有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点P 处的外角. （椭圆的光学性质）
2. PT 平分12PF F ?在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，
除去长轴的两个端点. （中位线）
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义）
4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义）
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b
+=.（求导或用联立
方程组法）
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12P
P 的直线方程是00221x x y y
a b +=
7. 椭圆22
221x y a b
+= (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，
则椭圆的焦点角形的面积为122
tan
2
F PF S b γ
?=.（余弦定理+面积公式+半角公式）
8. 椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦半径公式：
10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).（第二定义）
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交
相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点，则MF NF ⊥. 证明：x ky c =+，
()22222222222
22120x y a b k y b cky b c a b a b +=?++++=22222222222
2,P O P O b c a b b cky y y y y a b k a b k --=+=++， 222222222222
2,P O P O a c a b k a c
x x x x a b k a b k -=+=++，
22
,N M P P Q Q
a a a a y y c c y a x y a x ++==++，()()00M N M N MF NF MF NF x c x c y y ⊥?=?--+=u u u r u u u r u u u r u u u r g ，
易得：()()4
2M N b x c x c c
--=-
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点, P Q ，且12,A A 为椭圆长轴上的顶点，1A P 和2A Q 交
于点M ，2A P 和1A Q 交于点N ，则MF NF ⊥.（MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上） 证明：首先证明准线，1A P 和2PA 公共点， 设(),P P P x y ，()
,Q Q Q x y ，不妨设P Q x x >，
1P
P y k x a =-，2Q Q y k x a
=-，
由()()12y k x a y k x a =-???=+??
， 得交点()()()1212P Q Q P P Q P Q Q P P Q x y x y a y y a k k x a k k x y x y a y y ++-+==--+++g ，由()22221
y k x c x y a
b ?=+?
?+=??，
得()
2222222222220b a k x a k cx a c k a b +++-=，令22222222M b a k N b a k c k =+=+-，，
22222P Q a c k a b x x M -=，222P Q a k c x x M -+=，22P Q b ck y y M +=，2P Q abkN
y y M
-=，
222P Q Q P a b k x y x y M -+=，2P Q Q P abckN x y x y M
--+=，则222222222a b k a bkN
a M M x a abckN a
b ck
c M M
-+
=
=--+g ， 再根据上一条性质可得结论。
11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦， 00(,)M x y 为AB 的中点，则2
2OM AB b k k a ?=-，
即020
2y a x b K AB -=。 （点差法）
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
（点差法）
13. 若在椭圆22
221x y a b
+=内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
（点差法）
二、双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△12PF F 在点P 处的内角. （同上）
2. PT 平分△12PF F 在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，
除去长轴的两个端点. （同上）
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. （同上）
4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） （同上）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）上，则过0P 的双曲线的切线方程是：
00221x x y y
a b
-=.（同上） 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12,P P ，
则切点弦12
P P 的直线方程是00221x x y y
a b
-=.（同上） 7. 双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为2,F F ，点P 为双曲线上任意一点：
12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
?=.（同上）
8. 双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的焦半径公式： 1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--（同上）
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ
分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF NF ⊥.（同上）
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q ，且12,A A 为双曲线实轴上的顶点，1A P 和
2A Q 交于点M ，2A P 和1A Q 交于点N ，则MF NF ⊥.（同上）
11. AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
0202y a x b K K AB OM =?，即020
2y a x b K AB =。（同上）
12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）内，则被0P 所平分的中点弦的方程是：
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.（同上） 13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是：
22002222x x y y
x y a b a b
-=-.（同上）
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
1. 椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于
12,P P 时，11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
证明：()111,P x y ，()111,P x y ，交点()00,P x y ，由()()1122y y x a x a y y x a x a ?=+?+??-?=+?+?
，得()
2222
10022
1y y x a x a -=--， 又22
11221x y a b +=，则2200221x y a b
-=
2. 过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于,B C 两
点，则直线BC 有定向且20
20
BC b x k a y =（常数）.
证明：
3. 若P 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 证法1（代数）
证法二（几何）
4. 设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点为1F 、2F , P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，
在△12PF F 中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c
e a
αβγ==+.
（上条已证）
5. 若椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，则当01e <≤时，
可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项.
6. P 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上任一点，1F 、2F 是焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7. 椭圆22
0022
()()1x x y y a b
--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
8. 已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）222
21111
||||OP OQ a b
+=+; （2）|OP|2
+|OQ|2
的最大值为22
22
4a b a b +;
（3）OPQ S ?的最小值是22
22
a b a b +.
证明
9. 过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点F 作直线交该椭圆右支于,M N 两点，弦MN 的垂直平分
线交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =. 证明
10. 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a ---<<.
11. 设P 点是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上异于长轴端点的任一点, 1F 、2F 是焦点，记
12F PF θ∠=，则(1) 2122||||1cos b PF PF θ=+. (2) 122
tan 2
PF F S b γ?=.
12. 设,A B 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，,c e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有：
(1)22222|cos |
||s ab PA a c co αγ
=-.
(2) 2
tan tan 1e αβ=-. (3) 22222cot PAB
a b S b a
γ?=-. 13. 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相
交于,A B 两点，点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
证明
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必
与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 证
16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率). （注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） （角分线定理+合比公式）
17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e .（角分线定理） 18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. （角分线定理）
双曲线
1. 双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲
线于12,P P 时，11A
P 与22A P 交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=. 2. 过双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线
于,B C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =-（常数）.
3. 若P 为双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）右（或左）支上除顶点外的任一点, 1F 、2F 是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22
c a co c a βα
-=+）. 4. 设双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的两个焦点为1F 、2F , P （异于长轴端点）为双曲线上任
意一点，在△12PF F 中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有：
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
5. 若双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，则当11
e <≤时，可在双曲线上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项.
6. P 为双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）上任一点, 1F 、2F 是焦点，A 为双曲线内一定点，则
21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是：
22222A a B b C -≤.
8. 已知双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）
22221111
||||OP OQ a b +=-; （2）2
2
OP OQ +的最小值为22
22
4a b b a -;
（3）OPQ S ?的最小值是22
22
a b b a
-. 9. 过双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于,M N 两点，弦MN
的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =. 10. 已知双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）,,A B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴
相交于点0(,0)P x , 则22
0a b x a
+≥或220a b x a +≤-.
11. 设P 点是双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）上异于实轴端点的任一点, 1F 、2F 是焦点，记
12F PF θ∠=，则：
(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=-.
(2) 122
cot
2
PF F S b γ
?=.
12. 设,A B 是双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，,c e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有： (1)22222|cos |
|||s |
ab PA a c co αγ=-.
(2) 2
tan tan 1e αβ=-.
(3) 2222
2cot PAB
a b S b a γ?=+. 13. 已知双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线
与双曲线相交于,A B 两点，点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连
线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相
垂直.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连
双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为
端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上） 16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e .
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
19. 已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=上一点()
000
,
P x y，以直线与椭圆交于,
M N两点，恒有
00
P M P N
⊥，则
直线横过
2222 00
2222
,
a b b a x y
a b a b ??
--
?
++
??
g g
证明
19. 已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=，不再椭圆上的一点P，过P做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于
,,,
A B C D四点，则,,,
A B C D四点共圆证明
其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦
长公式：
1212
AB x y y
=-=-
2、直线的一般式方程：任何直线均可写成0
Ax By C
++= (,A B不同时为0)的形式。
3、知直线横截距
x，常设其方程为
x my x
=+ (它不适用于斜率为0的直线)，与直线:0
l Ax By C
++=垂直的直线可表示为
1
Bx Ay C
-+=。
4、两平行线
11
:0
l Ax By C
++=，
22
:0
l Ax By C
++=
间的距离为d=。
5、若直线
11
:0
l Ax By C
++=与直线
22
:0
l Ax By C
++=平行，
则
1221
A B A B
-=（斜率）且
1221
B C B C
-≠（在y轴上截距）（充要条件）
6、圆的一般方程：()
2222
040
x y Dx Ey F D E F
++++=+->，特别提醒：只有当
2240
D E F
+->时，方程220
x y Dx Ey F
++++=才表示圆心为,
22
D E
??
--
?
??
，半径为
的圆。二元二次方程220
Ax Bxy Cy Dx Ey F
+++++=表示圆的充要条件是0
A C
=≠，且0
B=，且2240
D E AF
+->。
7、圆的参数方程：
cos
sin
x a r
y b r
θ
θ
=+
?
?
=+
?
（θ为参数），其中圆心为(),a b，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222
x y r
+=cos
x rθ
→=，sin
y rθ
=；
22
x y t
+≤cos
x rθ
→=，sin
y rθ
=
（0r
<≤
8、()()
1122
,,,
A x y
B x y为直径端点的圆方程()()()()
1212
x x x x y y y y
--+--=；
切线长：过圆220
x y Dx Ey F
++++=（()()
222
x a y b r
-+-=）外一点()
00
,
P x y引圆的切线
9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d ，弦长一半
1
2
a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2
2
2
12r d a ??
=+ ???
；②过两圆()1:,0C f x y =、()2:,0C g x y =交点的圆(公共弦)系为
()(),,0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程()(),,0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程.。
抛物线焦点弦性质总结30条
1. 以AB 为直径的圆与准线l 相切；
2. 2
124p x x =;
3. 2
12y y p =-;
4. 0
90AC B '∠=; 5. 0=90A FB ''∠;
6. 1232222sin p p AB x x p x α
??=++=+
= ???; 7.112AF BF p
+=; 8. ,,A O B '三点共线； 9. ,,B O A '三点共线；
10. 2
2sin AOB
p S α
?=； 11.3
22AOB S p AB ???
= ???
（定值）；
12. 1cos p AF α=-；1cos p
BF α
=+；
13. BC '垂直平分B F '； 14. AC '垂直平分A F '；
15. C F AB '⊥；
16. 2AB p ≥；
17.()11
22CC AB AA BB '''==+； 18. 3
AB P
k y =；
19.2
2tan 2y p x α=-
;
20. 2
4A B AF BF ''=g ;
21. 1
2
C F A B '''=
. 22. 切线方程()00y y m x x =+
23、AB 是抛物线()2
20y px p =>焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，1AA l ⊥，1BB l ⊥，
过,A B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有
结论6 PA PB ⊥ 结论7 PF AB ⊥ 结论8 M 平分PQ ．
结论9 PA 平分1A AB ∠，PB 平分1B BA ∠．
结论10 2
FA FB PF =u u u r u u u r u u u r g
结论11 ()2
min PAB S p ?=
二)非焦点弦与切线
思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果：
结论12 ①122P y y x p =
，12
2
P y y y += 结论13 PA 平分1A AB ∠，同理PB 平分1B BA ∠． 结论14 PFA PFB ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ
结论16 2
FA FB PF =u u u r u u u r u u u r g
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！ 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。
椭圆与双曲线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。
有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点 P 处的外角. （椭圆的光学性质） 2. PT 平分12PF F ?在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义） 4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导或用联立方程组法） 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y y a b += 7. 椭圆22 221x y a b += (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=， 则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+半角公式） 8. 椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的焦半径公式： 10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).（第二定义） 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交 相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点，则MF NF ⊥. 证明：x ky c =+， ()22222222222 22120x y a b k y b cky b c a b a b +=?++++=22222222222 2,P O P O b c a b b cky y y y y a b k a b k --=+=++， 222222222222 2,P O P O a c a b k a c x x x x a b k a b k -=+=++，
高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线
圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）
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一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆 上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆 长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的
圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两 点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+?? +=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴ ?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7
有关圆锥曲线的经典结论 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
收集整理：宋氏资料 2016-1-1 有关解析几何的经典神级结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点P 处的外角. （椭圆的光学性质） 2. PT 平分12PF F ?在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. （中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义） 4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导或用联立 方程组法） 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y y a b += 7. 椭圆22 221x y a b += (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=， 则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+半角公式） 8. 椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的焦半径公式： 10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).（第二定义） 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交 相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点，则MF NF ⊥. 证明：x ky c =+，
圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长
有关解析几何的经典结论 22 2 2 2 2 a c -a b k +_ 2a c 2*」2] 2 ，X P $ —, 2 2 1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角. （椭圆的光学性质） 2. PT平分.PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.（第二定义） 以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义） 2 2 若P o（X o, V o）在椭圆务?爲=1上，则过F0的椭圆的切线方程是暂?与二1.（求导或用联立 a b a b 方程组法） 2 2 若P°（X0，V0）在椭圆务+告=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为P,P2，则切点弦RP2的a b 直线方程是弩?辔=1 a2 b2 2 2 X V 椭圆r 2=1 （a b 0）的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点? F1PF2V',则 a b 椭圆的焦点角形的面积为S F PF=b2tan?.（余弦定理+面积公式+半角公式） 2 2 椭圆X2=1（a b 0）的焦半径公式： a b |MF1〔 = a ex , | MF21二a -ex g（F/-c,0）, F2（c,0），M（X o,y。））.（第二 定义） 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P,Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别 交相应于焦点F的椭圆准线于M,N两点，则MF _ NF . 证明：x 二ky ? c， 2 2 务占二仁a2 b2k2 y2 2b2cky b2c2 a2b2 a b ,2 2 2, 2 b c -a b V P V O =a2 b2k ,V P - 2b2cky a2 b2k2 X p X o
椭圆、双曲线、抛物线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！ 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是
圆锥曲线十大经典结论二 轨迹类 一、关于22 a b - （1）（垂径定理）：椭圆12222=+b y a x 相交弦AB 的斜率与其中点M 到原点的斜率之积是定值22 a b -，即22a b k k MO AB -=? （2）椭圆12222=+b y a x 上任意一点P 到过椭圆的中心的弦的两个端点B A ,的斜率之积为定值22 a b -，即22a b k k PB PA -=? （3）双曲线122 22=-b y a x 上任意一点P 到过双曲线的中心的弦的两个端点B A ,的斜率之积为定值22a b ，即22 a b k k PB PA =? 推导过程：
例1、（江苏模拟）已知21,A A 分别为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右顶点，椭圆C 上异于21,A A 的点P 恒满足9 421-=?PA PA k k ，则椭圆C 的离心率为_______________________ 例2、（上海模拟）若双曲线)0(222>=-a a y x 的左、右顶点分别为B A ,。点P 是第一象限内双曲线上的点，若直线PB PA ,的倾斜角分别为βα,且αβm =（1>m ），那么α的值为_____________ 六、关于122=+b y y a x x οο （1）过椭圆12222=+b y a x 上一点),(οοy x P 作椭圆的切线，切线方程为122=+b y y a x x οο （2）过椭圆122 22=+b y a x 外一点),(οοy x P 作椭圆的两条切线，B A ,B A ,为切点，则过切点B A ,的切点线方程为122=+b y y a x x οο （3）过点),(οοy x P 作椭圆122 22=+b y a x 的相交线PAB ，其中B A ,为交点，对于AB 上动点Q （异于P ）满足 )1,0(≠>==λλλQB AQ PB AP ，则点Q 在直线122=+b y y a x x οο上。
有关圆锥曲线的经典结论 ★说明：圆锥曲线我们并未学完,有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此! 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线ＰＴ平分△PF １F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△ＰF 1F ２在点P 处的外角,则焦点在直线P Ｔ上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点....文档交流 仅供参考... 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切． 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Ｐo 作椭圆的两条切线切点为P １、P ２，则 切点弦Ｐ1Ｐ2的直线方程是00221x x y y a b +=． 7. 椭圆22 221x y a b += (ａ〉b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞０）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-（1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ）. 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥N Ｆ....文档交流 仅供参考... 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点Ｐ、Q ， A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1Ｐ和 A 2Q 交于点Ｍ，A 2Ｐ和A １Q 交于点N ，则ＭF ⊥NF 。...文档交流 仅供参考... 11. A Ｂ是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,Ｍ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=.