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2
7
Electromagnetic Casimir densities for a wedge with a coaxial cylindrical shell A.A.Saharian ?Department of Physics,Yerevan State University,1Alex Manoogian Street,375025Yerevan,Armenia February 1,2008Abstract Vacuum expectation values of the ?eld square and the energy-momentum tensor for the electromagnetic ?eld are investigated for the geometry of a wedge with a coaxal cylindrical boundary.All boundaries are assumed to be perfectly conducting and both regions inside and outside the shell are considered.By using the generalized Abel-Plana formula,the vacuum expectation values are presented in the form of the sum of two terms.The ?rst one corresponds to the geometry of the wedge without the cylindrical shell and the second term is induced by the presence of the shell.The vacuum energy density induced by the shell is negative for the interior region and is positive for the exterior region.The asymptotic behavior of the vacuum expectation values are investigated in various limiting cases.It is shown that the vacuum forces acting on the wedge sides due to the presence of the cylindrical boundary are always attractive.PACS numbers:03.70.+k 1Introduction The Casimir e?ect is among the most interesting macroscopic manifestations of vacuum ?uctu-
ations.It have important implications on all scales,from cosmological to subnuclear,and has become in recent decades an increasingly popular topic in quantum ?eld theory.In addition to its fundamental interest the Casimir e?ect also plays an important role in the fabrication and operation of nano-and micro-scale mechanical systems.The imposition of boundary conditions on a quantum ?eld leads to the modi?cation of the spectrum for the zero-point ?uctuations and results in the shift in the vacuum expectation values for physical quantities such as the energy density and stresses.In particular,the con?nement of quantum ?uctuations causes forces that act on constraining boundaries.The particular features of the resulting vacuum forces depend on the nature of the quantum ?eld,the type of spacetime manifold,the boundary geometries and the speci?c boundary conditions imposed on the ?eld.Since the original work by Casimir [1]many theoretical and experimental works have been done on this problem (see,e.g.,[2,3,4,5]and references therein).Many di?erent approaches have been used:mode summation method
with combination of the zeta function regularization technique,Green function formalism,mul-tiple scattering expansions,heat-kernel series,etc.Advanced?eld-theoretical methods have been developed for Casimir calculations during the past years[6,7,8].However,there are still di?culties in both interpretation and renormalization of the Casimir e?ect.Straightforward computations of geometry dependencies are conceptually complicated,since relevant informa-tion is subtly encoded in the?uctuations spectrum[8].Analytic solutions can usually be found only for highly symmetric geometries including planar,spherically and cylindrically symmetric boundaries.Recently the Casimir energy has been evaluated exactly for several less symmetric con?gurations of experimental interest.These include a sphere in front of a plane and a cylinder in front of a plane[9].
A great deal of attention received the investigations of quantum e?ects for cylindrical bound-aries.In addition to traditional problems of quantum electrodynamics under the presence of material boundaries,the Casimir e?ect for cylindrical geometries can also be important to the ?ux tube models of con?nement[10,11]and for determining the structure of the vacuum state in interacting?eld theories[12].The calculation of the vacuum energy of electromagnetic?eld with boundary conditions de?ned on a cylinder turned out to be technically a more involved problem than the analogous one for a sphere.First the Casimir energy of an in?nite perfectly conducting cylindrical shell has been calculated in Ref.[13]by introducing ultraviolet cuto?and later the corresponding result was derived by zeta function technique[14,15,16].The local characteristics of the corresponding electromagnetic vacuum such as energy density and vacuum stresses are considered in[17]for the interior and exterior regions of a conducting cylindrical shell,and in[18]for the region between two coaxial shells(see also[19]).The vacuum forces acting on the boundaries in the geometry of two cylinders are also considered in Refs.[20]. The scalar Casimir densities for a single and two coaxial cylindrical shells with Robin boundary conditions are investigated in Refs.[21,22].Less symmetric con?guration of two eccentric per-fectly conducting cylinders is considered in Ref.[23].Vacuum energy for a perfectly conducting cylinder of elliptical section is evaluated in Ref.[24]by the mode summation method,using the ellipticity as a perturbation parameter.The Casimir forces acting on two parallel plates inside a conducting cylindrical shell are investigated in Ref.[25].
Aside from their own theoretical and experimental interest,the exactly solvable problems with this type of boundaries are useful for testing the validity of various approximations used to deal with more complicated geometries.From this point of view the wedge with a coaxial cylindrical boundary is an interesting system,since the geometry is nontrivial and it includes two dynamical parameters,radius of the cylindrical shell and opening angle of the wedge.This geometry is also interesting from the point of view of general analysis for surface divergences in the expectation values of local physical observables for boundaries with discontinuities.The nonsmoothness of the boundary generates additional contributions to the heat kernel coe?cients (see,for instance,the discussion in[26,27,28]and references therein).The present paper is concerned with local analysis of the vacuum of the electromagnetic?eld constrained to satisfy perfectly conducting boundary conditions on boundary surfaces of a wedge with a coaxial cylin-drical https://www.doczj.com/doc/572004811.html,ly,we will study the vacuum expectation values of the?eld squares and the energy-momentum tensor for the electromagnetic?eld for both regions inside and outside the cylindrical shell.In addition to describing the physical structure of the quantum?eld at a given point,the energy-momentum tensor acts as the source of gravity in the Einstein equa-tions.It therefore plays an important role in modelling a self-consistent dynamics involving the gravitational?eld.The vacuum expectation value of the square of the electric?eld determines the electromagnetic force on a neutral polarizable particle.Some most relevant investigations to the present paper are contained in Refs.[2,29,30,31,32,33],where the geometry of a wedge without a cylindrical boundary is considered for a conformally coupled scalar and electromag-
netic?elds in a four dimensional spacetime.The total Casimir energy of a semi-circular in?nite cylindrical shell with perfectly conducting walls is considered in[34]by using the zeta function technique.For a scalar?eld with an arbitrary curvature coupling parameter the Wightman function,the vacuum expectation values of the?eld square and the energy-momentum tensor in the geometry of a wedge with an arbitrary opening angle and with a cylindrical boundary are evaluated in[35,36].Note that,unlike the case of conformally coupled?elds,for a general coupling the vacuum energy-momentum tensor is angle-dependent and diverges on the wedge sides.Our method here employs the mode summation and is based on a variant of the gen-eralized Abel-Plana formula[37](see also Refs.[19,38]).This enables us to extract from the vacuum expectation values the parts due to a wedge without the cylindrical shell and to present the parts induced by the shell in terms of strongly convergent integrals.Note that the closely related problem of the vacuum densities induced by a cylindrical boundary in the geometry of a cosmic string is investigated in Refs.[39,40]for both scalar and electromagnetic?elds.
We have organized the paper as follows.In the next section we describe the structure of the modes for a wedge with a cylindrical shell in the region inside the shell.By applying to the corresponding mode sums the generalized Abel-Plana formula,we evaluate the vacuum expectation values of the electric and magnetic?eld square.Various limiting cases of the general formulae are discussed.Section3is devoted to the investigation of the vacuum expectation values for the energy-momentum tensor of the electromagnetic?eld in the region inside the shell.The additional vacuum forces acting on the wedge sides due to the presence of the cylindrical boundary are evaluated.In section4we consider the vacuum densities for a wedge with the cylindrical shell in the exterior region with respect to the shell.Formulae for the shell contributions are derived and the corresponding surface divergences are investigated.The vacuum forces acting on the wedge sides are discussed.The main results are summarized and discussed in section5.
2Vacuum expectation values of the?eld square inside a cylin-drical shell
Consider a wedge with the opening angleφ0and with a coaxial cylindrical boundary of radius a(see?gure1)assuming that all boundaries are perfectly conducting.In accordance with the problem symmetry,in the discussion below the cylindrical coordinates(r,φ,z)will be used.We are interested in the vacuum expectation values(VEVs)of the?eld square and the energy-momentum tensor for the electromagnetic?eld.Expanding the?eld operator in terms of the creation and annihilation operators and using the commutation relations,the VEV for a quantity F{A i,A k}bilinear in the?eld can be presented in the form of the mode-sum
0|F{A i,A k}|0 = αF{Aαi,A?αk},(1)
where{Aαi,A?αk}is a complete set of solutions of the classical?eld equations satisfying the boundary conditions on the bounding surfaces and speci?ed by a set of quantum numbersα.
In accordance with formula(1),for the evaluation of the VEVs for the square of the electric and magnetic?elds and the energy-momentum tensor,the corresponding eigenfunctions are needed.In this section we consider the region inside the cylindrical shell(region I in?gure 1).For the geometry under consideration there are two di?erent types of the eigenfunctions corresponding to the transverse magnetic(TM)and transverse electric(TE)waves.In the discussion below we will specify these modes by the indexλ=0andλ=1for the TM and TE waves respectively.In the Coulomb gauge,the vector potentials for the TM and TE modes are
δαα′,(4)
ω
where the integration goes over the region inside the shell.From this condition,by using the standard integral involving the square of the Bessel function,one?nds
4qT qm(γa)
β2α=
ascending order.Consequently,the eigenfunctions are speci?ed by the set of quantum numbers α=(k,m,λ,n ).
First we consider the VEVs of the squares of the electric and magnetic ?elds inside the shell.Substituting the eigenfunctions
(2)
into
the
corresponding
mode-sum formula,we ?nd
0|F 2|0 =4q
2
∞0dx f (x )+πJ (λ)qm (z )?1
I (λ)qm (x ) e ?qmπi f (e πi/2x )+e qmπi f (e ?πi/2x ) ,(12)
where Y ν(z )is the Neumann function and I ν(z ),K ν(z )are the modi?ed Bessel functions.As it can be seen,for points away from the shell the contribution to the VEVs coming from the second integral term on the right-hand side of (12)is ?nite in the limit μ→0and,hence,the cuto?function in this term can be safely removed.As a result the VEVs can be written in the form 0|F 2|0 = 0w |F 2|0w + F 2
cyl ,(13)
where
0w |F 2|0w =q
γ2 J ′2
qm (γr )+q 2m 2
γ2r 2 J 2qm (γr ) ,(14)
and F 2 cyl =8q I (λ)qm (xa )
G (ηF λ)
[k,Φ(λ)
qm (φ),I qm (xr )]
x 2?k 2.(15)
In formula Eq.(15)we have introduced the notations
G (0)[k,Φ(φ),f (x )]=(k 2r 2/x 2) Φ2(φ)f ′2(x )+Φ′2(φ)f 2(x )/x 2 +Φ2(φ)f 2(x ),(16)G (1)[k,Φ(φ),f (x )]=(k 2r 2/x 2?1)
Φ2(φ)f ′2(x )+Φ′2(φ)f 2(x )/x 2 .(17)The second term on the right-hand side of Eq.(13)vanishes in the limit a →∞and the ?rst one does not depend on a .Thus,we can conclude that the term 0w
|F 2|0w corresponds to the part in the VEVs when the cylindrical shell is absent with the corresponding vacuum state |0w .Hence,the application of the generalized Abel-Plana formula enables us to extract from the VEVs the parts induced by the cylindrical shell without specifying the cuto?function.In addition,these parts are presented in terms of the exponentially convergent integrals.
First,let us concentrate on the part corresponding to the wedge without a cylindrical shell.First of all we note that in Eq.(14)the part which does not depend on the angular coordinate φis the same as in the corresponding problem of the cosmic string geometry with the angle de?cit 2π?φ0(see Ref.[40]),which we will denote by 0s |F 2|0s .For this part we have
0s |F 2|0s =q
γ2 J ′2
qm (γr )+q 2m
2
180πr 4,(18)
where 0M
|F 2|0M
is the part corresponding to the Minkowskian spacetime without boundaries and in the last expression we have removed the cuto?.To evaluate the part in (14)which
depends on φ,we ?rstly consider the case when the parameter q is an integer.In this case the summation over m can be done by using the formula [41,42]
∞ ′m =0
cos(2qmφ)J 2qm (y )=1
y 2 J 2qm (y ) =?1
Substituting this in formula(14),the integrals remained are evaluated by introducing polar coordinates in the(k,γ)-plane.In this way one?nds
0w|F2|0w = 0s|F2|0s ?3(?1)ηF1
180πr4?(?1)ηF1q2
2sin2(qφ)
+1?q2 ,(23)
withηE1=1andηB1=0.Though we have derived this formula for integer values of the
parameter q,by the analytic continuation it is valid for non-integer values of this parameter as
well.The expression on the right of formula(23)is invariant under the replacementφ→φ0?φand,as we could expect,the VEVs are symmetric with respect to the half-planeφ=φ0/2.
Formula(23)for F=E was derived in Ref.[32]within the framework of Schwinger’s source
theory.For q=1from formula(23)as a special case we obtain the renormalized VEVs of the
?eld square for a conducting plate.In this case x=r sinφis the distance from the plate and
one has
F2 pl,ren=?3(?1)ηF1
180x40?(?1)ηF1π3
2sin2(πx/x0)
?1
.(25)
Now,we turn to the investigation of the parts in the VEVs of the?eld square induced by the cylindrical boundary and given by formula(15).By using the formula
∞
dk k m ∞k dx xf(x)x2?k2=√2 2+1 ∞0dx x m+1f(x),(26) these parts are presented in the form
F2 cyl=2q
I(λ)
qm(xa)
G(ηFλ)[Φ(λ)qm(φ),I qm(xr)].(27) Here,for given functions f(x)andΦ(φ),we have introduced the notations
G(0)[Φ(φ),f(x)]=Φ2(φ)f′2(x)+Φ′2(φ)f2(x)/x2+2Φ2(φ)f2(x),(28)
G(1)[Φ(φ),f(x)]=?Φ2(φ)f′2(x)?Φ′2(φ)f2(x)/x2.(29) As we see the parts in the VEVs induced by the cylindrical shell are symmetric with respect to the half-planeφ=φ0/2.
The expression in the right-hand side of(27)is?nite for0 F2 cyl≈?3(?1)ηF1 πa4 r I1(x).(31) In this case the quantity B2 cyl takes a?nite limiting value on the edge r=0,whereas E2 cyl vanishes as r2.For q<1+ηF1the main contribution comes form the mode with m=1and the shell-induced parts diverge on the edge r=0.The leading terms are given by the formula F2 cyl≈?(?1)ηF1q(r/a)2(q?1)I q(x)?K ′ q (x) 3Vacuum energy-momentum tensor inside the cylindrical shell Now let us consider the VEV of the energy-momentum tensor in the region inside the cylindrical shell.Substituting the eigenfunctions (2) into the corresponding mode-sum formula,for the non-zero components we obtain (no summation over i ) 0|T i i |0 =q 4π2a ? 2π2 ∞ ′m =0 λ=0,1 ∞0dxx 3K (λ)qm (xa )4π2 ?I (λ)qm (xa )I 2qm (xr ),(39) with the notations F (i )[Φ(φ),f (y )]=Φ2(φ)f 2(y ),i =0,3, (40)F (i )[Φ(φ),f (y )]=?(?1)i Φ2(φ)f ′2(y )? Φ2(φ)?(?1)i Φ′2(φ)/y 2 f 2(y ),i =1,2.(41)The diagonal components are symmetric with respect to the half-plane φ=φ0/2,whereas the o?-diagonal component is an odd function under the replacement φ→φ0?φ.As it can be easily checked,the tensor T k i cyl is traceless and satis?es the covariant continuity equation ?k T k i cyl =0.For the geometry under consideration the latter leads to the relations ? ?φ T 22 cyl =0,(42)? ?φ T 21 cyl = T 22 cyl .(43) As it is seen from formula(39),the o?-diagonal component T12 cyl vanishes at the wedge sides and for these points the VEV of the energy-momentum tensor is diagonal.By using the in-equalities I′ν(x)< 1+ν2/x2Kν(x)for the modi?ed Bessel functions,it can be seen that K′ν(x)/I′ν(x)+Kν(x)/Iν(x)<0.From this relation it follows that the vacuum energy density induced by the cylindrical shell in the interior region is always negative. The renormalized VEV of the energy-momentum tensor for the geometry without the cylin-drical shell is obtained by using the corresponding formulae for the?eld square.For the corre-sponding energy density one?nds T00 w,ren=1720π2r4.(44) As we see the parts in the VEVs of the?eld square which diverge on the wedge sides cancel out and the corresponding energy density is?nite everywhere except the edge.Formula(44) coincides with the corresponding result for the geometry of the cosmic string(see[44,45])with the angle de?cit2π?φ0and in the corresponding formula q=2π/φ0.Other components are found from the tracelessness condition and the continuity equation and one has[29,30](see also [2]) T k i w,ren=?(q2?1)(q2+11) 240π2r4 ,(47) is the normal force acting per unit surface of the wedge for the case without a cylindrical boundary and the additional term p2cyl=? T22 cyl|φ=0,φ0=?q I(λ) qm(xa)F(λ) qm [I qm(xr)],(48) with the notation F(λ)ν[f(y)]= ν2f2(y)/y2,λ=0 ?f′2(y)?f2(y),λ=1,(49) is induced by the cylindrical shell.From formula(47)we see that the corresponding vacuum forces are attractive for q>1and repulsive for q<1.In particular,the equilibrium position corresponding to the geometry of a single plate(q=1)is unstable.As regards to the part induced by the cylindrical shell,from(48)it follows that p2cyl<0and,hence,the corresponding forces are always attractive. Now,let us discuss the behavior of the boundary-induced part in the VEV of the energy-momentum tensor in the asymptotic region of the parameters.Near the cylindrical shell the main contribution comes from large values of m.Thus,using the uniform asymptotic expansions for the modi?ed Bessel functions for large values of the order,up to the leading order,for the points a ?r ?a |sin φ|,a |sin(φ0?φ)|we ?nd T 00 cyl ≈?1 60π2a , T 11 cyl ≈(a ?r )?2 4π2a 4 ∞0dx x 3K ′0(x ) a 4,i =0,3.(51) For the components (no summation over i ) T i i cyl ,i =1,2,when q >1the main contribution again comes form m =0term and one has T i i cyl ≈? T 00 cyl ,i =1,2.For q <1the main contribution into the components T i i cyl ,i =1,2,comes from the term m =1and we have (no summation over i ) T i i cyl ≈(?1)i q cos(2qφ)a 2(q ?1) ∞0dx x 2q +1 K q (x )I ′q (x ) ,i =1,2.(52)In this case the radial and azimuthal stresses induced by the cylindrical shell diverge on the edge r =0.In the case q =1the sum of the contributions of the terms with m =0and m =1given by formulae (51)and (52)should be taken.For the o?-diagonal component the main contribution comes from the m =1mode with the leading term T 12 cyl ≈q sin(2qφ)a 2q ?1 ∞0dx x 2q +1 K q (x )I ′q (x ) ,(53)and this component vanishes on the edge for q >1/2. In the limit q ?1,the contribution of the modes with m 1is suppressed by the factor exp[?2qm ln(a/r )]and the main contribution comes from the m =0mode.The leading terms are given by the formulae (no summation over i ) T i i cyl ≈ q I ′0(x )I 20(xr/a ),i =0,3,(54) T i i cyl ≈?q I ′0(x ) I 20(xr/a )+(?1)i I 21(xr/a ) ,i =1,2.(55)Though in this limit the vacuum densities are large,due to the factor 1/q in the spatial volume,the corresponding global quantities tend to ?nite value.In particular,as it follows from Eq. (55),in the limit under consideration one has T i i cyl >0.Note that in the same limit the parts corresponding to the wedge without the cylindrical shell behave as q 4and,hence,for points not too close to the shell these parts dominate in the VEVs. In ?gures 2-5we have plotted the parts in the VEVs of the energy-momentum tensor induced by the cylindrical shell,a 4 T k i cyl ,as functions of x =(r/a )cos φand y =(r/a )sin φ,for a wedge with the opening angle φ0=π/2. In ?gure 6we have presented the dependence of the e?ective azimuthal pressure induced by the cylindrical shell on the wedge sides,a 4p 2cyl ,as a function of r/a for di?erent values of the parameter q . --0 a 4 Figure 2:The part in the VEV of the energy density,a 4 T 00 cyl ,induced by the cylindrical boundary as a function on x =(r/a )cos φand y =(r/a )sin φfor a wedge with φ0=π/2. -0.6a 4 ,induced by the cylindrical boundary as a function on x =(r/a )cos φand y =(r/a )sin φfor a wedge with φ0=π/2. a4 Figure4:The part in the VEV of the azimuthal stress,a4 T22 cyl,induced by the cylindrical boundary as a function on x=(r/a)cosφand y=(r/a)sinφfor a wedge withφ0=π/2. a3 - Figure5:The part in the VEV of the o?-diagonal component,a4 T21 cyl,induced by the cylin-drical boundary as a function on x=(r/a)cosφand y=(r/a)sinφfor a wedge withφ0=π/2. 0.10.20.3 0.40.5 r a 0.8 0.6 0.4 0.2 a 4p 2 c y l 0.51 3 Figure 6:The e?ective azimuthal pressure induced by the cylindrical shell on the wedge sides,a 4p 2cyl ,as a function of r/a .The numbers near the curves correspond to the values of the parameter q . There are several special cases of interest for the geometry of boundaries we have consid-ered.The case φ0=πcorresponds to the semi-circular cylinder.The Casimir energy for the corresponding interior region is evaluated in Ref.[34]by using the zeta function technique.The case φ0=2πcorresponds to the geometry of a cylindrical shell with a coaxial half-plane.And ?nally,the limit φ0→0,r,a →∞,assuming that a ?r and aφ0≡b are ?xed,corresponds to the geometry of two parallel plates separated by a distance b ,perpendicularly intersected by the third plate.In the latter case it is convenient to introduce rectangular coordinates (x ′1,x ′2,x ′3)=(x,y,z )with the relations x =a ?r ,y =rφ.The components of the tensors in these coordinates we will denote by primes.The corresponding vacuum energy-momentum tensor is presented in the form 0|T ′i k |0 = T ′i k (0)+ T ′i k (1),(56) where T ′i k (0)is the vacuum expectation value in the region between two parallel plates located at y =0and y =a and T ′i k (1)is induced by the intersecting plate at x =0.The latter is related to the quantities investigated above by formulae T ′i i (1)=lim T i i cyl , T ′12 (1)=?lim 1 for the vector potential are obtained from formulae (2) by the replacement J qm (γr )→g (λ)qm (γa,γr )=J qm (γr )Y (λ)qm (γa )?Y qm (γr )J (λ)qm (γa ),(58) where,as before,λ=0,1correspond to the waves of the electric and magnetic types,respec-tively.Now,the eigenvalues for γare continuous and in the normalization condition (4)the corresponding part on the right is presented by the delta function.As the normalization inte-gral diverges for γ′=γ,the main contribution into the integral comes from large values of r and we can replace the cylindrical functions with the argument γr by their asymptotic expressions for large values of the argument.By this way it can be seen that the normalization coe?cient in the exterior region is determined by the relation β?2α=8π π∞ ′m =0 +∞?∞dk ∞0dγ λ=0,1γ3k 2+γ2g (ηF λ)[Φ(λ)qm (φ),g (λ) qm (γa,γr )]J (λ)2qm (γa )+Y (λ)2qm (γa )=g (ηF λ)[Φ(λ)qm (φ),J qm (γr )] ? 1H (s )(λ)qm (γa )g (ηF λ)[Φ(λ)qm (φ),H (s )qm (γr )],(61)where H (1,2)qm (z )are the Hankel functions.In order to transform the integral over γwith the last term on the right of (61),in the complex plane γwe rotate the integration contour by the angle π/2for the term with s =1and by the angle ?π/2for the term with s =2.Due to the well-known properties of the Hankel functions the integrals over the corresponding parts of the circles of large radius in the upper and lower half-planes vanish.After introducing the modi?ed Bessel functions and integrating over k with the help of formula (26),we can write the VEVs of the ?eld square in the form (13),where the part induced by the cylindrical shell is given by the formula F 2 cyl =2q K (λ)qm (xa ) G (ηF λ)[Φ(λ)qm (φ),K qm (xr )].(62)In this formula the functions G (ηF λ)[Φ(φ),f (x )]are de?ned by formulae (28),(29).Comparing this result with formula (27),we see that the expressions for the shell-induced parts in the interior and exterior regions are related by the interchange I qm ?K qm .The VEV (62)diverges on the cylindrical shell with the leading term being the same as that for the interior region.At large distances from the cylindrical shell we introduce a new integration variable y =xr and expand the integrand over a/r .For q >1the main contribution comes from the lowest mode m =0and up to the leading order we have E 2 cyl ≈4q r 2, B 2 cyl ≈?28q r 2.(63)For q <1the dominant contribution into the VEVs at large distances is due to the mode m =1with the leading term F 2 cyl ≈?4q 2(q +1)r 2q cos(2qφ)2q +1 .(64)For the case q =1the contributions of the modes m =0and m =1are of the same order and the corresponding leading terms are obtained by summing these contributions.The latter are given by the right-hand sides of formulae (63)and (64).As we see,at large distances the part induced by the cylindrical shell is suppressed with respect to the part corresponding to the wedge without the shell by the factor (a/r )2βwith β=min(1,q ). Now we turn to the VEVs of the energy-momentum tensor in the exterior region.Substi-tuting the eigenfunctions into the corresponding mode-sum formula,one ?nds (no summation over i ) 0|T i i |0 = q J (λ)2qm (γa )+Y (λ)2qm (γa ),(65) 0|T 12|0 =?q ?r ∞ ′m =0m sin(2qmφ) +∞?∞dk ∞0dγ λ=0,1(?1)λγg (λ)2qm (γa,γr )k 2+γ2.(66) Subtracting from these VEVs the corresponding expression for the wedge without the cylindrical boundary,analogously to the case of the ?eld square,it can be seen that the VEVs are presented in the form (37),with the parts induced by the cylindrical shell given by the formulae (no summation over i ) T i i cyl = q K (λ)qm (xa )F (i )[Φ(λ)qm (φ),K qm (xr )],(67) T 12 cyl =q 2 ?r ∞ ′m =0m sin(2qmφ) λ=0,1(?1)λ ∞0 dxx I (λ)qm (xa )π2∞ ′m =0 λ=0,1 ∞0dxx 3I (λ) qm (xa ) The leading divergence in the boundary induced part (67) on the cylindrical surface is given by the same formulae as for the interior region.For large distances from the shell and for q >1the main contribution into the VEVs of the diagonal components comes from the m =0,λ=1term and one has (no summation over i ) T i i cyl ≈?qc i r 2,c 0=c 3=2,c 1=1,c 2=?5.(70) In the case q <1the main contribution into the VEVs of the diagonal components at large distances from the cylindrical shell comes from the m =1mode.The leading terms in the corresponding asymptotic expansions are given by the formulae T i i cyl ≈?q 2(q +1)c i (q )cos(2qφ)r 2q ,(71) with the notations c 0(q )=c 3(q )=1 (2q +1)(2q +3),c 2(q )=?q +12q +1sin(2qφ) r 2q .(73) For large values of q ,q ?1,the contribution of the terms with m >0is suppressed by the factor exp[?2qm ln(r/a )]and the main contribution comes form the m =0term with the behavior F 2 cyl ∝q and T k i cyl ∝q .In ?gure 7we have plotted the dependence of the e?ective azimuthal pressure induced by the cylindrical shell on the wedge sides,a 4p 2cyl ,as a function of r/a for q =1. 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 r a 0.8 0.6 0.4 0.2 a 4p 2 c y l Figure 7:The e?ective azimuthal pressure induced by the cylindrical shell on the wedge sides,a 4p 2cyl ,as a function of r/a in the exterior region for q =1.The curves for the values q =0.5,3are close to the plotted one. 5Conclusion In this paper we have investigated the polarization of the electromagnetic vacuum by a wedge with a coaxial cylindrical boundary,assuming that all boundaries are perfectly conducting.Both regions inside and outside of the cylindrical shell(regions I and II in?gure1)are considered.In section2we have evaluated the VEVs of the?eld square in the interior region.The corresponding mode-sums contain series over the zeros of the Bessel function for TM modes and its derivative for TE modes.For the summation of these series we used a variant of the generalized Abel- Plana formula.The latter enables us to extract from the VEVs the parts corresponding to the geometry of a wedge without a cylindrical shell and to present the parts induced by the shell in terms of integrals which are exponentially convergent for points away from the boundaries. For the wedge without the cylindrical shell the VEVs of the?eld square are presented in the form(23).The?rst term on the right of this formula corresponds to the VEVs for the geometry of a cosmic string with the angle de?cit2π?φ0.The angle-dependent parts in the VEVs of the electric and magnetic?elds have opposite signs and are cancelled in the evaluation of the vacuum energy density.The parts induced by the cylindrical shell are presented in the form (27).We have discussed this general formula in various asymptotic regions of the parameters including the points near the edges and near the shell.In section3we consider the VEV of the energy-momentum tensor in the region inside the shell.As for the?eld square,the application of the Abel-Plana formula allows us to present this VEV in the form of the sum of purely wedge and shell-induced parts,formula(37).For the geometry of a wedge without the cylindrical boundary the vacuum energy-momentum tensor does not depend on the angleφand is the same as in the geometry of the cosmic string and is given by formula(45).The corresponding vacuum forces acting on the wedge sides are attractive forφ0<πand repulsive forφ0>π.In particular, the equilibrium position corresponding to the geometry of a single plate(φ0=π)is unstable. For the region inside the shell the part in the VEV of the energy-momentum tensor induced by the presence of the cylindrical shell is non-diagonal and the corresponding components are given by formulae(38),(39).The vacuum energy density induced by the cylindrical shell in the interior region is negative.We have investigated the vacuum densities induced by the cylindrical shell in various asymptotic regions of the parameters.For points near the cylindrical shell the leading terms in the asymptotic expansions over the distance from the shell are given by formulae (50).These terms are the same as those for a cylindrical shell when the wedge is absent.For a wedge withφ0<πthe part in the vacuum energy-momentum tensor induced by the shell is?nite on the edge r=0.Forφ0>πthe shell-induced parts in the energy density and the axial stress remain?nite,whereas the radial and azimuthal stresses diverge as r2(π/φ0?1).The corresponding o?-diagonal component behaves like r2π/φ0?1for all valuesφ0.For the points near the edges(r=a,φ=0,φ0)the leading terms in the corresponding asymptotic expansions are the same as for the geometry of a wedge with the opening angleφ0=π/2.In the limit of small opening angles,φ0?π,the shell-induced parts behave like1/φ0.In the same limit the parts corresponding to the wedge without the shell behave as1/φ40,and for points not too close to the shell these parts dominate in the VEV of the energy-momentum tensor.The presence of the shell leads to additional forces acting on the wedge sides.The corresponding e?ective azimuthal pressure is given by formula(48)and these forces are always attractive. The VEVs of the?eld square and the energy-momentum tensor in the region outside the cylindrical shell are investigated in section4.As in the case of the interior region,these VEVs are presented as sums of the parts corresponding to the wedge without the cylindrical shell and the parts induced by the shell.The latter are given by formula(62)for the?eld square and by formulae(67),(66)for the components of the energy-momentum tensor.In the exterior region the vacuum energy density induced by the cylindrical shell is always positive.Additional forces acting on the wedge sides due to the presence of the shell are given by formula(69).As in the case of the interior region these forces are attractive.For large values of the parameter q,the contribution into the parts induced by the cylindrical shell coming from the modes with m=0 is exponentially suppressed,whereas the contribution of the lowest mode m=0is proportional to q.Though in this limit the vacuum densities are large,due to the factor1/q in the spatial volume element,the corresponding global quantities tend to?nite limiting values. Acknowledgments The work was supported by the Armenian Ministry of Education and Science Grant No.0124. References [1]H.B.G.Casimir,Proc.K.Ned.Akad.Wet.51,793(1948). [2]V.M.Mostepanenko and N.N.Trunov,The Casimir E?ect and Its Applications(Oxford University Press,Oxford,1997). [3]M.Bordag,U.Mohidden,and V.M.Mostepanenko,Phys.Rep.353,1(2001). [4]https://www.doczj.com/doc/572004811.html,ton The Casimir E?ect:Physical Manifestation of Zero-Point Energy(World Scienti?c,Singapore,2002). [5]V.V.Nesterenko,https://www.doczj.com/doc/572004811.html,mbiase,and G.Scarpetta,hep-th/0503100. [6]M.Bordag,J.Phys.A28,755(1995);M.Bordag and G.Lindig,J.Phys.A29,4481(1996); M.Bordag and K.Kirsten,Phys.Rev.D53,5753(1996);M.Bordag and K.Kirsten,Phys. Rev.D60,105019(1999). [7]N.Graham,R.L.Ja?e,V.Khemani,M.Quandt,M.Scandurra,and H.Weigel,Nucl. 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FPA性格色彩简易测试 注：请选择让你“最自然的”、“最真实的”反应，而不是思考“最好的”、“最适合的”或者“最应该的”。换句话讲，你回答的问题是“我是谁”，而不是“我应该是谁”或“我想是谁”。 一、领取你的性格色彩（测试） 说明：每题选出最符合你的句子，每组只选一个答案，做完全部三十道题目后，按提示计算。 1、关于人生观，我的内心其实是： A 人生体验越多越好，所以想法极多。 B 深度比宽度在人生中更重要，目标要谨慎，一旦确定就坚持到底。 C 无论做什么，人生必须得有所成。 D 有生就有死，不要太辛苦，活着就好。 2、如果爬山旅游，在下山回来的路线选择上，我更在乎： A 要好玩有趣，不愿重复，所以宁愿走新路线。 B 要安全稳妥，担心危险，所以宁愿走原路线。 C 要挑战自我，喜欢冒险，所以宁愿走新路线。 D 要方便省心，害怕麻烦，所以宁愿走原路线。 3、通常在表达一件事情上，别人认为我： A 总是给人感受到强烈印象。 B 总是表述极其准确。 C 总能围绕最终目的。 D 总能让周围人很舒服。 4、在生命多数时候，我其实更加希望： A 刺激 B 安全 C 挑战 D 稳定 5、我认为自己在情感上的基本特点是： A 情绪多变，经常情绪波动。 B 外表自我抑制强，但内心感情起伏大，一旦挫伤难以平复。 C 感情不拖泥带水，较直接，一旦不稳定，容易发怒。 D 天性四平八稳。 6、我认为自己在整个人生中，除了工作以外，在控制欲上面，我： A 没有控制欲，有感染带动他人的欲望，但自控能力不强。 B 用规则来保持我对自己的控制和对他人的要求。 C 内心有控制欲，希望别人服从我。 D 不去管别人，也不愿意别人来管我。 7、当与情人交往时，我倾向于着重： A 一起做喜欢的事情，对他的爱意溢于言表。 B 体贴入微，对他的需求极其敏感。 C 沟通重要的想法，尽情地辩论事情。 D 包容另一半所有不同观点。 《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与 浅析四种不同性格色彩及自我性格剖析读《色眼识人——FPA性格色彩解读》总结 不得不说这是本挺不错的书，5月23日接触这本书之前，一直在啃那部大块头《梦的解析》，可能是由于智商原因吧，实觉那本书过于晦涩难懂。所以虽然草老师说读书要专一，一本书读完之前不要翻开第二本书，但是看了几页之后还是令我果断的将《梦的解析》搁置在一边，读的过程中也能钻的进去，一直在做笔记划重点。 只是偶然间突发奇想想写个读书总结，来证明一下我并不是天天睡觉什么都没干，大学生毕竟还是要有自己的思想，同时也借着这个机会对这自己的性格做一下分析。 书中提出概念，将人的不同性格定义为红、蓝、黄、绿四种不同的颜色。红色自由快乐，杂乱无章；蓝色完美谨慎，死板固执；黄色果断坚定，霸道蛮横；绿色和谐宽容，软弱拖拉……当然，绝大多数人的性格都是复杂的，同时将上述一种或者两种甚至是多种性格融为一身。正如世界上没有两片完全相同的雪花，每个人都是独一无二的，四种性格所占所占比例不同，也组合出了丰富多样的性格。 以下是对四种性格的描述： （很多内容均为个人观点，如有冲突，请遵从原著。） 红色性格： 红色好玩好动，像毫不停歇的永动机。 红色天生拥有着阳光心态，积极快乐，嘻嘻哈哈喜欢开玩笑，对于事物总能迅速的看到美好的一面。 红色天性带着表现欲，渴望受到他人的关注，受到他人的赞赏和鼓励，所以红色带着天生的感染力和表现力。 红色拥有好奇心和一颗永远不会长大的童心，可以用童心去欣赏一切，这种态度使得他们不会被复杂化，缺少心机，简单真诚。 红色情感丰富，热情澎湃，喜欢交友，乐于助人，更能迅速融入陌生的环境。是社交场合的开心果，总是让人充满乐趣被他们的活泼所感染。 红色内心深处不甘寂寞，永远在追寻新的兴奋热点以及新奇的活法，最有能力尝试不同的人生，最擅长一波接一波地想出新奇的点子和计划。 红色不记仇苦有错就认，前脚吵架后脚忘，只要不是做了什么特别伤害他们的事，随着时间的推移，红色都会忘记。他们可能上一分钟还在与你面红耳赤，下一分钟发现自己错了就跑来向你认错，让人哭笑不得。 红色性格缺点： 红色善变，反复无常，你永远无法把他的话当真。恋爱中的红色说出“我爱你”所代表的意思也只是“我此刻是爱你的，至于以后怎么样，以后再说。” 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 课题：函数的单调性 授课教师：王青 【教学目标】 1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用 函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。 2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法， 培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。 3.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣。【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【使用教具】多媒体教学 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题： (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (3)哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？ 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数1+=x y ，1+-=x y ，2)(x x f =的图象，并且思考 （1） 函数1+=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上) (x f 的值随x 的增大而_______ （2） 函数1+-=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上 )(x f 的值随x 的增大而_______ （3） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而增大 （4） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而减小 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．抽象思维，形成概念 问题：你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗？ 任取2121),,0[,x x x x <+∞∈且,因为0))((21212 221<-+=-x x x x x x ,即2 221x x <，所以()()21x f x f > 任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1 《FPA性格色彩入门，跟乐嘉色眼识人》经典语录 大猪妍 1．人只有不断的要求和批评才可以进步 2．不是性格决定命运，而是个性决定命运 3．动机就是“为什么做”，行为是“做什么” 4．性格是天生的，就是原本的我；个性是后天的，就是现在的我5．动机无法改变，行为是可以训练的 6．醉过方知酒浓，爱过方知情重 7．红色的爱是博爱，蓝色的爱是专爱 8．唯独红色，他们的开放，透明，真诚让他们给人温暖 9．红色不仅关注自己的创新，同时对他们的创新给予极高的评价和认可，从而刺激了阻止内部更多的创意涌现 10．舞台上很多高手也许出自于红色，但真正的大师一级的人物是蓝色的 11．波特曼：我总是自行选择我要做的事，父母会给我一些意见与建议，但最终决定是由我们自己作 12．实际行动的证明才是有意义的 13．蓝色是高度可靠的朋友 14．要么不做，要做就做到最好 15．红色喜欢变化中新奇的，不确定的快乐，而蓝色喜欢计划中程序稳定的安全感 16．学会理解并尊重他人的思想和他人的感受，学会理解别人 17．唯有伟大的人才能成就伟大的事，他们之所以伟大，是因为决心要做出伟大的事 18．迈向成功的七大要素：只重结果，用于面对失败，明智选择合作伙伴，毅力中见品格，无论对错速决定，设置可达到的目标，努力向上，超越，再继续向前 19．进攻就是最好的防守 20．Keep your friend close ,keep your enemies closer 21．坦率：不懂变通，不懂得含蓄，不懂得体谅别人的感受22．只要有什么新想法，立刻就会付诸实行 23．在绿色环境中长大的孩子，身心健康，个个活出了自我24．红色的优势无限的兴趣，但博而不精 25．红色是乐于分享的本性 26．闲谈莫论人非，闭门多思己过 27．蓝色很爱分析，也很擅长分析 28．仁爱是善良，是人类最起码的道德 29．最重要的是学会接纳真实的自己 30．最重要的一点，对自己真实，就像黑夜和白昼，你不能对任何人虚假不实 31．最终决定我们生命本质的并不是性格，而大部分取决于我们的个性 32．切记：至少性格，品德，能力三者综合，才能全面评价一个人33．问题的关键不在于改变，关键在于修炼 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 FPA性格色彩测试题目： 1.关于人生观，我的内心其实是： A 希望能够有尽量多的人生体验，所以会有非常多样化的想法。 B在小心合理的基础上，谨慎地确定自己的目标，一旦确定会坚定不移地去做。 C更加注重的是取得一切有可能的成就。 D宁愿剔除风险而享受平静或现状。 2.如果爬山旅游，在下山回来的路线选择上，我更在乎： A好玩有趣，所以宁愿新路线回巢。 B安全稳妥，所以宁愿原路线返回。 C挑战困难，所以宁愿新路线回巢。 D方便省心，所以宁愿原路线返回。 3. 通常在表达一件事情上，我更看重： A说话给对方感受到的强烈印象。 B说话表述的准确程度。 C说话所能达到的最终目标。 D说话后周围的人际感受是否舒服。 4. 在生命的大多数时候，我的内心其实更加欣喜于和希望多些： A刺激。B安全。C挑战。D稳定。 5. 我认为自己在情感上的基本特点是： A情绪多变，经常情绪波动。 B外表上自我抑制能力强，但内心感情起伏极大，一旦挫伤难以平复。 C感情不拖泥带水，较为直接，只是一旦不稳定，容易激动和发怒。 D天性情绪四平八稳。 6. 我认为自己在整个人生中，除了工作以外，在控制欲上面，我： A没有控制欲，只有感染带动他人的欲望，但自控能力不算强。 B用规则来保持我对自己的控制和对他人的要求。 C内心是有控制欲和希望别人服从我的。 D不会有任何兴趣去影响别人，也不愿意别人来管控我。 7. 当与情人交往时，我倾向于着重： A兴趣上的相容性，一起做喜欢的事情，对他的爱意溢于言表。 B思想上的相容性，体贴入微，对他的需求很敏感。 C智慧上的相容性，沟通重要的想法，客观地讨论辩论事情。 D和谐上的相容性，包容理解另一半的不同观点。 8. 在人际交往时，我： A心态开放，可以快速建立起友谊和人际关系。 B非常审慎缓慢地进入，一旦认为是朋友，便长久地维持。 C希望在人际关系中占据主导地位。 D顺其自然，不温不火，相对被动。 9. 我认为自己大多数时候更是： A感情丰富的人。B思路清晰的人。C办事麻利的人。D心态平静的人。 10. 通常我完成任务的方式是： A经常会赶在最后期限前完成。 B自己做，精确地做，不要麻烦别人。 C先做，快速做。 D使用传统的方法，需要时从他人处得到帮忙。 11. 如果有人深深惹恼我时，我： A我会避免摊牌，因为那还不到那个地步，那个人多行不义必自毙，或者自己再去找新朋友。B深深感到愤怒，如此之深怎可忘记？我会牢记，同时未来完全避开那个家伙。 C会火冒三丈，并且内心期望有机会狠狠地回应打击。 D内心感到受伤，认为没有原谅的可能，可最终很多时候还是会原谅对方。 12. 在人际关系中，我最在意的是： A 得到他人的赞美和欢迎。 B得到他人的理解和欣赏。 C得到他人的感激和尊敬。 函数的单调性 1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，f (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 x 性格色彩的内部都有一个相对应的核心动机，所谓动机就是“爲什麽做”行爲就是“做什麽” 红色的动机是——快乐 蓝色的动机是——完美 黄色的动机是——成就 绿色的动机是——稳定 红色情感丰富且外露 蓝色情感细腻且内敛 黄色追求目标就是他的命根子 绿色温和平顺，随波逐流 红色——快乐的制造者 蓝色——最佳的执行者 黄色——强大的推动者 绿色——和谐的润滑剂 红黄蓝绿一起看电视 红色是感性的，看电视时他们会被剧情感动 蓝色是感性的，衹是不会容易流露出来 黄色是理性的，假的，有什麽好哭的 绿色也是理性的，但他们从不发火，也不责备他人 感性：容易被情绪和情感所影响 理性：不容易被情绪和情感所影响 性格色彩的优势和过当 红色的优势 红色有着阳光一样的积极乐观心态，红色以喜悦拥抱每一件事情，开朗热情，朋友遍天下，在对朋友的定义上，红色秉承着：普天之下，莫非我友乐于助人，有着好了伤疤就忘了疼的不记仇心态 红色的过当 聒噪咋呼，惹人烦厌口无遮拦，缺少分寸，没话找话，说话不经大脑思考，三八气质和传播秘密，情绪波动，要死要活，随意性强，变化无常，钟情计划无用论，不限还生命中被什麽约束，因此内心做事宁愿不归还而临时应变 蓝色的优势 思想深邃，独立思考，不追随潮流，尊重自己的主见和思考问题上的深度 蓝色是完美主义者，骨子里他们期待做得更好 情感细腻，体贴入微，蓝色带给伴侣感动之处就是你不记得的事情，他都会记得，如果蓝色关怀一个人，他会试图去了解你，铜镲你，爲你做需要做的事情，不屑于用言语来表达内心的情感。 蓝色尊重道德规范和秩序，面对痛苦的情况下，轻易不会出头，宁可才去牺牲自己的方式来解决 蓝色喜欢收拾东西，喜欢把东西摆放得整整齐齐，喜欢准确，任何值得做的事情，必须做到最好。 蓝色的过当 蓝色是最喜欢抱怨的性格，与生俱来的消极思维，配合上喋喋不休，好悲观和担忧，什麽是事情都总使坏处去想，做起事来慎重，在行爲上容易呈现优柔寡断、忧心忡忡，畏首畏尾，踟蹰不前的特点 函数的单调性 教材分析 函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念． 教学目标 1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力． 2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力． 3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维． 任务分析 这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间． 教学设计 一、问题情境 1. 如图为某市一天内的气温变化图： FPA性格色彩解读 1. 关于人生观，我的内心其实是： A 希望能够有尽量多的人生体验，所以会有非常多样化的想法。 B 在小心合理的基础上，谨慎地确定自己的目标，一旦确定会坚定不移地去做。 C 更加注重的是取得一切有可能的成就。 D 宁愿剔除风险而享受平静或现状。 2. 如果爬山旅游，在下山回来的路线选择上，我更在乎： A 好玩有趣，所以宁愿新路线回巢。 B 安全稳妥，所以宁愿原路线返回。 C 挑战困难，所以宁愿新路线回巢。 D 方便省心，所以宁愿原路线返回。 3. 通常在表达一件事情上，我更看重： A 说话给对方感受到的强烈印象。 B 说话表述的准确程度。 C 说话所能达到的最终目标。 D 说话后周围的人际感受是否舒服。 4. 在生命的大多数时候，我的内心其实更加欣喜于和希望多些： A 刺激。 B 安全。 C 挑战。 D 稳定。 5. 我认为自己在情感上的基本特点是： A 情绪多变，经常情绪波动。 B 外表上自我抑制能力强，但内心感情起伏极大，一旦挫伤难以平复。 C 感情不拖泥带水，较为直接，只是一旦不稳定，容易激动和发怒。 D 天性情绪四平八稳。 6. 我认为自己在整个人生中，除了工作以外，在控制欲上面，我： A 没有控制欲，只有感染带动他人的欲望，但自控能力不算强。 B 用规则来保持我对自己的控制和对他人的要求。 C 内心是有控制欲和希望别人服从我的。 D 不会有任何兴趣去影响别人，也不愿意别人来管控我。 7. 当与情人交往时，我倾向于着重： A 兴趣上的相容性，一起做喜欢的事情，对他的爱意溢于言表。 B 思想上的相容性，体贴入微，对他的需求很敏感。 C 智慧上的相容性，沟通重要的想法，客观地讨论辩论事情。 D 和谐上的相容性，包容理解另一半的不同观点。 8. 在人际交往时，我： A 心态开放，可以快速建立起友谊和人际关系。 B 非常审慎缓慢地进入，一旦认为是朋友，便长久地维持。 C 希望在人际关系中占据主导地位。 D 顺其自然，不温不火，相对被动。 9. 我认为自己大多数时候更是： A 感情丰富的人。 B 思路清晰的人。 C 办事麻利的人。 D 心态平静的人。 高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小。在此基础上描述y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在 （0，+∞）上y随x增大而增大。理解单调性是函数的局部性质，在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。 设计意图：数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。 （二）初步探索，形成概念 教师活动：（以y=x2+1在（0，+∞）上单调性为例）让学生理解如何用精确的数学语言（随着、增大、任取）来描述函数的单调性，进而得到增（减）函数的定义。并进一步提出如何判断的问题。 学生活动：通过交流、提出见解，提出质疑，相互补充理解函数定义的解释，讨论表示大小关系时，理解如何取值，明白任取的意义。 设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。 （三）概念深化，延伸扩展 教师活动：提出下面这个问题：能否说f（x）=在它的定义域上是减函数从这个例子能得到什么结论并给出例子进行说明： 进一步提问：函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数，最后再一次回归定义，强调任意性。 FPA性格色彩之红色性格 优势 １．阳光心态，积极快乐 红色发明了飞机，蓝色发明了降落伞．红色发明了游艇，蓝色发明了救生圈．红色建造了高楼，蓝色生产了救火栓．红色发射了飞船，蓝色办了保险公司．如果说黄色的正面思考更加来源于他们＂不服输＂的动机，更加侧重在解决问题上．那么，红色的正面思考，更多地是因为他们天性习惯于＂向往快乐和美好＇的动机，更加侧重在精神层面上的鼓励和暗示． 红色以喜悦拥抱每一件事情．健康的红色能在每件事情中看到美好的一面，即使是他们不理解或未曾思考过的事物都能使他们快乐．生命的黑暗和死亡的阴影，都无法令他们忧虑．奇妙的是，当他们对生命抱以开放和接受的态度而不苛求什么时，生命所带给他们的意义却更加丰富． ２．激情澎湃，梦想万岁 一种有内而外的感性动物．红色具备＂生命的激情＂，为人感性，情感上高度丰富．黄色的现实主义，在梦想中更加注重的是成功．蓝色的古典主义，小心合理地判定自己的梦想．绿色的稳定主义，更加宁愿不冒风险安于现状．红色的浪漫主义，更加看重的是人生的体验． ３．热情开朗，喜欢交友 字典里没有＂陌生＂这两个字． 在对于朋友的定义上，蓝色秉持的是＂人生得一知己足矣！＂的人生哲学．红色则更加宁愿是＂普天之下，莫非我友＂的人生态度．对于大多销售人员来讲，红色早期上手更快，因为他们的人际关系富有宽度但偏浅．而蓝色在早期开拓不力，完全是因为他们在拓展人际关系的宽度上有着自己的困难，他们的人际关系是窄而深的路径． 红色把幸福与快乐视为人生的目标．由于他们对事情总有很高的兴致，因此他们是令人愉快的伙伴．而且他们的活力与热情具有感染力，能够辐射到周围，和这样的人相处时，总是充满乐趣而且容易被他们活泼的精神所感动． ４．童心未泯，富有趣味 虽然红色也会被一些事物困扰，但他们对自由的强烈的渴望，将本能地分辨出包袱并且毫不犹豫地甩开它． 红色天性里对于快乐的向往，让他们可以用童心来欣赏一切，这种生活态度和哲学，将使他们不会复杂化．他们最懂得享受生命，不管他们从事的是什么，即便正在苦干，也显得似乎乐在其中，他们过日子秉持的信心就是－－－好的还没有到来． ５．乐于助人，不记愁苦 《函数的单调性》教材分析 一、内容结构 1、通过观察几个不同的函数图像，直观感受图像的变化 教材中通过以下三个不同的函数图像，让学生去发现它的变化规律，从而体验函数图像的上升与下降的变化。 2、结合直观图像和列表，归纳函数值的变化规律 教材中以二次函数为例，先从图像直观函数图像的上升与下降的变化，再结合列表归纳函数在某个区间上函数值与自变量的变化规律。 3、由特殊过渡到一般，得出增（减）函数的定义 教材中先由函数在某个区间上函数值与自变量的变化规律定义出该函数在某个区间是增函数还是减函数，再由特殊向一般转变，从而得出一般的增（减）函数的定义。 4、利用增（减）函数的定义，证明函数的单调性 教材中通过证明玻意耳定理，让学生得知如何利用定义证明函数的增减性，从而归纳证明函数单调性的一般证明方法与步骤。 二、教学目标与教学重、难点 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： 1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。 3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性。 在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下 教学重点：函数的单调性的判断与证明； 教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。 三、地位与作用 《函数的单调性》选自人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性。这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高。这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 四、教学建议 函数的单调性是描述函数的整体特征之一，因此观察函数的图像时，首先应注意图像的升降变化，还有某些特殊位置的函数值的状态。让学生观察图像获得图像的变化规律时，应注意使用数形结合的思想。此外教学时，要特别重视从几个实例的共同特征过渡到一般性质的概括过程，引导学生用数学语言表示出来，生成数学概念。具体的，研究函数单调性应遵循“三步曲”： 第一步：观察图像，直观感知图像的变化 第二步：结合图表，用自然语言描述函数图像的变化规律 第三步：用数学语言定义函数的单调性 函数的单调性（教学设计） 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标与教学重、难点的制定： 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： FPA性格色彩之绿色性格 １、中庸之道，稳定低调 如果说，红色给我们生活的激情和快乐，蓝色给我们稳重和信任，而黄色给我们勇气和坚定。无论是谁，当我们和绿色相处的时候，我们感受到的是轻松，自然，没有压力。 红色：睡不着便拼命给朋友电话或者短信。蓝色：睡不着辗转反侧。黄色：睡不着便不睡，爬起来工作。绿色：睡不着眯着。 ２、乐知天命，与世无争 黄色有着活跃的推动力，然而由于他们的强势却树敌不少。等到真正选择领导的时候，最高阶层和民众往往会对那些没有敌人的绿色情有独钟。 绿色的快乐是因为计较的少。 ３、毕生无火，巧卸冲突 红色具备＂选择性遗忘＂，他们可以选择性地忘记那些痛苦的记忆，从而自己的记忆体中一直保存着美好与快乐。绿色具备＂选择性倾听＂，让绿色将其他性格无法忍受的冲突回避，只选择听让自己心情舒畅的话。 ４、镇定自若，处事不惊 ５、天性宽容，耐心柔和 ６、笑遍天涯，冷面幽默 兰色是黑色幽默。黄色是硬幽默。红色是热幽默。绿色是冷幽默。 ７、先人后己，与取先予 ８、领导风格，以人为本 ＠绿色的天然优势 作为个体 爱静不爱动，有温柔祥和的吸引力和宁静愉悦的气质和善的天性，做人厚道 追求人际关系的和谐 奉行中庸之道，为人稳定低调 遇事以不变应万变，镇定自若 知足常乐，心态轻松 追求平淡的幸福生活 有松弛感，能融入所有的环境和场合 从不发火，温和，谦和，平和 做人懂得＂得饶人处且饶人＂ 追求简单随意的生活方式 沟通特点 以柔克刚，不战而屈人之兵 避免冲突，注重双赢 心平气和且慢条斯理 善于接纳他人意见 最佳的倾听者，极具耐心 擅长让别人感觉舒适 有自然和不经意的冷幽默 松弛大度，不急不徐 作为朋友 从无攻击性 富有同情心和关心 宽恕他人对自己的伤害 能接纳所有不同性格的人 和善的天性及圆滑的手腕 对友情的要求不严苛 处处为别人考虑，不吝付出 2.3 函数的单调性 学习目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值． 重点难点：函数单调性的应用 一、知识点梳理 1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 二、例题精讲 题型1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间 （1）,b kx y += （2）x k y =， （3）c bx ax y ++=2． 2．求函数22||3y x x =-++的单调区间． ３．判断函数f （x ）＝1 x 2－4x 的增减情况． 题型2：用定义法证明单调性 1.证明函数y=2x+5的单调性FPA性格色彩简易测试
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