《二次函数》题型解读6 二次函数应用题
【题型梳理】
1.二次函数解析式的应用题型
（1）建立直角坐标系，或找到直角坐标系；
（2）用待定系数法求解析式，建立起y与x的函数关系式；
（3）审题理解找出已知x值代入求y值或已知y值代入求x值；
2.二次函数最值应用题型
（3）注意题中的限制条件，会影响到当配方求y最值时x的求值；
【方法梳理】
1.解题方法----审透等量关系式；
2.解题技巧----特殊值法：把未知数假设为具体数字，只列综合式不计算，最后用未知数换回来；有
具体数字的参与，可以帮助我们更好的结合生活理解找准题中各数量间的关
系式；
【典型例题】
例1.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶
（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．
解析：（1）“建立直角平面坐标系
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）（2）“待定系数法求二次函数解析式”
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2
（3）代入x或y求y或x值
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±√6，所以水面宽度增加到2√6米，
例2.为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场OD的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与
水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量的x取值范围）
（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
解析：此题中有关距离的数据即是“x值”，有关高度的数据即是“y值”；
（1）∵排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最大高度3.2米，∴抛物线的顶点坐标为（7，3.2），
设抛物线的解析式为：y=a(x?7)2+3.2，∵抛物线过点C（0，1.8），∴1.8=a(0?7)2+3.2，
∴a=?1
35
，∴排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式为：y=
?1
35(x?7)2+3.2，即y=?1
35
x2+2
5
x+9
5
．
（2）∵OF=18
2+0.5=9.5，∴当x=9.5时，y=423
140
<3.1，∴她可以拦网成功．
例3.在世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
解析：
（1）解题方法：“审透等量关系列解析式”
①销售量=原销售量-因提价减少的销售量，即y=240?x?60
5
×20=?4x+480
②销售额=每件销售单价×销售量=x(?4x+480)=?4x2+480x
（1）解题技巧：“特殊值法”
①假设销售单价为70元，则提价为（70-60）元，销售量减少70?60
5
×20套，现在的销售量为
240-70?60
5×20，换回来即为：y=240?x?60
5
×20=?4x+480；
②假设销售单价为70元，则提价为（70-60）元，销售量减少70?60
5
×20套，现在的销售量为
240-70?60
5
×20，
×20)=14000，换回来即为：x(?4x+480)=?4x2+每月的销售额为：70×(240?70?60
5
480x；
（2）“解一元二次方程”
③根据题意可得，?4x2+480x=14000,解得：x1=70,x2=50，∵x≥60，∴x=
50舍去.
（3）“配方求最值”
④设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得
w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400，∵a=?4<0,
抛物线对称轴是x=80,
∴当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
例4.某景区商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出。
（1）如果这批旅游纪念品共获利1050元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200)﹣（200+50x）]=1050，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1050，整理得：x2﹣2x-3=0，解得：x1=3,x2=-1(舍去)，∴10﹣3=7，答：第二周的销售价格为7元．
(2)设总利润为W，由题意可得W=200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200)﹣（200+50x）]= -50x2+100x+1200=-50（x-1）2+1250
∵-50<0，∴当x=1时，W 有最大值，即第二周每个旅游纪念品的销售价格为9时，这批旅游纪念品利润最大，最大利润是1250元
例5.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体。（墙体的最大可用长度a=10米）设AB=xm ，长方形ABCD 的面积为2s m
(1)求S 与x 的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45平方米更大的花圃，AB 的长是多少米？
(3)能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
解析：（1）“审透等量关系求二次函数解析式”： “S 矩形ABCD =AB ×BC =x (24?3x )=?3x 2+24x ” （2）“解一元二次方程”： ?3x 2+24x =45，解得：x 1=5,x 2=3，当x =3时，BC =15>10，∴舍去.
（3）“配方求最值，注意限制条件”： S =?3x 2+24x =?3(x ?4)2+48，∵24?3x ≤10,x ≥
143
∴当x =143
时，S 最大=
1563
>45， ∴能围成面积比45平方米更大的花圃.
例6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价.据试销发现，月销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数y =?10x +1000.若该商店获得的月销售利润为W 元，请回答下列问题：
(1)请写出月销售利润W 与销售单价x 之间的关系式(关系式化为一般式)；
(2)在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ (3)若获利不得高于70%，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？
a
D C
B
A
解：(1)根据题意得，W=(x?40)(?10x+1000)=?10x2+1000x+400x?40000=?10x2+ 1400x?40000；
(2)当W=?10x2+1400x?40000=8000时，得到x2?140x+4800=0，解得：x1=60，x2=80，∵使顾客获得实惠，∴x=60．答：销售单价应定为60元，
(3)W=?10x2+1400x?40000=?10(x?70)2+9000∵获利不得高于70%，即x?40≤
40×70%，
∴x≤68．∴当x=68时，W最大=8960．答：销售单价定为68元时，月销售利润达到最大．
例7.深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似的看作一次函数y=-0.2x+260，设每月的利润为W(元)．(利润=销售额-投入)
（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元?
（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
（1）解：由题意得，(x-200)(-0.2x+260)=36000，整理得，x2-1500x+440000=0,
∴x1=400，x2=1100，经检验都符合题意，
答：该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为400元或1100元。
（2）解：由题意得，200(-0.2x+260)≤20000，∴x≧800，
设销售完这些智能机器人后所获得的利润为W元，由题意得，
W=(x-200)(-0.2x+260)=-0.2(x-750)2+60500，
∵-0.2＜0，x≥800，∴当x=800时，W取得最大值，最大值=-0.2(800-750)2+60500=60000，
即该公司销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元。
例8.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） 解析：（1）“审透等量关系式列解析式”
①“利润=（售价﹣成本）×销售量y=（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）]=（x ﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x 2
+800x ﹣27500
∴y=﹣5x 2
+800x ﹣27500（50≤x≤100）；
（2）“配方求最值”
②y=﹣5x 2
+800x ﹣27500=﹣5（x ﹣80）2
+4500,∵a=﹣5＜0，对称轴是直线x=80， ∴当x=80时，y 最大值=4500； （3）“与不等式结合”
“先转化成一元二次方程求解：当y=4000时，﹣5（x ﹣80）2
+4500=4000， 解得x 1=70，x 2=90．
“画二次函数草图确定x 的取值范围”（如图） ∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100， ∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
+4500