程函数来绘出等量同种点电荷对的电力线。首先可以将电荷量设为e 的倍数，我们在输入电荷量的时候就可以简化为输入实数来描绘静电场了。
clear,clc,close all %清除命令
q1=2;q2=2; %确定两点电荷的电荷量
a=1; %设定两点电荷到原点的距离 a0=0.1; %设定点电荷的半径
figure (1); %建立图形窗口1
box on; %形成框状坐标轴
hold on; %控制图像不可擦除模式 xlabel(‘X ’,’fontsize ’,16);ylabel(‘Y ’,’fontsize ’,16);zlabel(‘Z ’,’fontsize ’,16); %标注X,Y ,Z 轴，字号16
[t,p,l]=sphere; %形成球形坐标矩阵
surf(a0*t+1,a0*p+0,a0*l+0); %在（1,0,0）处画出第一个点电荷surf(a0*t-1,a0*p+0,a0*l+0); %在（-1,0,0）处画出第一个点电荷x0=2;y0=2;z0=1; %设定坐标范围
x=linspace(-x0,x0,20);y=linspace(-y0,y0,20); %设定坐标向量
z=linspace(-z0,z0,20); %设定坐标向量
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z); %设置坐标网格
q=0:pi/5:2*pi; %确定电场线在圆周上的起始角度
a1=a0*cos(q); b1=-1+a0*sin(q);b2=1+a0*sin(q); %起点对应的相对坐标
xm=[a1 a1];ym=[b1 b2]; %设定起点横、纵坐标构成的矢量
th0=0:pi/4:2*pi; %设定绕X轴的旋转角
for i=1:22; %设置循环，循环22次求解[t,p]=ode45(‘fun1’,[0:0.05:40],[xm(i),ym(i)],[],q1,q2);
%调用ode45解微分方程xx=p(:,2);yy=p(:,1); %将解微分方程产生的值分别装入并且形成坐标矩阵（注意：p(2)是横坐标值，p(1)是纵坐标值）。
XX=xx*ones(size(th0));YY=yy*cos(th0);ZZ=yy*sin(th0);
%将得到的二维坐标绕X轴旋转plot3(XX,YY,ZZ,’r’); %用红色画出立体电力线
end
运行此程序可以得到等量同号点电荷对之间的电力线，在得出的窗口中可以利用3D模式从各个角度观察电力线。本文截取了两个方向的图分别是如图2中的(a)和(b)。
Y
-5-4-3-2-1012345
X
X Y
Z
图2 等量同号点电荷对之间的电力线
Fig.2 The power line of a pair of same class
equivalent point charges
图2中显示：等量同种点电荷对产生的电力线是关于两点电荷连线的垂直平分面对称。
将程序中的电荷量改为“q1=2；q2=6”，可以得到不等量同号电荷对之间的电力线，如图3中的(a)和(b)。
-6-4-20246
X
Y
(a)
(b) (a)
-6
X
Z
图3 不等量同号电荷对之间的电力线
Fig.3 The power line of a pair of same class
different amounts point charges
图3中显示：不等量同号点电荷之间的电力线偏向电荷量较弱的电荷。
上述程序中，本文通过将解微分方程得出的二维坐标（xx ，yy ），通过旋转的方法形成新的三维坐标（XX,YY ,ZZ ）；由于是绕X 轴旋转，则横坐标值不用变化，直接将原来的xx 乘以一个全一矩阵形成三维情况下的横坐标矩阵，而三维情况下的纵坐标和竖坐标，通过空间几何我们可以得到：新纵坐标=原纵坐标×cos （旋转角度）、新竖坐标=原纵坐标×sin （旋转角度）。
3.2.2 点电荷对电势面画法
同样由库伦定理和场强叠加原理可得：→→+=2221212
1r r e r q k e r q k E 则电势为：2121r kq r kq U +=同样为了便于计算，将电势化为：2
211r q r q U +=。 接下来利用contour 和surf 命令画出等量同种电荷对之间形成的等势面： clear,clc,close all %清除命令
q1=2;q2=2; %确定两点电荷的电荷量
a=1; %设定两点电荷到原点的距离 x0=3;y0=3; %设定坐标范围
x=linspace(-x0,x0,60);y=linspace(-y0,y0,60); %设定坐标向量
hold on; %设置图形不可擦除模式
(b)
grid on; %设置网格开启模式
[X,Y]=meshgrid(x,y); %设置坐标网格
r1=sqrt((X+a).^2+Y.^2);r2=sqrt((X-a).^2+Y.^2);
%计算场点到两点电荷之间的距离
U=q1./r1+q2./r2; %计算场点的电势
figure (1); %建立图形窗口1
contour(X,Y,U); %利用等高线命令画出等势线figure (2); %建立图形窗口2
surf(X,Y,U); %画出三维情况下的等势面运行上述程序画出了等量同种点电荷对的平面等势线如图4中的(a)，以及三维情况下的等势面如图4中的(b)。
(a)
图4 等量同种点电荷对的等势图
Fig.4 The equipotential surface of a pair of
same class equivalent point charges
图4显示：等量同种点电荷对之间的电势关于两点电荷连线的垂直平分面对称分布的。
不等量同种点电荷对电力线以及电势面的画法和上述方法一致，只需要将程序中的电荷量取值修改即可，例如“q1=2,；q2=6”。画出的平面等势线如图5中的(a)，三维情况下的等势面如图5中的(b)。
-3-2-1
0123
-3-2
-1
1
2
3
4
图5 不等量同种点电荷对的等势图 (a)
(b)
Fig.5 The equipotential surface of a pair of same
class different amounts point charges
图5显示：不等量同种点电荷对之间的电势在电荷量大的电荷周围高，而电荷量小的电荷周围电势相对较低。
等量异种点电荷对的电势面的画法，只需要将程序中的电荷量值改为“q1=2；q2=-2”，画出的平面等势线如图6中的(a)，三维情况下的点势面如图6中的(b)。
-3-2-10123
4
(b)
图6 等量异种点电荷对的等势图
Fig.6 The equipotential surface of a pair of
same class equivalent point charges
图6显示：等量异种点电荷对产生的等势线是关于两点电荷连线的中点对称，而越靠近点电荷正电荷周围电势为正，负电荷周围的电势为负。
不等量异种点电荷对的电势面只需将程序中的电荷量值改为“q1=2；q2=-6”，画出的平面等势线如图7中的(a)，三维情况下的电势面如图7中的(b)。
-3-2-10123
(b)
图7 不等量异种点电荷对的等势图
Fig.7 The equipotential surface of a pair of different
class different amounts point charges
图7显示：不等量异种点电荷对之间的电势在电荷量大的电荷周围电势较高，而靠近负电荷的电势为负。
本文到此只是画出了电势面，但是可以利用命令[c,h]=contour，将contour 计算出的平面等势线的坐标向量存储进矩阵c中[9]，通过取c中的元素从而得到等势线的坐标(xx,yy)，同样通过旋转的方法可以画出等势线绕X轴旋转的曲面，从而形象的表示出等势面。
4 结论
本文通过对比两种描绘静电场实验的方法，得到以下几点结论：
(1)两种实验所得结果基本符合。Matlab模拟出来的等势线不够光滑，而恒定电流模拟出来的等势线相对光滑。
(2)恒定电流法绘制出来的电力线是通过电力线与等势线正交的原理绘制的，而matlab绘制出来的每条电力线都是通过解电场线微分方程而画出的，理论性更强。
(3)恒定电流场中利用的导电介质有一定的缺点。导电纸的重复使用容易破损，影响到导电性能，而水会在电极的作用下发生电解现象，实验结果不够精确。
(4)恒定电流场方法只能够在二维平面上绘制出等势线和电力线，却不能够直观地表示静电场在三维空间中电力线和等势面，而利用matlab则可以绘制出三维空间的电力线和电势面，同时还可以通过matlab中的3D模式从不同角度观看静电场产生的电力线和等势面，让学生更直观地了解、掌握静电场及物理本质。
(5)matlab模拟只需要将程序编出，通过更改参数可以很快得到所需要的图像，学生通过利用matlab模拟，经历公式推导过程，学生更加熟悉理论过程。
参考文献：
[1] 代伟，徐平川，陈太红等.对模拟法静电场描绘仪实验装置的几点改进[J].计量与测试技术，2011，38(4)：36~37.
[2] 王明美.一对点电荷电场的MATLAB模拟实验[J].合肥师范学院学报，2012,，30(3)：40~43.
[3] 王静，王亚芳，董爱国等.利用Matlab模拟静电场的分布[J].科技创新导报，2012(17)：249.
[4] 周胜，王丽丽，白晶等.利用Matlab模拟点电荷电场的分布[J].交通科技与经济，2008(2)：70~72.
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[6] 杨述武，赵立竹，沈国土.普通物理实验2电磁学部分(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2007，47~52.
[7] 梁灿彬，秦光戎，梁竹建.电磁学(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2004,35.
[8] 周品，赵新芬.MATLAB数学建模与仿真[M].北京：国防工业出版社，2009.
[9] Helmut Bode.MTALAB & Simulink[J].Engineering & Technology,2006(1):5.
Analysis of Simulation of Electrostatic Field with Constant
Current Field and Matlab in 3D Graph
Abstract:This article used the constant current field to simulat electrostaic field and described the power line and equipotential surface with looking for the other potential points.Then described the power line and equipotential surface in three-dimensional space through Matlab.Make sure the beginner could understand the program simply through giving the program in detail and note.This article maked an analysis of two way to get power line and equipotential surface and finally got the pros and cons of two way.
Keyword:power line;equipotential surface;three-dimensional
用电流场模拟静电场 1．实验目的 （1）掌握用模拟法测绘静电场的物理方法； （2）通过对不同形状电极形成的电流场的研究，加深对静电场的感性认识。 2．实验仪器 静电场描绘装置（电极架、同步探针），待测电极（仿同轴电缆电极和仿长直平行带电线电极）、变压器、滑线式变阻器、晶体管交流毫伏表 3．实验原理 稳恒电流场和静电场本来是两种性质不同的场，但由于这两种场都可用电势和电场来描述，且遵从的规律在形式上也相似，在实验中，只要满足一定的条件，就可用稳恒电流场来模拟静电场。 以模拟长同轴电缆内部的电场分布为例，如图所示。设“无限长”同轴电缆的内外金属圆柱面的半径分别是R 1、R 2,电荷线密度分别为+λ、-λ，柱面间的电容率为ε，取外柱面为零电势，由电磁学知识可知在两柱面间某一点r 处（R 1≤r ≤R 2）的电势为 r R πλ dr r πλd r V R r R r 2ln 22)(22εε=?=?=? ?r E (7-1) 若内外柱面间的电势差为V 0，则 1 20ln 2R R πλ V ε= (7-2) 则(7-1)式可写成 r R R R V r V 21 2 0ln ln )(= (7-3) 若在图的两金属柱面间加一恒定电压V 0，并同样设外柱面的电势为零，但将其中的电介质替换成导电媒质（本实验中为杂质水），则导电媒质中将维系一种电场，在这种电场的作用下，导电媒质中的载流子作定向运动形成稳恒电流场。设导电媒质的电阻率为ρ，圆柱导体的长度为h ，在r 处取一薄圆柱壳，径向厚度为d r ，则该薄圆柱壳的径向电阻d R 为 rh dr S dr d πρ =ρ =2R (7-4) 在半径r 和R 2之间导体的径向电阻R(r )为 r R h dR r R r 2ln 2)(R 2 πρ = = ? (7-5) 若R 1和R 2之间导体的总径向电阻为R 0，则 1 20ln 2R R R h πρ = (7-6)
三维图形 一． 三维曲线 plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n) 其中每一组x,y,z 组成一组曲线的坐标参数，选项的定义和plot 函数相同。当x,y ,z 是同维向量时，则x,y,z 对应元素构成一条三维曲线。当x,y ,z 是同维矩阵时，则以x,y,z 对应列元素绘制三维曲线，曲线条数等于矩阵列数。 Example1.绘制三维曲线。 程序如下： clf, t=0:pi/100:20*pi; x=sin(t); y=cos(t); z=t.*sin(t).*cos(t); %向量的乘除幂运算前面要加点 plot3(x,y,z); title('Line in 3-D Space'); xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z'); grid on; 所的图形如下： -1 1 X Line in 3-D Space Y Z 二． 三维曲面 1. 产生三维数据 在MATLAB 中，利用meshgrid 函数产生平面区域内的网格坐标矩阵。
语句执行后，矩阵X 的每一行都是向量x ，行数等于向量y 的元素的个数，矩阵Y 的每一列都是向量y ，列数等于向量x 的元素的个数。 2. 绘制三维曲面的函数 surf 函数和mesh 函数 example2. 绘制三维曲面图z=sin(x+sin(y))-x/10。 程序如下： clf, [x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi); %产生平面坐标区域内的网格坐标矩阵 z=sin(x+sin(y))-x./10; surf(x,y,z); axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]); title('surf 函数所产生的曲面'); figure; mesh(x,y ,z); axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]); title('mesh 函数所产生的曲面'); -2.5 -2-1.5-1-0.500.51surf 函数所产生的曲面
时域有限差分法的Matlab仿真 关键词: Matlab 矩形波导时域有限差分法 摘要：介绍了时域有限差分法的基本原理，并利用Matlab仿真，对矩形波导谐振腔中的电磁场作了模拟和分析。 关键词：时域有限差分法；Matlab；矩形波导；谐振腔 目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。时域有限差分（Finite Difference Time Domain，FDTD）法［1］作为一种主要的电磁场时域计算方法，最早是在1966年由K. S. Yee提出的。这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解，通过建立时间离散的递进序列，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。经过三十多年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。 Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用［2］。用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者的研究重心放在FDTD法本身上，而不必在编程上花费过多的时间。 下面将采用FDTD法，利用Matlab仿真来分析矩形波导谐振腔的电磁场，说明了将二者结合起来的优越性。 1FDTD法基本原理 时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解差分方程组，从而得出各网格单元的场值。FDTD 空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。 电场和磁场被交叉放置，电场分量位于网格单元每条棱的中心，磁场分量位于网格单元每个面的中心，每个磁场（电场）分量都有4个电场（磁场）分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足，而且
还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算，同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律，也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。 1.1Maxwell方程的差分形式 旋度方程为： 将其标量化，并将问题空间沿3个轴向分成若干网格单元，用Δx，Δy和Δz 分别表示每个网格单元沿3个轴向的长度，用Δt表示时间步长。网格单元顶点的坐标（x，y，z）可记为： 其中：i，j，k和n为整数。 同时利用二阶精度的中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，即可得到如下FDTD基本差分式： 由于方程式里出现了半个网格和半个时间步，为了便于编程，将上面的差分式改写成如下形式：
静电场的模拟实验（FB407型静电场描绘仪） (四种电极） 实 验 讲 义 杭州精科科仪器有限公司
用稳恒电流场模拟静电场 在工程技术上，常常需要知道电极系统的电场分布情况，以便研究电子或带电质点在该电场中的运动规律。例如，为了研究电子束在示波管中的聚焦和偏转，这就需要知道示波管中电极电场的分布情况。在电子管中，需要研究引入新的电极后对电子运动的影响，也要知道电场的分布。一般说来，为了求出电场的分布，可以用解析法和模拟实验法。但只有在少数几种简单情况下，电场分布才能用解析法求得。对于一般的或较复杂的电极系统通常都用模拟实验法加以测定。模拟实验的缺点是精度不高，但对于一般工程设计来说，已完全能满足要求。 【实验目的】 1、懂得模拟实验法的适用条件。 2、学会用稳恒电流场(水槽法)，测定给定的电极模型等位线的分布，再根据电力线与等位线正交的原理，绘制出法模型代表的静电场的电场分布曲线。 3、对具有解析表达式的同轴电缆模型，将实验值与理论计算值进行比较，求出实验测量结果的相对误差。 【实验原理】 电场强度E 是一个矢量。因此，在电场的计算或测试中往往是先研究电位的分布情况，因为电位是标量。我们可以先测得等位面，再根据电力线与等位面处处正交的特点，作出电力线，整个电场的分布就可以用几何图形清楚地表示出来了。当我们得到了电位U 值的分布，由公式（1） ： U E -?= (1) 便可以求出E 的大小和方向，整个电场也就确定了。 但实验上想利用磁电式电压表直接测定静电场的电位，是不可能的，因为任何磁电式电表都需要有电流通过才能偏转，而静电场是不存在电流的。再则任何磁电式电表的内阻都远小于空气或真空的电阻，如果在静电场中引入电表，势必使电场发生严重畸变；同时，电表或其它探测器置于电场中，要引起静电感应，使原场源电荷的分布发生变化。人们在实践中发现，有些测量在实际情况下难于进行时，可以通过一定的方法，模拟实际情况而进行测量，这种方法称为“模拟法”。 模拟法要求两个类比的物理现象遵从的物理规律具有相同的数学表达式。从电磁学理论知道，电解质中的稳恒电流场与介质（或真空）中的静电场之间就具有这种相似性。因为对于导电媒质中的稳恒电流场，电荷在导电媒质内的分布与时间无关，其电荷守恒定律的积分形式为 ?????=?=????0ds j 0 dL j S L (在电源以外区域)
3.3.2 各种BP学习算法MATLAB仿真 根据上面一节对BP神经网络的MATLAB设计，可以得出下面的通用的MATLAB程序段，由于各种BP学习算法采用了不同的学习函数，所以只需要更改学习函数即可。 MATLAB程序段如下： x=-4:0.01:4; y1=sin((1/2)*pi*x)+sin(pi*x); %trainlm函数可以选择替换 net=newff(minmax(x),[1,15,1],{'tansig','tansig','purelin'},'trainlm'); net.trainparam.epochs=2000; net.trainparam.goal=0.00001; net=train(net,x,y1); y2=sim(net,x); err=y2-y1; res=norm(err); %暂停，按任意键继续 Pause %绘图，原图（蓝色光滑线）和仿真效果图（红色+号点线） plot(x,y1); hold on plot(x,y2,'r+'); 注意：由于各种不确定因素，可能对网络训练有不同程度的影响，产生不同的效果。如图3-8。 标准BP算法（traingd）
图3-8 标准BP算法的训练过程以及结果（原图蓝色线，仿真图+号线）增加动量法(traingdm) 如图3-9。 图3-9 增加动量法的训练过程以及结果（原图蓝色线，仿真图+号线）弹性BP算法（trainrp）如图3-10 图3-10 弹性BP算法的训练过程以及结果（原图蓝色线，仿真图+号线）
动量及自适应学习速率法（traingdx）如图3-11。 图3-11 动量及自适应学习速率法的训练过程以及结果（原图蓝色线，仿真图+号线）共轭梯度法(traincgf)如图3-12。
用电流场模拟静电场 【实验目的】 1.模拟方法来测绘具有相同数学形式的物理场。 2.分布曲线及场量的分布特点。 3.深对各物理场概念的理解。 4.步学会用模拟法测量和研究二位静电场。 【实验仪器】 GVZ-3 型导电微晶静电场描绘仪 【实验原理】 模拟法本质上使用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程模拟不易实现、不便测量的状态和过程，要求这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，且满足相似的数学形式及边界条件。 一般情况，模拟可分为物理模拟和数学模拟，对一些物理场的研究主要采用物理模拟（物理模拟就是保持同一物理本质的模拟），例如用光测弹性模拟工件内部应力的分布等。数学模拟也是一种研究物理场的方法，它是把不同本质的物理现象或过程，用同一数学方程来描绘。对一个稳定的物理场，若它的微分方程和边界条件一旦确定，其解是唯一的。两个不同本质的物理场如果描述他们的微分方程和边界条件相同，则他们的解是一一对应的，只要对其中一种易于测量的场进行测绘，并得到结果，那么与它对应的另一个物理场的结果也就知道了。由于稳衡电流场易于实现测量，所以就用稳衡电流场来模拟与其具有相同数学形式的其他物理场。 我们还要明确，模拟法是实验和测量难以直接进行，尤其是在理论难以计算时，采用的一种方法，它在工程设计中有着广泛的应用。 (一)模拟长同轴圆柱形电缆的静电场 稳恒电流场与静电场是两种不同性质的场，但是他们两者在一定条件下具有相似的空间分布，即两种遵守规律在形式上相似，都可以引入电位U ,电场强度U -?=E ，都遵守高斯定律。 对于静电场，电场强度在无源区域内满足以下积分关系 ?=?S dS E 0 ?=?L dl E 0 对于稳恒电流场，电流密度矢量 j 在无源区域内也满足类似的积分关系： ?=?s dS j 0 ? =?L dl j 0 由此可见 E 和 j 在各自区域中满足同样的数学规律。在相同边界条件下，具有相同的解析解。因 此，我们可以用稳恒电流场来模拟静电场。 在模拟的条件上，要保证电极形状一定，电极电位不变，空间介质均匀，在任何一个考察点，有“静电恒稳U U =”或“静电稳恒E E =”。下面用实验来验证这种等效性。 1.同轴电缆及其静电场分布 如图1a 所示，在真空中有一半径为a r 的长圆柱体A 和一内半径为b r 的长圆筒形导体B ，它们同轴放置，分别带等量异号电荷。由高斯定理知，在垂直于轴线的任一截面S 内，都有均匀分布的辐射状电场线，这是一个与坐标Z 无关的二
实验七 模拟法描绘静电场 [实验目的] 1、掌握模拟法描绘静电场的原理和方法。 2、加强对电场强度和电势概念的理解。 3、测绘同心圆电极、平行导线电极的电场分布情况。 [实验仪器] EQC-4静电场描绘实验仪 [实验原理] 一、模拟的原因 在科学研究和生产实际中，需要研究电子器件和设备中电极周围或介质中的电场分布。由于这些电极形状或者介质分布又是比较复杂的，用理论的方法进行计算很困难，只能靠数值解法求出或用实验方法测出其电场分布。由于与测量仪器相接的探测头本身总是导体或电介质，若将其放入静电场中，探测头上会产生感应电荷或束缚电荷，这些电荷又产生电场，与被测静电场迭加起来，使被测电场产生显著的畸变。如果直接测量，也会因探极引入改变原电场的分布，即使探测出来也不是原电场分布。另外因为静电场中没有运动电荷，也就没有电流，不能使磁电式电表发生偏转，故不能直接用电压表法去测量静电场的电势分布。因此，实际测量中采用间接的测量方法（即模拟法）来测出静电场的分布。 本实验采用模拟法，通过同心圆电极、平行导线电极产生的稳恒电流场分别模拟同轴柱面带电体、平行导线产生的静电场。 二、模拟原理 静止电荷在其周围空间激发的电场称为静电场，对静电场分布的描述可以用电场强度 矢量E 和电势U 来描述，也可以形象地用电场线和等势线（等势面）来描述。由于电场线 与等势线（等势面）存在永远正交的关系，只要能够设法描绘出电场中的等势线（等势面）分布，就可以方便的描绘出电场的电场线分布图。再则标量在计算和测量方面比矢量要简单得多，所以一般都采用从对电势描绘到对电场强度矢量的描绘。 所谓模拟法就是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程去代替另一种不易实现、不便测量的状态或过程。 为了克服直接测量静电场的困难，将带电体放到电介质里，维持带电体之间的电势差（电压）不变，介质里便会有恒定不变的电流，这样就可以直接用电压表测量介质中各点的电势值（相对于另一电极的电压），再根据电势变化的最大方向计算出电场强度。理论和实践证明，导电介质中恒定电流建立的电场（稳恒电流场）与静电场的规律完全相似，故用电流场去模拟静电场。 静电场和稳恒电流场尽管是两种不同的场，前者是静止电荷产生的，后者是运动电荷产生的，但都可以用电势和场强进行描述，且有 U -grad E 。
编程方式实现： 1.惩罚函数 function f=fun(x,r) f=x(1,1)^2+x(2,1)^2-r*log(x(1,1)-1); 2.步长的函数 function f=fh(x0,h,s,r) %h为步长 %s为方向 %r为惩罚因子 x1=x0+h*s; f=fun(x1,r); 3. 步长寻优函数 function h=fsearchh(x0,r,s) %利用进退法确定高低高区间，利用黄金分割法进行求解h1=0;%步长的初始点 st=0.001; %步长的步长 h2=h1+st; f1=fh(x0,h1,s,r); f2=fh(x0,h2,s,r); if f1>f2 h3=h2+st; f3=fh(x0,h3,s,r); while f2>f3 h1=h2; h2=h3; h3=h3+st; f2=f3; f3=fh(x0,h3,s,r); end else st=-st; v=h1; h1=h2; h2=v; v=f1; f1=f2; f2=v; h3=h2+st; f3=fh(x0,h3,s,r); while f2>f3 h1=h2; h2=h3; h3=h3+st; f2=f3;
f3=fh(x0,h3,s,r); end end %得到高低高的区间 a=min(h1,h3); b=max(h1,h3); %利用黄金分割点法进行求解 h1=1+0.382*(b-a); h2=1+0.618*(b-a); f1=fh(x0,h1,s,r); f2=fh(x0,h2,s,r); while abs(a-b)>0.0001 if f1>f2 a=h1; h1=h2; f1=f2; h2=a+0.618*(b-a); f2=fh(x0,h2,s,r); else b=h2; h2=h1; f2=f1; h1=a+0.382*(b-a); f1=fh(x0,h1,s,r); end end h=0.5*(a+b); 4. 迭代点的寻优函数 function f=fsearchx(x0,r,epson) x00=x0; m=length(x0); s=zeros(m,1); for i=1:m s(i)=1; h=fsearchh(x0,r,s); x1=x0+h*s; s(i)=0; x0=x1; end while norm(x1-x00)>epson x00=x1; for i=1:m s(i)=1; h=fsearchh(x0,r,s);
用电流场模拟静电场 一、实验目的 1．学习用模拟方法来测绘具有相同数学形式的物理场。 2．描绘出分布曲线及场量的分布特点。 3．加深对各物理场概念的理解。 4．初步学会用模拟法测量和研究二维静电场。 二、实验原理 1．用稳恒电流场模拟静电场 静电场是真空中静止的电荷产生的电场，静电场用空间各点的电场强度E 和电位V 来描述。使用等位面和电场线的概念可以使电场的描述形象化。直接测量静电场是很困难的，而稳恒电流场与静电场在是本质上不同的，但在一定条件下导电介质中稳恒电流场与静电场的描述具有类似的数学方程，因而可以用稳恒电流场来模拟静电场。 对静电场，在无源区域内有：?=?s dS E 0，?=?l dl E 0 对稳恒电流场，在无源区域内有：?=?s dS j 0，?=?l dL j 0 2．同轴电缆的电场分布及同轴圆柱面电极间的电流分布. 在真空中有一个半径为r 1=a 的长圆柱体A （A 是导体）和一个半径为 r 2 =b 的长圆筒导体B ，它们中心轴重合，带等量异号电荷，则在两个电场间产生静电场。由静电场知识可得距轴r 处的电位为 a b r b U U r ln ln = 则r a b U E 1ln 0?= 由稳恒电流知识可得a b r b U U r ln ln 0=' r a b U E r 1 ln 0?=' 三、实验仪器 GVZ-3型导电微晶静电场描绘仪（包括导电微晶，双层固定支架，同步探针等） 四、实验内容 1. 连接电路,将电压校正为10.00V . 2. 从1V 开始,平移探针，由导电线微晶上方的探针找到等位点后，按一下记录纸上方的探针，测出一系列等位点，用相同方法分别描绘出四种不同形状电极的等位线图（7~8条）。 3. 描绘同同轴电缆的静电场分布。以每条等位线上各点到原点的平均距离r 为半径画出等位线的同心圆簇。现出电场线，指出电场强度方向，得到电场分布图。 4. 描绘同其它三种不同形状电极的静电场分布。 五、注意事项 1． 测量过程中要保持两电极间的电压不变。
PID 控制算法的matlab 仿真 PID 控制算法就是实际工业控制中应用最为广泛的控制算法,它具有控制器设计简单,控制效果好等优点。PID 控制器参数的设置就是否合适对其控制效果具有很大的影响,在本课程设计中一具有较大惯性时间常数与纯滞后的一阶惯性环节作为被控对象的模型对PID 控制算法进行研究。被控对象的传递函数如下: ()1d s f Ke G s T s τ-= + 其中各参数分别为30,630,60f d K T τ===。MATLAB 仿真框图如图1所示。 图1 2 具体内容及实现功能 2、1 PID 参数整定 PID 控制器的控制参数对其控制效果起着决定性的作用,合理设置控制参数就是取得较好的控制效果的先决条件。常用的PID 参数整定方法有理论整定法与实验整定法两类,其中常用的实验整定法由扩充临界比例度法、试凑法等。在此处选用扩充临界比例度法对PID 进行整定,其过程如下: 1) 选择采样周期 由于被控对象中含有纯滞后,且其滞后时间常数为 60d τ=,故可选择采样周期1s T =。 2) 令积分时间常数i T =∞,微分时间常数0d T =,从小到大调节比例系数K , 使得系统发生等幅震荡,记下此时的比例系数k K 与振荡周期k T 。 3) 选择控制度为 1.05Q =,按下面公式计算各参数:
0.630.490.140.014p k i k d k s k K K T T T T T T ==== 通过仿真可得在1s T =时,0.567,233k k K T ==,故可得: 0.357,114.17,32.62, 3.262p i d s K T T T ==== 0.0053.57 p s i i p d d s K T K T K T K T === = 按此组控制参数得到的系统阶跃响应曲线如图2所示。 01002003004005006007008009001000 0.20.40.60.811.21.41.6 1.8 图2 由响应曲线可知,此时系统虽然稳定,但就是暂态性能较差,超调量过大,且响应曲线不平滑。根据以下原则对控制器参数进行调整以改善系统的暂态过程: 1) 通过减小采样周期,使响应曲线平滑。 2) 减小采样周期后,通过增大积分时间常数来保证系统稳定。 3) 减小比例系数与微分时间常数,以减小系统的超调。 改变控制器参数后得到系统的阶跃响应曲线如图3所示,系统的暂态性能得到明显改善、
用稳恒电流场模拟静电场 1、知识介绍 在科学研究及实际生产中，常常需要确定带电体周围的静电场分布，这些任意形状的带电体在空间的电场分布（即电场强度和电势的分布）比较复杂，一般很难写出它们的数学表达式，理论计算非常困难。例如在电子管、示波管、电子显微镜以及各种显示器部电极形状的设计和研究制造中，都需要了解各电极或导体间的电场分布情况，采用数学方法进行计算十分复杂，一般通过实验的手段来确定。 但直接对静电场进行测量也是相当困难，对于静电场，测量仪器只能采用静电式仪表，而实验中一般采用磁电式仪表，有电流才有反应。静电场中无电流，磁电式仪表不会起作用，且一旦将仪器放入静电场中，探针上会产生感应电荷。这些电荷所产生的电场将叠加到原来的待测静电场中，即测量仪器的介入会导致原静电场分布发生畸变。 为避免数学方法的复杂性以及直接测量的不现实性，实验中采取模拟法测绘静电场。模拟法就是采用一个与待测对象有相似的数学形式或物理规律的模型或装置来代替实际的待测对象，且该模型或装置在实验室条件下较容易实现。相似模型中各个变量与原型中相应变量有相似关系，既包括几何形状相似，也包括质量、时间、力、温度、电流、电场等的相似。 图7-1 垂直风洞模拟空中跳伞图7-2 汽车模拟风洞实验 模拟法一般分为物理模拟和数学模拟两大类。物理模拟具有生动形象的直观性，并可使观察的现象反复出现，尤其是对于那些难以用数学表达式准确描述的对象进行研究时，常常采用物理模拟方法。数学模拟是指模型和原型遵循相同的数学规律，满足相似的数学方程和边界条件。 本实验模拟构造了一个与原静电场完全一样的稳恒电流场，当用探针去测模拟场时，原场不受干扰，因此可间接地测出模拟场中各点的电势，连接各等电势的点作出等势线。根据
实验一 典型环节的MATLAB 仿真 一、实验目的 1．熟悉MATLAB 桌面和命令窗口，初步了解SIMULINK 功能模块的使用方法。 2．通过观察典型环节在单位阶跃信号作用下的动态特性，加深对各典型环节响应曲线的理解。 3．定性了解各参数变化对典型环节动态特性的影响。 二、SIMULINK 的使用 MATLAB 中SIMULINK 是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。利用SIMULINK 功能模块可以快速的建立控制系统的模型，进行仿真和调试。 1．运行MATLAB 软件，在命令窗口栏“>>”提示符下键入simulink 命令，按Enter 键或在工具栏单击按钮，即可进入如图1-1所示的SIMULINK 仿真 环境下。 2．选择File 菜单下New 下的Model 命令，新建一个simulink 仿真环境常规模板。 3．在simulink 仿真环境下，创建所需要的系统 三、实验内容 按下列各典型环节的传递函数，建立相应的SIMULINK 仿真模型，观察并记录其单位阶跃响应波形。 ① 比例环节1)(1=s G 和2)(1=s G 实验处理：1)(1=s G SIMULINK 仿真模型
波形图为： 实验处理：2)(1=s G SIMULINK 仿真模型 波形图为： 实验结果分析：增加比例函数环节以后，系统的输出型号将输入信号成倍数放大. ② 惯性环节11)(1+= s s G 和15.01)(2+=s s G 实验处理：1 1 )(1+=s s G SIMULINK 仿真模型
波形图为： 实验处理：1 5.01 )(2+= s s G SIMULINK 仿真模型 波形图为： 实验结果分析：当1 1 )(1+= s s G 时，系统达到稳定需要时间接近5s,当
实验十 用稳恒电流场模拟静电场 [实验仪器器材] GVZ-3型导电微晶静电场描绘仪（包括导电微晶、双层固定支架、同步探针、直流电源）、记录纸、曲线板、各种电极 [仪器描述] GVZ-3型导电微晶静电场描绘仪（包括导电微晶、双层固定支架、同步探针等）， 支架采用双层式结构，上层放记录纸，下层放导电微晶。电极已直接制作在导电微晶上，并将电极引线接出到外接线柱上，电极间制作有导电率远小于电极且各项均匀的导电介质。接通直流电源（10V ）就可进行实验。在导电微晶和记录纸上方各有一探针，通过金属探针臂把两探针固定在同一手柄座上，两探针始终保持在同一铅垂线上。移动手柄座时，可保证两探针的运动轨迹是一样的。由导电微晶上方的探针找到待测点后，按一下记录纸上方的探针，在纪录纸上留下一个对应的标记。移动同步探针在导电微晶上找出若干电位相同的点，由此即可描绘出等位线。 [实验步骤] 1、描绘同轴电缆的静电场分布 利用图10-6(b)所示模拟模型，将导电微晶上内外两电极分别与直流稳压电源的正负极相连接，电压表正负极分别与同步探针及电源负极相连接，移动同步探针测绘同轴电缆的等位线簇。要求相邻两等位线间的电位差为1伏，以每条等位线上各点到原点的平均距离r 为半径画出等位线的同心圆簇。然后根据电场线与等位线正交原理，再画出电场线，并指出电场强度方向，得到一张完整的电场分布图。在坐标纸上作出相对电位U R /U a 和r ln 的关系曲线，并与理论结果比较，再根据曲线的性质说明等位线是以内电场中心为圆心的同心圆。 2、描绘一个劈尖电极（图10-7）和一个条形电极形成的静电场分布 将电流电压调到10V,将记录纸铺在上层平板上，从1V 开始，平移同步探针，用导电微晶上放的探针找到等位点后，按一下记录纸上方的探针，测出一系列等位点，共测9条等位线，每条等势线上找10个以上的点，在电极端点附近应多找几个等位点。画出等位线，再作出电场线，做电场线时要注意：电场线与等位线正交，导体表面是等位面，电场线垂直于导体表面，电场线发自正电荷而中止于负电荷，疏密要表示出场强的大小，根据电极正、负画出电场线方向。
一．信道均衡的概念 实际的基带传输系统不可能完全满足无码间串扰传输条件，因而码间串扰是不可避免的。当串扰严重时，必须对系统的传输函数 进行校正，使其达到或接近无码间串扰要求的特性。理论和实践表明，在基带系统中插入一种可调滤波器就可以补偿整个系统的幅频，和相频特性从而减小码间串扰的影响这个对系统校正的过程称为均衡，实现均衡的滤波器称为均衡器。 均衡分为频域均衡和时域均衡。频域均衡是从频率响应考虑，使包括均衡器在内的整个系统的总传输函数满足无失真传输条件。而时域均衡，则是直接从时间响应考虑，使包括均衡器在内的整个系统的冲激响应满足无码间串扰条件。 频域均衡在信道特性不变，且传输低速率数据时是适用的，而时域均衡可以根据信道特性的变化进行调整，能够有效地减小码间串扰，故在高速数据传输中得以广泛应用。 时域均衡的实现方法有多种，但从实现的原理上看，大致可分为预置式自动均衡和自适应式自动均衡。预置式均衡是在实际传数之前先传输预先规定的测试脉冲（如重复频率很低的周期性的单脉冲波形），然后按“迫零调整原理”自动或手动调整抽头增益；自适应式均衡是在传数过程中连续测出距最佳调整值的误差电压，并据此电压去调整各抽头增益。一般地，自适应均衡不仅可以使调整精度提高，而且当信道特性随时间变化时又能有一定的自适应性，因此很受重视。这种均衡器过去实现起来比较复杂，但随着大规模、超大规模集成电路和微处理机的应用，其发展十分迅速。 二．信道均衡的应用 1.考虑如图所示的基带等效数据传输系统，发送信号k x 经过ISI 失真信道传输，叠加高斯加性噪声。 图1基带等效数据传输模型 设发送信号采用QPSK 调制，即(1)k x j =±±ISI 信道的冲击响应以向量的形式表示为h 2211[,,,]T L L L h h h --+=???。典型的ISI 信道响应向量有三种： h [0.04,0.05,0.07,0.21,0.5,0.72,0.36,0,0.21,0.03,0.07]T A =--- h [0.407,0.815,0.407]T B = h [0.227,0.46,0.6888,0.46,0.227]T C = k ω为实部与虚部独立的复高斯白噪声，其均值为零，方差为2 ωσ。 2.实现目的
浅析Matlab模拟静电场三维图 与恒定电流场模拟静电场 摘要：本文利用恒定电流场模拟静电场，通过寻找等势点的方法描绘出点电荷对的电力线和电势面；而后利用Matlab来实现点电荷对在三维空间里的电力线以及等势面的描绘，并且给出其详尽的计算程序以及注释，使Matlab初学者能够轻松的看懂程序；同时对Matlab模拟静电场和恒定电流模拟静电场两种方法描绘点电荷对之间的电力线图以及等势线图进行分析对比。 关键词：Matlab；电力线；等势面；三维 1 引言 对于静电场的描绘有很多方法以及改进。代伟等人对传统的恒定电流法模拟静电场的实验做出了导电介质、等位点观测以及等位点记录等方面做了改进，使实验结果更加精确[1]。而对于Matlab描绘静电场中，王明美利用streamline命令描绘出了一对点电荷的二维电力线和等势线[2]。王静将两点电荷的电荷量改为比值，对Matlab描绘静电场实验进行了优化[3]。周胜利用循环和ode45解微分方程的方法描绘出点电荷的电场[4]。张雅男等人对恒定电流模拟静电场和matlab模拟静电场二维情况下绘制出的图形进行比较，并且通过分析得出两种方法所得的结果相似却并不完全一致[5]。 本文通过比较matlab来模拟描绘电荷对之间的静电场的方法与恒定电流法描绘静电场的方法，对两种实验的原理、过程以及结果进行比较，进而了解两种方法之间的区别、联系以及优缺点。 2 利用恒定电流场模拟静电场 2.1 简介恒定电流场模拟静电场实验原理 带电体在周围空间产生的电场可以用电场强度E或者电势U来描述。由于静电场中不会有电流，不能够用直流电表直接测量。而静电式仪表要用到金属制的探头，当探头伸入静电场中时，静电场会发生显著变化。不能够直接在静电场中绘制等势线。而从静电场和电流场都引入电势U，都遵守高斯定理等相似的地方，所以可以利用恒定电流场来对静电场进行模拟[6]。 2.2 恒定电流场模拟静电场实验 当绘制点电荷对电场时，通过两个电极接到导电介质上，再在电极上加上恒定直流电压，就可以得到了恒定电流场。 导电介质可以选取导电纸、水、导电玻璃等，本文选用的导电介质是导电纸。 实验结果可以利用等臂记录法、复写纸法、放大尺法等方法来记录。本文利用了补偿法电路[6]和复写纸法来寻找等势点并减小误差。并且绘制出了等量异号
东南大学自动化学院 智能控制概论 神经网络学习算法研究 学院： 姓名： 学号： 日期：
目录 1 任务要求叙述 ..................................................... 错误！未定义书签。 2 系统分析及设计原理 ......................................... 错误！未定义书签。 3 设计实现.............................................................. 错误！未定义书签。4仿真验证.. (6) 5 讨论与分析.......................................................... 错误！未定义书签。
一．任务要求叙述 （1）任务 (a) 运行算法，观察和分析现有学习算法的性能； clear all;close all; nu=20;pi=3.1415926; for i=1:nu p(i)=2*pi*i/nu; t(i)=0.5*(1+cos(p(i))); end minmax=[min(p(:)) max(p(:))] net = newff([ 0 7],[6 1],{'logsig' 'purelin'},'traingd');% traingd traingdm trainlm net.trainParam.epochs = 10000; net.trainParam.goal = 0.0001; net.trainParam.show=200; net.trainParam.lr=0.1; net.trainParam.mc=0.6; %0.9 default value; available for momentum net = train(net,p,t); y1 = sim(net,p); figure(2); plot(p,t,'*-',p,y1,'r--') %************** test data ****************** nu2=nu*3/2; for i=1:(nu2) p2(i)=2*pi*i/(nu2); t2(i)=0.5*(1+cos(p2(i))); end y2 = sim(net,p2); figure(3); plot(t2,'*-');hold on; plot(y2,'r'); xlabel('times');ylabel('outputs'); figure(4); plot(t2-y2); xlabel('times');ylabel('error'); (b) 为了进一步提高学习逼近效果，可以采取那些措施，调节规律如何？根据所提的每种措施，修改算法程序，给出仿真效果验证、过程以及相应的曲线图，给出适当的评述；(c) 联系、结合前向神经网络的算法样本学习、测试等过程，谈谈本人对神经网络系统的一些认识和看法。 （2）要求 提交完整的报告，包括：封面(题目、个人学号姓名等信息)、目录、任务要求叙述、系
实验2.10 用稳恒电流场模拟静电场 [实验目的] 1、掌握模拟法描绘静电场的原理和方法。 2、加强对电场强度和电势概念的理解。 [实验仪器] 双层式结构静电场描绘仪、静电场描绘电源、模拟电极。 [实验原理] 一、模拟的原因 在科学研究和生产实际中，需要研究电子器件和设备中电极周围或介质中的电场分布。由于这些电极形状或者介质分布又是比较复杂的，用理论的方法进行计算很困难，只能靠数值解法求出或用实验方法测出其电场分布。由于与测量仪器相接的探测头本身总是导体或电介质，若将其放入静电场中，探测头上会产生感应电荷或束缚电荷，这些电荷又产生电场，与被测静电场迭加起来，使被测电场产生显著的畸变。如果直接测量，也会因探极引入改变原电场的分布，即使探测出来也不是原电场分布。另外因为静电场中没有运动电荷，也就没有电流，不能使磁电式电表发生偏转，故不能直接用电压表法去测量静电场的电势分布。因此，实际测量中采用间接的测量方法（即模拟法）来测出静电场的分布。 二、模拟原理 静止电荷在其周围空间激发的电场称为静电场，对静电场分布的描述可以用电场强度矢量E 和电势U 来描述，也可以形象地用电场线和等势线（等势面）来描述。由于电场线与等势线（等势面）存在永远正交的关系，只要能够设法描绘出电场中的等势线（等势面）分布，就可以方便的描绘出电场的电场线分布图。再则标量在计算和测量方面比矢量要简单得多，所以一般都采用从对电势描绘到对电场强度矢量的描绘。 所谓模拟法就是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程去代替另一种不易实现、不便测量的状态或过程。 为了克服直接测量静电场的困难，将带电体放到电介质里，维持带电体之间的电势差（电压）不变，介质里便会有恒定不变的电流，这样就可以直接用电压表测量介质中各点的电势值（相对于另一电极的电压），再根据电势变化的最大方向计算出电场强度。理论和实践证明，导电介质中恒定电流建立的电场（稳恒电流场）与静电场的规律完全相似，故用电流场去模拟静电场。 静电场和稳恒电流场尽管是两种不同的场，前者是静止电荷产生的，后者是运动电荷产生的，但都可以用电势和场强进行描述，且有 U -grad =E 。 在无源．． 区： 静电场服从的规律： ??=?s 0d S E ?=?L 0d l E 稳恒电流场服从的规律：
实验9 三维绘图 一、实验目的 学会MATLAB软件中三维绘图的方法。 二、实验内容与要求 1．三维曲线图 格式一：plot3(X,Y,Z,S). 说明：当X，Y，Z均为同维向量时，则plot3描出点X(i),Y(i),Z(i)依次相连的空间曲线.若X，Y均为同维矩阵，X，Y，Z每一组相应列向量为坐标画出一条曲线，S为‘color﹣linestyle﹣marker’控制字符表1.6～表1.10. 【例1.79】绘制螺旋线. >>t=0:pi/60:10*pi; >>x=sin(t); >>y=cos(t); >>plot3(x,y,t,’*-b’) >>grid on 图形的结果如图1.16所示. 格式二：comet3(x,y,z). 说明：显示一个彗星通过数据x,y,z确定的三维曲线. 【例1.80】 >>t=-20*pi:pi/50:20*pi; >>comet3(sin(t),cos(t),t) 可见到彗星头（一个小圆圈）沿着数据指定的轨道前进的动画图象，彗星轨道为整个函数所画的螺旋线. 格式三：fill3(X,Y,Z,C) ℅填充由参数X,Y,Z确定的多边形，参数C指定颜色. 图1.16 例1.79图形结果图1.17 例1.81图形结果 【例1.81】
>>X=[2,1,2;9,7,1;6,7,0]; >>Y=[1,7,0;4,7,9;0,4,3]; >>Z=[1,8,6;7,9,6;1,6,1]; >>C=[1,0,0;0,1,0;0,0,1] >>fill3(X,Y,Z,C) >>grid on 图形的结果如图1.17所示. 问题1.30：图1.17中每个三角形按什么规律画出的？（用X,Y,Z的对应列元素值为坐标画三角形）每个三角形内填充的颜色又有何规律？（用C 第i列元素值对应的颜色，从第i个三角形对应顶点向中心过渡）若C=[1,5,10;1,5,10;1,5,10]，结果如何？ 2.三维网格图 格式：mesh(X,Y,Z,C) ℅画出颜色由C指定的三维网格图. meshc(X,Y,Z,C) ℅画出带有等高线的三维网格图. meshz(X,Y,Z,C) ℅画出带有底座的三维网格图. 说明：若X与Y均为向量，n=length(X),m=length(Y), Z必须满足[m,n]=size(Z),则空间中的点(X(j),Y(i),Z(i,j))为所画曲面网线的交点，X 对应于Z的列，Y对应于Z的行；若X,Y,Z均为同维矩阵，则空间中的点(X(i,j),Y(i,j),Z(i,j))为所画曲面的网线的交点；矩阵C指定网线的颜色，MATLAB对矩阵C中的数据进行线性处理，以便从当前色图中获得有用的颜色，若C缺省，网线颜色和曲面的高度Z相匹配. 在三维作图常用到命令meshgrid，其功能是生成二元函数z=f(x,y)中x-y平面上的矩形定义域中数据点矩阵X和Y. 格式：[X,Y]= meshgrid(x,y). 说明：输入向量x为x-y平面上x轴的值，向量y为x-y平面上y轴的值.输出矩阵X为x-y平面上数据点的横坐标值，输出矩阵Y为x-y平面上数据点的纵坐标值. 【例1．82】 >> x=1:4; >> y=1:5; >> [x,y]=meshgrid(x,y) x = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 y = 1 1 1 1
实验二十 用稳恒电流场模拟静电场 在工程技术上，常常需要知道电极系统的电场分布情况，以便研究电子或带电质点在该电场中的运动规律。例如，为了研究电子束在示波管中的聚焦和偏转，这就需要知道示波管中电极电场的分布情况。在电子管中，需要研究引入新的电极后对电子运动的影响，也要知道电场的分布。一般来说，为了求出电场的分布，可以用解析法和模拟实验法。但只有在少数几种简单情况下，电场分布才能用解析法求得。对于一般的或较复杂的电极系统通常都用模拟实验法加以测定。模拟实验法的缺点是精度不高，但对于一般工程设计来说，已能满足要求。 一 实验目的 （1）了解模拟实验法的适用条件。 （2）对于给定的电极，能用模拟法求出其电场分布。 二 实验原理 电场强度E 是一个矢量。因此，在电场的计算或测试中往往是先研究电位的分布情况，因为电位是标量。我们可以先测得等位面，再根据电力线与等位面处处正交的特点，作出电力线，整个电场的分布就可以用几何图形清楚地表示出来了。有了电位U 值的分布，由： -=E ▽U (1) 便可求出E 的大小和方向，整个电场就算确定了。 但实验上想利用磁电式电压表直接测定静电场的电位是不可能的，因为任何磁电式电表都需要有电流通过才能偏转，而静电场是无电流的。再则任何磁电式电表的内阻都远小于空气或真空的电阻，若在静电场中引入电表，势必使电场发生严重畸变；同时，电表或其它探测器置于电场中，要引起静电感应，使原场源电荷的分布发生变化。人们在实践中发现，有些测量在实际情况下难于进行时，可以通过一定的方法，模拟实际情况而进行测量，这种方法称为“模拟法”。 模拟法要求两个类比的物理现象遵从的物理规律具有相同的数学表达式。从电磁学理论知道，电解质中的稳恒电流场与介质（或真空）中的静电场之间就具有这种相似性。因为对于导电媒质中的稳恒电流场，电荷在导电媒质内的分布与时间无关，其电荷守恒定律的积分形式为 ?????=?=??? ?0d 0d s L s j L j (在电源以外区域) 而对于电介质内的静电场，在无源区域内，下列方程式同时成立。 ?????=?=??? ?s L s E L E 0d 0d 由此可见电解质中稳恒电流场的j 与电介质中的静电场的E 遵从的物理规律具有相同的数学公式，在相同的边界条件下，二者的解亦具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性，实验时就用稳恒电流场来模拟静电场，用稳恒电流场中的电位分布模拟静电场的电位分布。实验中，将被模拟的电极系统 放入填满均匀的电导远小于电极电导的电解液中或导电纸上，电极系统加上稳定电压，再用检流计或高内阻电压表测出电位相等的各点，描绘出等位面，再由若干等位面确定电场的分布。 通常电场的分布是个三维问题，但在特殊情况下，适当地选择电力线分布的对称面便可以使三维问题简化为二维问题。实验中，通过分析电场分布的对 称性，合理选择电极系统的剖面模型，置放在电解液中或导电纸上，用电表测定该平面上的电位分布，据此推得空间电场的分布。 1．同轴圆柱形电缆电场的模拟 如图1是一圆柱形同轴电缆，内圆筒半径1r ，外圆筒半径2r ，所带电量电荷线密度为λ±。 根据高斯定理，圆柱形同轴电缆电场的电位移矢量： 图1