“图形与证明（二）”综合测试题
1．如图1，菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB=4．则菱形ABCD 的面积是 ，对角线
BD 的长是 ． 2．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠C AB ，BC=8cm ，BD=5cm ，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．
3．如图3，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ= ．
4．如图4，若将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，则图中阴影部分的面积为 ．
5．如图5，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是线段AD 上的一个动点(E 与A 、D 不重合)，G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点．
（1）试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由．
（2）当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是 菱形?并加以证明．
（3）若（2）中的菱形EGFH
四、创新题
6．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称．
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并说明你的结论．
B
图1 B 图2
Ｍ
Ｄ Ｑ
Ｂ 图3 D 'C 图4
9．将n 个边长都为lcm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A 1，A 2，……，A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
10．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB =8，AD =12，O M =x ,ON=y 则 y 与x 的关系是
11.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、 N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________.
12． 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q . （1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；
（2）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位
置时，△ADQ 恰为等腰三角形.
N
O
A
B
D
C
M
第
14
题
13.情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC ′=
问题探究
如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.
图3
A
B
C
E
F
G
P Q 图1 图2
C'A'B
A
D
C
A
B
C
D
B
C
D
A (A')
C'
图4
M N
G
F
E
C
B
A
H
14.如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA＝5，OC＝4，BC∥OA，
BC＝3，点E在OA上，且OE＝1，连结OB、BE．
(1)求证：∠OBC＝∠ABE;
(2)如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连结PC、P、PA和CE．
①当△PCE的周长最短时，求点P的坐标；
②如果点P在x轴上方，且满足S△CEP：S△ABP＝2：1，求DP的长．
15在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）. （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数； （3）试证明在旋转过程中, △MNO 的边MN 上的高为定值；
（4）设△MBN 的周长为p ，在旋转过程中，p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p 的值。
y
x
y=x N
M
O
C
B
A
参考答案
15.（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，∴OA旋转了45度．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为0.5π ．
（2）∵MN‖AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45度．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
∴△OAM ≌△OCN．∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM= 1/2（90°-45°）=22.5度．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5度．
（3）MN边上的高为2
（4）证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，
∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME ≌△OMN．
∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
16.探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例
如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：
(1)请就图①证明上述“模块”的合理性；
(2)请直接
．．上述“模块”的结论解决下面两个问题：
．．利用
①如图②，已知点A(－2，1)，点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，求此时点B的坐标；
②如图③，过点A(－2，1)作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C、D，求点A关于直线
CD的对称点E的坐标．
17. （1）如图（1），正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出HD ：GC ： EB 的结果（不必写计算过程）；
（2）将图（1）中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图（2），求HD ：GC ：EB ；
（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA ：AB=HA ：AE=m ：n ，此 时HD ：GC ：EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后 的结果（不必写计算过程）．
18.如图，在△ABD 和ACE 中，,,AB AD AC AE BAD CAE ==∠=∠，连接,BC DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G ．
（1）试判断线段,BC DE 的数量关系，并说明理由； （2）如果ABC CBD ∠=∠，那么线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项吗？并说明理由.
A D
H
G
C
(3)
B
(1)
E D
H C
A
G
B
B
D
C
A G
E
F
(2) E
D
C
H
G B
A
19. 如图1，已知直线y ＝－2x ＋4与两坐标轴分别交于点A 、B ，点C 为线段OA 上一动点， 连结BC ，作BC 的中垂线分别交OB 、AB 交于点D 、E
(l)当点C 与点O 重合时，DE ＝ ▲ ； (2)当CE ∥OB 时，证明此时四边形 BDCE 为菱形；
(3)在点C 的运动过程中，直接写出OD 的 取值范围．
20.如图，已知P 为AOB ∠的边OA 上的一点，且2OP =.以P 为顶点的MPN ∠ 的两边分别交射线OB 于
M N ，两点，且60MPN AOB ∠=∠=?．当M P N ∠以点P 为旋转中心，PM 边与PO 重合的位置开始，
按逆时针方向旋转（MPN ∠保持不变）时，M N ，两点在射线OB 上同时以不同的速度向右平行移动．设
,OM x ON y ==（0y x >>），△POM 的面积为S ．
（1）判断：△OPN 与△PMN 是否相似，并说明理由； （2）写出y 与x 之间的关系式；
（3）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．
备用图
图1
M
N
B
P
A
O
21.知识迁移
当0a >且0x >时，因
为2
≥0,所
以a x x -≥0, 从而a
x x
+
≥
当x =). 记函数(0,0)a
y x a x x
=+>>,
由上述结论可知：当x =,
该函数有最小值为直接应用
已知函数1(0)y x x =>与函数21
(0)y x x
=
>, 则当x = ▲ 时,12y y +取得最小值为 ▲ . 变形应用
已知函数11(1)y x x =+>-与函数22(1)4(1)y x x =++>-,求
2
1
y y 的最小值,并指出取得该最小值时相应的x 的值. 实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每千米为
1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x 千米,
求当x 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本．．．．．．．．．．最低？最低是多少元？
7．如图7，已知有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度匀速向B 、C 、D 、A 移动．
（1）求证：四边形PQEF 是正方形． （2）PE 是否总过某一点，并说明理由．
（3）四边形PQEF 的顶点在何处时哦，其面积有最小值和最大值，并求其最小值和最大值．
参考答案：
1．83，43 2．3
4
．1 5．（1）四边形EGFH 是平行四边形．
理由：因为点G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 中点，所以GF ∥EH ，GF=EH ．所以四边形EGFH 是平行四边形．
（2）点点E 是AD 中点时，四边形EGFH 是菱形． 理由：因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以AB=CD ，∠A=∠D ．因为AE=DE ，所以△ABE ≌△DCE ．所以BE=CE ．因为点G 、H 分别是BE 、CE 中点，所以EG=EH ．又由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，所以四边形EGFH 是菱形．
（3）EF ⊥BC ，EF=
2
1
BC ． 理由：因为四边形EGFH 是正方形，所以EG=EH ，∠BEC=90o．因为点G 、H 分别是BE 、CE 中点，所以BE=EC ．即△BEC 为等腰直角三角形．因为点F 是BC 中点，所以EF ⊥BC ，EF=
2
1
BC ． 四、6．（1）等腰梯形，矩形等．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ＝BD ，且∠AOD ＝60°试说明：BC ＋AD ≥AC ．
理由：过点D 作DF ∥AC ，在DF 上截取DE ，使DE ＝AC ，连结CE 、BE ，故∠EDO ＝60°，四边形ACED 是平行四边形，所以△BDE 是等边三角形，CE ＝AD ，所以DE ＝BE ＝AC ． ①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如下图）
D
图7
A F P
O E
B Q C
在△BCE 中，有BC ＋CE ＞BE ，所以BC ＋AD ＞AC ． ②当BC 与CE 在同一条直线上时（如下图）
则BC ＋CE ＝BE ，因此 BC ＋AD ＝AC ． 综合①、②，得 BC ＋AD ≥AC ．
即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．
7．（1）证明：由题意，得AP=BQ=CE=DF ．因为四边形ABCD 是正方形，所以BP=CQ=DE=AF ，∠A=∠B=∠C=∠D=90o，所以△APF ≌△BQP ≌△CEQ ≌△DFE ，所以PF=PQ=QE=EF ，∠AFP=∠BPQ ．又因为∠AFP+∠APF=90o，所以∠BPQ+∠APF=90o，所以∠QPE=90o，所以四边形PQEF 是正方形．
（2）连结AC 交PE 于点O ，因为正方形ABCD 中，AB ∥CD ，所以∠BAC=∠DCA ．又因为∠AOP=∠COE ，AP= CE ，所以△AOP ≌△COE ，所以AO=CO ，所以PE 总过AC 的中点．
（3）因为正方形PQEF 的面积为PQ 2．又Rt △BPQ 中，PQ 2=PB 2+BQ 2=PB 2+AP 2=
2
1
[( PB+ AP)2+(BP-AP)2] =21[AB 2+(BP-AP)2]．所以当BP=AP 即P 、Q 、E 、F 是各边中点时，PQ 2取得最小值，最小值为2
1
AB 2，即正方形PQEF 的面积的最小值为2
1
AB 2．
当BP 或AP 有一个取0即点P 、Q 、E 、F 移到各顶点时，PQ 2取得最大值，即正方形PQEF 的面积的最大值为AB 2．
22．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形， 设△AFC 的面积为
S ，则
A ．S=2
B ．S=4
C ．S=2.4
D ．S 与B
E 长度有关（ ）
23. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P 从点A 开始沿折线AC-CB-BA 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动，速度分别为每秒3，4，5个单位．直线L 从与AC 重合的位置开始，以每秒
4
3
个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持L ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动． （1）当t=5秒时，点P 走过的路径长为 ▲ ；当t= ▲ 秒时，点P 与点E 重合； （2）当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值；
（3）当点P 在折线AC-CB-BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．在点P 与直线l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．
A F
N
B
P l
E
C M 备用图
D C B A D 九年级数学 作业（06-09-15） 姓名 1、如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于（ ） A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:3 2、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进 行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ） A ．0.5cm B ．1cm C ． 1.5cm D ．2cm 3、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的 一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 。 4、矩形ABCD 中，22 =AB ，将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线 AE 、BF 向内折叠，使点D 、C 重合于点G ，且AGB EGF ∠=∠，则 =AD ． 5、已知平行四边形A B C D ，AD a AB b ABC α===，，∠．点F 为线段B C 上一点（端点 B C ，除外），连结A F A C ，，连结D F ，并延长D F 交A B 的延长线于点E ，连结C E ． （1）当F 为B C 的中点时，求证E F C △与A B F △的面积相等； （2）当F 为B C 上任意一点时，E F C △与A B F △的面积还相等吗？说明理由． 左 右 左 右 第二次折叠 第一次折叠 图1 图2
6、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等； （1） 根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组； （2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 7、如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。（1）找出全等三角形；（2）△DEF 是什么三角形,并证明；（3）连接BE ，判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明。 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由． A B C D A B C D D C B A P C Q B
【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一、选择题 1、如图所示，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，则△AFC 的面积为S ，则（ ） A 、S=2 B 、S=2.4 C 、S=4 D 、S 与B E 长度有关 2、下列四边形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（ ） A 、①②③ B 、①②③④ C 、①② D 、②③ 3、如图直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、不能确定 4、如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AC ⊥BC ，点E 是AB 的中点，EC//AD ，则∠ABC 等于（ ） A 、75° B 、70° C 、60° D 、30° 5、如图所示，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（ ） A 、mn 21 m 2 + B 、2m mn 2- C 、2 mn m 2+ D 、2 n m 22+ 二、填空题
1、如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_________。 2、已知任意直线l把平行四边形ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是__________（只需填上一个你认为合适的条件）。 2，3、已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=3 那么AP的长为____________。 4、如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称： 5、如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于_________cm，四边形EFGH的面积等于cm。 _________2 三、解答题 1、已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF。 （1）求证：AF=CE； （2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。
【本讲教育信息】 一. 教案内容： 图形的认识、图形与证明（一） 几何初步、三角形 二. 教案目标： 通过对几何初步、三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题。 三. 重点、难点： 熟练地解决与几何初步、三角形相关的问题 四. 课堂教案： 中考导航一 ???????? ? ???? ? ?????? ????????????质互余、互补的意义、性角的比较与度量角的和、差及角平分线射线平行线 相交线 直线公理直线线段的比较与度量线段公理与中点线段的和、差、倍、分 线段几何初步知识 中考课程标准要求一
中考导航 ???? ?? ? ????? ? ??? ???????????????????????作图 性质判定 概念全等直角三角形钝角三角形锐角三角形按角等腰三角形 不等边三角形按边分类三角形 中考课程标准要求 【典型例题】 例1. 如图能折叠成的长方体是（ ） （2006年大连市） 答案：D 例2. 如图，AC ＝BC ，AE 平分∠CAD ，且∠C ＝40°，则∠DAE ＝_________。（2005年邵阳市）
答案：55° 例3. 如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD//BC ，则有以下结论：①AB//CD ②AB ＝BC ③AB ⊥BC ④AO ＝CO 那么其中正确的结论序号是________________。 （2006年烟台市） 答案：①②④ 例4. 如图1所示，△ABC 为等边三角形，面积为S 。D 1、E 1、F 1分别是△ABC 三边上的 点，且AB 2 1 CF BE AD 111= ==，连结11E D 、11F E 、11D F ，可得△111F E D 是等边三角形，此时△11F AD 的面积S 4 1S 1=，S 41S F E D ' 1111=?的面积。 图1 （1）当D 2、E 2、F 2分别是等边△ABC 三边上的点，且AB 3 1 CF BE AD 222===时（如图2所示）
初中几何基本图形及证明 说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线一：与角平分线有关的基本图形基本图形1 结论：如图，若P点是B和C 的平分线的交点，则P和A的数量关系 1为： P 90 A 2 基本图形2 结论：如图，若P点是FBC的平分线和ECB 的平分线的交点，则P与 A 的数量关系为：P 1 90 A 2 基本图形3 如图，若P是ABC 的角平分线和ACB的外角平分线的交点，则P与A 的数量关系为：P 1 A 2
二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形 基本图形 4 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，D 点与C 点分别在 AB 两侧，且 AD BD ， 基本图形 5 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，点 D 与C 在 AB 同侧，且 AD BD ，形 三：线段和最短与轴对称 基本图形 6 两定点一动点 如图，A ，B 为直线l 同侧两定点， P 为直线l 上一动点， A 和A 1关于l 成轴对 形成共斜边的两个直角三角形。结论： AD BD 2CD 延长 DA 使 EA BD ) AD BD 2CD B （截取 AE BD ） E B 成共斜边的两个直角三角形。结 论：
称，连接A1B交直线l于P点。结论：PA PB最短 A1 基本图形7 一定点两动点 如图P为AOB内一点，点P1与P关于OB成轴对称，P2与P关于OA成轴 对称，连接P1P2交OB于E点，交OA于F 点。结论：△ PEF 的周长最短 P2 基本图形8 两定点两动点 如图，A ，B为直角坐标系中的两定点，A1与A关于y轴对称，B1与B关于x 轴对称，连接A1B1分别交x轴、y轴于C、D两点，连A，B，C，D 结论：
知识点2：相似三角形判定和性质 （1）（2008年山东潍方）如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=（ C ） A. B. C. D. （2）(2008年乐山市)如图（2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（C） A、B、1 C、D、 （3）（2008湖南常德市）如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）AB边上的高为，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面积与△CAB 面积之比为1：4.其中正确的有（D） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （4）(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，
发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点时，发 现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（D ） A．24m B．25m C．28m D．30m （5）（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ B ） （6）(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF 为（B ） A、2∶3 B、4∶9 C、∶ D、3∶2 （7）(2008 湖南长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ C ） A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米 （8）（2008江苏南京）小刚身高1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（ A） A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m （9）（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ B ）
B C 九年级数学 作业 1、已知：菱形ABCD 中，对角线AC = 16 cm ，BE ⊥BC 于点E ，则BE 的长.为 。 2、直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形， 其中一个是边长为4的等边三角形，那么梯形的中位 线长为 。 3、如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩 形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合， 则四边形ABEF 就是一个最大的正方形，他的判定方法是 。 4、下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有 （ ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ） 6个 5、如图，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD.有下列四个结论：①∠PBC ＝15°;②AD ∥BC ；③直线PC 与AB 垂直；④四边形ABCD 是轴对称图形.其中正确 的结论的个数为 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=12，BD=9， 则该梯形两腰中点的连线EF 长是（ ） A 、10 B 、2 21 C 、2 15 D 、12 7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC=45o。翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E 。若AD=2，BC=8， 求：（1）BE 的长。（2）CD ：DE 的值。 C F B E A D C B A D P D B C A E F C D B A E F
13、（05年）如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌ △DCB ，则还需增加一个条件是__。 （13） （15） 15、（05年）如图，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在 CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为__。 18、（05年）（8分）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得踏顶B 处的仰角为60o， 爬到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为30o，求塔BC 的高度。 22、（05年）（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延 长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 D B A O D B H E C D
图10－1 M G O D B E A C x y F 图10－2 p B G C E M O D A x y ９．（06年）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得 影子CD 的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测 得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么 路灯A 的高度AB 等于 Ａ．4.5米 Ｂ．6米 Ｃ．7.2米 Ｄ．8米 图4 10．（06年）如图5，在□ABCD 中，AB : AD = 3:2，∠ADB=60°， 那么cos Ａ的值等于 Ａ．36- Ｂ．322+ Ｃ．36± Ｄ．322± 图5 13．（06年）如图6所示，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ， 对角线AC 与BD 相交于点O ．若不增加任何字母与辅 助线，要使得四边形ABCD 是正方形，则还需增加的 一个条件是______________． 图6 15．（06年）在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为__________________． 18．（06年）（７分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD DC AB ==， 120ADC ∠=．（1）（３分）求证：DC BD ⊥ 证明： （2）（４分）若4AB =，求梯形ABCD 的面积． 解：得分 22．（06年）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的 圆周上运动时， PF OF 的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化， 说明变化规律. 解： A D B C A B C D A B C D E F A B C D O
图形与证明 一、选择题 1．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】 A．32B ．26C．25D．23 2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【】 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 4．如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【】 A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE ﹣BG=FG 5．如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90° , ②OC=OE，③tan∠OCD =4 3 ，④ ODC BEOF S S ? = 四边形 中，正确的有【】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形A n B n C n D n的边长是【】 （A） n1 1 3- （B） n 1 3 （C） n1 1 3+ （D） n2 1 3+ 7．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为【】 A．0 B．1 C．2 D．无法确定 8．一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为【】 A．30πcm2 B．25πcm2 C．50πcm2 D．100πcm2 9．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【】 A．20° B．40° C．50° D．80° 10．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种侧面展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对的面上的汉字是【】 A．我 B．爱 C．枣D．庄 11．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是【】 A、 B、 C、 D、 12．如图，小明要测量河小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30 BAD ∠=°，在C点测得60 BCD ∠=°，又测得50 AC=米，则小岛B 到公路l的距离为【】米．
. 第一章图形与证明复习题（1） 一、基础练习 1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( ) 2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．． 的是( ) A 、BF= 2 1 DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于 。 5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。 二、例题精讲 例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处， (1)求证：B ′E=BF ； (2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明. 例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2 -20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系 。 例３、问题探究 21 L D C B A 第5题图 N M F E D C B A 第4题图 A D E P B C A C A B C D E F A ′ B ′
图形与证明二复习教学案 教案 Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am
第一章图形与证明（二）复习教学案 一、知识回顾： [1]等腰三角形的性质和判定（1） 1、等腰三角形的性质定理。 定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）2 文学语言图形符号语言 等边对等角在∵＿＿＿＿＿＿＿＿； ∴＿＿＿＿＿＿＿＿。 三线合一（（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ＿∴＿＿＿，＿＿＿＿＿。 （2）∵＿＿＿，＿＿＿＿＿ ∴＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。（（3）∵＿＿＿，＿＿＿＿ ∴∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿。 3 ∵_________________________ ∴_________________________ 4、三角形中位线： 图形：几何语言：∵__________________________________ ∴__________________________________ 三角形中位线性质：__________________________________________ [2] 直角三角形的全等判定 1、全等三角形判定定理： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） 2、角平分线性质：＿＿＿＿＿＿＿＿角平分线判定：＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿ ∵_________________________ ∵ _________________________ ∴_________________________ ∴_________________________ [3] 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 1、平行四边形的三条性质：__________________________________________
热点专题六 图形与证明 【考点聚焦】 图形与证明是空间与图形的核心内容之一，它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中． 内容主要有：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理． 【热点透视】 热点1：把握三角形全等的性质，考查线段相等的证明． 例1 （2008郴州）如图１，菱形ABCD 中，E F ，分别为BC 、 CD 上的点，且CE CF =．求证：AE AF =． 分析：本题中灵活运用菱形的性质：四边相等，两组对角分别相 等．找到全等三角形的对应元素是解本题的关键． 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB BC CD AD ===，B D ∠=∠． ∵CE CF =，∴BE DF =． 在ABE △与ADF △中，AB AD =，B D ∠=∠，BE DF =． ∴ABE ADF △≌△，∴AE AF =． 点评：掌握全等三角形的概念和性质，还要能准确辨认全等三角形中的对应元素，通过证明全等来证明线段相等或者角相等． 热点2：紧扣三角形全等的判定，考查三角形全等的开放型问题． 例2 （2008湘潭）如图2，在正五边形ABCDE 中，连结对角线AC 、 AD 和CE ，AD 交CE 于F ． （1）请列出图中两对全等三角形_________________（不另外添加辅 助线）； （2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明． 分析：由正多边形的性质可知：正多边形的各边相等，各角相等．这 是一类结论不惟一的试题．解决此类问题的关键是依据图形，通过准确辨认全等三角形的对应元素，证明三角形全等． 解：（1）△ABC ≌△AED ，△ABC ≌△EDC ； （2）证明：在正五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====， ∠EAB =∠B =∠BCD =∠CDE =∠DEA ， 故在△ABC 与△AED 中，AB =AE ，∠B =∠DEA ，BC =DE ，∴△ABC ≌△AED ， 在△ABC 与△EDC 中，AB =ED ，∠B =∠CDE ，BC =DC ，∴△ABC ≌△EDC ． 点评：本考题题干简单清晰，但考点的内容与正多边形的知识相结合，需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力，才能顺利解题． 热点3：合理添加辅助线，构造全等三角形解决相关问题． 例3 （2008常德）如图3，已知AB AC =， （1）若CE BD =，求证：GE GD =； （2）若CE m B D = （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系（只写结论，不证明）．
第一章图形与证明复习题（1） 一、基础练习 1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( ) 2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．． 的是( ) A 、BF= 2 1DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内， 在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于 。 5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。 二、例题精讲 例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点 B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处， (1)求证：B ′E=BF ； (2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明. 例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2 -20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系 。 21L D C B A 第5题图 N M F E D C B A 第4题图 A E P B C A C A B C D E F A ′ B ′
关于几何级数的图形证明 某日夜里我突发奇想，想到用分形图形来表示各种几何级数，于是写下了上一篇日志。日志发出后我收到了相当多的回复，很多网友告诉我说，这篇日志还留下了很多空白，大有扩展的潜力和推广的空间，非常具有启发性。网友morrowind在原日志第29楼评论说，大图形里面放置若干个相似的小图形时，并不一定要对应边与对应边相拼。考虑一个边长分别为1和根号5的矩形，它能够轻易地分成五个相同的小矩形，并且每一个都和原来的相似。这样的话，我们便又能递归地表示(1/5)^n了。只要能够递归地表示出(1/5)^n，从图形上我们总可以得出Σ(1/5)^n=1/4的结论，因为在每一个尺度下总有四个未被继续分割的区域，其中染色的区域始终占据了1/4。 12楼的est用一个极其简单的式子给出了Σ(1/5)^n=1/4的证明：在五进制中，0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ... = 0.11111...，这恰好就说明了 1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4。上述两套证明方案对所有大于2的正整数n 都成立，并且仔细思考你会看出它们的本质是相同的：0.11111...就是 0.44444...的1/4，因为在每一个小数位上前者都是后者的1/4。 网友陈熙发来邮件说，我们不见得非要把原图形分割为n个互相全等的小区域，只要它们面积相等就可以了。为了用图形说明1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4，只需要在大正方形正中间画一个边长为1/sqrt(5)的小正方形即可，然后将“外框”的其中1/4染色，并递归地处理小正方形。这样，我们就非常直观地得到了想要的结论。这个方法同样对所有大于2的正整数n都成立——把正方形改成正n-1边形即可。或者更简单地，我们可以直接用圆来代替正多边形。
初三数学期末复习一（图形与证明） 一、基础练习 1、下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形， 其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2、一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积为 ( ) A.48cm 2 B.24cm 2 C.12cm 2 D.18cm 2 3、等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为 ( ) A.4cm C.8cm 4、如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ） A ．9 B ．10.5 C ．12 D ．15 ５、已知菱形的一个内角为60° ，一条对角线的长为角线的长为__________． ６、如图，有一底角为350的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________. 二、例题精讲 例１、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 例２、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ． 求证：BP DQ =． A B C D E F P A D G C B F E A Q D E B C O
数学测试（5） 一、选择题: 1.如图1所示,AB ∥CD,EG ⊥AB,若∠1=58°,则∠E 的度数等于( ) A.122° B.58° C.32° D.29° 2.如图2所示,DE ∥BC,EF ∥AB,图中与∠BFE 互补的角共有( ) A.3个 B.2个 C.5个 D.4个 3.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c=( ) A.1:2:3 B.1:2: C.1: 4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( ) A.30° B.60°; C.30°或150° D.不能确定 5.如图3所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那最省事的办法是( ) A.带①去 B.带②去; C.带③去 D.带①和②去 6.等腰三角形周长是32cm,一边长为10cm,则其他两边的长分别为( ) A.10cm,12cm; B.11cm,11cm; C.11cm,11cm 或10cm,12cm D.不能确定 7.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为( ) A.10° B.20° C.30° D.60° 8.如图4所示,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AC,BD 相交于点O, 则图中全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 9.矩形ABCD 中,E 在AD 上,AE=ED,F 在BC 上,若EF 把矩形ABCD 的面积分为1:2,则BF:FC=( )(BF 第十一章 图形的证明一 测试 一，选择 1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是 ( ) A.只需观察得出 B.只需依靠经验获得 C.通过亲自实验得出 D.必须进行有根据地推理. 2.通过观察你能肯定的是 ( ) A.图形中线段是否相等; B.图形中线段是否平行 C.图形中线段是否相交; D.图形中线段是否垂直 3.下列问题你不能肯定的是 ( ) A.一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小关系; B.三角形的内角和 C.n 边形的外角和; D.三角形与矩形的面积关系 4.下列问题用到推理的是 ( ) A.根据x=1,y=1 得x=y; B.观察得到四边形有四个内角; C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘; D.由公理知道过两点有且只有一条直线 5.下列句子中,是命题的是 ( ) A.今天的天气好吗 B.作线段AB ∥CD; C.连结A 、B 两点 D.正数大于负数 6.下列命题是真命题的是 ( ) A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角; B.两互补的角一定是邻补角 C.如果a 2=b 2 ,那么a=b; D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等 7.下列命题是假命题的是 ( ) A.如果a ∥b,b ∥c,那么a ∥c; B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等; D.矩形的对角线相等且互相平分 8.已知下列四个命题：（1）若直角三角形的两边长分别是3与4，则第三边长是5；（2）a a 2)(；（3）若点P （a,b ）在第三象限，则点Q(-a,-b)在第一象限；（4）两边及第三 边上的中线对应相等的两个三角形全等，其中正确的选项是 （ ） A.只有（1）错误，其他正确 B.（1）（2）错误，（3）（4）正确 中考数学专题6：图形与证明 第I卷\ 一、选择题 1．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】 A．B． C．D． 2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【 】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 4．如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【 】 A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE﹣BG=FG 5．如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且 AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90° , ②OC=OE， ③tan∠OCD = ，④ 中，正确的有【 】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形 A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形A n B n C n D n的边长是【 】 （A） （B） （C） （D） 7．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为【 】 A．0 B．1 C．2 D．无法确定 8．一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为【 】 A．30πcm2 B．25πcm2 C．50πcm2 D．100πcm2 9．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】 A D B C 九（上）第一章图形与证明（二）复习 一、填空 1．等腰三角形的一个角80°，它的另外两个角的度数分别为 。 （第4题图） 2．如图，已知菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ：∠ABC=2：1，则对角线BD= cm 。 3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 ． 4．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ．则∠CDF 等于 ． 5．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为_____________. 6.在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果四边形EFGH 为菱形，那么四边形ABCD 是 （只要写出一种即可）． 7.如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_____cm. 8．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN (如图)，让同学们在直线l 和射线AN 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画 个． 9.把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2． （第2题图） （第3题图） B D C B A C ′ F E ③ ② ① ④ (第5题) A E 'A （'B ） D 第7题 l 2011年中考考点复习策略（12） ——“图形与证明” 海口一中 李士军 义务教育新课标要求学生掌握基本的图形基础知识与基本技能；了解证明的含义，掌握证明的方法，体会证明的过程；能把所学的公理、定理和基本事实正确运用到证明的过程中，在合情推理的基础上发展初步的演绎推理能力；初步通过观察、实验、归纳、类比、推测获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性及结论的稳定性。 聚焦近几年中考，“图形与证明”部分注重对基本推理能力的考查，又突出了对合情推理能力、探究能力与演绎推理能力的综合考查。 现结合2010年各地及近几年海南中考试题对这部分内容进行分析，供同学们参考。 一、直接推理类题目 例1 （2010厦门)如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠60EFB =°，DC EF =. (1) 求证：四边形EFCD 是平行四边形 (2) 若BF EF =,求证AE AD =. 提示：（1）由∠ABC=∠EFB=60°得EF ∥DC ，已知DC EF =， 故四边形EFCD 是平行四边形 （2）易证△EFB 是等边三角形 ，BE=EF=DC ，从而得到△AEB ≌△ADC, AE AD = 例2 （2010陕西潼南) 如图,四边形ABCD 是边长为2的 正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△AB E ≌△DAF ； （2）若∠AGB =30°，求EF 的长. 提示：（1）△ABE ≌△DAF （ASA ） （2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠1+∠4=900 ∵∠3=∠4 ∴∠1+∠3=900八年级数学图形的证明测试题
中考数学专题6：图形与证明
初三九年级数学第一章图形与证明(二)复习
图形的证明
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