从大学数学看现代数学西安交通大学城市学院
高兵龙
简 介
高兵龙，高兵龙，会计会计会计902902902班学生班学生班学生，中共党员，曾担任笃学书院团总支副书记、应用
，中共党员，曾担任笃学书院团总支副书记、应用经济系团工委组织部部长、管理系学生会主席、数学建模协会数学建模协会会长会长会长等职，等职，等职，现任
现任西安交通大学城市学院团委副书记西安交通大学城市学院团委副书记，，20102010年年1010月创建月创建月创建数学建模协会数学建模协会数学建模协会。。 个人学习工作获得荣誉情况：
2010年学生军事训练中荣获“优秀学员”;
2010-2011学年五四表彰中被评为“优秀学生会干部”;
2009-2010\2011-2012学年五四表彰中被评为“优秀共青团干部”;
2009-2010\2010-2011 学年被学院评为“优秀学生干部”;
2009-2010\2010-2011学年荣获“国家励志奖学金”;
2011年9月在第三届数学竞赛中荣获“二等奖”；
2011年在全国大学生数学建模竞赛中荣获“二等奖”.
2010年9月发表论文《独立学院文科生学习高等数学的探索与研究》荣获中国教
育教学研究会教科论文“一等奖”；
2012年5月发表论文《新时期保持大学生党员先进性有效载体问题研究》荣获
2012年“科教杯”学术论文大赛国家级“一等奖”；
数学——
科学殿堂的钥匙
强者翱翔的翅膀
——国家级教学名师马知恩教授
主要内容
一、数学的发展的主要阶段
二、为什么要学习大学数学
三、大学数学学习哪些内容
四、如何才能学好大学数学
五、从大学数学看现代数学https://www.doczj.com/doc/511832810.html,/
一
数学的发展的主要阶段
常量数学时期
常量数学时期,,即“初等数学”时期，在这个时期里，数学已由具体的阶段过渡到抽象的阶段，并逐渐形成一门独立的、演绎的科学。算术、初等几何、初等代数、三角学等都已成为独立的分支。这个时期的基本成果就构成现在中学课程的主要内容。
变量数学时期变量数学时期,
,即“高等数学”时期。这个时期以期以171717世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生为起世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生为起点,在这一时期用运动和变化的观点来探究事物变化和发展的规律。变量与函数的概念进入了数学，随后产生了微积分。这个时期基本成果是解析几何、微积分、线性代数、微分方程等。这就是现在高等院校中的基础课程。
现代数学时期，这个时期始于这个时期始于191919世纪中叶直到现在。
世纪中叶直到现在。在这个阶段，数学研究的对象被推广，这相应地引起了量的关系和空间形式在概念本身的重大突破。
现代数学不仅研究各种变化着的量的关系，而且研究
各种量之间的可能关系和形式。数学基础学科之间、数学和物理等其他学科之间相互交叉和渗透，形成了许多边缘学科和综合性学科。集合论、计算数学、电子计算机等的出现和发展构成了现在丰富多彩、渗透到各个科学技术部门的现代数学。
二
为什么要学习大学数学
大学数学是高等院校许多专业学生必修的重要基础理论课程。数学主要是研究现实世界中的“数量关系”与“空间形式”。
世界上任何客观存在都有其“数”与“形”的属性特征，并且一切事物
都发生变化，遵循量变到质变的规律。
凡是研究量的大小、量的变化、量
与量之间关系以及这些关系的变化，就
少不了数学。
同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，实事之繁，……无处不用数学。
马克思说：“一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步” .
恩格斯说：“要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须掌握数学”.
数学如今已经越来越被人们认为是在科学发展中被高度重视的课程。它不仅是各专业的后继课程所必需，而且它本身就是科学思维、逻辑分析的素质训练。通俗地说数学是思维方法的体操。
自然科学各学科数学化的趋势，社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接间接地，或先或后地经历着一场数学化的进程。
进程。
联合国教科文组织在一份调查报告中强调指出：“目前科学研究工作的特点之一是各门学科的数学化”。“反过来科学技术的发展，又成为数学产生和发展的源泉与动力。”
数学有一个特殊的位置，它是一个专门的领域，但又为其他科学领域提供思维的工具。
三
大学数学学习哪些内容
大学数学主要分为：高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
概率论与数理统计。
高等数学的内容为两部分，即微积分学和空间解析几何。但主要是微积分学。
微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。与微积分创立密切相关的科学技术问题，从数学角度归纳起来有四类：
数学角度归纳起来有四类：
第一类是，在已知变速运动的路程为时间的函数时，求 第一类
瞬时速度和加速度；
第二类是，求已知曲线的切线；
第三类是，求给定函数的最大值与最小值；
第三类
第四类是，求给定曲线长；求已知平面曲线围成的面积；求已知曲面围成的体积；求物体的重心；已知变速运动物体的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系等。
第一类、第二类问题为微分学的基本内容，属于求函数的导数问题。第三类问题为导数的应用，也是微分学的主
要内容。第四类问题属于积分学的中心问题。
① 这条曲线在点这条曲线在点 处的切线方程是
处的切线方程是2
x y =)1,1(B ②图中阴影部分的面积是怎样计
算的？③OB 弧的长度是如何求出的？
1
2?=x
y 怎样得到的？问题问题:(:(:(如图如图如图)
)(用极限、导数用极限、导数)) (用极限、不定积分、定积分)
(用定积分的应用用定积分的应用))
④图中阴影部分的图形绕图中阴影部分的图形绕 轴轴 (或 轴轴)旋转一周的立体的体旋转一周的立体的体
积有计算公式吗？
x y x y ⑤图中阴影部分的图形绕图中阴影部分的图形绕 轴轴(或
轴轴)旋转一周的立体的表面积是多少？⑥无穷多个数相加的和仍然是一个数吗？⑦两电线杆之间的电线的长度是多少？
(用定积分的应用、二重积分用定积分的应用、二重积分)
)(用级数用级数)
) (用定积分的应用、微分方程用定积分的应用、微分方程)
)(用二重积分的应用用二重积分的应用)
)
数学考研基本情况
数学一（力学、机械、电气、信息、计算机等）
56%））（1）高等数学
）高等数学 （56%
22%））
）线性代数 （22%
（2）线性代数
（3）概率论与数理统计
22%））
（（22%
）概率论与数理统计
数学二（纺织、轻工、农业、林业、食品等）
78%））
）高等数学 （78%
（1）高等数学
（2）线性代数
22%））
）线性代数 （22%
数学三（经济学、管理学门类等）
）微积分 （56%
56%））（1）微积分
（2）线性代数
22%））
）线性代数 （22%
22%））
（（22%
）概率论与数理统计
（3）概率论与数理统计
大学数学（三）Day1--6概念及答案 1.2111a a 2.对角线法则：主对角线乘积减去副对角线乘积。 3332312322 211312 11a a a a a a 的行列式。 4.上三角行列式：主对角线以下的元素为零。 5.下三角行列式：主对角线以上的元素为零。 6.上下三角行列式的值：主对角线乘积。 7.逆序数：所有逆序的总数。 8.余子式: 划去元素ij a 所在行和列，由剩余元素按原来顺序所 组成的行列式 9.代数余子式： ij A =ij j i M +-)1( 10.转置行列式：行列式中的行和列互换 11.行列式性质一（转置）：D=T D 12.行列式性质二（互换）：任意两行（列）互换，那么行列式的 值改变符号。 13.行列式性质二（相同）：如果行列式中两行或两列对应元素全 部相同，那么行列式的值为零。 14.行列式性质三（有公因子）：行列式中某行（列）的各元素有 公因子时，可将公因子提到行列式外面。 15.行列式性质三推论（一行列为0）：如果行列式中有一行（列）
的元素全为0，则行列式的值为0. 16.行列式性质三推论（成比例）:如果行列式中有两行（列）的 元素对应成比例，行列式的值为0. 17.行列式性质四（和）：行列式等于两个相应的行列式的和。 18.行列式性质五（倍乘）：倍行（列）加到另一行（列）上，行 列式的值不变。 19.行列式展开定理：n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元 素与其对应的代数余子式的乘积之和。 20.范德蒙行列式概念：形如 23222132 111 1a a a a a a 的行列式 21.范德蒙行列式的值：π（j i a a -） 22.N 元线性方程组：含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为 n 元线性方程组 23.线性方程行列式：未知量的系数所组成的行列式。 24.非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组 25.齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。 26.克莱姆法则：0≠D 时， , , , ,2211D D x D D x D D n n ===Λ 27.非齐次线性方程组根的判别情况，0≠D ，则方程组有唯一解。 28.齐次线性方程组根的判别情况， 0≠D ，则方程组只有零解。 29.矩阵：m 行n 列的数表，记作m n ?A 30.N 阶方阵：行数和列数都等于N 的矩阵
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分：
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室https://www.doczj.com/doc/511832810.html, 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
常州大学怀德学院大学数学A （上）试题库 （一）函数、极限、连续 1. 下列函数中偶函数有( ). (A )2 x xa -; (B )| |sin x x ; (C ) x 2 +cos x ; (D ) 2 1010x x --. 2. 下列函数中奇函数有( ). (A ) x x x +||; (B ) x 2 sin )2 ( x -π; (C ) )]()([1x f x f --+; (D ) 1 1+-x x a a . 3．设函数)(x f 是奇函数，且?? ? ??-+=211 21)()(x x f x F ，则函数)(x F 是（ ） （A ）偶函数; （B ）奇函数; （C ） 非奇非偶函数 ; （D ） 不能确定. 4．下列数列极限不存在的有( ). （A ）10, 10, 10, ? ? ? , 10, ? ? ? ; （B ）2 3 , 3 2, 4 5, 5 4, ? ? ? ; （C ） ???????-+=为偶数为奇数n n n n n n n f 1 1)(; （D ）?? ???-+=为偶数为奇数 n n n n f n )1( 1 1)(. 5. 数列{x n }与{y n }的极限分别为A 与B , 且A ≠B , 则数列x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3, ? ? ? 的极限为( ). (A ) A ; (B ) B ; (C ) n 奇数时为A ，n 偶数时为B ; (D ) 不存在. 6.下列数列收敛的是（ ）。 （A ）n n x n n 1 )1(--=； （B ）n x n n 1)1(-=； （C ） 2 sin πn x n = ； （D ） n n x 2=. 7.下列极限存在的有（ ）。 （A ） x x sin lim ∞ →； （B ） x x x sin 1 lim ∞→； （C ） 1 21 lim 0-→x x ； （D ）x x e 10 lim →. 8. 下列变量在给定变化过程中不是无穷大量的有( ). (A ) 1 3 2+x x (x →+∞); (B ) lg x (x →0+); (C ) lg x (x →+∞); (D )x e 1(x →0). 9. 若lim ()x a g x →=∞．若lim ()x a f x →=∞, 则必有( ). （A ）lim[()()]x a f x g x →+∞=; （B ）lim[()()]x a f x g x →-=0; （C ）1 lim 0()() x a f x g x →=+; （D ） lim ()x a kf x →=∞ (k 为非零常数). 10. 当x →a 时, f (x )是( ), 则可能0)()(lim ≠-→x f a x a x . (A ) 有极限的函数; (B ) 无穷大量; (C )无穷小量; (D )有界函数. 11. 下列极限不正确的有( ). (A )∞=→x x e 10 lim ; (B )0lim 10 =- →x x e ; (C )+∞=+ →x x e 10 lim ; (D )1lim 1=∞ →x x e . 12. 函数1 1 )1(3 -+-=x x x x y 在过程 ( ) 中不是无穷小量.
大学高等数学公式 ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·平方关系： sin^2(α+cos^2(α=1 tan^2(α+1=sec^2(α cot^2(α+1=csc^2(α ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β=(tanα+tanβ/(1-tanα·tanβ tan(α-β=(tanα-tanβ/(1+tanα·tanβ ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sin γ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/(1-tanα·tanβ- tanβ·tanγ-tanγ·tanα ·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2sin(α+t，其中 sint=B/(A^2+B^2^(1/2 cost=A/(A^2+B^2^(1/2 tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2cos(α-t，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα cos(2α=cos^2(α-sin^2(α=2cos^2(α-1=1-2sin^2(α tan(2α=2tanα/[1-tan^2(α] ·三倍角公式： sin(3α=3sinα-4sin^3(α cos(3α=4cos^3(α-3cosα ·半角公式： sin(α/2=±√((1-cosα/2 cos(α/2=±√((1+cosα/2 tan(α/2=±√((1-cosα/(1+cosα=sinα/(1+cosα=(1-cosα/sinα ·降幂公式
2016-2017学年第 2 学期 大学数学2 参考答案 一、 选择题（每题3分，共计18分） 1. A 2. B 3 D 4 C 5 C 6 B 二、 填空题（每空3分，共计18分） 1. 0.7 2. 2 5e - 3. a=0 b= 1 4. 16.25 5.2 (, )N n σμ 三、 计算题(每题8分，共计48分) 1. 解：假设A 为上海上港队夺冠，B 为广州恒大队夺冠 (1分) 则()0.92,()0.93,(|)0.85P A P B P B A === (2分) 由()()() (|)0.85()1() P BA P B P AB P B A P A P A -= ==-，计算得()0.862P AB =(5分) ()()()0.920.86229 (|)0.8286 ()1()10.9335P AB P A P AB P A B P B P B --====≈-- (8分) 2. 解：（1）10 ()()00x x X e x F x f x dx x --∞?-≥==??>?= ==+?? ≤? ?≤? ?? (3分) 2 2 01 00 (1)()(,)(1) 0x Y xe y dx y y f y f x y dx y y else -+∞+∞ -∞ ??>>?? +===+????≤???? (6分) ((),())X Y f x f f x y y =，故相互独立 (8分) 其数学期望为99973000002(100000) ()500100001000010000 a a a E X a --= ++=->，(6分) 则50a > (8分) 5 解：1 10 ()()E X xf x dx x x dx θθ+∞ --∞ = =? ? (3分) 110|,11x X θθ θ θθ += = =++ (6分) 故?,1X X θ =- (8分) 6 解：（1）0.05,α=其置信度为95%的置信区间为
欢迎报考广东财经大学硕士研究生，祝你考试成功！（第 1 页 共 1 页） 1 广东财经大学硕士研究生入学考试试卷 考试年度：2020年 考试科目代码及名称：601-数学分析(自命题) 适用专业：071400 统计学 ［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］ 一、计算题（6题，每题10分，共60分） 1.求极限。 !lim n n n n →∞2.求极限 。 lim arctan 41x x x x π→∞??- ?+?? 3.求极限 。 21cos 20 lim t x x e dt x -→?4.判断级数的一致收敛性。 ()1n x ∞=-∞<<+∞5.设，求 和。 ,x y z xyf y x ??= ???z x ??z y ??6.设是上的连续函数，且满足： ()f x (),-∞+∞ ，求。 0()1cos x tf x t dt x -=-?()f x 二、应用题（4题，每题15分，共60分） 7.计算由抛物线与所围成图形的面积。 21y x =-+2y x x =-8. 应用定积分的定义计算积分。 10x a dx ?9. 在底为高为的三角形中作内接矩形，矩形的一条边与三角形a h 的底边重合，求此矩形的最大面积。 10.求，绕轴旋转所成的曲面面积。 sin ,0y x x π= ≤≤x 三、证明题（2题，每题15分，共30分） 11.证明方程至少有一个不超过的正根。 sin (0,0)x a x b a b =+ >>a b +12.若在区间中具有有界的导数，即，试证在()f x X |()|f x M '≤()f x X 上一致连续。
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
高等数学下试题及参考答案华南农业大学 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'ln xy y y =的通解 。 2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ?= 。 3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。 4．设2sin()z xy =，则 z y ?=? 。 5．交换积分次序2 2 20 (,)y y dy f x y dx ?? 。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1 ．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边 界，取正向，则32 2()()L x xy dx x y dy +++?等于 （ ） A ．1- B ．1 C ．12 D ．14 2．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ）
A ．()i k ±- B ．)j k - C ．)j k ±+ D ．)i j k -+ 3．设ln z xy =（），则11 x y dz === （ ） A ．dy dx - B ．dx dy + C ．dx dy - D ．0 4．对于级数1(1)n p n n ∞ =-∑，有 （ ） A ．当1p >时条件收敛 B ．当1p >时绝对收敛 C ．当01p <≤时绝对收敛 D ．当01p <≤时发散 5．设1 0(1,2,)n u n n ≤< =，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞=∑ B ．1(1)n n n u ∞=-∑ C ．1 n ∞ =D ．2 1 (1)n n n u ∞ =-∑ 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctan D y d x σ??，其中D 是 22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。 2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求 ,u u x y ????。 3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 4.判定级数12! n n n n n ∞ =∑的敛散性。
大学数学中的重要知识点 1.数列极限 定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当n>N时， |Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为 limXn = a 或Xn→a（n→∞） 2 确界原理 任一有上界的非空实数集必有上确界(为实数)。对偶地，任一有下界的非空实数集必有下确界(为实数)。在扩张的实数系R中，认为没有上(下)界的非空实数集的上(下)确界为+∞(-∞)。这样，在R中任何非空集都有上、下确界。 3 柯西收敛准则 定理叙述： 数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立。 将柯西收敛原理推广到函数极限中则有： 函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立。 4 函数的连续性 如果函数f(x)在点x=a处及其附近有定义，而且函数在x=a处的极限值和f(a)相等，就说函数 f(x)在x=a处连续。 函数若在区间(m,n)内所有点上都连续，就说函数在区间(m,n)内连续。 函数若在区间(m,n)内所有点上都连续，而且在x=m点上右极限等于f(m)，在x=n点上左极限等于f(n)，就说函数在区间[m,n]内连续。 5 导数的定义 一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义; 当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率).
1 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016-2017学年第 2 学期 考试科目：大学数学2 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业________________________ 一、选择题（每题3分，共计18分） 1. 设A 、B 为相互独立，()0,()0P A P B >>，则()P A B =（ ）。 (A) 1()()P A P B - (B) 1()()P A P B + (C) ()()P A P B + (D) 1()P AB - 2. 随机变量X 的密度函数为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数， 则对任意实数a 有（ ） (A) 0()1()a F a f x dx -=-? (B) 0 1 ()()2a F a f x dx -= -? (C) ()()F a F a -= (D) ()2()1F a F a -=- 3. 二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则下列不正确的为（ ） (A) ( ,) (,)F x y P X x Y y =≤≤ (B) (,)0F y -∞= (C) (,)0F -∞-∞= (D) (,)1F y +∞= 4. 设随机变量X 、Y ，下列（ ）选项是正确的 (A) ()()()D XY D X D Y = (B) ()()()E XY E X E Y =
2 (C) ()()()E X Y E X E Y +=+ (D) ()()()D X Y D X D Y -=- 5. 若样本12 ,n X X X 来自于正态分布总体2(,)N μσ，其中标准差σ已知，则 对于均值μ的置信度为1α-的区间估计为（ ） (A) 2 2 [((X t n X t n αα--+- (B) 2 2 [X X α αμμ-+ (C) 2 2 [X u X u α α -+ (D) [X u X u α α -+ 6. 若样本12 ,n X X X 来自于正态分布总体2(,)N μσ，其中期望μ已知，在假 设检验20:16H σ=与21:16H σ≠中，使用的检验统计量为（ ） (A) 2 2 1 16 n i i X μ =-∑ (B) 2 1 () 16 n i i X μ=-∑ (C) 2 1 () 16 n i i X X =-∑ (D) 22 1 16 n i i X X =-∑ 二、填空题（每空3分，共计18分） 1. 已知()P A =0.5，()P B =0.6，(|)P B A =0.8，则()P A B =______________ 2. 设随机变量X 服从泊松分布(2)P ，则(2)P X ≤=_____________ 3. 连续型随机变量的分布函数2 2 0()00 x a be x F x x - ??+≥=??
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ?? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交 （2）设是由方程222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） A.dx dy + B.2dx dy + C.22dx dy + D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222 425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） A. 225 30 d r dr dz πθ? ?? B. 245 30 d r dr dz πθ? ?? C. 22 5 350 2r d r dr dz πθ? ?? D. 22 5 2 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数 ，则其收敛半径 （） A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 2 （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） A. B.()x ax b xe + C.()x ax b ce ++ D.()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22 {(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 分方程'ln xy y y =的通解 。 1．微 2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ?= 。 3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。 4．设2sin()z xy =，则 z y ?=? 。 5．交换积分次序22 20 (,)y y dy f x y dx ?? 。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） L 为直线0, 0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取 1．设 正向，则322()()L x xy dx x y dy +++ ?等于 （ ） A ．1- B ．1 C ． 12 D ．1 4 2．已知a i j k =++， 则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ） A ．()i k ±- B ．)2j k ± - C ．()2j k ±+ D ． )i j k ±-+ 3．设ln z xy =（），则11 x y dz === （ ） A ．dy dx - B ．dx dy + C ．dx dy - D ．0 4．对于级数1(1)n p n n ∞ =-∑，有 （ ）
A ．当1p >时条件收敛 B ．当1p >时绝对收敛 C ．当01p <≤时绝对收敛 D ．当01p <≤时发散 5．设1 0(1,2,)n u n n ≤< =，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞ =∑ B ．1(1)n n n u ∞ =-∑ C ．n ∞=．2 1 (1)n n n u ∞ =-∑ 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分 arctan D y d x σ??，其中D 是 22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。 2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求 ,u u x y ????。 3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 4.判定级数12! n n n n n ∞ =∑的敛散性。 5.使用间接法将函数2 4 ()4f x x =-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。 6．求微分方程'cos y y x x x -= 满足初始条件2 2 x y ππ = =- 的特解。 7 ．计算二重积分D σ??，其中D 是由曲线y =2y x =所围成的闭区域。 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何 值时，曲线积分2322(6)(2)L xy y dx a xy x y dy -+-?与积分路径无关，并计算此时的积 分值。 2．要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。 3．设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某邻域有一阶连续的导数且0() lim 0x f x a x →=>，求证：（1）11()n f n ∞ =∑ 发散；（2）-11 1()n n f n ∞ =∑（-1）收敛。 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案
大学数学习题及答案 一 填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程 21y dx dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程 y x dx dy /-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ?????=+=0 )0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652 =+-? ?? ??y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程5 34 y x y dx dy =++?? ? ??的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组 Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19．方程 0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是____________________． 20．方程04=+''y y 的基本解组是____________________． 21．方程 1 d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'ln xy y y =的通解 。 2. 设有向量(4,3,0)a =r ，(1,2,2)b =-r ，则数量积a b ?=r r 。 3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。 4．设2sin()z xy =，则 z y ?=? 。 5．交换积分次序22 20 (,)y y dy f x y dx ?? 。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形 边界，取正向，则322 ()()L x xy dx x y dy +++? ?等于 （ ） A ．1- B ．1 C ． 12 D ．1 4 2．已知a i j k =+ +r r r r ，则垂直于a r 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ） A ．()i k ±-r r B ．()2j k ±-r r C ．)2j k ±+r r D ．()2 i j k ±-+r r r 3．设ln z xy =（），则11 x y dz === （ ） A ．dy dx - B ．dx dy + C ．dx dy - D ．0
4．对于级数1(1)n p n n ∞ =-∑，有 （ ） A ．当1p >时条件收敛 B ．当1p >时绝对收敛 C ．当01p <≤时绝对收敛 D ．当01p <≤时发散 5．设1 0(1,2,)n u n n ≤< =L ，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞ =∑ B ．1 (1)n n n u ∞ =-∑ C ．1 n ∞ =D ．2 1 (1)n n n u ∞ =-∑ 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctan D y d x σ??，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。 2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求 ,u u x y ????。 3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 4.判定级数12! n n n n n ∞ =∑的敛散性。 5.使用间接法将函数2 4 ()4f x x =-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。 6．求微分方程'cos y y x x x -= 满足初始条件2 2 x y ππ = =- 的特解。 7 ．计算二重积分D σ??，其中D 是由曲线y =2y x =所围成的闭区 域。 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为
大学数学解题软件 对于大多数同学而言，不经预习就一无所知地去听课，那样的学习效果往往不好。特别是大学生，一上大学就变得懒撒了。下面是分享给大家的大学生课前预习的方法的资料，希望大家喜欢! 大学生课前预习的方法 1.每次预习的时间保证在30~40分钟，即节约课的时间。 当然，这一点也可以视预习的对象和自己的时间情况而定。 如果预习的功课难，自己的时间也很宽裕，那么预习的时间就不妨可以延长一些;如果预习的功课容易，自己的时间紧，那么预习的时间就不妨短一点。 比如一位高考状元在总结自己的学习时就说：每次20分钟的预习，改变了我学习被动的局面。 2.预习两遍，间隔一天：对于一些较难的科目和章节，我们可以提前一周进行有针对性的预习。 比如，对化学元素这一单元内容，可以在周三用30分钟预习一遍，周五再用30分钟预习一遍，这样到了下周老师讲到这一单元内容时，我们就能够更轻松地理解老师所讲的内容，更准确地把握难点、重点。 培养初中生课前预习习惯的方法一.了解课前预习的作用
课前预习是有效课堂教学的第一个环节，是学生接受新知识的开端。首先，课前预习不但能培养学生良好的自学习惯，也能提高学生的自学能力，能够锻炼培养学生阅读、理解、分析、综合等多种能力。其次，能够提高课堂听课效率。通过预习，学生对下一次课要学习的内容已经有了大致的了解，已经做到了心中有数，在听课时会轻松的跟上老师的思路。最后，能帮助学生温故而知新。提前发现自己知识上的缺陷，并及时查缺补漏。有利于加强新旧知识的联系，加强对所学知识的记忆。 二.指导学生预习，形成预习习惯 1.要读，就是阅读课文，这是预习环节的第一步。《语文新课程标准》要求，学习之前应通读教材，了解教材的结构和知识的内在联系，现行中学语文课本都是以单元做为基本单位的，同一单元的几篇课文除各具特色外，还有其共同的知识和规律。因此，对单元介绍浏览一遍，预先形成一个知识系统，明确单元要点，便于对比和总结。指导学生预习时要求粗读预习提示或阅读提示，以从整体上把握课文内容。 2.要查，也就是查找字词。字词教学也是初中语文双基教学的任务之一，读课文的时候，把课文中不认识的字、不会解释的词、不易理解的句子勾画出来。书上没有注解的字词，可查一查字典、词典，特别是一些似懂非懂的句子，要搞清楚。
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷考试时间：120分钟学号姓名年级专业 题号一二三四五六七总分得分 评阅人 1． 填空题.（每小题3分，共30分） 1.若行列式D各行元素之和等于0，则该行列式等于 . 2.设为2005阶矩阵，且满足，则 . 3.非齐次线性方程组有解的充要条件是 . 4.设为4阶方阵，且的行列式，则 . 5.设则与的距离为 . 6.设为正交矩阵，则 . 7.三阶可逆矩阵的特征值分别为2，4，6，则的特征值分别 为 . 8．如果是正定的，则的 取值范围是 . 9.设为阶方阵，且，则 . 10.在MATLAB软件中rank(A)表示求 . 二、单选题（每题3分，共15分） 1.元齐次线性方程组秩则有基础解系且基础解系 含（ ）个解向量. （A） （B） （C） （D） . 设四阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）0. 3. 设是阶方阵，满足，则（ ） （A）的行列式为1 （B）不同时可逆. （C）的伴随矩阵 （D）的特征值全是1 4. 设阶方阵满足，其中是阶单位阵，则必有（ ） （A） (B) (C) (D) 5. 在MATLAB中求A的逆矩阵是（ ）
（A）det(A) (B)rank(A) (C)inv(A) (D)rref(A)三、计算题（每题6分，共12分） 1. 2.给定向量组， 求的一个最大无关组和向量组的秩. 四、设验证：线性相关.（8分） 五、已知 ，求及 （10分）
六、设线性方程组当等于何值时，（1）无解；（2）方程组有 惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（12分） 七、求一个正交变换，把下列二次型化为标准形 （13分）
高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x)，= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx)，= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C
三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 )1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】∞ ∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???????=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】13)13)(13(lim )13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x 例4：求极限3 0sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键