轴的强度计算
一、按扭转强度初步设计阶梯轴外伸端直径 由实心圆轴扭转强度条件
τ＝
3
3
10
2.09550?=n
d P W T ρ
≤［τ］
式中，τ为轴的剪应力，MPa ；T 为扭矩，N ·mm ；ρW 为抗扭截面系数，mm 3；对圆截面，ρW ＝π
3
d
/16≈0.23d ；
P
为轴传递的功率，
KW
；n 为轴的转速，
r/min ；d 为轴的直径，mm ；［τ］为许用切应力，MPa 。
对于转轴，初始设计时考虑弯矩对轴强度的影响，可将［τ］适当降低。将上式改写为设计公式
d
≥
[]
3
3
3
32.0109550n
P A
n
P =?τ
(16.1)
式中，A 是由轴的材料和承载情况确定的常数。见表16.7；P 为轴传递的功率，
KW
；n 为轴的转速，r/min ；d 为轴径，mm 。
表16.7常用材料的［τ］和A 值
注：1.轴上所受弯矩较小或只受转矩时，A 取较小值；否则取较大值。
2.用Q235、3SiMn 时，取较大的A 值。
3.轴上有一个键槽时，A 值增大4%～5%；有两个键槽时，A 值增大7%～10%。 可结合整体设计将由式(16.1)所得直径圆整为按优先数系制定的标准尺寸或与相配合零件(如联轴器、带轮等)的孔径相吻合，作为转轴的最小直径。
二、按弯扭组合强度计算
轴系结构拟定以后，外载荷和轴的支点位置就可确定，此时可用弯扭组合强度校核。如图16.39(a)，装有齿轮的传动轴，切向力
P
作用在齿轮的节圆上，
通过齿轮的受力分析(图16.39(b))，可知齿轮作用于轴上的是一个通过轴线并与之轴线垂直的力P
和一个作用面垂直于轴线的力偶PR
m =
(图16.39(c))。
力
P
使轴产生弯曲变形(图16.39(d))，力偶PR
m =则产生扭转变形(图
16.39(e))，所以此轴是弯扭组合变形。
分别考虑力
P
与力偶
m
的作用，画出弯矩图(图16.39(f))和扭矩图(图
16.39(g))，其危险截面上的弯矩和扭矩值分别为
l
Pab M = T
＝PR
m =
危险截面上的弯曲正应力和扭转剪应力的分布情况如图(16.40(a))，由于
C 、
D 两点是危险截面边缘上的点，扭转剪应力和弯曲正应力绝对值最大，故
为危险点，其正应力和剪应力分别为
σ=W M τ
=
ρ
W T
图16.39
危险点应力(如图16.40(b))，由于轴类零件一般都采用塑性材料—钢材，所以应按第三强度理论建立强度条件
图16.42
σ
＝
()()3
2
2
2
2
1.0d
T
M
W
T M
W
M e
αα+=
+=
≤
[]1-b σ
(16.2)
式中，W 为抗弯截面系数，mm 3，e M 为当量弯矩，N ·mm ，()22
T M
M e
α+=
；
α
为根据转矩性质而定的折合系数，转矩不变时，α＝0.3，转矩为脉动循环变
化时，α≈0.6 ，频繁正反转的轴，转矩可视作对称循环变化，则取α＝1；
[]1-b σ称循环状态下的许用弯曲应力，见表16.8；T 为转矩，单位为N ·mm 。由
于外载荷通常是一空间作用力(如斜齿轮的法向作用力
n
F )，为简化问题，常把
空间力分解为铅垂面V 上的分力和水平面H 上的分力，并在各分力作用平面内
求出支点反力，绘制出水平弯矩
M
图、铅垂面弯矩V M 图，再绘制合成弯矩M
图，这里合成弯矩M (N ·mm)的计算式为2
2V
H
M M
M
+=
。 表
16.8轴的许用
弯
曲
应
力
N ·mm
计算轴的直径d (mm)时，可将式(16.2)改写为
d
≥
[]3
1
1.0-b e
M
σ
(16.3)
当轴截面上开有一个键槽时，轴径应增大3%左右；有两个键槽时，轴径应增大7%左右。
三、轴的设计实例
轴的设计与轴系设计同步进行，一般先进行轴系的初步设计，继而进行轴
的结构设计、强度校核。
例16.4 图16.41所示为输送机传动装置，由电动机1、带传动2、齿轮减速器3、联轴器4、滚筒5等组成，其中齿轮减速器3低速轴的转速n ＝140 r/min ，传递功率
P
＝5 kW 。轴上齿轮的参数为：z ＝58，n m ＝3mm ，β＝11°
17′13″，左旋，齿宽b ＝70mm 。电动机1的转向如图所示。试设计该低速轴。
解(1)选择轴的材料，确定许用应力。 普通用途、中小功率减速器，选用45钢，正 火处理。查表16.1取b σ＝600 MPa ，由表16.8得
[]1-b σ＝55 MPa 。
(2) 按扭转强度，初估轴的最小直径。 由表16.7查得
A
＝110，按式(16.1)得
d
≥
=?
=3
3
140
5110n
P A
36.2 mm
图16.41输送机传动装
置
轴伸安装联轴器，考虑补偿轴的可能位移，选用
弹性柱销联轴器。由n 和转矩c T ＝KT ＝1.5×9.550×5/140 N ·mm ＝511554 N ·mm 查G5014—85选用LH3弹性柱销联轴器，标准孔径1d ＝38 mm ，即轴伸直径1d ＝38 mm 。
(3) 确定齿轮和轴承的润滑。 计算齿轮圆周速度
=?????=
?=
?=
//
/
13
1711cos 100060140
583cos 1000601000
60o
n zn
m dn
πβ
ππν＝1.3 m/s
齿轮采用油浴润滑，轴承采用脂润滑。
(4) 轴系初步设计。根据轴系结构分析要点，结合后述尺寸确定，按比例绘制轴系结构草图，如图16.42所示。
图16.42轴系结构草图
斜齿轮传动有轴向力，采用角接触球轴承。采用凸缘式轴承盖实现轴系两端单向固定。半联轴器右端用轴肩定位和固定，左端用轴端挡圈固定，依靠C型普通平键联接实现周向固定。齿轮右端由轴环定位固定，左端由套筒固定，用A型普通平键联接实现周向定。为防止润滑脂消失，采用挡油板内部密封。
绘图时，结合尺寸的确定，首先画出齿轮轮毂位置，然后考虑齿轮端面到箱体内壁的距离Δ2确定箱体内壁的位置，选择轴承并确定轴承位置。根据分箱面螺栓联接的布置，设计轴的外伸部分。
(5) 轴的结构设计。
轴的结构设计主要有三项内容：①各轴段径向尺寸的确定；②各轴段轴向长度的确定；③其余尺寸(如键槽、圆角、倒角、退刀槽等)的确定。
①径向尺寸确定。从轴段
d＝38 mm开始，逐段选取相邻轴段的直径：如
1
图16.42所示，
d起定位固定作用，定位轴肩高度min h可在(0.07～0.1)d范围2
内经验选取，故
d＝1d+2h≥38×(1+2×0.07)＝43.32 mm，该直径处将安装密2
封毡圈，标准直径应取
d＝45mm；3d与轴承内径相配合，为便于轴承安装，故
2
取3d ＝50 mm ，选定7210C ；4d 与齿轮孔径相配合，为了便于装配，按标准尺寸，取4d ＝53 mm ；d5起定位作用，由h ＝(0.07～0.1)d ＝(0.07～0.1)×53 mm ＝3.71～5.3 mm ，取h ＝4 mm ，5d ＝61mm ；6d 与轴承配合，取6d ＝3d ＝50 mm 。
② 轴向尺寸的确定。与传动零件(如齿轮、带轮、联轴器等)相配合的轴段长度，一般略小于传动零件的轮毂宽度。题中锻造齿轮轮毂宽度2B ＝(1.2～
1.5)d4＝(1.2～1.5)×53mm ＝63.6～79.5 mm ，取
2B ＝b
＝70 mm ，取轴段4
L ＝
68mm ；联轴器LH3的J 型轴孔1B ＝60 mm ，取轴段长1L ＝58mm 。取挡油板宽6L 为
12mm ，查轴承宽度2L 为20mm ，与轴承相配合的轴段长度6L +7
L ＝32mm 。
其他轴段的长度与箱体等设计有关，可由齿轮开始向两侧逐步确定。一般情况，齿轮端面与箱壁的距离Δ2取10～15 mm ；轴承端面与箱体内壁的距离Δ3与轴承的润滑有关，油润滑时Δ3＝3～5 mm ，脂润滑时Δ3＝5～10 mm ，本题取Δ3＝5 mm ；分箱面宽度与分箱面的联接螺栓的装拆空间有关，对于常用的
M
16普通螺栓，分箱面宽l ＝55～65 mm 。考虑轴承盖螺钉至联轴器距离
Δ1＝10～15 mm ，初步取
2
L ＝55 mm 。由图可见3L ＝2+Δ2+Δ3+20＝(2+15+5+20)
＝42mm 。轴环宽度5L ＝8 mm 。两轴承中心间的跨距L ＝130 mm 。
(6) 轴的强度校核： ① 计算齿轮受力 分度圆直径=
?=
=
//
/13
1711cos 583cos o n z m d β
177.43 mm
转矩=
?
?==140
51095509550
3
n
P T
341071 N ·mm
齿轮切向力
3844
43
.177********=?=
=d T F t N
齿轮径向力
N
F F o o
t r 142713
1711cos 20tan 2844cos tan //
/===βα
齿轮轴向力
x F ＝β
tan t F ＝//
/13
1711tan 3844
o ＝767 N
② 绘制轴的受力简图 如图16.43(a)所示。
③ 计算支承反力(图16.43(b)及(d)) 水平平面
N
F d F F r
x HI 1237130
1427
65243.177767130
652=?+?=
+=
N
F F F HI r HII 19012371427=-=-= 图16.43轴的强度校核
垂直平面
N
F F F t VII VI 1922238442====
④ 绘制弯矩图。水平平面弯矩图 (图16.43(c))
b
截面 -
Hb M ＝65HI F ＝65×1237＝80405N ·mm
+
Hb
M
＝-
Hb M -d F x /2＝80405-767×177.43/2＝12361N ·mm
垂直平面弯矩图(图16.43(e))
Vb
M ＝65VI F ＝65×1922＝124930N ·mm
合成弯矩图(图16.43(f))
N M M M V Hb
b 148568124930804052
2
2
2
=-=+=--
N
M M
M Vb Hb
b 125540124930
12361
2
22
2=+=
+=
++
⑤ 绘制转矩图(图16.43(g))。转矩T ＝341036N ·mm
⑥ 绘制当量弯矩图(图16.43(h))。单向运转，转矩为脉动循环，α＝0.6
T
α＝0.6×341036＝204622 N ·mm
b
截面 ()252868
204622
148568
2
2
22=+=
+=--
T M
M b
eb
α N ·mm
()125540
01255402
2
2=+=
+=
++T M
M
b
eb
α N ·mm
图16.44轴的工作图
α
截面和I 截面
T
M
M
eI
ea
α===204622 N ·mm
⑦ 分别校核a 和截面
[]=
?=
=
-3
3
1
55
1.02046221.0b ea
a M
d σ33.38mm
[]3
3
1
55
1.02528681.0?=
=
-b eb
b M
d σ＝35.82mm
考虑键槽，
d＝105%×33.38mm＝35mm，b d＝105%×35.82mm＝37．6 mm。
a
实际直径分别为38mm和53mm，强度足够，如所选轴承和键联接等经计算后确认寿命和强度均能满足，则该轴结构设计无须修改。
(7) 绘制轴的零件工作图。
如图16.44所示。①轴上各轴段直径的尺寸公差：对配合轴直径(如轴承、
齿轮、联轴器等)可根据配合性质决定；对非配合轴段轴径(如
d及5d两段直
2
径)，为未注公差。②各轴段长度尺寸差通常均为未注公差。③为保证主要工作轴段的同轴度及配合轴段的圆柱度，一般用易于测量的圆柱度和径向圆跳动两项形位公差综合表示。