2019年四川师大附中自主招生数学试卷
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．（5分）方程组的解是．
2．（5分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为．
3．（5分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．
4．（5分）两个反比例函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y＝上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|＝．
5．（5分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．
6．（5分）有一张矩形纸片ABCD，AD＝9，AB＝12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．7．（5分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则这五个数据的标准差是．
8．（5分）若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．
二、选择题（每小题5分，共40分）
9．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）
A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10
10．（5分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．
11．（5分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）
A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤2
12．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；
若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元
13．（5分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
14．（5分）如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）
A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣
15．（5分）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）
A．1＜x＜B．C．D．
16．（5分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）
A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）?x%D．（2+x%）?x%
三、解答题（共70分）
17．（15分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22＝6，求m值；
（2）求的最大值．
18．（15分）如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，
（1）求OC的长及的值；
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．
19．（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称空调彩电冰箱
工时
产值（千元）432
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）20．（10分）一个家庭有3个孩子，
（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；
（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．
21．（15分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．
（1）求证：P A?PE＝PC?PF；
（2）求证：；
（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP＝3：4：5时，求△PEC与△F AP的面积的比值．
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．（5分）方程组的解是和．
【解答】解：设x+1＝a，y﹣1＝b，则原方程可变为，
由②式又可变化为＝26，
把①式代入得＝13，这又可以变形为（+）2﹣3＝13，
再代入又得﹣3＝9，
解得ab＝﹣27，
又因为a+b＝26，
所以解这个方程组得或，
于是（1），解得；
（2），解得．
故答案为和．
2．（5分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为a＝0，b＜0．【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a＝0，则左边式子ax＝0，
∴b＜0一定成立，
∴a，b的取值范围为a＝0，b＜0．
3．（5分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为1．
【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，
∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|＝2﹣x﹣x+x+2＝4﹣x；
当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|＝2﹣x+x+x+2＝4+x，
当x＝0时，取得最大值为4，x＝2时取得最小值，最小值为3，
则最大值与最小值之差为1．
故答案为：1
4．（5分）两个反比例函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y＝上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|＝．
【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），
又∵P2007在y＝上，
∴Px2007＝．
而Qx2007（即Px2007）在y＝上，所以Qy2007＝＝＝，
∴|P2007Q2007|＝|Py2007﹣Qy2007|＝|4013﹣|＝．
故答案为：．
5．（5分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是3．
【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π＝
∴n＝120°即扇形的圆心角是120°
∴弧所对的弦长是2×3sin60°＝3
6．（5分）有一张矩形纸片ABCD，AD＝9，AB＝12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．【解答】解：如图，由勾股定理易得AC＝15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE＝7.5．
∵∠AEF＝∠B＝90°，∠EAF是公共角，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝．
∴EF＝．
∴折线长＝2EF＝．
故答案为．
7．（5分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则这五个数据的标准差是．
【解答】解：由方程x2﹣3x+2＝0
解方程的两个根是1，2，即a＝1，b＝2
故这组数据是3，1，4，2，5
其平均数（3+1+4+2+5）＝3
方差S2＝[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝2
故五个数据的标准差是S＝＝
故本题答案为：．
8．（5分）若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【解答】解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
二、选择题（每小题5分，共40分）
9．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）
A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10
【解答】解：连接EM，
CE：CD＝CM：CA＝1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME＝BD：BE＝3：5，ME：AD＝CM：AC＝1：3
∴AH＝（3﹣）ME，
∴AH：ME＝12：5
∴HG：GM＝AH：EM＝12：5
设GM＝5k，GH＝12k，
∵BH：HM＝3：2＝BH：17k
∴BH＝K，
∴BH：HG：GM＝k：12k：5k＝51：24：10
故选：D．
10．（5分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S＝，
又∵r＝，
∴a+b＝2r+c，
将a+b＝2r+c代入S＝得：S＝r＝r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故选：B．
11．（5分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）
A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤2
【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），
再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，
把A点代入y＝ax2得a＝2，
把B点代入y＝ax2得a＝，
则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．
故选：D．
12．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；
若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元
【解答】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，
根据题意得：，
①×3﹣②×2可得：x+y+z＝1.05．
故选：B．
13．（5分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得﹣＜a＜，
∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：＜a＜0．
故选D．
方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x＝1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜﹣（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x＝1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
故选：D．
14．（5分）如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）
A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣
【解答】解：如图：
正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝．
故选：A．
15．（5分）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．
【解答】解：首先要能组成三角形，易得1＜x＜5
下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角（2＜3，短边对小角）则只要考虑3或者x为斜边的情况．
3为斜边时，由勾股定理，22+x2＝32，得x＝√5 作出图形，固定2边，旋转3边易知当1＜x＜√5 时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形；
x为斜边时，由勾股定理，22+32＝x2，得x＝√13，同样作图可得当√13＜x＜5时，该三角形是以x为最大边的钝角三角形．
综上可知，当√5＜x＜√13 时，原三角形为锐角三角形．
故选：B．
16．（5分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）
A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）?x%D．（2+x%）?x%
【解答】解：设第一季度的产值为1，
第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第二季度为1×（1+x%），
第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，第三季度为1×（1+x%）×（1+x%），
根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了1×（1+x%）×（1+x%）﹣1＝（2+x%）?x%，
故选：D．
三、解答题（共70分）
17．（15分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22＝6，求m值；
（2）求的最大值．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6
∴，
∵﹣1≤m＜1，
∴；
（2）＝
＝（﹣1≤m＜1）．
∵对称轴m＝，2＞0，
∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．
18．（15分）如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，
（1）求OC的长及的值；
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．
【解答】解：
（1）由题设知a＜0，
且方程ax2﹣8ax+12a＝0有两二根，
两边同时除以a得，x2﹣8x+12＝0
原式可化为（x﹣2）（x﹣6）＝0
x1＝2，x2＝6
于是OA＝2，OB＝6
∵△OCA∽△OBC
∴OC2＝OA?OB＝12即OC＝2
而＝＝＝，故
（2）因为C是BP的中点
∴OC＝BC从而C点的横坐标为3
又∴
设直线BP的解析式为y＝kx+b，
因其过点B（6，0），，
则有
∴
∴
又点在抛物线上
∴
∴
∴抛物线解析式为：．
19．（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称空调彩电冰箱
工时
产值（千元）432
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）【解答】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有
，
①﹣②×4得3x+y＝360，
总产值A＝4x+3y+2z＝2（x+y+z）+（2x+y）＝720+（3x+y）﹣x＝1080﹣x，
∵z≥60，
∴x+y≤300，
而3x+y＝360，
∴x+360﹣3x≤300，
∴x≥30，
∴A≤1050，
即x＝30，y＝270，z＝60．
最高产值：30×4+270×3+60×2＝1050（千元）
20．（10分）一个家庭有3个孩子，
（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；
（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．
【解答】解：画树状图为：
共有8种等可能的结果数；
（1）有2个男孩和1个女孩的结果数为3，
所以有2个男孩和1个女孩的概率＝；
（2）至少有一个男孩的结果数为7，
所以至少有一个男孩的概率＝．
21．（15分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．
（1）求证：P A?PE＝PC?PF；
（2）求证：；
（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP＝3：4：5时，求△PEC与△F AP的面积的比值．
【解答】（1）证明：连接AB，
∵CA切⊙O'于A，
∴∠CAB＝∠F．
∵∠CAB＝∠E，
∴∠E＝∠F．
∴AF∥CE．
∴．
∴P A?PE＝PC?PF．
（2）证明：∵，
∴＝．
∴．
再根据切割线定理，得P A2＝PB?PF，
∴．
（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PF A，
而PC：CE：EP＝3：4：5，
∴P A：F A：PF＝3：4：5．
设PC＝3x，CE＝4x，EP＝5x，P A＝3y，F A＝4y，PF＝5y，∴EP2＝PC2+CE2，PF2＝P A2+F A2．
∴∠C＝∠CAF＝90°．
∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．
∵⊙O与⊙O'等圆，
∴AE＝AF＝4y．
∵AC2+CE2＝AE2
∴（3x+3y）2+（4x）2＝（4y）2即25x2+18xy﹣7y2＝0，∴（25x﹣7y）（x+y）＝0，
∴．
∴．