求复数平方根的一种特殊方法
惠州市惠台学校 李云梦
在求一个复数的平方根时，经常采用的方法是先将此复数化为三角式，再求其平方根，此法虽好，但其过程一定要借助三角式，其结果仍用三角式表示；可能否在求根的过程不借助三角式，笔者在平时的解题过程中，发现这种方法是有的。现将我摸索出的方法介绍如下： 题目：求z=a ＋bi 的平方根
解：设z ’=x ＋yi 是z=a ＋bi 的一个平方根。r’是z ’的模，r 是z 的模，依题意有： (x+yi)2=a+bi
把等式左边展开：
x 2＋2xy －y 2=a ＋bi
显然有： x 2－y 2=a ……①
2xy=b ……②
因为r ’是z ’的模，r 是z 的模，所以r ’，z ’是z 的平方
根，故有：
r’2=r
x 2＋y 2
由①和③组成方程组：
x 2－y 2=a ……④
x 2＋y 2
这里只要分别求x ，y 的值，便能得到z 的平方根。
由④＋⑤得：
2x 2=a
∴x=12由⑤－④得：
2y 2 a
∴y=这样，我们得到x ，y 的解：
x=，y= 这里的值有四组，可我们知道z 的平方根仅有两个，那么如何确定是哪两组数值呢？ 我们注意到②中，有2xy=b ，所以x ，y 的符号由b 的符号决定。也就是b>0时，x ，y 同号，b<0时，x ，y 异号。这样我们就能确定的数值最终是哪两组。
所以z=a=bi 的平方根是：
如果b>0，则为：
i i 如果b<0，则为：
i i 现在举几个例子，进一步具体地说明如何用这方法求一个求复数的平方根。 举例一：求9＋40i 的平方根
解：设x ＋yi 是9＋40i 的一个平方根。依题意有：
(x ＋yi)2=9＋40i
把等式左边展开
x 2＋2xy －y 2=9＋40i ，
由上式得： x 2－y 2=9
x 2＋y 2=41
解得：x=±5，y=±4
因为b=40>0，x ，y 同号，所以我们就能确定x ，y 的数值是：
x=5 x=－5
y=4 y=－4
∴9＋40i 的平方根是5＋4i 和－5－4i 。
以上过程和结果均可检验，这里限于篇幅，笔者就从略，留与读者自行检验。 举例二：求11－60i 的平方根
解：设x ＋yi 是11－60i 的一个平方根。依题意有：
(x ＋yi)2=11－60i
显然有：
x 2－y 2=11
x 2＋y 2=61
解得：x=±6，y=±5
因为b=－60<0，x ，y 异号，
∴11－60i 的平方根是6－5i 和－6＋5i 。
最后，再举例教材中的一例。
举例三：人教版的高级中学课本，代数（乙种本）中的一道练习题，P169第三题第2小题。
求12i 的平方根
解：设x ＋yi 是
12i 的一个平方根。依题意有：
(x ＋yi)2=12i
显然有： x 2－y 2=12
x 2＋y 2=1
解得：x=±
12，y=
因为，x ，y 同号，
∴122+i 的平方根是122+i 和12－2
i 从上面几例中可看出，此方法确能用于求一个复数的平方根。也是我在工作中的心得，在此发表，愿与各位同行就这个问题再探讨。有不确之处，还望诸君指正。
2014年5月13日
平方根与立方根在实际生活中的应用 江苏刘顿 数的发展是人们长期在实践中总结出来的，又反过来为我们的实际生活而运用，下面以数的开方在实际生活中的应用，举例说明． 例1小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱的尺寸为50×40×30(长度单位为厘米)．现小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，问这两个正方体纸箱的棱长为多少厘米? 分析：就是说要求的正方体的体积是原来长方体的体积的一半，于是，设正方体的棱长为x厘米，则可以根据题意列出方程，再用数的开方求得． 解：设正方体的棱长为x厘米，则根据题意，得x3＝1 2 ×50×40×30．即x3＝30000， 两边开立方得x＝ 例2小芳想在墙壁上钉一个三角架，其中两直角边长度之比为3∶2，斜边长520厘米，求两直角边的长度． 分析：由于是要求的两直角边的长度，而两直角边长度之比为3∶2，所以可以设两直角边长度分别为3x，2x，又斜边长520厘米，所以利用勾股定理即可求得．解：设两直角边长度分别为3x，2x． 在直角三角形中，因为斜边长520厘米，所以由勾股定理，得(3x)2+(2x)2＝(520)2． 即x2＝40，两边开平方，得x＝3x＝2x＝ 别为 例3八年级(3)班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为7米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2米远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球．问这位同学能拿到球吗? 分析：依题意梯子与树干地面刚好构成了直角三角形，此时只要利用勾股定理梯子的顶端到地面的距离，即可以判断这位同学能拿到球了． 解：设梯子的顶端到地面的距离是x米．则根据题意，得x2+22＝72，即x2＝45．两 边开平方，得x＝6，所以这位同学能拿到球． 例4一个长方体的长为5cm、宽为2cm、高为3cm，而一个正方体的体积是它的3倍．求这个正方体的棱长(结果精确到0.01cm)． 分析：由正方体的体积是长方体的体积的3倍，可以设这个正方体的棱长为x cm，于是得到方程求解． 解：设这个正方体的棱长为x cm．根据题意，得x3＝3×5×2×3，即x3＝90， 两边开立方，得x 4.48．即这个正方体的棱长约为4.48cm．
余弦定理证明过程 余弦定理证明过程 =a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina………… ①-aos=osa-b…… ②由 ①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由 ②得aos=b-osa，平方得： a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由 ①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2- 2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明: mb= m=ma=√^2-a*osb) =√ 由b^2=a^2+^2-2a*osb 得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^ 2，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 同理可得： mb=
m= 4 ma=√^2-a*osb) =√ 由b^2=a^2+^2-2a*osb 得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^ 2，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 证毕。 第五篇： 余弦定理的多种证明 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活． 对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质 a^2=b^2+^2-2*b**osa b^2=a^2+^2-2*a**osb ^2=a^2+b^2-2*a*b*os os=2ab osb=2a osa=2b 证明：
【课堂例题】 例1.求下列复数的平方根 (1)34i -+ (2)i 例2.设12ω=- ,利用ω是1的立方根,求证: (1)2ω也是1的立方根;(2)210ωω++= 课堂练习 1.求下列复数的平方根 (1)1630i -+ (2)负实数a 2.在复数范围内分解因式:22x i - 3.利用1的立方根,求下列实数的立方根. (1)8 (2)-27 4.设122 ω=- +,求221ωω+和2013ω的值.
【知识再现】 1.如果复数a bi +和,,,,c di a b c d +∈R 满足 ,则称a bi +是c di +的一个平方根,另一个平方根是 . 如果复数a bi +和,,,,c di a b c d +∈R 满足 ,则称a bi +是c di +的一个立方根. 2.-1的平方根是 ;1的立方根是 . 【基础训练】 1.12-的平方根是 . 2.利用1的立方根可知18 的三个立方根分别为 . 3.已知m ∈R ,则3()m i += .(展开为复数的代数形式) 4.若ω是1的虚立方根，则下列说法正确的是 .(写出所有正确命题的序号) A.91ω= B.21,,ωω是1的三个不同的立方根； C.2ωω=； D.21ωω = E.||1ω= F.210ωω++= 5.求复数122 - +的平方根. 6.已知2 512z i =-,求z . 7.利用1的立方根,计算8(1)-
【巩固提高】 8.求i 的立方根. 9.复数z 的平方等于86i +，求310016z z z -+的值. (选做)10.已知x ∈C ,2 10x x ++=. (1)求10201x x ++的值； (2)求证：20112012201120121 1x x x x +=+. 【温故知新】 11.已知复数||1z =,则复数234z i +-对应的点的轨迹方程是 . (用,x y 表示)【课堂例题答案】
余弦定理的八种证明方法 2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。 用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。 一余弦定理的内容 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质 a2 = b2 + c2- 2·b·c·cosA b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cosB c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cosC 二证明方法 方法一：平面几何法 ∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c2=a·a+2a·b+b·b ∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ) 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ 再拆开，得c^2=a2+b2-2*a*b*cosC
方法二：勾股法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB 方法三：解析法 在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，设三角形三边abc 则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA） ∵BC=a 则由距离公式得a=（c-bcosA）2-（bsinA）2 化简得a=c2+b2-2bccosA ∴a2=c2+b2-2bccosA 方法四：面积法 S△ACQ=(1/2)bc(cos∠BAC), S△PBC=(1/2)ac(cos∠CBA),
13．5复数的平方根和立方根 上海市新中高级中学 陈传军 一、教学内容分析 在学习了复数的加、减、乘、除四则运算和乘方运算的基础上，进一步学习复数的开方.课本从复数的开方是乘方的逆运算引入的复数平方根和立方根的定义.由复数的平方和复数相等从而得到复数的平方根.由于求复数的立方根需要进一步的复数知识，所以课本只给出了立方根的定义和1的立方根的简单的性质. 二、教学目标设计 理解并掌握复数的平方根和立方根的定义及平方根的求法，并能熟练计算复数平方根；理解并掌握1的立方根简单性质并能在实际问题中加以简单应用. 三、教学重点及难点 复数平方根和立方根的定义和平方根的求法；理解和掌握复数立方根的定义和1的立方根基本性质. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、情景引入 1．复习复数相等的定义; 2．复习复数乘法和乘方的运算法则． 二、学习新课 我们引入虚数的目的之一就是为了解决负数开平方的问题. 问题1：请同学们根据前面所学的知识，回答1,1-的平方根分别是多少？ 1.复数的平方根 通过同学们的讨论，知道在实数集R 内开方是乘方的逆运算. 同样在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足： 复习引入新课 平方根的定义 利用定义解决问题 例题选讲熟练运算 立方根的 定义 1的立方根及应用 例题选讲熟练运算 课堂小结布置作业
di c bi a +=+2)( 则称bi a +是di c +的一个平方根. 例题选讲 例1 求下列复数的平方根 i 247)2(3)1(-- [说明]（1）从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根都有相应的两个复数； （2）复数的平方根一般不要记为 z . 例2 求下列复数的平方根 i i 43)2(4)1(- 解：（1）设),(R b a bi a ∈+是i 4的平方根，则 i bi a 4)(2=+, i abi b a 4222=+-, 由两个复数相等的条件，得: ? ??==-42022ab b a , 解得 ???==22 b a 或 ???-=-=22 b a . 所以，i 4的一个平方根是i 22+，另一个平方根是i 22--. （2）设),(R b a bi a ∈+是i 43-的平方根，则 i bi a 43)(2-=+, i abi b a 43222-=+-, 由两个复数相等的条件，得 ? ??-==-42322ab b a , 解得 ???-==12b a 或 ???=-=1 2b a ,
平方根与立方根知识点平方根 1.概念： （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 （4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号2a表示， a叫做被开方数，2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示，a的平方根合起来记作“±2a，其中“2”读作“二次根号”“2a”读作“二次根号下a ”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“±2a”读作“正、负根号a” （5）算术平方根：注： 1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质； 2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同： 联系：①具有包含关系： ②存在条件相同：
立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数 （2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 （3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零 （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号3a来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 相关概念 某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （a≥0,b≥0）。 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根， 即（a≥0,b>0）。 开方运算 我们知道，当a≥0时，│a│=a；当a<0时，│a│=a.综上所述，有
毕业论文题目：用复数证明代数问题学号：24111101025 姓名： 教学院： 专业班级： 指导教师： 完成时间：2015年5月1日 教务处制
贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）任务书 注：本表一式一份，用于装订完整文本。
贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）学生诚信声明书本人郑重声明：本人所提交的毕业论文(设计)《》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果，论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果，均在论文中加以说明；对本文研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况，本人愿承担全部责任。 论文(设计)作者：（签字）时间：年月日 指导教师：（签字）时间：年月日 贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文(设计)《》是本人在校期间所完成学业的组成部分，是在指导教师的指导下完成的，论文（设计）工作的知识产权属于贵州工程应用技术学院。本人同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅；本人授权贵州工程应用技术学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、网页制作或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。毕业论文（设计）无论做何种处理，必须尊重本人的著作权，署明本人姓名。 未经指导教师和贵州工程应用技术学院同意，本人不擅自发表毕业论文(设计)相关研究内容或利用毕业论文(设计)从事开发和盈利性活动。毕业后若发表毕业论文(设计)中的研究成果，需征得指导教师同意，作者第一单位署名应为“贵州工程应用技术学院”，成果发表时本人工作（学习）单位可以在备注中注明。 论文(设计)作者：（签字）时间：年月日 指导教师：（签字）时间：年月日
平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49±
【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号 a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a
平方根和立方根（讲义） ?课前预习 1.填空： (_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16． 由上述运算可知： ①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是 _______；_______（“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数． ②互为相反数的两个数的平方________． 2.做一做，想一想 把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x，则x满足的条件为__________． ?知识点睛 1.平方根：一般地，如果一个_______________________，即__________，那么这个
________就叫做a 的平方根；也叫做____________；记作________，读作 “____________”． 2. 一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是 ________；负数________平方根． 3. 算术平方根：一般地，如果一个_______________________ 这个________就叫做a 的算术平方根；记作______，读作“平方根是______． 4. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______5. 立方根：一般地，如果一个_______________________，即________就叫做a 的立方根；也叫做____________；记作“____________”． 6. 正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______． 7. 求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______． ? 精讲精练 1. 4121 的平方根是_________；(14-)2的算术平方根是_______． 2. 下列说法正确的是（ ） A ．-2是-4的平方根 B ．2是(-2)2的算术平方根 C ．(-2)2的平方根是2 D ．8的平方根是4 3. 下列说法正确的是（ ） A ．-81的平方根是±9 B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C ．任何一个数的算术平方根都是正数 D ．2是4的平方根 4. 下列各式中，正确的是（ ） A = B ．0.6=± C 13= D 6=± 5. 下列各式中，正确的是（ ） A ．-(-7)=7 B ．412=121
平方根与立方根知识点 1、平方根： （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 （4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读 作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”. （5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是 ：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同： 2、立方根： 1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数 （2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。 注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.
实数可按下图进行详细分类： 0???????????? ?????? ?? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ???? ?? ?? 正整数 整数 负整数有理数 有限小数或无限循环小数 正分数 实数分数 负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 实数与数轴上的点一一对应. ( 以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法： 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2 x a = ，则x 就叫做 a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为 “ ” ． 算术平方根： 一个正数 a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为 ； 有一个平方根，就是0， 0的算术平方根也是 0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根 .（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究） 一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若 0a ≥ . 平方根的计算： 知识点睛 中考要求 平方根和立方根
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 通过验算我们可以知道： ⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： ①若0a ≥ ，则2a =；②不管a (0) ||(0)a a a a a ≥?==?-
1、什么叫做平方根？ 如果一个数的平方等于9，这个数是几？ ±3是9的平方根；9的平方根是±3。 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。 数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 4的平方根是 ； 149 的平方根是 。 的平方根是0.81。 如果225x =，那么x = 。2的平方根是 ？ 2、平方根的表示方法： 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。 这两个平方根合起来记作“a ± ”，读作“正，负根号a ”. 表示 ，= 。 2的平方根是 ；如果22x =，那么x = 。 3、平方根的概念： 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 求一个数的平方根的运算叫做开平方。 4、算术平方根： 正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根. 例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2； 2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。 5、算术平方根的性质： ⑴ 0≥0a ≥。 ⑵),0(2≥=a a a )0(2 ≤-=a a a ， )0()(2 ≥=a a a 6、什么叫做立方根？ 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根。 即如果a x =3,那么x 就叫做a 的立方根。记为3 a ，读作“三次根号a ”. 7、立方根的概念： 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0本身。互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。
求一个数的立方根的运算叫做开立方。 1.平方根： （1）若x 2 =a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方 根, 记为 。规定，0的算术平方根为 。 （2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。 （3）两个公式：（a ）2 ＝ （ ）； =2 a 2.立方根： 1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ； 2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。 3）立方根的性质：（1） 3 ＝ ，（2＝ . 平方根 一、填空题 1．1的平方根是 ， 的平方根是0 2．=36 ；=-2)9( ；=--2 ) 3( 。 3． 当0≥a 时，a ± 表示的意义是 ，其中被开方数是 . 225的算术平方根用符号表示为 ，它的结果是 。 4． -7的平方的算术平方根是 ，3的平方的平方根是 。 二、选择题 1．下列语句写成数学式子正确的是（ ） A. 9是81的算术平方根：981=± B ．5是()2 5-的算术平方根： ()552 =- C ．6±是36的平方根：636±= D ．-2是4的负的平方根：24-=- 2．下列说法正确的是 ( ) A. 只有正数才有平方根 B. 一个数的算术平方根一定是正数 C. 一个非负数的算术平方根一定是非负数 D. 81的平方根是9± 三、求下列各数的平方根 1． 0.64 2． 9 4 3．2500 4．2 )3(- 四、求下列各数的算术平方根 1． 4 2． 81 64 3．2.56 4．2 )3(-
用复数证明余弦定理法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， ∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 根据向量的运算： =(-acos B,asin B)， = - =(bcos A-c,bsin A), (1)由 = ：得 asin B=bsin A,即 = . 同理可得： = . ∴ = = . (2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 又| |=a, ∴a2=b2+c2-2bccos A. 同理： c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二：如图5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accos B. 即b2=a2+c2-2accos B.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 2 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。 过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得： c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。 2
§12.1 平方根与立方根 第一课时平方根（9月1日星期二） 教学目的： 1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 教学重点和难点： 重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念； 关键：对符号“”意义的理解。 学法指导： 根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导： 1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。 教学过程： 一、引入新课： 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑： （1）计算：42；(－4)2 (0.8)2；(－0.8)
2、知识形成： 知识点一： 我们可以设这个数为x ，则2x ＝16，问题归结为求x 以通过乘方运算来解决。 因为42＝16所以x ＝4 ；又因为(－4)2＝16，所以x ＝－4 。4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2＝16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，二次方根)。就是说，如果x 2＝a,那么如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2＝529，所以±23是529问：（1）16，49，100，1 100根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，是0本身；负数没有平方根。 知识点二： 概括：求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数，0的平方是0。互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2； 2 )32 1( ； －（3）已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？
余弦定理的六种证法 法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求 c 。 过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于，是＝， cos cos ,CD AC b c == 在Rt ABD ?中，2222222(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-， 法二（平面向量）： 222()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ?=+?+=??+=+? 2 22 cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+ ，即：2222cos c a b ab c =+- 法三（解析几何）：把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b ， CB=a ，AB=c ，则A ，B ，C 点的坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0)． |AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ， 即c 2=a 2+b 2－2abcosC ． 法四（利用正弦定理）： 先证明如下等式：C B A C B A cos sin sin 2sin sin sin 2 2 2 =-+ ⑴ 证明：C B A 2 2 2 sin sin sin -+ C
()()()()()[] C B A B A B A C C B A B A C B A c o o s C B A c o s s i n s i n 2c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2 2c o s 12c o s 22 122c o s 12 2c o s 122c o s 12 =+--=+-+-=++ +- =-- -+ -= 故⑴式成立，再由正弦定理变形，得 )2(s i n 2s i n 2s i n 2?? ? ??===C R c B R b A R a 结合⑴、)2(有 () . c o s 2c o s s i n s i n 24s i n s i n s i n 42 2 2 2 2 2 2 2 C ab C B A R C B A R c b a =?=-+=-+ 即 C ab b a c cos 22 22-+=. 同理可证 A bc c b a cos 22 2 2 -+=；B ca a c b cos 22 2 2 -+=. 法五（用相交弦定理证明余弦定理）: 如图，在三角形ABC 中，∠A=α，AB=a ，BC=b ，AC=c 。现在以B 为圆心，以长边AB 为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C 点在圆内。BC 的延长线交圆B 于点D 和E 这样以来，DC=a-b ，CE=a+b ，AC=c 。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c 。根据相交弦定理有： DC×CE=AC×CG ，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα-c) 化简以后就得b 2=a 2+c 2+2accosα。也就是我们的余弦定理。 法六（面积解释）： 如图9，以△ABC 的三边为边长向外作三个正方形，， 交AB 于K 。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将 看作是 旋转而成)，进而可得；同理，所以直角三角形斜边上的正方 形面积等于两直角边上两正方形面积之和。
【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 - （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这 个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数． { 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x = 。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5， =50。 } （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =
初一数学平方根和立方根复习题 1、求下列各式的值： ①44.1 ②964 ③25241+ ④±10049 ⑤2 3322781?? ? ??-+-+ 2、下列各数中，有理数有____________________，无理数有_____________． 3 2，π，2 5 -，2，320，94，0，5-，38-，0.3737737773…(相邻两个3之间多一个7) 3、当m ≠0时，|m |是_______的算术平方根． 4、① 41的平方根是（ ）． A ．161 B ．81 C ．21 D ．±2 1 ②()2 2-的平方根是（ ）． A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．2 ③“ 2536的平方根是5 6 ±”用式子表示为（ ）． A ． 2536=56± B ．±2536=5 6 ± C ．2536=56 D ．-2536=-56 ④算术平方根等于它相反数的数是（ ）． A .0 B .1 C .0或1 D .0或±1 ⑤下列说法中错误的是（ ）． A .9的算术平方根是3 B .4的平方根是±2 C .64的立方根是±4 D .立方根等于-1的实数是-1 5、① ________； ②若 ，则a _________； ③若 a a -+11 2有意义，那么a 的取值范围是____________； ④当 ()11 12 =--x x 时，x 的取值范围是____________； ⑤若12 =x x ，则x _________． ⑥已知()()08122 2 =++ -y x ，求33y x -的值．
6、①169的算术平方根是_________；② 81 1 的平方根是_________； ③3-是________的一个平方根，() 2 7-的算术平方根是___________； 7、64的立方根是（ ）． A .2 B .±2 C .4 D .±4 8、若│x2-25│+3y -=0，则x=_______，y=_______. 9、已知等腰三角形的两边长b a ,满足()013325322 =-+++-b a b a ，求三角形的周长。 10、选择正确答案： ⑷下列运算正确的是（ ）。 A . ()13132 =-- B . 6)6(2-=- C . 525-=- D . 4 3 169±= ⑸如果a ＜0，那么a 的立方根是（ ） A . 3 a B . 3 a - C . 3a - D .3a ± ⑹下列各整数中，与30最接近的是（ ）． A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 ⑺若实数x ，y 满足0)1(2122=-+-y x ，则x+y 的值等于（ ）． A .1 B .23 C . 2 D .2 5
16.9 二次根式的混合运算 初二（ ）班 姓名： 学号： 2006年2月27日 平方根与立方根的概念与性质， 1. 根据第1小题和第2小题，判断正误： (1)如果y 2 = 4，那么y =4. ( )(2)如果y 2 = 4，那么y =4±. ( ) (3)如果y 2 = 4，那么y =4±. ( )(4)如果y 3 = 8，那么y =38±. ( ) (5)如果y 3 = 8，那么y =38. ( )(6)如果y 3 = -8，那么y =38-. ( ) (7)如果y 3 = -8，那么y =38-. ( ) .（B 组） :1) 3的平方根是 ，算术平方根是 。 2) 5的平方根是 ，算术平方根是 。 1. 16的平方根是 ，算术平方根是 。 2. 327的立方根是 。 3. 364-的立方根是 。 4. 3125的立方根是 。 5. 3x – 4 的算术平方根是0，则x = 。 6. 算术平方根等于它本身的数是 。 二、化简： 34a = ；3×6= ；315= ； 5 1= ； 20 8= ；5×10= ； 5 40= ； 28 14= 。
16.9 二次根式的混合运算 （1） 553 （1）354- （2） 12 .04.8 （3）3 663 （4）6 1 2 11÷ （5）531513÷ （6）6 5 3 21÷ （7）1785÷- 二、巩固练习： 1．判断下列计算是否正确？并说明理由。 （1）532=+ （2）2222=+ （3）2332=- （4）532942 18 8=+=+=+ 2．计算：(1)48327 1 4122+- (2)10 1252403--(3)31 27112-+ (4) 505 1 283231-+(5)???? ??--???? ??--681 3225.024 (6)y y x y x x 1241+-+ (7)243 2 115÷? (8) ??? ? ??÷?b a b b a 1(9)()152363- (10)()1241052+(11)()375312?- (12)()3 261222?-+(13)xy y x x y xy ???? ? ?? -+ (14)() ab ab ab b a ?-+33