计算题
1、一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求该箱产品中确实没有次品的概率。
解：设 i A =“箱中有i 件次品”，由题设，有()()1
03
i P A i =
=，1，2， 又设 =B “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有
()2
()()|i i i P B P A P B A ==∑1010
99
981010100100111 2.7133C C C C ??=++=? ???
故()()()
()000||P A P B A P A B P B =1130.371 2.713
?==?
即通过验收的该箱产品确实没有次品的概率是0.37。
2、设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布)1,0(N ，
求随机变量Z =
解：
因为X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布)1,0(N
所以2
2
221),(y x e y x f +-
=
π
首先求Z 的分布函数
)()()(22z Y X P z Z P z F ≤+=≤=
当0≤z 时，0)(=z F
所以当0>z 时，????≤++-
≤+==2
222
22222
21),()(z y x y x z y x dxdy e dxdy y x f z F π
令θθsin ,cos r y r x ==
则上式??
?-
-
==z
r z
r rdr e
rdr e d 0
2
2
20
2221π
θπ
所以密度函数?????≤>==-0
,00,)()(2
`2
z z ze z F z f z
3、设二维随机变量),(Y X 在矩形},10|),{(2x y x x y x G <<<<=上服从均匀分布，（1）求),(Y X 的联合概率密度（2）求),(Y X 关于X 、Y 的边缘概率密度（3）判断X 与Y 的独立性。
解：（1）区域G 的面积为
6
1
)(1
2
1
2=-==?????dx x x dy dx dxdy x
x
G
（X 、Y ）的联合概率密度为
???<<<<=其它,0
,10,6)(2x
y x x x f
（2）X 的边缘概率密度为 ==
?∞
∞
-dy y x f x f X ),()(?????<
1
0,62x dy x x
=???<<-其它,0
1
0),(62x x x
Y 的边缘概率密度为 ==
?∞
∞
-dx y x f y f Y ),()(?????<
1
0,6y dx y y
=?
?
?<<-其它
,0
10),(6y y y
（3）显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立。
4．对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5. 求100次炮击中有380至420颗炮弹命中目标的概率. 解答：设 i X 表示第i 次炮击命中目标的炮弹数，
由题设，有 4i EX =
()1.51i ==，2，，100
则100次炮击命中目标的炮弹数 100
1
i
i X X
==
∑，100
1
400i
i EX EX
==
=∑
100
21
100 1.5i i DX DX ===?∑
因 12100X X X ，，，相互独立，同分布，则由中心极限定理知
100
1
i i X X ==∑近似服从正态分布()400N ?2，100 1.5
于是 {}380420P X ≤≤≈4204003804001515--????
Φ-Φ
? ?????
202115??
=Φ- ???
()2 1.331=Φ-0.8164=
.应用题
1、 由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数10λ=的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ （供参考：X )(~λP ，)9513.0)15(,9166.0)14(≈≤≈≤X P X P ）
解 设该商店每月销售某种商品ξ件，月底的进货为a 件，则当（a ξ≤）时就不会脱销，因而按题意要求为
()0.95P a ξ≤≥
因为已知ξ服从10λ=的普哇松分布，上式也就是
10
100.95!k a
k e k -=≥∑
由题意，)9513.0)15(,9166.0)14(≈≤≈≤X P X P ，即
95.09513.0!1095.09166.0!
10150
10
14
010
>≈<≈∑∑=-=-k k
k k e k e k
于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.
2、据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X 服从[2000,4000] （单位：
吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇3万元；而销售不出，每吨需库存费1万元。问应组织多少货源，才能使收益最大？
解： 设应组织货源t
吨，显然40002000
≤≤t
则收益为??
?<-≥==t X t X t
X t X g Y ,4,3)( 因为X 的密度为
?
??≤≤=otherwise x x f ,04000
2000,20001)(
所以
??==∞∞
-4000
2000
)(20001
)()()(dx x g dx x f x g Y E
??
????+-=??4000
2000
3)4(20001t t tdx dx t x ()40000007000100012
+--=t t 当
3500=t 时，)(Y E 达到最大
证明题
设随机变量序列}{n X 独立同分布，其密度函数为
???<≥=--.,
0,
,)()(a x a x e x p a x
其中a 为未知参数。令 ),,min(1n n X X Y =，试证：a Y P
n ?→?。
证明：因为i X 的分布函数为
??
?<≥-=--.,
0,
,1)()(a x a x e x F a x 所以0>?ε，有
)()|(|εε+≥=≥-a Y P a Y P n n
))((1 n
i i a X P =+≥=ε
0))(1()(1
1
??→?=+-=+≥=+∞
→-==∏∏n n n
i n i i e a F a X P εεε 故 a Y P
n ?→?。
计算题
1已知离散型随机变量X 的分布列为
30
1115151615131012P
X -- 求X Z =的分布列。
2、设二维随时机变量(X ,Y )的联合密度函数为
??
?<<<<+=.
,0;
10,10,),(其他y x y x y x p （1）求}1{≤+Y X P ；
（2）求X 和Y 的边际密度，并判断X 与Y 是否相互独立? 应用题
1、设有一笔资金，总量记为1（可以是1万元，也可以是100万），如今投资甲、乙两种证券。若将资金1x 投资于甲证券，将余下的资金211x x =-投资于乙证券，于是),(21x x 就形成了一个投资组合。记X 为投资甲的收益率，Y 为投资乙的收益率，它们都是随机变量。如果已知X 和Y 的均值（代表平均收益）分别为1μ和2μ，方差（代表风险）分别为0.25和0.64，X 和Y 的相关系数为0.4.求该投资组合的平均收益与风险（方差），并求使投资风险最小的投资组合。
2、有一电站供1000台设备用电，各台设备用电与否是相互独立的，若各台设备用电量（度）在[0,60]上服从均匀分布。问若以0.99的概率保证这1000台设备用电，电站至少需供应多少度电？
3、设总体X 的概率密度函数是
22exp{}, 0
()0, x x x f x λλ?->=?
?其它
λ>0为未知参数，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。
4、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平
0.05α=下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异? 五、证明题
设}{k X 为独立的随机变量序列，且
,2,1,2
1}ln {==
±=k k X P k ，
证明}{k X 服从大数定律. 计算题
1、解：
30
715161)1()1()1(5
1)0()0(=+==+-====
===X P X P Z P X P Z P
30
11
)3()1(51
)2()2(=
====
-===X P Z P X P Z P 上述步骤可以省去 所以X Z =的分布列为
30
115130
75
13210P
Z
2、解：（1）)1(≤+Y X P 3
1
)2121()(1
0210
1.
0???
=-=+=-dy y dx y x dy y
（2）??
???<<+==??∞
+∞
-其他,01
0,)(),()(1
0x dy y x dy y x p x p X
得?????
<<+=其他
,
010,
2
1)(x x x p X
??
???<<+==??∞
+∞
-其他,01
0,)(),()(1
0y dx y x dx y x p y p Y
得?????
<<+=其他,
01
0,2
1)(y y y p Y 即可得),()()(y x p y p x p Y X ≠，所以X 与Y 不独立。 应用题
1、解：设投资组合的收益为Z ，则
Y x X x Z )1(11-+=
2
211211111)()1(])1([μμμμμ+-=-+=-+=x x x Y x X x E EZ
64
.096.057.08.05.04.0)1(264.0)1(25.0]
)1([)(12
111212
111+-=???-+?-+?=-+=x x x x x x Y x X x Var Z Var 令
096.014.1)
(11
=-=??x x Z Var 得驻点842.014.196.01≈=
x 且
014.1)(2
1
2>=??x Z Var 所以当842.014
.196
.01≈=
x 时投资风险最小，即使投资风险最小的投资组合为)158.0,842.0(),(21=x x 。
2、解： 设各台设备用电量分别为X i (i =1,2,…,1000)，则1000台设备的用电量为X =X 1+X 2+…+X 1000
依题意知，EX i =(0+60)/2=30，DX i =(60-0)2/12=300，因此EX =30000，DX =300000，由中心极限定理，
)1,0(~300000
30000N X - 设电站需供应a 度电,
由题意得 99.0)300000
30000
(
)(≥-Φ≈≤a a X P ，查表得99.0)33.2(=Φ
即
33.2300000
30000≥-a ，得19.31276≥a
所以电站至少需供应31276.19度，才能以0.99的概率保证这1000台设备用
电。
3、解：似然函数为
2
21
1
1
()(2exp{})(2exp{})n
n
n
n
n
i i i i i i i L x x x x λλλλλ====∏-=∏-∑ （ 0,>?i x i ）
2
1
1
ln ()ln(2)ln n n
i
i
i i L n x x
λλλ===+
-∑∑ （ 0,>?i x i ）
令 2
1
ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 得 ∑==n
i i
x
n
1
2
?λ
且01222<-=??λ
λL 所以参数λ的最大似然估计为 ∑==n
i i
x
n
1
2
?λ
4、解 ：提出假设03.0:03.0:2120≠=σσH H
选取统计量)1(~)1(22
2
2
--=
n s n χσ
χ
拒绝域为：7.2)9(2025.02=≤χχ或02.19)9(2
975.02=≥χχ
把10=n ，0375.02=s 代入得实测25.1103
.00375
.09)1(2
2
2
=?=
-=
σχs n 未落入拒绝
域，接受0H ，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。
证明题
1、证明： 因
,3,2,1,021
ln 21ln )(==?+?
-=k k k X E k
,3,2,1,ln 21
)ln (21)1()(222==?+?-=k k k nk X E k
,ln )(k X Var k = ,3,2,1=k 所以1)(=k X Var ，且 ,,21X X 相互独立，由此得马尔可夫条件
n
n
n n
n k X Var n n
k n k n
k k ln ln ln )(1
02
1
2
1
1
2=
≤
=
≤∑∑∑=== 而01lim ln lim
==∞→∞→x x x x x ，0ln lim =∞→n n n ，由夹逼准则0)(1
lim 1
2=∑=∞→n
k k n X Var n 由马尔可夫大数定律知{}n X 服从大数定律.
计算题
11、 假设4.0)(=A P ，6.0)(=B A P ，试在以下不同条件下分别求)(B P ： （1）B A ?； （2）B A ,互不相容； （3）B A ,独立。
解： （1） 6.0)()(==B A P B P （2） 2.04.06.0)()()(=-=-=A P B A P B P （3） )()()()()(B P A P B P A P B A P -+=
31)(=B P
12、某厂两条流水线生产彩电，产量分别占总量的40%和60%，次品率分别为0.02和0.01。现在出厂彩电中任取一件，结果为次品。试问两条流水线应如何分担责任？
解：令 A =“任取一件，恰为次品”,
B i =“任取一件，恰为第i 条流水线生产”，i=1,2，
则由Bayes 公式，即得
∑==
2
1
111)
|()()
|()()|(i i
i
B A P B P B A P B P A B P
%5701
.0%6002.0%4002
.0%40≈?+??=
%43)|(1)|(12≈-=A B P A B P
两条流水线应按57%：43%的比例分担责任。 13、设随机变量（X ，Y ）具有密度函数 ??
?<<<=其它
,
01
0,,1),(x x y y x f
（1）求X 与Y 的相关系数（2）问X 与Y 是否不相关（3）X 与Y 是否独立，为什么？
解：（1）3
2
2)()(1
21
=
==
??
?-dx x dx xdy X E x
x
0)()(1
==
??-dx ydy Y E x
x
??-==1
0)()(x
x
dx xydy XY E
0(=-=）（）（）（）、Y E X E XY E Y X COV ，所以0=XY ρ（2）不相关
（3）不独立，因为（X 、Y ）不是二维正态分布。
14、设随机变量Y X 与独立同分布，其密度函数为???≤>=-0
,00,)(x x e x p x
（1） 求);,()/(v u p Y X X V Y X U U V 的联合密度函数与+=+= （2） 以上的V U 与相互独立吗？
解：（1）?
?
?-==???+=+=)1()/(v u y uv x y x x v y x u 的反函数为
变换的雅可比行列式为u v u uv v v
y u y v x u x J -=---==????????=
)1(u - v -1u
所以在内，有的可能取值范围}10,0{),(<<>v u V U
u v u uv Y X U V ue u e e u v u p uv p v u p ----==--=)1())1(()(),(
（3） 因为V U 与各自的边际密度函数分别为：
0,),()(1
,>===
--+∞
∞-?
?u ue dv ue dv V U p u p u
u V U U 10,1),()(0
,<<===
??+∞
-+∞
∞
-v du ue du V U p v p u V U V
所以)()(),(v p u p v u p V U U V =，知V U 与相互独立。 应用题
15、设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量
（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？
解：设第K 户居民每天用电量为k X 度，1000户居民每天用电量为X 度， =k EX 10，
12
202
=k DX 。
再设供应站需供应L 度电才能满足条件，则
99.0)12
201000101000(
}{2
=?
?-Φ=≤L L X P
即
33.23
/10000010000=-L ，则L=10425度。
16、据预测，国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X （单位：吨）在区间[300，500]上服从均匀分布。此商品每出口1吨，可获利1.5万元；但是每积压1吨，将亏损0.5万元。如果由某公司独家经营这种商品的出口业务，问该公司应当储备多少这种商品才能使所获的平均利润最大？
解： 设该公司应当储备这种商品a 吨，显然500300
≤≤a
则所获利润为
???<--≥=a X X a X a X a X g ),(5.05.1,
5.1)(???<-≥=a
X a X a X a ,5.02,5.1
因为需求量X 的概率密度是
?
??≤≤=其它,0500300,2001)(x x f
所以平均利润为
??=?=∞
∞
-500
300
)(2001
)()()]([dx x g dx x f x g X g E )90000900(2001)5.1)5.02((20012500
300+--=+-=??a a adx dx a x a
a
当450=a 时，所获利润的数学期望最大
证明题
17、（证明切比雪夫不等式成立）设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ，则对于
任
给0>ε，有22
}|{|ε
σεμ≤≥-X P
书上有答案
计算题
1、一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B 。加工零件A 时停机的概率是0.3，加工零件B 时停机的概率是0.4。求若该机床已停机，求它是在加工零件A 时发生停机的概率。
2、设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为
?????≤≤≤≤=.
,0;
10,20,2
3),(2
其他y x xy y x f （1）求X 和Y 的边际密度，并判断X 与Y 是否相互独立? （2）求)(X Y P ≥ 四、应用题
1、设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求是随机变量X （单位吨），它服从区间[2000,4000]上的均匀分布。每销售出一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费1万元。问应组织多少货源，才能使
国家收益最大？
2、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？
3、设总体为],0[θ上的均匀分布，求参数的矩估计和极大似然估计。
4、某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为x =10.48cm 。假设方差不变，问在0.05α=显著性水平下，该切割机工作是否正常? 证明题
假设n X X X ,,21来自均值为μ，方差为2σ的总体的样本，记
][11122
2
∑=--=n
i i X n X n S
证明：22)(σ=S E 计算题
1、解：设事件C 表示该机床停机，由贝叶斯公式得
1134.0323.0313.031
)()()()()()()(=?+??=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P 2、 解： （1）???
??≤≤==??
∞
∞
-.
,0;20 ,2
3),()(2
10其他x dy xy dy y x f x f X ?????≤≤=.
,0;
20,2
1
其他x x ???
??≤≤==??
∞
∞
-.
,0;
10,2
3),()(2
20其他y dx xy dx y x f x f Y
???≤≤=.
,0;10,3其他y y )()(),(,y f x f y x f y
x Y X =?都有，所以
X 与Y 相互独立
20
3
)23()(20
1
2??
==≥x dx dy xy X Y P 应用题
1、解：设该公司组织店a 吨货源，公司收益为Y ,则
?
?
?>≤?--=a X a a
X X a X Y ,3,1)(3 即==)(X g Y ???>≤-a X a a
X a X ,3,4
]4000,2000[~U X ,∴?
?
?≤≤=其他,040002000,2000
/1)(x x f dx x g dx x f x g EY ???
==∴+∞
∞-500
30020001
)()()(
dx a dx a x a a ???+?-=4000200020001320001)4( )8000000140002(2000
12-+-=a a 易得当 3500=a 时，EY 取得最大，所以应组织3500吨货源，才能使国家
收益最大
2、设各零件重量分别为X i (i =1,2,…,5000)，则5000台零件的总重量为X =X 1+X 2+…+X 5000
依题意知，EX i =0.5，DX i =0.12=0.01，因此EX =2500，DX =50， 由中心极限定理，可知
50
2500
-X 近似服从N （0，1）分布，故这5000零件总
重量超过2510kg 的概率为：
)50
2500
251050
2500
(
1)2510(1)2510(-≤
--=≤-=>X P X P X P )50
2500
2510(
1-Φ-≈
=9213.01)2(1-=Φ-0787.0=
3、 解：总体密度?????≤≤=其他
,00,1
)(θ
θx x f
（1）因为2
)(θ
=X E ，令2
θ
=
X ，得X 2?=矩
θ （2）似然函数为
??
???=≤≤==∏=其他,0)
2,1(0,1
)()(1n i x x f L i n n
i i θθθ
要使)(θL 尽可能大，则θ应尽可能小，但),2,1(n i x i =≥θ，所以)(?n MLE x =θ 4、 解：5.10:5.10:10≠=μμH H 选取统计量)1,0(~15
/5
.10N X Z σ-=
拒绝域为：96.12
=≥αZ Z 把cm x 48.10=，215.0cm =σ代入得 实测值96.1533.016
/15.05.1048.10<=-=
t
接受原假设，即没有理由认为该切割机在此日工作正常 证明题 证明：
)(11[)(1
22
2
∑=--=n
i i X n X n E S E
)(111
22∑=--=n
i i X nE EX n 222212)]1()([11σμσμσ=+-+-=∑=n
n n n i 设二维随机变数),(ηξ有密度函数
)
25)(16(),(2
22y x A
y x p ++=
π 求常数A 及),(ηξ的密度函数。
解： 120
25164)25)(16(),(02022222==++=++=
??????
∞∞∞
∞-∞
∞-∞∞-∞
∞
-A y dy x dx A dxdy y x A
dxdy
y x p ππ 所以，20=A ；
)
25)(24(1)25)(16(20)
25)(16(20
),(),(2222222πππ
ππ++=++=++==??????
∞-∞-∞-∞-∞-∞
-y arctg x arctg s ds
t dt s t dtds
dtds
s t p y x F y x x
y
x
y
若对连续型随机变量ξ，有)0(<∞ ξ ，证明有r r E P ε ξ εξ≤ >)(。 证：dx x p x dx x p P x x r r )()()(ξε ε ξεεξ?≤= >? ? >> r r r r E x p x εξεξ/)(1 =?≤ ?∞ ∞ -。 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率p 的差小于10 p ，问至少应该做多少次试验？ 解：令 ?? ?=其它上次试验时图钉的尖头朝第0 1n n ξ 据题意选取试验次数n 应满足95.0)10 |(|1 ≥< -∑=p p n P n i i ξ ，因为n 比较大，由中心极限定理有 95 .021) 101|) ((|)10 |(|2 1011011 1 2≥≈< -=<-- - ==? ∑∑dx e q np npq p P p p n P x q np q np n i n i i πξ ξ 故应取2101=q np ， 即p q n 400=，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有21≥p ，因而 1≤p q ，故可取400=n 。 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。 解：令 ?? ?=其它对后仍错误个印刷符号被排错且校 第0 1i i ξ 因为排版与校对是两个独立的工序，因而 p q P P p i i -====?===-1)0(,101.00001.0)1(5ξξ }{i ξ是独立同分布随机变量序列，p E i =ξ，令∑==n i i n 1 ξη，其中610=n ，由中心 极限定理有 ? ∞ -- ≈ =-≤ -=≤b x n n dx e b npq np npq np P P 2 2 21)15( )15(π ηη 其中58.110 5≈≈ b ，查)1,0(N 分布表即可得94.0)15(≈≤n P η，即在校对后错误 不多于15个的概率。 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问： （1）保险公司亏本的概率多大？ （2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？ 解：保险公司一年的总收入为120000元，这时 （1） 若一年中死亡人数120>，则公司亏本； （2） 若一年中死亡人数80≤，则利润中死亡人数40000≥元； 若一年中死亡人数60≤，则利润中死亡人数60000≥元； 若一年中死亡人数40≤，则利润中死亡人数80000≥元； 令 ?? ?=个人在一年内活着 第个人在一年内死亡 第i i i 01ξ 则p P i ===006.0)1(ξ，记10000,1==∑=n n i i n ξη已足够大，于是由中心极限定理 可得欲求事件的概率为 （1） )723 .760 0211)120( 1)120(2 2≈ ≈- ≈=-≤ --=>? ∞ -- b dx e b npq np npq np P P b x n n （其中π ηη 同理可求得 （2） )59.2(995.0)80(≈≈≤b P n 对应的η )0(5.0)60(=≈≤b P n 对应的η )59.2(005.0)40(-≈≈≤b P n 对应的η 随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm ） 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值μ的90%的置信区间 （1）0.01cm σ=； （2）σ未知 解 （1）由子样函数(0,1)U N ξ=，0.95(||)0.90p U u <=，可求μ的置信 区间 置信下限 2.121 ξ= 置信上限 2.129 ξ+= （2）在σ未知时，由子样函数(1)n t t n ξ=-，0.95(||(1))0.90p t t n <-=可 求得μ置信区间为 置信下限 * 2.1175 ξ= 置信上限 * 2.1325 ξ+=
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