浅谈矩阵特征值的应用
摘要:矩阵特征值在很多领域都有广泛应用, 本文主要研究了其中两方面的应用：第一是通过Fibonacci数列通项和常染色体遗传问题建模研究特征值在建模中的应用，第二是通过特征值在一阶线性微分方程组的求解问题研究特征值在微分方程中应用.
关键字:Fibonacci数列,特征值,特征向量,特征多项式.
Abstract:The theory of matrix eigenvalue has a wide range of applications in many fields. This paper will mainly probe into the applications of two of them. The first one is the application of eigenvalue in model by building the model of formula of term of the Fibonacci Fibonacci sequence and autosomal inheritance. The second one is the application of eigenvalue in differential equation by solving the problem of first-order linear differential equations.
Key words:fibonacci sequence,eigenvalue ,eigenvector ,characteristic polynomial
目录
1 引言 (4)
2 矩阵特征值的相关概念 (4)
3 矩阵特征值的应用 (4)
3.1 矩阵特征值在建模中的应用 (4)
3.1.1 Fibonacci数列通项 (4)
3.1.2 常染色体遗传问题 (6)
3.2 矩阵特征值在一阶线性常系数方程组中的应用 (9)
3.2.1 矩阵A特征根均为单根的情形 (9)
3.2.2 矩阵A特征根有重根的情形 (12)
结论 (14)
参考文献 (15)
致谢 (16)
1 引言
矩阵特征值是高等数学的重要内容,在很多领域都有广泛应用,尤其在科学研究与工程设计的计算工程之中,灵活运用矩阵特征值能够使很多复杂问题简化.单纯的求解矩阵特征值是一件比较容易的事,但将特征值应用到其它领域就并非那么简单,也正因为此激发了本作者对矩阵特征值应用的兴趣.本文作者将简单介绍矩阵特征值在线性法建模和微分方程中的应用,通过一些实例让大家体会特征值在建模与微分方程求解中所起的作用.
2 矩阵特征值的相关概念
定义1设ψ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P 中一数
0λ,存在一个非零向量ξ,使得
ξλψξ0=.
那么0λ称为ψ的一个特征值,而ξ称为ψ的属于特征值0λ的一个特征向量。
定义2 设A 是数域P 上一n 级矩阵,λ是一个数,矩阵A E -λ的行列式
A E -λ=
nn
n n n n a a a a a a a a a ---------λλλ
2
1
2222111211
称为A 的特征多项式,其中矩阵A 的特征多项式的根称为A 的特征值.
3 矩阵特征值的应用
3.1 矩阵特征值在建模中的应用
在数学模型的建立过程中可能伴随着比较复杂的高次计算,而矩阵的高次计算会给我们带来很多麻烦,但我们可利用矩阵特征值及其特征值向量可将较复杂的矩阵化为简单的对角阵,从而简化计算.
3.1.1 Fibonacci 数列通项
在1202年,斐波那契在一本书中提出一个问题:如果一对兔子出生一个月后开始繁殖,每个月生出一对后代,现有一对新生兔子,假定兔子只繁殖,没有死亡,
问第K 月月初会有多少兔子?
以”对”为单位,每月兔子组队数构成一个数列,这便是著名的Fibonacci 数
列{}k F ,,,5,3,2,1,0:k F ,函数数列满足条件
00=F ,11=F ,k k k F F F +=++12. ()1.1.3
试求出通项k F .
解 由Fibonacci 数列满足()1.1.3式可设?
??=+=++++1112k k k
k k F F F F F . (*)
令A =????
??0111,k α=???? ??+k k F F 1,0α=???? ??01F F =???
?
??01,则(*)可写成矩阵形式 1+k α=k A α () 3,2,1=k .
()2.1.3
由()2.1.3式递归可得
k α=0αk A () 3,2,1=k .
()3.1.3
于是求k F 的问题归结为求k α即求k A 的问题.由
A E -λ=
λ
λ111---=12
--λλ
得A 的特征值
1λ=
251+,2λ=2
51-. ()4.1.3 对应于21,λλ的特征向量分别为:
1X =???? ??11λ,2X =???
?
??12λ.
设P =???
?
?
?11
21
λλ,则1
-P =????
?
?---1221111λλλλ.
于是
k
A =P ???? ?
?k k
210
0λλ1
-P
=
?
??
?
??-----++++k k k
k k k k k 122121
11212112112
11
λλλλλλλλλλλλλλ. 所以
???? ??+k k F F 1=k α=k A ???
? ??01 =
2
11
λλ-??
?
? ??--++k k k k 211211λλλλ. ()5.1.3
将()4.1.3式代入()5.1.3式得:
k F =???
?
???????? ??--???? ??+k
k 25125151 .
()6.1.3
3.1.2 常染色体遗传问题
在常染色体遗传中,后代是在每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型,如果所考察的遗传特征是由两个基因A 和a 控制的,那么就可能有三种可能的基因对,分别称之为AA ,Aa 与aa .当一个亲体的基因型为Aa ,另一个亲体的基因型也是Aa 时,注意到后代均可以从Aa 中等可能地得到基因A 和a ,于是运用概率中”对于互斥事件,概率具有可加性”以及”对于独立事件,概率具有可乘性”知
()AA P 后代基因型为=2121?=41,
()2
1
21212121=?+?=Aa P 后代基因型为,
()4
1
2121=?=aa P 后代基因型为.
一般地,经过简单的概率运算,可以求得如表1所示的双亲基因型的结合及其后代后代基因型的概率分布表.
现有一种植物基因型为AA ,Aa ,aa ,研究人员采用aa 型植物与每种基因型
植物相结合的方案,培育植物后代,求经过若干年后,这种植物任一代的三种基因型AA ,Aa ,aa 的概率分布.
解 记n a ,n b ,n c 分别表示第n 代的植物中基因型为AA ,Aa ,aa 的植物所占的百分率,且记()n x 为第n 代植物的基因分布:
()n x =()T
n n n c b a ,,, ,,2,1,0 =n
这里
()()T
c b a x 0000,,=
表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布),满足1000=++c b a ; 若以上述百分率来估计概率,则运用全概率公式: 对于AA 型,有0000111=?+?+?=---n n n n c b a a ,
对于Aa 型,有1111121
0211-----+=?+?+?=n n n n n n b a c b a b , +∈N n ,
对于aa 型,有111112
1
1210-----+=?++?=n n n n n n c b c b a c .
显然
111---++=++n n n n n n c b a c b a .
所以
1000=++=++c b a c b a n n n .
将所得到的关系式联立,有
?????
???
??
?+=+==--n
n n n n n n c b c b a b a 21
2101
1. 于是若记
?????????? ?
?=1210021100
0M , 便得到第n 代基因型分布的数学模型
()()1-=n n Mx x , +∈N n .
进而有 ()()()()01122x M x M x M x n n n n ====-- , 即
()()0x M x n n =.
它表明到第n 代基因型分布可由初始分布和矩阵M 确定. 对于矩阵M ,由
()1211
2
1
00
2
1100-??? ?
?
-=--
-
-=
-λλλλλλλM E
得矩阵M 的三个特征根为
1,2
1,0321===λλλ.
从而得到特征值1,2
1
,0321==
=λλλ对应的特征向量为 ????? ??-121,????? ??-110,????
? ??100. 令?????
? ??=1000210000D ,????? ??--=111012001P ,运用初等变换计算1-P ,有
???
?
? ??--=-111012001
1
P =P . 进而有
()()()010x P PD x M x c b a n n n n n n -===????
?
?? ???
?? ??????? ??--?????
? ???
??
??????? ??--=00011101200110
00210000111012001c b a n
????????? ????????????
?
?????
??-?
?? ??-?
?? ????? ??=--00011
121121102121000c b a n n n n . 所以有(注意到1000=++c b a )
?????
???
?????? ??-??? ??-=??
? ??+??? ??==--0
010
012121121210b a c b a b a n n n n
n n n +∈N n . 评注 以上两例都是利用矩阵理论来建模,将复杂的问题转化为求矩阵A 的高次方问题,直接求矩阵的高次方比较麻烦,我们利用矩阵特征值及其特征向量将矩阵转化为对角阵再求其高次幂就会非常方便.
3.2 矩阵特征值在一阶线性常系数微分方程组中的应用
矩阵特征值在微分方程中也有广泛的应用,尤其在微分方程的求解方面有重
要的作用,接下来我们将从矩阵特征值在求解一阶线性微分方程组中的应用来研究矩阵特征值的作用.
一阶线性齐次常系数微分方程组
?
????????+++=+++=+++=n nn n n n
n
n n n y a a a dt
dy y a y a y a dt
dy
y a y a y a dt dy (212222121212121111)
. ()1.2.3
令
Y =()
T
n y y y ,...,,21,
T
n dt dy dt dy dt dy dt dY ??
? ??=,...,,2
1. A =()ij a 是方程()1.
2.3的系数矩阵,则()1.2.3写作矩阵形式为:
AY dt
dY
=. ()2.2.3 3.2.1 矩阵A 的特征根均是单根的情形
令()1.2.3的解为:
Y =X e x .
即
??????? ??n y y y 21=??????
? ??n x x x x e 21.
当矩阵A 可对角化时,由A 的n 个特征值1λ,2λ, … ,n λ及相应的n 个线性无
关的特征向量1X ,2X , … ,n X ,可求得()2.2.3的n 个线性无关的特解(即()1.2.3的基础解系)
n t t t X e X e X e n λλλ,,,2121 . ()3.2.3
它们的线性组合
Y =111X e c t λ+222X e c t λ+ … +n t n X e c n λ ()4.2.3
即为方程组()1.2.3的一般解(其中n c c c ,...,,21为任意常数).其一般解()4.2.3式写成矩阵形式为:
Y =()n X X X ,,,21 ???????
?
?t t
t n e e e λλλ 21??
??
??
? ??n c c c 21. ()5.2.3
记
P =()n X X X ,,,21 ,),...,,(21n diag λλλ=Λ=AP P 1-.
令
Λλe =??
?????
?
?t t
t
n e e e λλλ 21,C =??????
? ??n c c c 21.
则方程组()1.2.3一般解()5.2.3式可写为:
Y =P Λλe C . ()6.2.3
例1 求一阶常系数齐次线性方程组
?????--=--=2
1221141412165y y dt dy y y dt dy 的通解.
解 令
Y =???? ??21y y ，?
????
? ??=dt
dy
dt dy dt dY 21
, A =?????
?
??----4141216
5. 则方程组的矩阵形式为
AY dt
dY
=. 由特征方程
4
14
12
165+
+
=
-λλλA E =()1+λ(λ+
12
1) 得矩阵A 的特征值为1-和121-
,从而得特征值1-和121
-对应的特征向量为 1X =?
??
? ??13,2X =????
??-32. 令
P =???
?
??-3123. 由方程()1.2.3的通解表达式C P Y Λ=λ得:
Y =???? ??-3123???
?
?
?--t t e e 121???
?
??21c c . 即
????
?
????-=+=----t
t t t e c e c y e c e c y 12
12
1212
1211323 .
评注 求解一阶常系数方程组的关键在求方程组的基本解组,当方程组
()1.2.3的系数矩阵A 特征根均是单根时,其基本组的求解问题,就归结为求这些
特征根所对应的特征向量.
3.2.2 矩阵A 特征值有重根的情形
引理1[]2 设m λλλ,,,21 是矩阵A 的m 个不同的特征根,它们的重数分别为
m k k k ,,,21 .那么,对于每一个i λ,方程组()1.2.3有i k 个形如
()()()()()()x k k x x i i i i i e x P x Y e x P x Y e x P x Y λλλ===,,,2211
的线性无关解,这里向量()()j j k j x P ,,2,1 =的每一个分量为x 的次数不高于
1-i k 的多项式.取遍所有的()m i i ,,2,1 =λ就得到()1.2.3的基本解组.
如果i λ是()1.2.3的i k 重特征根,则方程组()1.2.3有i k 个形如
()()
x k k i i i e x R x R R x Y λ1110--+++=
的线性无关解,其中向量110,,,-i k R R R 由矩阵方程
()()()()()????
?
???
?=--=-=-=---01201
22110R E A R k R
E A R R E A R R E A i i i k i k i k i i i λλλλ 所确定.取遍所有的()m i i ,,2,1 =λ,则得到()1.2.3的一个基本解组. 例2 求解方程组?????????+=+=+=2
13312321
x
x dt
dx x x dt
dx
x x dt dx .
解 系数矩阵为
????
?
??=011101110A .
由矩阵特征方程()()0122
=+-λλ,得特征根为1,2321-===λλλ.21=λ对应的
解是
()???
?
?
??=11121x e x Y .
下面求132-==λλ所对应的两个线性无关解.由引理2,其解形如
()()x e x R R x Y -+=10,
并且10,R R 满足
()()?
??=+=+002
1
0R E A R R E A . 由于
()????? ??=+111111111E A ,()???
?
? ??=+3333333332E A .
那么由()002
=+R E A 可解出两个线性无关量:
????? ??-011,????
?
??-101. 将上述两个向量分别代入()10R R E A =+中,均得到1R 为零向量.于是
132-==λλ对应的两个线性无关解是:
()?
???
? ??-=-0112x
e x Y ,()????? ??-=-1013x e x Y .
所以方程组的通解为:
()???
?
?
??-+????? ??-+????? ??=--1010111113221x x x e C e C e C x Y .
评注 求解一阶线性常系数方程组的基本解组,当矩阵特征值有重根时,我
们用引理2来求解.
结论
矩阵特征值是高等数学的重要类容,在很多领域都有广泛应用,本文研究了其在线性代数法建模与一阶线性微分方程组中的应用.通过以上实例,我们得出矩阵特征值无论是在建模还是在微分方程中的应用,其主要作用是将矩阵对角化,进而可以对矩阵进行高次运算,从而简化计算的复杂度.同时,也正由于矩阵特征值这一特性,使其在工程设计,动力学等很多方面都得以广泛应用.
参考文献
[1]王萼芳,石生明. 高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2005:290-298.
[2]黄启昌,史希福等.常微分方程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005:138-152.
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[4]韩卫华.矩阵特征值在线性微分方程中的应用[J].上海:教学与科技,1998,12(3,4): 51-53.
[5]赵静,崔鹍.矩阵特征值与特征向量的解法与应用[J].湖北武汉:科协论坛,2008,11(下): 44-45.
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中
第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有数λ存在，满足， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.
如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: x λ ()0 I A x λ-=||0 I A λ-=即1110 ()||...n n n f I A a a a λλλλλ--=-=++++记 它是关于参数λ的n 次多项式，称为矩阵A 的特 征多项式， 其中a 0=(-1)n ｜A ｜. (2)
显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是的根. 反之，如果λ是的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根 . ()0 fλ= ()0 fλ=
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与A T有相同的特征值. 定理9.1.4 设λ ≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 i 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，x T y=0 .
9.2 Hermite矩阵特征值问题?设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为A H. 如果A=A H，那么，A称为Hermite矩阵.
项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵.031121201??? ?? ??--=A 的特征值与特值向量. (1) 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A 的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013??? ? ? ??????? ??- (3) 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量.
例1.2 求矩阵??? ?? ??=654543432A 的特征值与特征向量. 输入 A=T able[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A 的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, 426-,426+} (2) 计算矩阵A 的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.34831610-?} (3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 1 2 1172422344220342234421172 42234 42 20342234 42 1 (4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 0.4303620.5665420.7027220.805060.111190.5826790.4082480.816497 0.408248 (5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A 的零空间, 输入
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs
浅析分块矩阵的性质和应用 作者姓名：周甜 河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班 性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。 性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。 摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。 关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆 Tentative Analysis of Properties and Applications of Block Matrices Author Name：Zhou Tian Class 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Science of Henan Polytechnic University School Summary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices. Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix
矩阵的分块及应用 武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩
阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is
第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 () Im M λ≤其中，ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x x =λ， H x x 1=， 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ （'∑表示不含i ＝j ） n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑
() n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为： ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ，但 2 x 1 =，所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中，ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =，ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+，ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义：设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A、初始向量( 0)，误差eps； (2) k 1； (3)计算V(k)A(k 1)； (4)m k max(V(k)) ,m k1max( V ( k 1))； (5) (k)V(k)/m k； (6)如果m k m k 1eps,则显示特征值1和对应的特征向量x(1) ),终止； (7)k k 1, 转(3) 注：如上算法中的符号max(V )表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input[" 系数矩阵A="]; u=Input[" 初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input[" 误差精度eps ="]; nmax=Input[" 迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k